Oh2 bài giảng tự luận hệ thức lượng trong tam giác( lời giải chi tiết)

Ố TRONG TAM GIÁC G m có 3 lo i c b n hs ch c n áp d ng tr c ti p công th c ồm có 3 loại cơ bản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức ạng toán 1 ơ bản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công t

a

b A

H TH C L Ệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ƯỢNG TRONG TAM GIÁC NG TRONG TAM GIÁC

A TÓM T T LÝ THUY T ẮT LÝ THUYẾT ẾT.

1 Đ nh lí côsin: ịnh lí côsin: Trong tam giác ABC v i ới BC a AC b ,  và AB c Ta có :

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

  

  

  

H qu : ệ quả: ả:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

cos

2

cos

2

cos

2

A

bc

B

ca

C

ab

 



 



 



2 Đ nh lí sin : ịnh lí côsin: Trong tam giác ABC v i ới BC a AC b ,  , AB c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếpng tròn ngo i ti pại tiếp ếp

Ta có :

2 sin sin sin

R

3 Đ dài trung tuy n: Cho tam giác ộ dài trung tuyến: Cho tam giác ến: Cho tam giác ABC v i ới m m m l n l t là các trung tuy n k t A, B, C Ta có a, b, c ần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có ượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có ếp ẻ từ A, B, C Ta có ừ A, B, C Ta có :

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

2( )

4

2( )

4

2( )

4

a

b

c

m

m

m

 



 



 



4 Di n tích tam giác ện tích tam giác

V i tam giác ới ABC ta kí hi u ệu h h h là đ dài đ ng cao l n l t t ng ng v i các c nh BC, CA, AB; R, a, b, c ộ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ường tròn ngoại tiếp ần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có ượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có ương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ới ại tiếp r

l n lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có ượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cót là bán kính đường tròn ngoại tiếpng tròn ngo i ti p, n i ti p tam giác; ại tiếp ếp ộ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ếp 2

a b c

là n a chu vi tam giác; S là ửa chu vi tam giác; S là

di n tích tam giác Khi đó ta có:ệu

S =

2ah a 2bh b 2ch c

=

2bc A2ca B2ab C

= 4

abc

R

= pr

= p p a p b p c(  )(  )(  ) (công th c Hê–rông)ứng với các cạnh BC, CA, AB; R,

B - CÁC D NG TOÁN ĐI N HÌNH ẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH ỂN HÌNH

D ng toán 1 ạng toán 1 : XÁC Đ NH CÁC Y U T TRONG TAM GIÁC ỊNH CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC ẾT Ố TRONG TAM GIÁC

G m có 3 lo i c b n hs ch c n áp d ng tr c ti p công th c ồm có 3 loại cơ bản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức ạng toán 1 ơ bản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức ản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức ỉ cần áp dụng trực tiếp công thức ần áp dụng trực tiếp công thức ụng trực tiếp công thức ực tiếp công thức ến: Cho tam giác ức

Ph ươ bản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức ng pháp:

- S d ng tr c ti p đ nh lí cosin và đ nh lí sin.ửa chu vi tam giác; S là ụng trực tiếp định lí cosin và định lí sin ực tiếp định lí cosin và định lí sin ếp ịnh lí cosin và định lí sin ịnh lí cosin và định lí sin

- Ch n h th c lệu ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cóng thích h p đ i v i tam giác đ tính m t s y u t trung gian c n thi t đ thu n l iợt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có ới ể tính một số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi ộ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ếp ần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có ếp ể tính một số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi ận lợi ợt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có cho vi c gi i toán.ệu ải toán

Lo i 1 Xác đ nh các y u t trong tam giác khi bi t đ dài 3 c nh ạng toán 1 ịnh lí côsin: ến: Cho tam giác ố trong tam giác khi biết độ dài 3 cạnh ến: Cho tam giác ộ dài trung tuyến: Cho tam giác ạng toán 1

L i gi i tham kh oời giải tham khảo ải tham khảo ải tham khảo

2 2 2

bc

 

sin 56 14 3

7.8.13 13 3

2 2.14 3

7 8 13

S

a

S

a b c

   

2 2 2

L u ýư

- Bi t 3 c nh áp ếp ại tiếp

d ng đ nh lí ụng trực tiếp định lí cosin và định lí sin ịnh lí cosin và định lí sin cosin trong tam giác sẽ tính đượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cóc các góc còn l iại tiếp

1.1 Giải tam giác ABC biết

a) a =2,b=3,c= 4

L i gi i ời giải ản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức

Theo định lí côsin ta có

µ

2.3.4 8

µ

2.2.4 16

C =1800- A- B » 104 29'0

1.2 Cho tam giác ABC bi tếp a14;b18;c20

Tính góc A, B, C, suy ra S, h a, R, r, m a.

