Cd 5 chung minh hai duong thang song song

- Dùng tính chất hai dây chắn giữa hai cung bằng nhau của một đường tròn.. Ta có:▪ AM POtính chất hai tiếp tuyến xuất phát từ 1 điểm nằm ngoài đường tròn ▪ AM MB góc nội tiếp chắn nửa

Chủ đề 5: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

1 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH.

- Dựng mối quan hệ về góc: sole bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau,…

- Dựng mối quan hệ bắc cầu: cùng vuông góc hoặc song song với đường thứ ba

- Áp dụng định lý đảo của định lý Talet

- Áp dụng tính chất của các tứ giác đặt biệt, đường trung bình của tam giác

- Dùng tính chất hai dây chắn giữa hai cung bằng nhau của một đường tròn

2 CÁC VÍ DỤ.

Mức độ 1: Nhận biết

Câu 1. Cho hai đường tròn  O ,  O có bán kính lần lượt là R, R (R R ) tiếp xúc ngoài với nhau

tại điểm A Qua A kẻ cát tuyến cắt hai đường tròn  O ,  O lần lượt tại hai điểm M , N Chứng minh rằng: OM O N// 

Lời giải

Ta có:

▪ OMA OAM ( do tam giác OAM cân)

▪ OAM O AN  ( đối đỉnh)

▪ O AN O NA  ( do tam giác O AN cân)

Vậy OMA O NA ( sole trong) nên OM O N// 

Câu 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H là trực tâm tam giác và D là điểm đối

xứng của A qua O Chứng minh BH CD//

Lời giải

M

N

Ta có:

▪ BH AC (do H là trực tâm của tam giác)

▪ DCAC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

//

BH CD

Câu 3. Cho tam giác ABC cân tại A Kẻ hai đường cao BE, CF của tam giác Chứng minh rằng:

//

EF BC

Lời giải

Xét tam giác BFC và CEB, có:

 

90 can chung

BC

   



 







 nên hai tam giác bằng nhau

Vậy BF CE

BA CA  EF BC// .

Mức độ 2: Thông hiểu

Câu 1. Cho đường tròn O R đường kính ,  AB, kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao cho

AP R Dựng tiếp tuyến PM(M là tiếp điểm) Chứng minh BM OP//

Lời giải

A

C B

D H

A

E F

Ta có:

▪ AM PO(tính chất hai tiếp tuyến xuất phát từ 1 điểm nằm ngoài đường tròn)

▪ AM MB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

//

OP BM

 (cùng vuông góc với đường AM)

Câu 2. Cho đường tròn  O ngoại tiếp tam giác ABC Gọi E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ C,

B của tam giác ABC Chứng minh EF d với // d là tiếp tuyến của đường tròn  O tại A

Lời giải

Ta có: EFCB là tứ giác nội tiếp vì BEC BFC 90 (do BF, CE là đường cao)

▪ xACABC (cùng chắn cung AC )

▪ ABCAFE (góc trong bằng góc đối ngoài của tứ giác EFCB nội tiếp)

 

xACAFE (so le trong) nên Ax EF//

Câu 3. Cho đường tròn  O , hai điểm C, D thuộc đường tròn, lấy B là trung điểm của cung nhỏ CD

Kẻ đường kính BA, trên tia BA lấy điểm S ngoài đường tròn, SC cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M , DM cắt BA tại K, BM cắt AC tại H Chứng minh: HK CD//

M P

O

A

C E

F x

O

Lời giải

Ta có: HMK HAK (cùng chắn hai cung bằng nhau BC , BD ) nên tứ giác HKAM nội tiếp

▪ HKM HAM (góc nội tiếp cùng chắn cung HM )

▪ HAM CAM CDM (góc nội tiếp cùng chắn cung CM )

  (đồng vị) nên HK CD//

Mức độ 3: VDT

Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, lấy điểm D nằm giữa A, B Đường tròn đường kính BD cắt

BC tại E, các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm F, G Chứng minh: AC FG//

Lời giải

Ta có: CAD CED 90 nên tứ giác ADEC nội tiếp

▪ DFG DEG (góc nội tiếp cùng chắn cung DG )

▪ DEG DEA DCA  (góc nội tiếp cùng chắn cung AD )

DFG DCA

  (sole trong) nên FG AC//

C

B

D

H K

S

C

D

E

F G

B) Trên nửa mặt phẳng bờ ABchứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax tại I ,

tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tại E, cắt BM tại F , tia BE cắt K Chứng minh:

//

FK AI

Lời giải

Xét tam giác FAB có AM BF, BEAF nên K là trực tâm của tam giác

Ta có: (gt)

(cmt)









 nên FK AI//

Câu 3. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  O Gọi P là trung điểm cung nhỏ AB (phần không

chứ C, D) Hai dây PC, PD lần lượt cắt AB tại E, F Các dây AC, PD cắt nhau tại I Các dây BD, PC cắt nhau tại K Chứng minh CID CKD và IK AB//

Lời giải

Ta có: IDK ICK (cùng chắn hai cung bằng nhau AP , PB ) nên tứ giác CDKI nội tiếp

▪  1    1    

▪ PDC IKC (góc nội tiếp cùng chắn cung IC )

 

IKE KEB

  (sole trong) nên AB IK//

Mức độ 4: VDC

I

K

F E

M

C

D

P

Câu 1. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó Một đường thẳng d qua A và vuông góc

AC Vẽ đường tròn đường kính BC và lấy điểm một điểm M bất kỳ, tia CM cắt d tại D, tia AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai là N , tia DB cắt đường tròn tại điểm thứ hai là P Chứng minh: AD NP//

Lời giải

Ta có: DAB DMB 90 nên tứ giác ABMD nội tiếp

▪ BPN BMN (góc nội tiếp cùng chắn cung BN )

▪ BMN BDA (góc nội tiếp cùng chắn cung AB )

  (so le trong) nên NP AD//

Câu 2. Cho đường tròn  O Trên đó lấy điểm A cố định và kẻ tiếp tuyến Ax tại A Lấy M tùy ý trên

Ax, kẻ tiếp tuyến BM với đường tròn  O Gọi I là trung điểm MA và K là giao điểm thứ hai của BI với đường tròn  O Tia MK cắt  O tại C Chứng minh: BC MA//

Lời giải

Ta có: IM2 IA2 IK IB nên IM IB

IK IM

Mà I chung nên hai tam giác IMK, MBK đồng dạng với nhau Suy ra IMK MBK

Ta lại có: MBKBCK (góc nội tiếp cùng chắn cung BK )

D

M N

P

A

B

C

M K I

O

Câu 3. Cho đường tròn  O và điểm M nằm ngoài đường tròn Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến

đường tròn, trên cung nhỏ AB lấy điểm C Từ C lần lượt hạ vuông góc lên MA, MB, AB

tại D, E, F Gọi H là giao điểm của AC, DF và G là giao điểm của BC, EF Chứng minh tứ giác CHFG nội tiếp và HG AB//

Lời giải

Ta có:

Tứ giác ADCF có ADCAFC 90 nên là tứ giác nội tiếp

Tứ giác BECF có BEC BFC 90 nên là tứ giác nội tiếp

HFC DAC ABC   FCG và GFC EBC CAB  90  FCH

Do đó, HFG HCG 180 nên tứ giác HCGF nội tiếp đường tròn

Ta có: CHG CFG CBE CAB  

Suy ra: HG AB// (do có CHG CAB ở vị trí sole trong)