Trục và độ dài đại số trên trục a Định nghĩa Trục tọa độ hay gọi tắt là trục là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e.. số k đó là tọa
Trang 1e r M O
j
r
1 y
x O
O
Bài 4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
I – LÝ THUYẾT
1 Trục và độ dài đại số trên trục
a) Định nghĩa
Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là
điểm gốc và một vectơ đơn vị e
Điểm O gọi là gốc tọa độ.
Hướng của vecto đơn vị là hướng của trục
Ta kí hiệu trục đó là O e;
Cho M là một điểm tùy ý trên trục O e Khi đó có duy nhất một số k sao cho ;
số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho
Cho hai điểm A và B trên trục O e Khi đó có duy nhất số a sao cho ;
AB a e Ta gọi số a là độ dài
đại số của vectơ
AB đối với trục đã cho và kí hiệu a AB
b) Nhận xét.
Nếu
AB cùng hướng với e thì ABAB còn nếu ,
AB ngược hướng với e thì AB AB.
Nếu hai điểm A và B trên trục O e có tọa độ lần lượt là a và b thì ; AB b a
2 Hệ trục tọa độ
a) Định nghĩa
Hệ trục tọa độ O i j; ,
gồm hai trục O i;
và O j;
vuông góc với nhau Điểm gốc O chung của
hai trục gọi là gốc tọa độ Trục O i;
được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox trục , O j;
được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy Các vectơ . i và
1
Hệ trục tọa độ O i j; ,
còn được kí hiệu là Oxy.
Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi
tắt là mặt phẳng Oxy.
b) Tọa độ của vectơ
Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u tùy ý Vẽ
OA u và gọi A A lần lượt là hình chiếu của 1, 2
vuông góc của A lên Ox và Oy Ta có .
OA x i OA y j Như vậy u x i y j
Trang 2u r
u r
2
A
1
A
A
j
r
i r
O
O
i r j
r
1
M
M x y
2
M
Cặp số x y duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ ; u đối với hệ tọa độ Oxy và viết ux y ;
hoặc u x y Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ ; u
Như vậy
;
Nhận xét Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành
độ bằng nhau và tung độ bằng nhau
Nếu ux y và ;
;
u x y thì
x x
u u
Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó
c) Tọa độ của một điểm
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý Tọa độ của vectơ
OM đối với hệ trục Oxy
được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó
Như vậy, cặp số x y là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi ;
;
OM x y Khi đó ta viết M x y ;
hoặc M x y Số x được gọi là hoành độ, còn số y được gọi là tung độ của điểm ; M Hoành độ của
điểm M còn được kí hiệu là x M, tung độ của điểm M còn được kí hiệu là y M.
;
M x y OM x i y j
Chú ý rằng, nếu MM1 Ox MM, 2 Oy thì x OM1, y OM 2
d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng
Cho hai điểm A x y A; A
và B x y B; B
Ta có
AB x x y y
3 Tọa độ của các vectơ
, ,
u v u v k u
Ta có các công thức sau:
Trang 3Cho uu u1; 2,vv v1; 2
Khi đó:
u v u1u v2; 1v ;2
u v u1 u v2; 1 v ;2
k uk u k u1; 2,k
Nhận xét Hai vectơ uu u1; 2,vv v với 1; 2 v 0 cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao
cho u1k v và 1 u2 k v2
4 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm của tam giác
a) Cho đoạn thẳng AB có A x y A; A,B x y B; B
Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm
I; I
I x y của đoạn thẳng AB là
b) Cho tam giác ABC có A x y A; A,B x y B; B,C x y C; C
Khi đó tọa độ của trọng tâm G x y G; G
của tam giác ABC được tính theo công thức
II – DẠNG TOÁN
Dạng toán 1 Tìm tọa độ của một điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số của vectơ và chứng minh hệ thức liên quan trên trục (O ;
i )
1 Phương pháp áp dụng
Sử dụng các kiến thức cơ bản sau:
Điểm M có tọa độ
Vectơ
Nếu a, b lần lượt là tọa độ của A, B thì AB b a
Các tính chất
+ ABBA
; ; ( ; ) :
2 Bài tập:
Câu 1 Trên trục tọa độ (O ;
i ) cho 3 điểm A ; B ; C có tọa độ lần lượt là
–2 ; 1 và 4
a) Tính tọa độ các vectơ
; ;
AB BC CA
b) Chứng minh B là trung điểm của AC
Trang 4Lời giải tham khảo
a) Ta có AB 1 2 3 , BC3,CA6
b) Ta có
3
1.1 Trên trục tọa độ (O ;
i ) cho 3 điểm A ; B ; C có tọa độ lần
lượt là 3; 1 và -4.Tính AB BC CA AB CB BA BC AB BA, , , , , .
