Sử dụng các quy tắc: – Qui tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành,quy tắc phép trừ để phân tích các vectơ.. – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác.. B
Trang 1BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI 1 SỐ
BÀI 3 PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VÉCTƠ
A Lí thuyết:
1 Phép nhân một vectơ với một số thực:
- Là một véc tơ kí hiệu là k.a
- Hướng : cùng hướng với a nếu k > 0 và ngược hướng với a nếu k < 0
- Độ dài k a. k a.
- Điều kiện để ba điểm thẳng hàng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng
Tính chất :
k a b ka kb
; (k l a ka la )
; k la ( )kl a
ka 0 k 0hoặc a 0
2.Hệ thức trung điểm - trọng tâm
a) Hệ thức trung điểm:
Cho đoạn thẳng AB, I là trung điểm của đoạn AB Khi đó : IA IB 0
Với mọi điểm M: 2IM IA IB
2
IA IB
b) Hệ thức trọng tâm:Cho tam giác ABC Gọi G là trọng tâm của tam giác.Điều kiện cần và đủ để G là
trọng tâm tam giác ABC là GA GB GC 0
Với mọi điểm O:
OA OB OC 3OG
3
OA OB OC
B.Bài tập:
Dạng 1: Chứng minh hai vectơ bằng nhau:
Phương pháp giải:
a b
Các ví dụ:
Ví dụ 1.: Cho a AB
và điểm O Xác định hai điểm M và N sao cho: OM 3a; ON 4a
Lời giải tham khảo
Vẽ d đi qua O và // với giá của a (nếu O giá của
a thì d là giá của a)
Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a|, OM
và a cùng hướng khi đó OM 3a
Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4|a|, ON
và a ngược hướng nên ON 4a
Lưu ý:
Ví dụ 2 Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm Lưu ý:
Trang 2BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI 1 SỐ
trên đoạn AB sao cho AM=
1
5 AB Tìm k trong các
đẳng thức sau:
a )AM k AB;
b )MA k MB; c )MA k AB
Lời giải
Lời giải tham khảo
a)
| AM | AM 1
AM k AB | k |
AB 5
| AB |
, vì
AM AB
k=
1
5
Tương tự, ta có:
b) k=
1
4
c) k=
1
5
Ví dụ 3. Chứng minh:vectơ đối của 5a
là 5 a
Lời giải tham khảo
3.1: Tìm vectơ đối của các véctơ 2a 3b
Lời giải tham khảo
2a 3b 1 2a 3b 1 2a 1 3b
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp giải:
- Biến đổi vế trái thành vế phải hoặc biến đổi vế phải thành vế trái
Sử dụng các quy tắc:
– Qui tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành,quy tắc phép trừ để phân tích các vectơ
– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác
– Tính chất của các hình
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho 4 điểm A B C D M N, , , , là trung điểm
; D
AB C .Chứng minh:
a) 2MN AC B D
b) 2MN
= AC + BD
= AD + BC
Lời giải tham khảo
Trang 3BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI 1 SỐ
a)Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta có phân tích:
AC
= AM
+ MN
+ NC
BD
= BM
+ MN
+ ND
Cộng theo vế (1) và (2) với lưu ý AM
+ BM
= 0
và NC
+ ND
= 0 (vì M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD), ta được:
AC
+ BD
= 2MN
, đpcm (*)
Cách 2: Ta có phân tích:
MN MA AC CN
, (3)
MN MB BD DN
, (4) Cộng theo vế (3) và (4) với lưu ý MA MB 0
và
NC ND 0
(vì M và N lần lượt là trung điểm các
đoạn thẳng AB và CD), ta được:
2MN = AC
+ BD , đpcm
b) Ta có:
AC
+BD = AD + DC
+ BC
+ CD
= AD + BC (**)
Từ (*) và (**) ta được đẳng thức cần chứng minh
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh:
AB 2 AC AD 3AC
Lời giải tham khảo
Áp dụng qui tắc hình bình hành ta có AB AD AC
VT=AC 2 AC 3AC VP
(đpcm)
Ví dụ 3: Cho O là tâm của hình bình hành ABCD.
