0 2b bài giảng tự luận hàm số bậc hai(in hoc sinh)

Tính đơn điệu của hàm số Phương pháp giải: Lập bảng biến thiên của hàm số từ đó dựa vào bảng biến thiên để đưa ra kết luận về chiều biếu thiên... Xác định đỉnh và trục đối xứng của đồ t

b a

-4a

D

D

-+¥

- ¥

y x

2

b a

-Bài 3 HÀM SỐ BẬC HAI

2

y=ax +bx c+

I Định nghĩa

Hàm số bậc hai là hàm số cho bằng biểu thức có dạng y=ax2+bx c+ trong đó a b c, , là các hằng số và 0

a 

II Các dạng bài tập

Dạng toán 1 Tính đơn điệu của hàm số

Phương pháp giải:

Lập bảng biến thiên của hàm số từ đó dựa vào bảng biến thiên để đưa ra kết luận về chiều biếu thiên

Bảng biến thiên của hàm số bậc hai:

0

a >

bề lõm parabol hướng lên trên a <0

Bề lõm parabol hướng xuống dưới

Từ đó, ta có định lí dưới đây

Định lí

· Nếu a > thì hàm số 0 y=ax2+bx c+ nghịch biến trên khoảng ; 2 ;

b a

ç- ¥ - ÷

çè ø đồng biến trên khoảng

2

b

a

ç- +¥ ÷

· Nếu a < thì hàm số 0 y=ax2+bx c+ đồng biến trên khoảng ; 2 ;

b a

ç- ¥ - ÷

çè ø nghịch biến trên khoảng

2

b

a

ç- +¥ ÷

Câu 1 Xét chiều biến thiên của hàm số Hàm số y=2x2+4x- 1

Lời giải tham khảo

Bảng biến thiên của hàm số đã cho như sau:

Lưu ý Phân biệt cho HS để tránh HS kết luận SAI như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng (- 3;+¥ )

và nghịch biến trên (- ¥ -; 3)

Từ đó ta có thể đưa ra kết luận:

Hàm số đồng biến trên khoảng (- 1;+¥ )

và nghịch biến trên (- ¥ -; 1)

1.1 y= - x2+4x+1

2

Lời giải

1.3

2

Lời giải

1.4 y=x2- x+2

Lời giải

Dạng toán 2 Xác định đỉnh và trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai.

Phương pháp giải:

Parabol y=ax2+bx c a+ ( ¹ 0)

1) Tọa độ của đỉnh

;

b I

æ D ÷ö

ç- - ÷

çè øhoặc 2 ; 2

æ æ ö÷ö

ç- ç- ÷

ç çç ÷÷

2) Phương trình trục đối xứng

2

b x

a

=

-Câu 2 Xác định tọa độ đỉnh và phương trình trục đối xứng của parabol

( )P :y= - 2x2+5x+3

?

Lời giải tham khảo

Parabol có đỉnh

5 49;

4 8

I æççç ö÷÷÷

÷

çè ø và có phương trình trục đối xứng là x = 54

Lưu ý Khi xác định tung độ đỉnh của Parabol ta nên dùng 2

b f a

æ ö÷

ç- ÷

çè øvà

MTCT để đơn giản và tránh sai sót trong tính toán

2.1 ( )P :y=3x2- 2x+1

.2 ( )P :y=2x2+4x+5

Lời giải

2 .3

( )P :y= - 2x2+4x+1

Lời giải

2.4 ( )P :y= - 3x2+3x+2

Lời giải

Dạng toán 3 Xác định hệ số của hàm số bậc hai:

Phương pháp giải:

- Một điểm thuộc đồ thị hàm số nếu như tọa độ điểm đó thỏa mãn phương trình của hàm số.

- Đồ thị hàm số y=ax2+bx c+ đi qua A m n( ; )

khi và chỉ khi n =am2+bm c+

- Đồ thị hàm số y=ax2+bx c + cắt trục tung tại điểm có tung độ n khi c n=

- Đồ thị hàm số y=ax2+bx c + cắt trục hoành tại điểm có hoàng độ m khi am2+bm c+ = 0

- Đồ thị hàm số y=ax2+bx c+ có đỉnh I p q( );

khi và chỉ khi

2 2a

b p

ìïï =-ïïí

ïï + + = ïïî

- Đồ thị hàm số y=ax2+bx c + có trục đối xứng x a= khi và chỉ khi 2

b a

a =

Câu 3 Xác định phương trình của Parabol (P): y=x2+bx c+ trong

các trường hợp (P) đi qua điểm A(1; 0)

và B -( 2; - 6)

