0 d3 bài tập tự luận phương trình bậc nhấtbậc hai một ẩn 1

Phương trình một ẩn f x g x 1 Nên nêu định nghĩa TXĐ của phương trình là tập tất cả số thực x sao cho 2 biểu thức fx và gx có nghĩa..  Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

1 Phương trình một ẩn ( )f x g x( ) (1)

Nên nêu định nghĩa TXĐ của phương trình là tập tất cả số thực x sao cho 2 biểu thức f(x) và g(x) có nghĩa

Cho phương trình ( )f x g x( )có TXĐ D

 x0 là một nghiệm của (1) nếu x D và "f x( )0 g x( )0 )" là một mệnh đề đúng.

 Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó

 Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình

Chú ý:

+ Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau:

– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x1( ) thì cần điều kiện ( ) 0 P x 

– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x ( ) thì cần điều kiện ( ) 0 P x 

+ Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số yf x( )

và y g x ( ).

2 Phương trình tương đương, phương trình hệ quả

Cho hai phương trình f x1( )g x1( ) (1) có tập nghiệm S 1

Và f x2( )g x2( )(2) có tập nghiệm S2

 Phương trình (1) và (2) tương đương với nhau kí hiệu (1)  (2) khi và chỉ khi S1 = S2

 Phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) kí hiệu (1)  (2) khi và chỉ khi S1S2

3 Phép biến đổi tương đương

Phép biến đổi tương đương là phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình Phép biến đổi tương đương biến một phương trình thành phương trình tương đương với nó

 Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương trình tương đương Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau:

– Cộng hai vế của phương trình với cùng một hàm số xác định trên D

– Nhân hai vế của phương trình với một hàm số xác định trên Dvà có giá trị khác 0 với mọi x D

 Khi bình phương hai vế của một phương trình,ta được một phương trình hệ quả của phương trình

đã cho Khi đó ta phải kiểm tra thử lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.

Nếu hai vế của một phương trình luôn cùng dấu thì khi bình phương hai vế của nó ta được phương trình tương đương

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bài 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

 Lời giải tham khảo

ĐKXĐ của phương trình là: x 4 0  x4

1.1: 3x 2 15 2

Giải:

ĐKXĐ của phương trình là: x  3 0 x3

1.2: x1(x2 x 2) 0

Lời giải

ĐKXĐ của phương trình là: x  1 0 x1

1.3: 1 1 x  x 2 Giải:

ĐKXĐ của phương trình là:

x

Vậy không tồn tại giá trị nào của x để phương trình xác định

x

x

x  x  

1.5: x 2  x 1 Giải:

ĐKXĐ của phương trình là: x 2 0  x2

ĐKXĐ của phương trình là:  x R

Dạng 2: Giải và biện luận phương trình : ax b 0

ax b 0 (1)

a 0 (1) có nghiệm duy nhất x b

a



a 0 b 0 (1) vô nghiệm

0

b  (1) nghiệm đúng với mọi x

Chú ý: Khi a 0 thì (1) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Bài 2: Giải và biện luận phương trình sau theo tham

số m: (m22)x 2m x  3

 Lời giải tham khảo

Ta có:

(m 2)x 2m x 3 (m 1)x 2m 3

Ta thấy m2   1 0, m R nên phương trình đã cho

có một nghiệm duy nhất là:  

 2

1

m x

2.1: (m2 m x) 2xm21 Giải: Ta có

(m  m x) 2xm 1 (m  m2)x m 1

Do m2 m   2 0, m R nên phương trình có nghiệm duy nhất có dạng là:

2 2

1 2

m x





 

Bài 3: Giải và biện luận phương trình sau theo tham

số m: ( m x m ) x m 2

Giải: Ta có

2

m x m  x m  m x m m

(m 1)x (m 1)(m 2)

Nếu m 1: Phương trình có có dạng: 0.x 0 nên

phương trình có vô số nghiệm

Nếu m 1: Phương trình có 1 nghiệm duy nhất có

dạng

( 2)

x m

3.1: 2

(m1) x(2m5)x m 2 Giải: Ta có:

(m1) x(2m5)x m  2 (m  4)x m 2 (m 2)(m 2)x m 2

Nếu m 2: Phương trình có dạng: 0.x 0 nên phương trình có vô số nghiệm

Nếu m 2: Phương trình có dạng: 0.x 4 nên phương trình vô nghiệm

Nếu m 2 và m 2: thì phương trình có nghiệm duy nhất: x 1

2

m





9 3x

mx  m

Giải:

mx  m  m x m 

Nếu m 3 thì phương trình (1) có vô số nghiệm

Nếu m 3thì phương trình (1) có một nghiệm duy

nhất: x m 3

3.3: (m x1) 2 x m Giải:

m x  x m  m x m

Nếu m 2 thì phương trình (1) vô nghiệm

Nếu m 2 thì phương trình (1) có một nghiệm duy nhất: 2

2

m x m





3.4: 2

m x m x m 

Giải:

m x m x m 

(m 3m 2)x m m

(m 1)(m 2)x m m( 1)

Nếu m 1 thì phương trình đã cho có vô số nghiệm

Nếu m 2thì phương trình đã cho vô nghiệm

3.5: m x m(  3)m x(  2) 6 Giải:

Nếu      



3

m

Thì phương trình có vô số nghiệm

Nếu m1,m2 thì phương trình có một nghiệm duy

nhất là:

2

m x

m





Nếu      



3

m

Thì phương trình vô nghiệm

Dạng 3: Tìm điều kiện của m để phương trình thõa mãn đk cho trước

Bài 4: Tìm giá trị của tham số để phương trình:

2

(m 2m 3)x m 1

a) Có nghiệm duy nhất

b) Có vô số nghiệm

c) Vô nghiệm

Lời giải tham khảo

2

(m 2m 3)x m 1 (m1)(m3)x m 1

a) Để phương trình có nghiệm duy nhất

1 0

3

m a

m





   





b) Để phương trình có vô số nghiệm

0 ( 1)( 3) 0

1

m

c) Để phương trình vô nghiệm

0 ( 1)( 3) 0

3

m

4.1: (m1)x (3 3 ) m x4m 3 0 Giải:

(m1)x (3 3 ) m x4m 3 0 4(m 1)x 6 4m

a) Để phương trình có nghiệm duy nhất

b) Để phương trình vô số nghiệm

  Không tồn tại giá trị

m thỏa mãn yêu cầu bài toán

c) Để phương trình vô nghiệm

1

m

4.2: ( x 2)(m  x1) ( x m m x2)

Giải:

( x 2)(m  x1) ( x m m x)  x m(  m 2) 2

a) Để phương trình có nghiệm duy nhất

1

m

m







 b) Do b  2 0 Nên không tồn tại m để phương

trình có vô số nghiệm

c)Để phương trình vô nghiệm

1 0

2

m

a

m





    

4.3: (m2 m x) 2xm21 Giải:

(m  m x) 2xm 1 (m  m 2)x m 1 (m 1)(m 2)x (m 1)(m 1)

a) Để phương trình có nghiệm duy nhất b) Để phương trình có vô số nghiệm

0 ( 2)( 1) 0

1

0 ( 1)( 1) 0

m

c) Để phương trình vô nghiệm

0 ( 2)( 1) 0

2

0 ( 1)( 1) 0

m

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: 2

ax bx c 0(a0)

Cách giải :

2

ax bx c 0(a0) (1)

b2 4ac

0

  (1) có 2 nghiệm phân biệt x b

a



 



0

  (1) có nghiệm kép x b

a



0

  (1) vô nghiệm

Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = c

a . – Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = c

a

 .

– Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với b b

2

 

2 Định lí Vi–et

Hai số x x1 2, là các nghiệm của phương trình bậc hai ax bx c2   khi và chỉ khi chúng thoả mãn0 các hệ thức S x x b

a

   và P x x c

a

1 2

Dạng 1: Giải và biện luận phương trình

Để giải và biện luận phương trình: ax2bx  ta cần xét các trường hợp có thể xảy ra của hệ số a: c 0

- Nếu a 0 thì trở về giải và biện luận phương trình bx c 0

- Nếu a 0 thì mới xét các trường hợp của  như trên

Bài 1: Giải và biện luận phương trình sau:

x   m 

Lời giải tham khảo

Tacó:  29 12m

12

m     ,phương trình đã cho vô

nghiệm

12

m     Phương trình có 1 nghiệm

(kép) 5

2

x 

12

m     Phương trình có hai nghiệm

phân biệt: 5 29 12

2

m

1.1: 2x212x 15 m 0 Giải:

36 30m



5

m      pt vô nghiệm

5

m     pt có 1 nghiệm(kép)

3

x 

5

m      pt có hai nghiệm phân biệt:

6 36 30 2

m

x  

1.2: (m1)x2 2(m1)x m  2 0

Giải:

Nếu m 1 pt có nghiệm: x 3

4

 Nếu m 1, xét

2

(m 1) (m 1)(m 2) m 3



Nếu m    3 0 Phương trình vô nghiệm

Nếu m    3 0 phương trình có nghiệm kép

1

x

2



Nếu m3,m   1 0 phương trình có hai

nghiệm phân biệt: x ( 1) 3

1

m

  





Bài 2: Cho biết một nghiệm của phương trình:

2

x  mx m  có một nghiệm là: 1 0 3

x 2



2.1: 2x2 3m x m2   có một nghiệm 0 x 1.Tìm nghiệm còn lại?

Giải:

Tìm nghiệm còn lại?

Lời giải tham khảo

Vì phương trình có nghiệm x 3

2

 nên:

1 0

m

Nghiệm còn lại của phương trình là: x 5

Vì phương trình có nghiệm x 1nên

2

1

3

m

m







   

 

 Với m 1 nghiệm còn lại là: x 1

2



Với 2

3

m  nghiệm còn lại là: x 1

3



(m1)x  2(m1)x m  2 0 có một

nghiệm x 2

Giải: TH1: a 0 m1

Vì phương trình có một nghiệm x 2 nên

Khi đó nghiệm còn lại của phương trình là:

4

x

5



TH2: a 0  m1 ta có phương trình:

3 4x 3 0

4

x

    phương trình có nghiệm duy

nhất

Kết luận phương trình có nghiệm x 2 thì nghiệm

còn lại là: x 4

5



x  2(m1)x m  3m0có nghiệm x 0

Giải:

x  2(m1)x m  3m0cónghiệm x 0nên

3

m

m





    

 Với m 0 Phương trình có nghiệm còn lại là:

x2

Với m 3nghiệm còn lại của phương trình là:

x 4

Dạng 2:Dấu của nghiệm số phương trình : 2

ax bx c 0(a0)(1) +) (1) có hai nghiệm trái dấu  P < 0

+) (1) có hai nghiệm dương  P

S

0 0 0



 







 



+) (1) có hai nghiệm cùng dấu  P 00

+) (1) có hai nghiệm âm  P

S

0 0 0



 







 



Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì  0

Bài 3: Xác định m để phương trình

2

x 5x 3 m1 0

a) Có hai nghiệm trái dấu

b) Có hai nghiệm âm phân biệt

c) Có hai nghiệm dương phân biệt

Lời giải tham khảo

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu

1

3

b) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

3.1: 2

m  m x m   Giải:

a) mx2 2(m3)x m  1 0có hai nghiệm trái dấu

b) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

29

12

3

m

m

m





 





 c) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

29

m S







 







     



Do đó không tồn tại m thỏa mãn bài toán

9

9 5

5

m

m m

m

m m

 



 



              







   

 c) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

9 9

5 5

0

0 3

3

0 0

1

m m

m m

S

m m

m



 

 







          









Không tồn tại m thõa mãn bài toán

3.2: x2 2(m1)x m 2 0

Giải:

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu

2

     không tồn tại giá trị của m

thỏa mãn bài toán

b) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

2

2





         



Vậy với 0m1 thỏa mãn phương trình

c)Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

2

2





           



Vậy với m 1 thỏa mãn bài toán

3.3: x2 4x+m  1 0 Giải:

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu

Vậy với m  1 thỏa mãn bài toán

b) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

0 4 ( 1) 0

m S



     