Lời giải
1 32 , 5, 7
5 2 5 3
2 2 5 7
2 2 4
AB BA
1.2 Trên trục tọa độ O i;
cho 2 điểm ,A B có tọa độ lần lượt 3
và 5 Tọa độ trung điểm I của
AB là :
Lời giải
Tọa độ điểm I là:
3 ( 5)
1 2
I
x
1.3 Trên trục O i;
cho hai điểm M và N có tọa độ lần lượt là -5;
3 tìm tọa độ điểm P trên trục sao cho
1 2
PM PN
Lời giải
Gọi điểm P có tọa độ là x
x PN
Câu 2 Trên trục tọa độ (O;
i ) cho 4 điểm , , , A B C D bất kỳ Chứng minh
AB CD AC DB AD BC
Cách 1: Giả sử tọa độ các điểm A, B, C, D lần lượt là a, b, c, d.
Ta có AB CD b a d c bd ac bc ad
Cộng vế với vế lại ta được AB CD AC DB AD BC 0
0
2.1 Trên trục tọa độ (O ;
i ) cho 4 điểm , , , A B C D có tọa độ lần
Trang 5lượt là 2, 4, 1, 6 Chứng minh rằng
3
Lời giải
1 1 3; 8
1 1 11
3 8 24
AC AD
AC AD
11 11
8
24 3
AB
AB
Câu 3.Trên trụcO i;
cho 3 điểm , ,A B C có tọa độ lần lượt là ; ; a b c Tìm
điểm I sao cho
0
IA IB IC
Gọi điểm I có tọa độ là x
( ) ; ( ) ; ( ) ;
3
IA IB IC a b c x i
a b c
a b c x x
3.1 Trên trục O i;
, cho ba điểm , ,A B C lần lượt có tọa độ là
5; 2; 4 Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn
2MA 4MB 3MC 0
Lời giải
Gọi điểm M có tọa độ là x
2MA 4MB 3MC 0 10 2x i 8 4x i 12 3x i 0
10
9
Vậy tọa độ điểm M là
10
9
3.2 Trên trục O i;
, cho ba điểm ,
A B lần lượt có tọa độ là 2; 6.
Tìm tọa độ điểm I sao cho
3
Lời giải
Gọi điểm I có tọa độ là
x
Trang 6
2 18 3 0
Vậy tọa độ điểm I là 4
Dạng toán 2 Xác định tọa độ điểm tọa độ vecto
1 Phương pháp áp dụng
Để tìm tọa độ của vectơ
a ta làm như sau
Dựng vectơ
1; 2
a a a
với a1 OH a, 2 OK
Để tìm tọa độ điểm A ta đi tìm tọa độ vectơ
OA
Nếu biết tọa độ hai điểm (A x y A; A), (B x y suy ra tọa độ B; B) AB được xác định theo công
thức
;
(hoặc Oy )
Với hai vecto a x y 1; 1 và b x y 2; 2, ta có:
a b
2 Bài tập:
Câu 1 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho điểm M x y ;
Tìm tọa độ của các điểm
a) M đối xứng với M qua trục hoành1
b) M đối xứng với M qua trục tung2
c) M đối xứng với M qua gốc tọa độ3
a) M đối xứng với M qua trục hoành suy ra 1 M x y1 ;
b) M đối xứng với M qua trục tung suy ra 2 M2x y;
c) M đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra 3 M3x;y
1.1 Trong hệ trục tọa độ (O;
i ;
j ), cho hình vuông ABCD tâm I và có A(1; 3) Biết điểm B thuộc trục (O;
i ) và BC cùng hướng với
i Tìm tọa độ các vectơ
Trang 7
,
AB BC và AC
Lời giải
1 32 , 5, 7
5 2 5 3
2 2 5 7
2 2 4
AB BA
2 3 ; 2
Theo định nghĩa u xi yj ux y;
2 3 2; 3
u xi yj khi biết toạ độ của vectơ u là:
(2; 3); (2; 0)
Lời giải
Với
(2; 3) 2 3 ;
Với
(2; 0) 2
(3; 2), (7; 4)
