1 1a bài giảng tự luận hệ trục tọa độ (đáp án chi tiết ) (2)

Trục và độ dài đại số trên trục aĐịnh nghĩa  Trục tọa độ hay gọi tắt là trục là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e.. k đó là tọa độ c

e r M O

j

r

1 y

x O

O

Bài 4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

I – LÝ THUYẾT

1 Trục và độ dài đại số trên trục

a)Định nghĩa

 Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm

gốc và một vectơ đơn vị e

 Điểm O gọi là gốc tọa độ.

 Hướng của vecto đơn vị là hướng của trục

 Ta kí hiệu trục đó là O e;

b) Cho M là một điểm tùy ý trên trục O e;

 

k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho

c) Cho hai điểm A và B trên trục O e Khi đó có duy nhất số a sao cho ;   

AB a e Ta gọi số a là độ dài

đại số của vectơ 

AB đối với trục đã cho và kí hiệu  a AB

Nhận xét.

 Nếu

AB cùng hướng với e thì ABAB, còn nếu

 Nếu hai điểm A và B trên trục O e có tọa độ lần lượt là a và b thì ; AB b a 

2 Hệ trục tọa độ

a) Định nghĩa Hệ trục tọa độ O i j; , 

gồm hai trục O i;

và O j;

vuông góc với nhau Điểm gốc O

chung của hai trục gọi là gốc tọa độ Trục O i;

được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox trục , O j;

được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy Các vectơ . i và



1

Hệ trục tọa độ O i j; , 

còn được kí hiệu là Oxy.

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt

là mặt phẳng Oxy.

b) Tọa độ của vectơ

 

OA u và gọi A A1, 2 lần lượt là hình chiếu của

u r

u r

2

A

1

A

A

j

r

i r

O

O

i r j

r

1

M

( ) ;

M x y

2

M

Cặp số x y; 

duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ u đối với hệ tọa độ Oxy và viết  ux y; 

hoặc



u x y Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ u

Như vậy

;

Nhận xét Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau

khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau

Nếu ux y; 

và   

;

thì



 











u u

Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó

c) Tọa độ của một điểm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý Tọa độ của vectơ

OM đối với hệ trục Oxy được

gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó

Như vậy, cặp số x y; 



Khi đó ta viết M x y ; 

hoặc

còn được kí hiệu là x M, tung độ của điểm M còn được kí hiệu là y M.

     

;

M x y OM x i y j

Chú ý rằng, nếu MM1Ox MM, 2 Oy thì x OM1, y OM 2

d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

Cho hai điểm A x y A; A

và B x y B; B

Ta có



3 Tọa độ của các vectơ  

u v u v k u

Ta có các công thức sau:

Cho uu u1; 2,vv v1; 2

Khi đó:

 u v  u1u v2; 1v2

;

 u v  u1 u v2; 1 v ;2

Trang

-2- k uk u k u1; 2, k.

Nhận xét Hai vectơ uu u1; 2,vv v với 1; 2 v 0 cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho



u k v và u2 k v2

4 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm của tam giác

a) Cho đoạn thẳng AB có A x y A; A, B x y B; B

Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm

 I; I

I x y

của đoạn thẳng AB là

b) Cho tam giác ABC có A x y A; A,B x y B; B,C x y C; C

Khi đó tọa độ của trọng tâm G x y G; G

của

tam giác ABC được tính theo công thức

II – DẠNG TOÁN

Dạng toán 1 Tìm tọa độ của một điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số của vectơ và chứng minh hệ thức liên quan trên trục (O ;



i )

Phương pháp áp dụng

Sử dụng các kiến thức cơ bản sau:

 Vectơ

 Nếu a, b lần lượt là tọa độ của A, B thì AB b a 

 Các tính chất

+    



Câu 1 Trên trục tọa độ (O ;



i ) cho 3 điểm A ; B ; C có tọa độ lần lượt là

–2 ; 1 và 4

a) Tính tọa độ các vectơ

  

AB BC CA

b) Chứng minh B là trung điểm của AC

Lời giải tham khảo

a) Ta có AB  1 2 3 , BC3,CA6

3

Lưu ý

1.1 Trên trục tọa độ (O ;



i ) cho 3 điểm A ; B ; C có tọa độ lần lượt là 1.2 Trên trục tọa độ O i;

cho 2

3; 1 và -4.Tính AB BC CA AB CB BA BC AB BA, , ,  ,  , .

Lời giải

 

AB BA

điểm ,A B có tọa độ lần lượt 3 và

5 Tọa độ trung điểm I của AB

là :

Lời giải

Tọa độ điểm I là:

 

1 2

I

x

1.3 Trên trục O i;

cho hai điểm M và N có tọa độ lần lượt là -5; 3

tìm tọa độ điểm P trên trục sao cho

1 2

PM PN

Lời giải

Gọi điểm P có tọa độ là x

 



x PN

Câu 2 Trên trục tọa độ (O;



AB CD AC DB AD BC

Lời giải tham khảo Cách 1: Giả sử tọa độ các điểm A, B, C, D lần lượt là a, b, c, d.