Chứng minh rằng với điểm M bất kì, ta có:
MO
=
1
4(MA
+ MB
+ MC + MD )
Giải
Ta có:
MA
+ MB + MC
+ MD
= MO
+ OA
+ MO
+ OB + MO
+ OC
+ MO
+ OD
= 4MO
+ (OA
+ OC
) + (OB
+ OD
) = 4
Ví dụ 3.1: Cho tứ giác ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung điểm của IJ .Chứng minh rằng:
a) OAuuur+OBuuur+OCuuur+ODuuur=0r b) MAuuur +MBuuur+MCuuur +MDuuur = 4MOuuur với M là
điểm bất kì
Lời giải tham khảo a) Theo hệ thức trung điểm ta có
,
OA OBuuur uuur+ =2OI OCuur uuur+ODuuur=2OJuur
Mặt khác O là trung điểm IJ nên OIuur+OJuur= 0r
A
B
C
M
Trang 4BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI 1 SỐ
MO
1
4(MA + MB + MC + MD
) = MO
, đpcm
Suy ra
OAuuur+OBuuur+OCuuur+ODuuur=2 OIuur +OJuur =0r đpcm
b)Theo câu a ta có
0
OAuuur+OBuuur+OCuuur+ODuuur = r do đó với mọi điểm
M thì
0
0
uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
3.2: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng
tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì
3GG' AA' BB' CC'
Lời giải tham khảo
VP AA' BB' CC'
AG GG' G' A' BG GG' G' B' CG GG' G' C'
3GG' AG BG CG G' A' G' B' G' C'
3GG' ( GA GB GC
) G' A' G' B' G' C' 3GG'
3.3: Cho ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm của BC, CA, AB Chứng minh rằng:
AM
+ BN + CP = 0
Lời giải tham khảo
Sử dụng quy tắc trung điểm ta biến đổi:
VT =
1
2 (AB AC)
+
1
2 (BA BC)
+
1
2 (CA CB)
=
1
2 (AB BA AC CA BC CB)
, đpcm
3.5: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G
và tâm đường tròn ngoại tiếp O Chứng minh rằng
a)HAuuur+HBuuur+HCuuur = 2HOuuur
b)
OAuuur+OBuuur+OCuuur =OHuuur
3.4: Cho hai tam giác ABC và A B C1 1 1 có cùng
trọng tâm G Gọi G G G1, 2, 3 lần lượt là trọng tâm tam giác BCA ABC ACB1, 1, 1 Chứng minh rằng
GGuuuur uuuur uuuur1+GG2+GG3=0r
Lời giải tham khảo
Vì G1 là trọng tâm tam giác BCA1 nên
GG1=GB GC+ +GA1
3uuuur uuur uuur uuur Tương tự G G2, 3 lần lượt là trọng tâm tam giác ,
ABC ACB1 1 suy ra
3uuuur uuur uuur uuuur và
GG3=GA GC+ +GB1
3uuuur uuur uuur uuur Công theo vế với vế các đẳng thức trên ta có
H O
A
D
Trang 5BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI 1 SỐ
c) GHuuur+2GOuuur=0r
Lời giải tham khảo
a) Dễ thấy HAuuur+HBuuur+HCuuur = 2HOuuur nếu tam giác
ABC vuông
Nếu tam giácABC không vuông gọi D là điểm đối
xứng của A qua O khi đó
/ /
BH DC (vì cùng vuông góc với AC)
/ /
BD CH(vì cùng vuông góc với AB)
Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó theo quy tắc
hình bình hành thì HBuuur+HCuuur=HDuuur (1)
Mặt khác vì O là trung điểm của AD nên
HAuuur+HDuuur= 2HOuuur (2)
Từ (1) và (2) suy ra HAuuur+HBuuur+HCuuur = 2HOuuur
b) Theo câu a) ta có
2
2
HO
=
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur
OA OB OC OH
Û uuur+uuur+uuur = uuur đpcm
c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
OAuuur+OBuuur+OCuuur = 3OGuuur
Mặt khác theo câu b)
ta có OAuuur+OBuuur+OCuuur =OHuuur
Suy ra
uuur uuur uuur uuur uuur r
uuur uuur r
GGuuuur uuuur uuuur1+GG2+GG3=2GA GB GCuuur uuur uuur+ + + GAuuur1+GBuuur1+GCuuuur1 Mặt khác hai tam giác ABC và A B C1 1 1 có cùng
trọng tâm G nên
GA GB GCuuur+uuur+uuur= 0r và GA1+GB1+GC1
uuur uuur uuuur
Suy ra GGuuuur uuuur uuuur1+GG2+GG3=0r
Dạng 3 : Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Ví dụ 1: Cho ABC Gọi M là trung điểm của AB
và N là một điểm trên cạnh AC, sao cho NC = 2NA.