Tìm toạ độ của các vectơ sau:
; 3 4
Lời giải
Áp dụng công thức tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số thì
(3 7; 2 4) (10; 2)
x a b
x
y
O C O
B
Hình 1.33
Trang 8
3 9; 6 ; 4 28;16
3 4 (9 28; 6 16) ( 19; 22)
(2;1), (3; 4), (7; 2)
a b c Tìm toạ độ của vectơ
u sao cho:
2 3
Lời giải
2 4; 2 ; 3 9;12
2 3 4 9 7; 2 12 2 2; 8
2.4 Cho 3 điểm
2; 3 , 4; 5 , 0; 1
Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là
hình bình hành
Lời giải
Gọi D x y ;
ABCD là hình bình
hành
AB DC
Mà
2; 8 ; ; 1
Khi đó
2; 9
D
Câu 3 Các điểm M2; 3
, N0; 4
, P1; 6
lần lượt là trung điểm các
cạnh BC , CA , AB của tam giác ABC Tọa độ đỉnh A của tam giác là:
B
A
Ta có: APMN là hình bình hành nên
3.1 Cho 3 điểm A(-1; 3), B(2; 4), C(0; -1) là 3 đỉnh của tam giác
a)Cho điểm G(3; -2) Tìm tọa độ điểm M để G là trọng tâm của ∆ ABM
b) Tìm tọa độ điểm E sao cho
5
Lời giải
3.2 Trong mặt phẳng
tọa độ Oxy , cho tam
giác MNP có
1; 1 , 5; 3
và P thuộc trục Oy
Trang 9a) G là trọng tâm tam giác ABM
3
3
G
G
x
y
mà G(3; -2)
Nên:
3 3
2 3
9 6
y y y Vậy: M(8; -13)
b) Ta có: *
( E 1; E 3)
Mà:
5
5( 1) 2 5( 3) 5
E E
x
5 5 2
5 15 5
E E
x
7 5 2
E
E
x
y Vậy: E
7
; 2
5
,trọng tâm G của
tam giác nằm trên
trục Ox Toạ độ của điểm P là
Lời giải
Ta có: P thuộc trục
0;
nằm trên trục
; 0
G là trọng tâm tam
giác MNP nên ta có:
1 5 0
2 3
( 1) ( 3) 4 0
3
Vậy
0; 4
P
3.3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A(6; 3), ( 3; 6), (1; 2)B C Xác
định điểm E trên cạnh BC sao cho BE2EC
Lời giải
Vì E thuộc đoạn BC và BE2EC suy ra
2
3; 6 , 1 ; 2
Do đó
1
2
6 2 2
3
x
y
Vậy
1 2
;
3 3
E
3.4 Trong mặt phẳng
tọa độ Oxy cho,
5; 2 , 1; 2
Tìm tọa độ điểm C
đối xứng với điểm
A qua điểm B
Lời giải
Ta có: điểm C đối xứng với điểm A qua điểm B nên B là
trung điểm của đoạn
thẳng AC
5 1
2 2
7; 2
B
B
x
y
C
3.5 Cho hình chữ nhật ABCD có A(0; 3), D(2;1), ( 1; 0)I là tâm của hình chữ
nhật Tọa độ trung điểm BC là:
Lời giải
Trang 10Ta có I là trung điểm
AC
Vậy C( 2; 3)
Ta có
4
3 4
B B
x
AB DC
y vậy B( 4; 1)
Tọa độ trung điểm của BC là ( 3; 2)
I
C
D
Dạng toán 3 Sự cùng phương, cùng hướng của hai vecto
1 Phương pháp áp dụng
Cho
( ; )
u x y ; u ' ( '; ')x y Vectơ u cùng phương với vectơ '
0
u
khi và chỉ khi có số k
sao cho
' '
Chú ý: Nếu xy0 ta có
'
u cùng phương
x' y'
u
Sử dụng điều kiện cần và đủ sau:
*Hai vectơ
, 0)
a b cùng phương khi và chỉ khi có số k để
2 Bài tập:
Câu 1 Cho hình bình hành ABCD có A2; 3
và tâm I1;1
Biết điểm K1; 2
nằm trên đường thẳng AB và điểm D có hoành độ gấp đôi tung độ Tìm các đỉnh ,B D của hình bình hành.