Ta có AB CD b a d c     bd ac bc ad  

Cộng vế với vế lại ta được AB CD AC DB AD BC   0

Cách 2: AB CD AC DB AD BC   



0

Lưu ý

2.1 Trên trục tọa độ (O ;



i ) cho 4 điểm , , , A B C D có tọa độ lần lượt

là  2, 4, 1, 6 Chứng minh rằng

3

Lời giải

Trang

-4-   

1 1 11

3 8 24

8

24 3

AB

AB

Câu 3.Trên trụcO i;

cho 3 điểm , ,A B C có tọa độ lần lượt là ; ; a b c Tìm điểm I

0

IA IB IC

Lời giải tham khảo

Gọi điểm I có tọa độ là x

 

3

a b c

Lưu ý

3.1 Trên trục O i;

, cho ba điểm , ,A B C lần lượt có tọa độ là  5;2;4

Lời giải

Gọi điểm M có tọa độ là x

9

Vậy tọa độ điểm M là

10 9

3.2 Trên trục O i;

, cho ba điểm ,

A B lần lượt có tọa độ là 2; 6.

Tìm tọa độ điểm I sao cho



3

Lời giải

Gọi điểm I có tọa độ là x

Vậy tọa độ điểm I là 4

Dạng toán 2 Xác định tọa độ điểm tọa độ vecto

Phương pháp áp dụng



a ta làm như sau



1; 2

a a a

với

 Để tìm tọa độ điểm A ta đi tìm tọa độ vectơ

OA

 Nếu biết tọa độ hai điểm A x y( A; A), (B x y B; B) suy ra tọa độ 

AB được xác định theo công

;

Oy )

Với hai vecto a x y 1; 1 và b x y 2; 2, ta có:

  





a b

Câu 1 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho điểm M x y ; 

Tìm tọa độ của các điểm

a) M1 đối xứng với M qua trục hoành

b) M2 đối xứng với M qua trục tung

c) M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ

Lời giải tham khảo (hình 1.32) a) M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M x y1 ; 

b) M2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M2x y; 

c) M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M3x;y

Lưu ý

1.1 Trong hệ trục tọa độ (O;



i ;



j ), cho hình vuông ABCD tâm I và

có A(1; 3) Biết điểm B thuộc trục (O;



i ) và BC cùng hướng với



i

Tìm tọa độ các vectơ

  ,

AB BC và

AC

Lời giải

Trang

-6-x

y

O C O

B

Hình 1.33

  5    2 5 3

 

AB BA

Câu 2 Viết tọa độ của các vectơ sau:   





Lời giải tham khảo

;

   

Lưu ý

2.1 Viết dưới dạng  



của vectơ u là:  u (2; 3); u(2; 0).

Lời giải



(2; 0) 2





Lời giải

Áp dụng công thức tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số thì

     





 

(3 7; 2 4) (10; 2)

x a b



 y3a 4b(9 28; 6 16) ( 19; 22)     







độ của vectơ



Lời giải

2.4 Cho 3 điểm

2; 3 ,  4; 5 , 0; 1  

Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

Lời giải

Gọi D x y ; 

AB DC

Khi đó

2; 9

D

Câu 3 Các điểm M2; 3

, N0; 4 

, P1; 6

cạnh BC , CA , AB của tam giác ABC Tọa độ đỉnh A của tam giác là:

Lời giải tham khảo

B

A

Ta có: APMN là hình bình hành nên







3.1 Cho 3 điểm A(-1; 3), B(2; 4), C(0; -1) là 3 đỉnh của tam giác

a)Cho điểm G(3; -2) Tìm tọa độ điểm M để G là trọng tâm của ∆

ABM

b) Tìm tọa độ điểm E sao cho  

5

Lời giải

a) G là trọng tâm tam giác ABM 









3 3

G

G

x

y

mà G(3; -2)

Nên:









3 3

2 3







9 6





2; 5

CB

Mà:  

5





E E

x





E E

x











7 5 2

E

E

x y

Vậy E



7

; 2

5

3.2 Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy , cho tam giác MNP có

1; 1 ,  5; 3 

và P thuộc

trục Oy ,trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox Toạ độ

của điểm P là

Lời giải

Ta có: P thuộc trục

 0;

Oy P y , G nằm trên trục

G là trọng tâm tam giác MNP

nên ta có:







 



1 5 0

2 3

0

3

x

x

Vậy P0; 4

3.3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm

(6; 3), ( 3; 6), (1; 2)