Lời giải tham khảo

Vì (P) đi qua A, B nên

ï- = - + ï - = ï =

Vậy (P):y=x2+3 – 4x

Lưu ý

Để xác định hàm số bậc hai ta là như sau

Gọi hàm số cần tìm là

y=ax +bx c a+ ¹

Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập

và giải hệ phương trình với ẩn

, ,

a b c

, từ đó suy ra hàm số cần tìm

3.1 Parabol (P): y=x2+bx c+ biết (P) có đỉnh

(1; 4)

I

Lời giải

3 2 Parabol (P): y=x2+bx c+ (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và có đỉnh S -( 2; 1- )

Lời giải

3 .3 (P):

y=ax +bx+ qua A(1 ; 0) và trục đối

xứng

3

2

x =

Lời giải

3.4 Tìm (P): y=ax2+3x c+ , biết rằng (P) có đỉnh

1; 11

2 4

I æççç- - ö÷÷÷

÷

Lời giải

Câu 4 Xác định parabol ( )P

: y=ax2+bx c+ , a ¹ 0 biết( )P

đi qua A(2;3) có đỉnh I(1;2)

Lời giải tham khảo

Vì A Î ( )P

nên 3=4a+2b c+ (1)

Lưu ý Khi có giả thiết tọa độ của đỉnh

( 0; 0)

I x y

ta thường lập hệ 2 phương trình

Mặt khác ( )P

có đỉnh I(1;2) nên

1 2 2

b a

a b c

ìïï- = ïïí

ïï = + + ïïî (2)

Từ (1), (2) ta có

ï + = Û ï =

Vậy ( )P

cần tìm là y=x2- 2x+ 3

0

2

2

b x

a

ìïï =-ïïí

ïïî

4.1 Hàm số y=ax2+bx c+ có giá trị nhỏ nhất

bằng

3

4 khi

1 2

x =

và nhận giá trị bằng 1 khix = 1

Lời giải

4.2 Xác định parabol ( )P :y=ax2+bx c+ ,

biết rằng ( )P

đi qua ba điểm A( )1;1 , B - -( 1; 3)

và ( )0;0

O

Lời giải

4.3 Xác định parabol ( )P :y=ax2+bx c+ ,

biết rằng ( )P

cắt trục Ox tại hai điểm có hoành độ lần

lượt là 1- và 2, cắt trục Oy tại điểm có tung độ

bằng 2-

Lời giải

4.4 Xác định parabol ( )P :y=ax2+bx c+ ,

biết rằng ( )P

có đỉnh I (2; 1- )

và cắt trục tung tại điểm

có tung độ bằng 3-

Lời giải

Dạng toán 5 Đồ thị hàm số bậc hai

Phương pháp giải:

Để vẽ đường parabol y=ax2+bx c+ ta thực hiện các bước như sau:

– Xác định toạ độ đỉnh ;

b I

– Xác định phương trình trục đối xứng 2

b x

a

=

và hướng bề lõm của parabol

– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng)

– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.

Câu 5 Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y=x2- 6x+8

Lời giải tham khảo

Bảng biến thiên:

Lưu ý

Suy ra đồ thị hàm số y=x2+3x+ có đỉnh là 2 I (3; 1- )

, đi qua các điểm A( ) (2;0 ,B - 3;2)

Nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên3

Ta có đồ thị hàm số:

5.1 y= - 2x2+4x

Lời giải

Dạng toán 6 Đồ thị hàm số bậc hai có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp giải:

Căn cứ theo việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối và các tính chất của hàm số để vẽ đồ thị hàm số chưa dấu giá trị tuyệt đối

Câu 6 Vẽ đồ thị hàm số

y= x - x

-Lời giải tham khảo

Vẽ parabol ( )P

của đồ thị hàm số y=x2- x- 2 có đỉnh

1; 5

2 4

I æççç - ö÷÷÷÷

çè ø, trục đối xứng

1 2

x =

, đi qua các điểm ( 1;0 ,) ( ) (2;0 , 0; 2 ,) (1; 2)

- Khi đó đồ thị hàm số

y= x - x

gồm + Phần parabol ( )P

nằm phía trên trục hoành và phần đối xứng của ( )P

nằm dưới trục hoành qua trục hoành

Lưu ý Nên phân tích kỹ hơn cách vẽ

đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối bản chất là việc thực hiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối và dựa trên một số tính chất đặc biệt của hàm số (hàm số chẵn,

hàm số lẻ)