L i gi i ời giải ản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức





0

0

18 20 14

42 52' cos 0, 4857 60 56'

180 ( ) 76 14'

bc A

 

1.3 Cho tam giác ABC có

a) Tính di n tích tam giác ệu ABC

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếpng tròn n i ti p, ngo i ti p ộ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ếp ại tiếp ếp

tam giác

c) Tính đường tròn ngoại tiếpng đường tròn ngoại tiếpng cao k t đ nh A.ẻ từ A, B, C Ta có ừ A, B, C Ta có ỉnh A

L i gi i ời giải ản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức

a) Áp d ng công th c Hê - rông ta cóụng trực tiếp định lí cosin và định lí sin ứng với các cạnh BC, CA, AB; R,

-=

6 3

b) Áp d ng công th c tính di n tích ụng trực tiếp định lí cosin và định lí sin ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ệu

abc S

R

=

4 và

S=pr suy ra R=7 33 , r =2 33

c) a

S

h

a

=2 =12 6=3 6

Lo i 2: Tính các y u t trong tam giác khi bi t đ dài 2 c nh và góc xen gi a ạng toán 1 ến: Cho tam giác ố trong tam giác khi biết độ dài 3 cạnh ến: Cho tam giác ộ dài trung tuyến: Cho tam giác ạng toán 1 ữa

3 cos

5 Tính c nh BC, và đ ại tiếp ộ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, dài đường tròn ngoại tiếpng cao k t A.ẻ từ A, B, C Ta có ừ A, B, C Ta có

L i gi i tham kh oời giải ản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức ản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức

Áp d ng đ nh lí côsin ta có ụng trực tiếp định lí cosin và định lí sin ịnh lí cosin và định lí sin

2 cos 4 5 2.4.5 17

5

Suy ra 17

BC =

Vì sin2A+cos2A =1 nên A = - A = - =

25 5

Theo công th c tính di n tích ta có ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ệu S ABC = AB AC A = =

1 . .sin 1.4.5.4 8

M t khác ặt khác

17

(2)

T (1) và (2) suy ra ừ A, B, C Ta có

17 8

2 h a = Þ h a = 17

V y đ dài đận lợi ộ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ường tròn ngoại tiếpng cao k t A là ẻ từ A, B, C Ta có ừ A, B, C Ta có

16 17 17

a

h =

L u ýư

Bi t 2 c nh và ếp ại tiếp góc xen gi a c a ữa của ủa

1 tam giác đ ể tính một số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi tính c nh còn l iại tiếp ại tiếp

có 2 cách:

- Sd đ nh lí cosin.ịnh lí cosin và định lí sin

- Sd đ nh lí sin.ịnh lí cosin và định lí sin

µA =1100.

L i gi i ời giải ản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức

Theo định lí sin ta có

µ

a

= sin = 8,2.sin1100 Þ » 0

µ

C » 1800- 39 57'0 =140 3'0

Vì góc A tù nên góc C nhọn do đó C »µ 39 57'0

Suy ra

B =1800- A C- » 1800- 1100- 39 57'0 = 33 3'0

3 cos

5

A  Tính sinA, a , suy ra S, h a, R

L i gi i ời giải ản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức

10 4

A

B

C

H

Hình 2.23a

Mặt khác

b

A

= sin =12.sin33 3'00 » 6,96 sin sin110

3

2 cos 7 5 2.7.5 32

5

4 2

sin 1 cos sin (sin 0)

sin 7.5 14

2 7 2

2

5 2 2sin 2

a

a

S h a a R

A

 

 

µA =60 0

a) Tính chu vi c a tam giácủa

b) Tính tanC

L i gi i ời giải ản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức

a) Theo đ nh lí côsin ta có ịnh lí cosin và định lí sin

cos ,

BC

BC

2 102 42 2104 600 76

8 72 Suy ra chu vi tam giác là

2 10 4 8 72 22 72

b) (Hình 2.23a)