2

3.4 Trong mặt phẳng tọa độ

,

Oxy cho A5; 2 , B 1; 2 

Tìm tọa độ điểm C đối xứng với

Trang

-8-Lời giải

2

Gọi E x y ;  khi đó         

Do đó











1

2

3

x

y

Vậy

1 2

;

3 3

E

điểm A qua điểm B

Lời giải

Ta có: điểm C đối xứng với

điểm A qua điểm B nên Blà

trung điểm của đoạn thẳng AC





5 1

2 2

7; 2

B

B

x

y

C

3.5 Cho hình chữ nhật ABCD có A(0; 3), D(2;1), ( 1; 0)I  là tâm

của hình chữ nhật Tọa độ trung điểm BC là:

Lời giải

Ta có I là trung điểm

AC

Vậy C( 2; 3) 

Ta có



4

B B

x

AB DC

Tọa độ trung điểm của BC là ( 3; 2) 

I

C

D

Dạng toán 3 Sự cùng phương, cùng hướng của hai vecto

Phương pháp áp dụng



( ; )

u x y ;  u ' ( '; ')x y Vectơ u cùng phương với vectơ  '



0

u

khi và chỉ khi có số k sao

cho







' '

Chú ý: Nếu xy0 ta có

'

u cùng phương

u

Sử dụng điều kiện cần và đủ sau:

Câu 1 Cho hình bình hành ABCD có A2; 3

và tâm I1;1

Biết điểm

1; 2

K

nằm trên đường thẳng AB và điểm D có hoành độ gấp đôi tung

độ Tìm các đỉnh ,B D của hình bình hành.

Lời giải tham khảo

I là trung điểm AC nên C4; 1 

Gọi D2 ;a a B2 2 ; 2 a  a

       

Vì

 

,

AK AB cùng phương nên

   



Lưu ý

1.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm

0;1 , 1; 3 , 2; 7

và D0; 3

Tìm giao điểm của 2

đường thẳng AC và BD

Lời giải

Gọi I x y ; 

là giao điểm AC và BD suy ra

 

;

AI AC cùng

phương và

 

;

BI BD cùng phương



y

x

(1)

2

3

x

Vậy

2

và 

( ; 2)

  ,

u v

cùng phương

Lời giải tham khảo

Lưu ý

-10-Vì  

 

;

u v không cùng phương

+ Với m0: Ta có

 

;

u v cùng phương khi và chỉ khi





2

2 0

2 2

m m

m m

Vậy với m1 và m2 là các giá trị cần tìm

(3; 2), ( 3;1)

Tìm m, n sao cho



 

ma b và  a b

Lời giải:



;







 

ma b và 

 

a b khi và chỉ khi có sô

,

k l sao cho u k ma b    ,u l a b   

Do đó











Suy ra







2

3

m







1 2

m n

2.2 Trong hệ trục tọa độ (O;

 

;

i j ) Cho tam

giác ABC có A(2; 3), B(1; 1), C(6; 0)

m để



x và AC cùng phương

Lời giải:

 

4; 3

AC



x và AC cùng phương khi và chỉ

khi tồn tại số k sao cho





 

 



k

m

Dạng toán 4 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song

Phương pháp chung

*Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k để  

AB kCD và điểm A không thuộc

đường thẳng CD

Câu 1. Cho A1; 2 , B 2; 6

Điểm M trên trục Oy sao cho ba điểm

, ,

A B M thẳng hàng thì tọa độ điểm M là:

Lời giải tham khảo

Ta có: M trên trục Oy M0;y

Lưu ý

Ba điểm , ,A B M thẳng hàng khi AB cùng phương với

AM

Do đĩ,

AB cùng phương

với







 1 2

10

y

Vậy M0;10

  1; 1 ,  2; 2 2 ,  3; 3

Tìm giá trị m để

, ,

A B C là ba điểm thẳng hàng?

Lời giải

4; 4

AC

Ba điểm , ,A B C thẳng hàng khi và chỉ khi AB

cùng phương với

AC

0

m

1.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba

điểm A(6; 3), ( 3; 6), (1; 2)B  C  Xác định điểm D trên trục hồnh sao cho ba điểm , ,

A B D thẳng hàng.