Không tồn tại m thỏa mãn bài toán.

c) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 

0 4 ( 1) 0

1

m

m

m



 



 



Dạng 3: Áp dụng định lí viet

1 Biểu thức đối xứng của các nghiệm số:

Ta sử dụng công thức S x1 x2 b,P x x1 2 c



     để biểu diễn các biểu thức đối xứng của các nghiệm

1 2

x , x theo , S P

Ví dụ:

x x (x x )  2x x S  2P

x31x32 (x1x )2 3 3(x1x2)x1 2x S3 3SP

2 Lập phương trình bậc hai

Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm u v, thì phương trình đó có dạng:

2

x  SxP Với 0 S u v P uv  , 

Bài 4: Gọi x , x là nghiệm phương trình:1 2 4.1: 2x2 3x 7 0 

2 5

x  x Không giải phương trình hãy tính

a) 2 2

x x

b) x13x32

c) 4 4

x x

d) x1 x2

e) (2x1x2)(x12x )2

 Lời giải tham khảo

x x (x x )  2x x 11

b) x13x32 (x1x2)3 3x x x1 2( 1x2) 16

x x [(x x )  2x x ]  2(x x ) 71

x  x  x x  x x 

(2x x )(x 2x ) 2( x x ) 5 x x

2

2( +x )x xx 3

Giải:

a) 12 22 1 2 2 1 2

23

4

153

8

c) 14 42 1 2 2 1 2 2 1 2 2

137

16

65

2

x  x  x x  x x 

(2x x )(x 2x ) 2( x x ) 5 x x

2

2( +x )x xx 6

4.2: 3x210x 3 0 

Giải:

a) 12 22 1 2 2 1 2

82

9

730

27

c) 14 42 1 2 2 1 2 2 1 2 2

6562

81

8

3

x  x  x x  x x 

e) (2x1x2)(x12x ) 2(2  x12x22) 5 x x1 2

2

209 2( +x ) x

9

4.3: x 2 2x 15 0  Giải:

a) x12x22 (x1x2)2 2x x1 2 34

x x (x x )  3x x x( x ) 98 c) x14x42 [(x1x2)2 2x x1 2]2 2(x x1 2)2 706

1 2 ( 1 2) 4 1 2 8

x  x  x x  x x  e) (2x1x2)(x12x ) 2(2  x12x22) 5 x x1 2

2

2( +x )x xx 7

Bài 5: Cho phương trình:

2

x  2(2m1)x 3 4m0 (*)

a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x , x 1 2

b) Tìm hệ thức giữa x , x độc lập đối với m.1 2

c) Tính theo m, biểu thức 3 3

A=x x d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm

kia

 Lời giải tham khảo

a) Phương trình có hai nghiệm x , x 1 2

0 (2 1) (3 4 ) 0 4 2 0

1

2

1

2

m

m



















b) ta có với điều kiện ở câu a

Thì: 1 2

1 2

2(2 1)

3 4





 



5.1: x2 2(m1)x m 2 3m0 (*)

Giải:

a) Phương trình có hai nghiệm x , x 1 2

0 (m 1) (m 3 ) 0m m 1 0 m 1



b) ta có với điều kiện ở câu a

Thì: 1 2 2

1 2

2( 1) 3





 



Hệ thức độc lập của các nghiệm với tham số

2

(x  x ) 2x x 0

A=x x (x x )  3x x (x x )

2m 48m 6m 8

d) Ta có:

Hệ thức độc lập của các nghiệm với tham số

2(x x ) x x 1

c) A=x13x32 (x1x )2 3 3x x (x1 2 1x )2

64m 48m 12m 10

d)

2

2

1 2

1 2

2 1 2 2(2 1)

2 1

2

m x

m













2

2 112 12

2 112 12

m

m











 Đối chiếu điều kiện ở câu a ta thấy cả hai giá trị m

đều thỏa mãn bài toán

2

1 2

1 2

1 2

1 2 2( 1)

1

2

m x

m













6 3 0

3 12

x

x

  

 



Từ điều kiện ở câu a ta thấy cả hai giá trị của m đều thỏa mãn