Gọi K là trung điểm của MN.
1.1: Cho ABC có trọng tâm G Cho các điểm D, E,
F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và
I là giao điểm của AD và EF Đặt uAE; vAF
Trang 6
BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI 1 SỐ
a Chứng minh rằng AK =
1
4 AB
+
1
6 AC
b Gọi D là trung điểm của BC Chứng minh rằng KD
=
1
4 AB
+
1
3 AC
Lời giải tham khảo
a Từ giả thiết ta nhận thấy:
AB 2AM
AB = 2AM ;
AC 3AN
AC
= 3AN
Vì K là trung điểm MN nên:
AK
=
1
2(AM
+ AN ) =
1
2(
1
2 AB
+
1
3 AC ) =
1
4 AB +
1
6 AC , đpcm
b)Vì D là trung điểm BC nên: AD =
1
2(AB + AC
)
từ đó, suy ra:
KD
= AD
- AK
=
1
2(AB
+ AC
) - (
1
4 AB
+
1
6 AC
)
=
1
4 AB +
1
3 AC , đpcm
Hãy phân tích các vectơ AI , AG,DE,DC
theo hai vectơ u,v
Lời giải tham khảo
C
A
Ta có
AI AD ( AE AF ) u v )
DE FA AF 0.u ( 1)v
1.2: Cho tam giác ABC Điểm M nằm trên cạnh BC
sao cho MB= 2MC Hãy phân tích vectơ AM
theo hai vectơ uAB, vAC
Lời giải tham khảo
Ta có
2
AM AB BM AB BC
3
mà BC AC AB
AM AB ( AC AB ) u v
1.3: Cho tam giác ABC , trên cạnh BC lấy M sao
cho BM =3CM , trên đoạn AM lấy N sao cho
2AN =5MN G là trọng tâm tam giác ABC
a) Phân tích các vectơ AM BNuuuur uuur, qua các véc tơ ABuuur
và AC
uuur
b) Phân tích các vectơ GC MNuuur uuuur, qua các véc tơ GAuuur
và GB
uuur
Lời giải tham khảo
a) Theo giả thiết ta có: BM =3BC
4
uuur uuur
và
7 uuur uuuur
A
N
Trang 7BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI 1 SỐ
4
uuuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur
7 uuur uuur uuur uuur uuuur
b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
GAuuur+GBuuur+GCuuur = 0r suy ra GCuuur = -GA GBuuur uuur
-Ta có MN = - AM = - æçç AB+ ACö÷÷÷
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
1.4: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N lần lượt
là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho
,
AB =3AM CD =2CN và G là trọng tâm tam giác
uuur uuuur uuur
qua các
véc tơ AB
uuur
và AC
uuur
Lời giải tham khảo
Ta có: AN =AC +CN =AC - 1AB
2 uuur uuur uuur uuur uuur
5
6
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
Vì G là trọng tâm tam giácMNB nên
3
ç
uuur uuuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
N
A
B G
M
Trang 8BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI 1 SỐ
Suy ra AG = 5AB+1AC
uuur uuur uuur
Dạng 4: Tính độ dài véctơ tổng, hiệu, tích với 1 số
Phương pháp giải.
- Dựng và tính độ dài vectơ chứa tích một vectơ với một số.
- Sử dụng định nghĩa tích của một vectơ với một số và các quy tắc về phép toán vectơ để dựng
vectơ chứa tích một vectơ với một số, kết hợp với các định lí pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông
để tính độ dài của chúng
Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a
điểm M là trung điểm BC Dựng các
vectơ sau và tính độ dài của chúng
a)
1
b)
1
2
Lời giải tham khảo
a) Do
1
suy ra theo quy tắc ba điểm ta có
1
Vậy
1
2CB MA CA a
b) Vì
1
nên theo quy tắc trừ ta
có
1
2
Theo định lí Pitago ta có
1.1: Cho tam giác đều ABC cạnh a điểm M là trung điểm BC Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng.