Lời giải

Vì E thuộc đoạn BC và

2

BE EC suy ra  

2

Gọi E x y ; 

khi đĩ

        

Do đĩ











1

2

3

x

y

Vậy



1 2

;

3 3

E

Câu 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm

( 1; 3), (0; 4), (3; 5); D 8; 0

.Chứng minh rằng AB/ /CD

Lời giải tham khảo

Ta cĩ



 

,

 



5; 5

CD

 

,



 



/ / , , , thẳng hàng

AB CD

Từ (1) và (2) suy ra AB/ /CD

Lưu ý

-12-2.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm

( 2; 3), (3; 7), (0; 3); D 4; 5

.Chứng minh rằng / /

Lời giải

 

,



4; 8

CD

 

,



 



/ / , , , thẳng hàng

AB CD

Từ (1) và (2) suy ra AB/ /CD

Dạng tốn 6 Xác định tọa độ điểm thỏa mãn đẳng thức vecto

Phương pháp chung

u v u v k u

Với 



( ; )

u x y ;  u ' ( '; ')x y và số thực k, khi đĩ    

 



 







'

'

u u

Câu 1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A0; 2

và B4; 3 

Tìm

Lời giải tham khảo

Gọi M a b ; 

 

1

2

a a

Lưu ý

1.1 Trong mặt phẳng Oxy cho cho tam giác ABC với 1.2 Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm

1;1 , 4; 2 ,  6; 3

Tìm tọa độ điểm I thỏa

Lời giải

Gọi I a b  ;  A1;1 , B 4; 2 ,  C6; 3



1; 3 , 4; 2 , 3; 5

Tìm tọa độ điểm D sao cho  

3

Lời giải

Gọi D a b  ; 

1; 3

BC

Theo đề bài





3

a









2

2; 6 6

a

D b

Dạng toán 7 : Phân tích một vecto theo hai vecto không cùng phương

Phương pháp áp dụng

Ta thực hiện theo các bước

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Giả sử



c = 



a + 



Bước 2: Ta có 



a + 



b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2)

Vậy (1) xảy ra khi và chỉ khi





Giải (I), ta nhận được giá trị cặp (, )

Bước 3: Kết luận

Câu 1 Hãy biểu diễn vecto



c theo các vecto  a b, biết :

Lời giải tham khảo

Khi đó (1) xảy ra khi và chỉ khi:















1

2 Vậy, ta được  

2

-14-1.1 Cho bốn điểm A(1; 1), B(2; -1), C(4; 3) và D(16; 3).

Hãy biểu diễn vectơ

AD theo các vectơ 

AB ,

AC

Lời giải:

Ta có:

 



15; 2

AD

1; 2

AB

, AC3; 2



   

= 3 ; 2 2

Khi đó (1) xảy ra khi và chỉ khi:















3

4

(1; 2), ( 3; 0) ; ( 1; 3)

a) Chứng minh hai vectơ

  ;

phương b) Phân tích vectơ



c qua

  ;

a b

Lời giải

a) Ta cú



 





b không cùng

phương

3 ; 2

Suy ra











2

9

x

x

y

Dạng toán 8 Tìm tham số thỏa mãn mối liên hệ về vecto

Phương pháp chung

Sử dụng điều kiện hai vecto cùng phương, 3 điểm thẳng hàng, sự bằng nhau của hai vecto để tìm ra giá trị của tham số

Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho      

.Tìm m, n để



a b

Lời giải tham khảo

3

2

m m

a b

Lưu ý

3

Tìm giá trị m thỏa mãn c 4a3b

Lời giải



; 7

Ta có:







7 7

1.2

Cho



2

Tìm 2 số m, n sao cho: ma b nc  0

Lời giải

Ta có



 











2 ; 0 1 1;

2

4 ; 6

b

 ma b nc  

1

2

M

à ma b nc  0



1

3 1

1

2

12

n

n

Câu 2 Cho



a =(4; -m);



b =(2m+6; 1) Tìm tất cả các giá trị của m để 2 vectơ cùng

phương

Lời giải tham khảo



a và b cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho a k b b   0







2

m

m k

Lưu ý

Tìm m để 

 

a b cùng phương với c

Lời giải

 



 

a b và



c cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao

a b k c c















5

m

m

Câu 3 Cho ba điểm A1;1 , B 3; 2 , C m 4; 2m1 

Tìm

m để ba điểm , , A B C thẳng hàng.

Lời giải tham khảo

Ba điểm , ,A B C thẳng hàng



1

m

Lưu ý

-16-( 1; 1), (2; 2 2 ),C(m 3;3)

là ba điểm thẳng hàng?

Lời giải

4; 4

AC

Ba điểm , ,A B C thẳng hàng khi và chỉ khi AB

cùng phương với

AC

0

m

2; 3 ,   3; 4 

Tìm tọa độ điểm M

trên trục hoành sao cho , ,A B M thẳng

hàng

Lời giải Điểm M Ox  M m ; 0 

1; 7

AB

2; 3

, ,

A B M thẳng hàng



m

m

3.3 Cho 3 điểm A(3; 4); B(2; 5) và C(1; 5) Tìm m để (-7;

m) thuộc đường thẳng AB

Lời giải

Gọi M7;m M7;m thuộc đường thẳng AB khi

và chỉ khi A, B, C thẳng hàng

1;1



10; m 4

AM

, ,

A B M thẳng hàng