K đẻ từ A, B, C Ta có ường tròn ngoại tiếpng cao BH ta có

cos

HC

0

60 5

5 4 1 . sin

BH =AB 600=5 3 V yận lợi

·

HC

= - = - = - 5 3

Lo i 3: Tính các y u t trong tam giác bi t hai góc và đ dài c nh đ i di n v i góc còn l i ạng toán 1 ến: Cho tam giác ố trong tam giác khi biết độ dài 3 cạnh ến: Cho tam giác ộ dài trung tuyến: Cho tam giác ạng toán 1 ố trong tam giác khi biết độ dài 3 cạnh ện tích tam giác ới góc còn lại ạng toán 1

Câu 3 Giải tam giác ABC biết

A =60 ,0 B =400

và c = 14.

Lời giải tham khảo

Ta có Cµ =1800- Aµ - Bµ =1800- 600- 400 =800

Theo định lí sin ta có

C

= sin =14.sin6000 Þ » 12,3

sin sin80

C

= sin =14.sin4000 Þ » 9,1

sin sin80

L u ýư

Trong tam giác khi

bi t hai góc và đ ếp ộ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, dài c nh đ i di n ại tiếp ệu

v i góc còn l i: áp ới ại tiếp

d ng đ nh lí Sin ụng trực tiếp định lí cosin và định lí sin ịnh lí cosin và định lí sin trong tam giác đ ể tính một số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi tính các c nh còn ại tiếp

l i.ại tiếp

3.1 Giải tam giác ABC , biết:

L i gi i ời giải ản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức

Ta có

µ 1800 µ µ 1800 300 750 750 µ

suy ra tam giác ABC cận tại A c b 4,5

Theo định lí sin ta có

B

= sin = 4,5.sin300 0 Þ » 2,33

3.2 Cho tam giác ABC cân t i A bi tại tiếp ếp

Tính R, r, c nh c, b, suy ra Sại tiếp

L i gi i ời giải ản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức

Áp d ng đ nh lí sin: ụng trực tiếp định lí cosin và định lí sin ịnh lí cosin và định lí sin.

3

2 2

0

b c R

sin

3 (2 3) 2

S r p

.

3.3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính

bằng 3, biết

µ 30 ,0 µ 450

Tính độ dài trung tuyến

kẻ từ A và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

L i gi i ời giải ản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức

Ta có

Theo định lí sin ta có a=2 sinR A =2.3.sin300 =3,

2 sin 2.3.sin45 6 3 2

2

c=2 sinR C =2.3.sin1050 » 5,796

Theo công thức đường trung tuyến ta có

a

23,547

Theo công thức tính diện tích tam giác ta có

sin

3 2.5,796sin30 0,943

3 3 2 5,796

ABC

p

D ng toán 2 ạng toán 1 Ch ng minh quan h gi a các y u t trong tam giác ức ện tích tam giác ữa ến: Cho tam giác ố trong tam giác khi biết độ dài 3 cạnh.

Ph ươ bản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức ng pháp

 Đ ch ng minh đ ng th c ta s d ng các h th c c b n đ bi n đ i v này thành v kia, hai v ể tính một số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ửa chu vi tam giác; S là ụng trực tiếp định lí cosin và định lí sin ệu ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ơng ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ải toán ể tính một số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi ếp ổi vế này thành vế kia, hai vế ếp ếp ếp cùng b ng m t v ho c bi n đ i tằng một vế hoặc biến đổi tương đương về một đẳng thức đúng ộ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ếp ặt khác ếp ổi vế này thành vế kia, hai vế ương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R,ng đương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R,ng v m t đ ng th c đúng ề một đẳng thức đúng ộ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ứng với các cạnh BC, CA, AB; R,

 Đ ch ng minh b t đ ng th c ta s d ng các h th c c b n, b t đ ng th c c nh trong tam giác ể tính một số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ửa chu vi tam giác; S là ụng trực tiếp định lí cosin và định lí sin ệu ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ơng ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ải toán ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ại tiếp

và b t đ ng th c c đi n (Cauchy, bunhiacôpxki,…)ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ổi vế này thành vế kia, hai vế ể tính một số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi

a) a2=bc

b)

1 cos

2

A ³

Lời giải tham khảo

a) Áp dụng định lí sin ta có sin , sin ,sin

Suy ra

2

æ ö÷

ç ÷

÷

b) Áp dụng định lí côsin và câu a) ta có

cos

A

đpcm

L u ýư

trung tuy n ếp AM =AB = ch ng minh r ng:c ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ằng một vế hoặc biến đổi tương đương về một đẳng thức đúng

) sin 2(sin sin )

-L i gi i ời giải ản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức

a) Áp d ng công th c đ ụng trực tiếp định lí cosin và định lí sin ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ường tròn ngoại tiếp ng trung tuy n ếp

Ta có

(*)

b) Theo đ nh lí sin ta có ịnh lí cosin và định lí sin.