6.1

Lời giải

6.3

y= - x - x

-Lời giải

6.4 y=x x- 2

Dạng toán 7 Bài toán về sự tương giao

Phương pháp giải:

Sử dụng phương tình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

Câu 7 Tọa độ giao điểm của ( )P :y=x2- 4x

với đường thẳng

d y= - -x

Lời giải tham khảo

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )P

và d là:

x - x= - -x

é = ¾¾® = -ê

Û - + = Û ê = ¾¾® =

-ê Vậy tọa độ giao điểm là M(1; 3 ,- ) (N 2; 4 - )

Lưu ý

7.1 Cho parabol ( )P :y=x2- 4x+3

và đường thẳng d y: =mx+3 Tìm tất cả các giá trị thực của 7.2 Cho parabol

( )P :y=x2- 4x+3

và đường thẳng d y: =mx+3 Tìm giá trị thực của tham số

y - ¥

1

m để d cắt ( )P

tại hai điểm phân biệt A B,

sao

cho diện tích tam giác OAB bằng

9 2

Lời giải

m để d cắt ( )P

tại hai điểm phân biệt A B,

có hoành độ x x1, 2

thỏa mãn x13+x23=8.

Lời giải

7.3 Cho hàm số f x( ) =ax2+bx c+

có bảng biến thiên như sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương

trình f x( ) - 1=m

có đúng hai nghiệm

Lời giải

7.4 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

phương trình x2- 5x+ +7 2m= có nghiệm0 thuộc đoạn é ùê ú1;5

ë û

Lời giải

7.5 Cho hàm số f x( ) =ax2+bx c+

đồ thị như hình bên Hỏi với những giá trị nào của tham số thực

m thì phương trình f x( ) =m

có đúng 4 nghiệm phân biệt

x

y

 

Lời giải

7.6 Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương

trình x4- 2x2+ -3 m=0 1( )

có 4 nghiệm phân biệt

Lời giải

Dạng toán 8 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc hai

Câu 8 Tìm giá trị nhỏ nhất ymin của hàm số y=x2- 4x+ 5

Lời giải tham khảo

Lưu ý

Từ BBT ta tìm được giá trị nhỏ nhất ymin =1 khi x = 2

8.1 Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m

của hàm số y=f x( ) = - x2- 4x+3

trên đoạn 0;4

é ù

ê ú

Lời giải

8.2 Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m

của hàm số y=f x( ) =x2- 3x

trên đoạn é ùê ú0;2

Lời giải

, m là tham số.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 và

P = x +x - x x giá trị lớn nhất.

Lời giải

Bổ sung thêm dạng tìm m để hàm số y ( tham số m)

đạt GTLN hoặc GTNN bằng y0 trên đoạn cho trước.

8.4.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

4 4 2 1

y=x - x - trên 1;2éë-ê ùúû

Lời giải

Dạng 9: Bài toán thực tế

Câu 9 Bạn An dự Hội chợ hàng Việt nam chất lượng cao chào mừng ngày Phụ

nữ Việt nam 20/10 Tại đây có một cổng chào bằng cao su được bơm khí, có

dạng hình parabol lật úp An đứng ở vị trí A dưới cổng và đỉnh đầu vừa chạm

vào một điểm trên cổng Dựa trên hình vẽ và các số liệu, tính chiều cao cổng

chào này

Biết chiều rộng của cổng làOB=10m;AB=1 25, m là khoảng cách từ An đến

điểm B của chân cổng bên phải và chiều cao của An là1 75, m

Lời giải

Lưu ý

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ

O trùng với một đầu của parabol

Hoặc chọn hệ trục tọa

độ sao cho Oy đi qua đỉnh của parabol

9.1 Khi du lịch đến thành phố Lui (Mĩ) ta sẽ thấy một cái

cổng lớn dạng Parabol bề lõm quay xuống dưới Đó là cổng

9.2 Trường của An muốn sơn lại cổng

trường (như hình vẽ) nhưng không biết mua

Acxơ Biết cổng dài162m , và đi từ một đầu bên đây của

cổng 10m thì sẽ thấy một cây đèn cao 43m gắn với cổng.

Tính chiều cao của cổng? (khoảng cách từ điểm cao nhất

của cổng đến mặt đất)

Lời giải

thang cao bao nhiêu để đủ chiều cao cổng Tính chiều cao cao nhất của cổng trường?

Biết độ rộng của cổng là AB =595cm ; phân phía trên đoạn AB là một parapol, điểm M cách đường AB một khoảng 14cm và cách mép cổng ở bên trái một khoảng là 20cm và điểm A cách nền sân

một khoảng 107 7, cm.

M

Lời giải