a)
1
2
2AB AC
b)
4MA 2MB
Lời giải tham khảo
a) Gọi N là trung điểm AB , Q là điểm đối xứng của A qua
C và P là đỉnh của hình bình hành AQPN Khi đó ta có
1
, 2
suy ra theo quy tắc hình bình hành ta có
1
2
Gọi L là hình chiếu của A lên QN
Vì MN/ /AC ANL MNB CAB 600
Xét tam giác vuông ANL ta có
ANL AL AN ANL
AN
AN
Ta lại có
9 2
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác ALP ta có
AP AL PL AP
Vậy
2
a
b) Gọi K là điểm nằm trên đoạn AM sao cho
3 4
,
H thuộc tia MB sao cho MH 2,5MB
N
M
A
C
B
Q
P
H L
K
Trang 9BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI 1 SỐ
2
a a
MA AB BM a
Vậy
a
Khi đó
,
Do đó
Ta có
MK AM
,
Áp dụng định lí Pitago cho tam tam giác vuông KMH ta có
Vậy
2,5
a
1.2: Cho OAB vuông cân với OA = OB = a Hãy dựng
các vectơ sau đây và tính độ dài của chúng:
a 3 + 4
b + 2.5
Lời giải tham khảo
a Để dựng vectơ 3 + 4 ta lần lượt thực hiện:
+)Trên tia OA lấy điểm A1 sao cho OA1 = 3OA
+)Trên tia OB lấy điểm B1 sao cho OB1 = 4OB
+)Dựng hình chữ nhật OA1C1B1
Từ đó, ta có:
3 + 4 = + =
3 + 4 = = OC1 = = 5a
b Thực hiện tương tự câu c), ta dựng được vectơ
+ 2.5 và
Chú ý: Với các em học sinh chưa nắm vững
kiến thức về tổng của hai vectơ thì thường kết luận ngay rằng:
AB
+ AC = AB
+ AC
= a + a = 2a
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a
a) Chứng minh rằng ur =4MAuuur- 3MBuuur+MCuuur- 2MDuuur không phụ
thuộc vào vị trí điểm M
b) Tính độ dài vectơ ur
Lời giải tham khảo
Trang
-9-O
A'
A
O
OA
OB
21
OA
OB
1
OA
1
OB OC 1 OA
21
21
a 541 4
Trang 10BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI 1 SỐ
a) Gọi O là tâm hình vuông.
Theo quy tắc ba điểm ta có
r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
Mà ODuuur= -OB OCuuur uuur, = -OAuuur nên ur =3OA OBuuur uuur
-Suy ra ur không phụ thuộc vào vị trí điểm M
b) Lấy điểm 'A trên tia OA sao cho OA' 3 OA khi đó
'
OAuuur= 3OAuuur do đó u OAr =uuur'- OBuuur=BAuuur'
Mặt khác BA'= OB2+OA'2= OB2+9OA2 =a 5
Suy ra ur =a 5
3 Bài tập luyện tập.
Bài 1: Cho hình vuông ABCD cạnh a
a) Chứng minh rằng ur =MAuuur- 2MBuuur+3MCuuur- 2MDuuur không phụ thuộc vào vị trí điểm M
b) Tính độ dài vectơ ur
Bài 2: Cho tam giác ABC Lấy các điểm M,N,P sao cho MBuuur = 3MCuuur, NAuuur+3NCuuur=0r, PAuuur+PBuuur= 0r a) Biểu diễn các vectơ AP AN AMuuur uuur uuuur, , theo các vectơ AB vàAC
b) Biểu diễn các vectơMP
,MN
theo các vectơ AB
vàAC
Có nhận xét gì về ba điểm M, N, P thẳng hàng?
Bài 3: Cho tam giác ABC.Gọi I, J là hai điểm xác định bởi IAuur=2IB J Auur uur,3 +2J Cuur=0r
a)Tính IJ
theo AB
và AC
b)Đường thẳng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC
Bài 4 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho CI2 =3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho J B5 =2J C .
a) Hãy phân tích AI AJuur uuur, theo ABuuur
và AC
uuur b) Hãy phân tích AGuuur theo AIuur
và AJ
uuur
Bài 5: Cho hai vectơ a br r, không cùng phương Tìm x sao cho
a) u ar = +r (2x- 1)br và vr =xa br+r cùng phương
b) ur =3a xbr+ r và u= -(1 x a) - 2b
3
cùng hướng
DẠNG 5: Xác định tính chất của hình khi biết một đẳng thức vectơ
1 Phương pháp giải.
O A
B A'
Hình 1.15