2 sin sin sin

1.2 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng điều

kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là b2+c2=5a2.

Lời giải

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

Khi đó hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với

nhau khi và chỉ khi tam giác GBC vuông tại G

3 b 3 c

Û + = Û çç ÷+çç ÷=

(*) Mặt khác theo công thức đường trung tuyến ta có

2 2 2

4 sin

4 sin

4 sin

ìï =

ïï

ï

Þ íï =

ïï =

ïî

Thay vào (*) ta có đpcm

-Suy ra (*) Û 4(m b2+m c2) =a2

9

2

4

a

4a b c 9a

Û + + = Û b2+c2=5a2 (đpcm)

1.3 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có;

a) a=b.cosC +c.cosB

b) sinA =sin cosB C +sin cosC B

L i gi i ời giải ản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

2

a

b)sinA =sin cosB C +sin cosC B

.cos cos

1.4 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta

có;

a) h a =2 sin sinR B C

b)

4

L i gi i ời giải ản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức

a)

2

2 sin sin 2 sin

2

a

1 sin 2

Û =

(đúng) d) Áp dụng công thức đường trung tuyến

D ng toán 3: ạng toán 1 Nh n d ng tam giác ận dạng tam giác ạng toán 1

Câu 1 Tìm tính ch t đ c bi t c a tam giác ABC bi t:ặt khác ệu ủa ếp

2 cosa A b cosC c cosB

Lời giải tham khảo Yêu c u bài toán tần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có ương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R,ng đương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R,ng v i: ới

 0

2(2 sin ) cos (2 sin ) cos 2 sin cos

2sin cos sin( ) sin

1

2

L u ýư Cách khác: Áp d ng đ nh lí cosin:ụng trực tiếp định lí cosin và định lí sin ịnh lí cosin và định lí sin

0

2 cos

1

2

1.1 Nh n d ng tam giác ABC n u ta cóận lợi ại tiếp ếp

2 2 5 2

L i gi i ời giải ản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức

Áp d ng tr c ti p công th c đụng trực tiếp định lí cosin và định lí sin ực tiếp định lí cosin và định lí sin ếp ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, ường tròn ngoại tiếpng trung tuy nếp

trong tam giác

1.2 Nh n d ng tam giác ABC bi t:ận lợi ại tiếp ếp

2

2 cos (1)

(2)

a

a b c

ìï = ïïï

-ï =

-ïî

L i gi i ời giải ản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức

Áp d ng đ nh lí cosin (1) và th vào (2) ụng trực tiếp định lí cosin và định lí sin ịnh lí cosin và định lí sin ở (1) và thế vào (2) ếp

Yêu càu bài toán tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R,ng đương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R,ng v iới

5

KL: Tam giác ABC vuông t i Aại tiếp

(1) a a b c b c

a

+

µ

0

(2)

1

2

KL: Tam giác ABC đ u.ề một đẳng thức đúng

Câu 2 Nhận dạng tam giác ABC biết

Lời giải tham khảo

Áp dụng công thức diện tích ta có

1 sin 1

suy ra

S S S S S S

0

Û = =

Vậy tam giác ABC đều.

L u ýư

2.1 Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC

cân nếu h a =c.sinA

L i gi i ời giải ản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức

S d ng công th c ử dụng công thức ụng công thức ức 1 1 sin ( )*

2 a 2

thay h a =c.sinA vào (*) đ c: ược:

suy ra tam giác ABC cân tại C

2.2 Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC

cân nếu 4m a2=b b( +4 cosc A)

L i gi i ời giải ản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức

Sử dụng công thức đường trung tuyến và định lí cosin:

2

2

4

4

2

a

bc

+

= çç + ÷÷Û =

suy ra tam giác ABC cân tại C.