I là trung điểm AC nên C4; 1
Gọi D2 ;a a B2 2 ; 2 a a
1; 1 , 4 2 ; 1
Vì
,
AK AB cùng phương nên
4 2 1
1 2;1 , 0;1
1.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm
0;1 , 1; 3 , 2;7
và D0; 3
Tìm giao điểm
Trang 11của 2 đường thẳng AC và BD
Lời giải
Gọi I x y là giao điểm AC và BD suy ra ; AI AC ;
cùng phương và
;
BI BD cùng phương
Mặt khác
( ; 1), (2 ; 6)
AI x y AC suy ra
1
2 6
y
x
(1)
( 1; 3), ( 1; 0)
BI x y BD suy ra 3y thế vào (1)
ta có
2
3
x
Vậy
2
I ; 3
3 là điểm cần tìm
Câu 2.Cho
2
2 ; 4
và
( ; 2)
v m Tìm m để hai vecto
,
u v
cùng phương
+ Với m0: Ta có
( 2; 4) ; (0; 2)
Vì
0 2
2 4 nên hai vectơ
;
u v không cùng phương
+ Với m0: Ta có
;
u v cùng phương khi và chỉ khi
2
2 0
2 2
m m
m m
Vậy với m1 và m2 là các giá trị cần tìm
(3; 2), ( 3;1)
(2 ) (3 )
phương với
ma b và a b
Lời giải:
Ta có
2 m a 6 3 ; 4 2m m
;
3 n b ( 9 3 ; 3n n)
3 3; 2 1 , 0; 3
ma b và
a b khi và chỉ khi có sô
,
,
2.2 Trong hệ trục tọa độ (O;
;
i j ) Cho tam
giác ABC có A(2; 3), B(1; 1), C(6; 0) Cho
2 (2 1)
m để
x và AC cùng phương
Lời giải:
2 (2 1) 2; 2 1
;
4; 3
AC
x và
AC cùng phương khi và
chỉ khi tồn tại số k sao cho
Trang 12Do đó
3 3 3 0
Suy ra
2 3
m
n hoặc
1 2
m n
k
m
Dạng toán 4 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song
1 Phương pháp chung
*Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k để
*Để chứng minh đường thẳng AB song song với CD ta đi chứng minh
AB kCD và điểm A không
thuộc đường thẳng CD
2 Bài tập:
Câu 1.Cho A1; 2 , B 2; 6
Điểm M trên trục Oy sao cho ba điểm
, ,
A B M thẳng hàng thì tọa độ điểm M là:
Ta có: M trên trục Oy M0;y
Ba điểm , ,A B M thẳng hàng khi AB cùng phương với
AM
Ta có
3; 4 , 1; 2
AB cùng
phương với
2 1
10
3 4
y
Vậy M0;10
1; 1 , 2; 2 2 , 3; 3
Tìm giá trị m
để , ,A B C là ba điểm thẳng hàng?
Lời giải
Ta có:
3 ; 3 2
,
4; 4
AC
Ba điểm , ,A B C thẳng hàng khi và chỉ khi AB
cùng phương với
AC
3 3 2
0
m
1.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba
điểm A(6; 3), ( 3; 6), (1; 2)B C Xác
định điểm D trên trục hoành sao cho ba
điểm , ,A B D thẳng hàng.
Lời giải
Vì E thuộc đoạn BC và
2
2
Gọi E x y khi đó ;
3; 6 , 1 ; 2
Do đó
Trang 13
1
2
6 2 2
3
x
y
Vậy
1 2
;
3 3
E
Câu 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm
( 1; 3), (0; 4), (3; 5); D 8; 0
.Chứng minh rằng AB/ /CD
1;1 ; 4; 8
Ta cĩ
1 1
,
A B C khơng thẳng hàng (1), ,
5; 5
CD
Ta cĩ
1 1
,
/ / , , , thẳng hàng
AB CD
Từ (1) và (2) suy ra AB/ /CD
2.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm
( 2; 3), (3; 7), (0; 3); D 4; 5
.Chứng minh rằng AB/ /CD
Lời giải
5;10 ; 2; 6
Ta cĩ
5 10
,
A B C khơng thẳng hàng (1), ,
4; 8
CD
Ta cĩ
5 10
,
/ / , , , thẳng hàng
AB CD
Từ (1) và (2) suy ra AB/ /CD
Dạng tốn 6 Xác định tọa độ điểm thỏa mãn đẳng thức vecto
1 Phương pháp chung
Dùng cơng thức tính tọa độ của vectơ
, ,
u v u v k u