22 2 2 a bài giảng tự luận hàm số bậc nhất in cho học sinh

Đồ thị của hàm số y=ax+b a ¹ 0 là một đường thẳng không song song và không trùng với các trụctọa độ.. Chú ý: · Phương trình x=a cũng là một đường thẳng nhưng không phải là một hàm số

Đồ thị của hàm số y=ax+b (a ¹ 0) là một đường thẳng không song song và không trùng với các trục

tọa độ Đường thẳng này luôn song song với y =ax nếu b  và cắt trục hoành tại 0 ;0

b A a

çè ø và trục tungtại B0;b

· Hàm số số đồng biến trên khoảng 0;

và nghịch biến trên khoảng  ;0

6 Chú ý:

· Phương trình x=a cũng là một đường thẳng (nhưng không phải là một hàm số) vuông góc với trục

tọa độ và cắt tại điểm có hoành độ bằng a

· Cho đường thẳng d có hệ số góc k, d đi qua điểm M x y( 0; 0)

, khi đó phương trình của đường thẳng d

là: y y- 0 =a x x( - 0) .

B – BÀI TẬP Dạng toán 1 Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Phương pháp:

+ Hàm số y=ax+b (a ¹ 0) đồng biến khi a  và nghịch biến khi 0 a  0

+ Hàm số yax b

 

b

ax b khi x

a

y ax b

b

ax b khi x

a









 nghịch biến trên khoảng

; b

a

  

  và đồng biến trên khoảng

;

b

a

 

của k thì hàm số ym1x m  2 nghịch biến trên tập

xác định?

Lời giải tham khảo

Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi m  1 0 m 1

Lưu ý

1.1 Cho hàm số ym1x2m 3

Tìm m để

hàm số đồng biến, nghịch biến, không đổi trên ?

Lời giải

1.2 Với những giá trị nào của m thì hàm số  1 2 y m x đồng biến trên ? Lời giải

1.3 Cho hàm số ym 2x Với những giá trị 1 nào của m thì hàm số đồng biến trên  ? Nghịch biến trên  ? Lời giải

1.4 Cho hai hàm số f x m21x 4 và   2 g x mx , với m  Chứng minh rằng:0 a Các hàm số f x , f x g x , f x  g x là các hàm đồng biến trên  b Hàm số g x  f x  là hàm nghịch biến trên  Lời giải

Câu 2 Lập bảng biến thiên của hàm số y x 1. Lời giải tham khảo Ta có 1 1 1 1 1 x khi x y x x khi x ì - ³ ïï = - = íï - < ïî Bảng biến thiên x - ¥ 1 +¥

y +¥ +¥

0

Lưu ý 2.1 Lập bảng biến thiên của hàm số y 2x6 . Lời giải

2.2 Lập bảng biến thiên của hàm số 3 2 1 2 2 3 9 2 x khi x y x khi x x khi x ìï - + ³ ïïï =íï - - < < ï - - £

-ïïî . Lời giải

Dạng toán 2 Xác định hàm số bậc nhất.

Phương pháp:

Để xác định hàm số bậc nhất ta là như sau:

Gọi hàm số cần tìm là y ax b a  , 0 Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a b,

, từ đó suy ra hàm số cần tìm

Câu 1 Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d Tìm hàm số đó

biết: d đi qua A(1;3), (2; 1)B

-Lời giải tham khảo

Gọi hàm số cần tìm là y=ax b a+ , ¹ 0

Vì A Î d và B Î d nên ta có hệ phương trình

Vậy hàm số cần tìm là y= - 4x+7

Lưu ý

1.1 Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d

Tìm hàm số đó biết:d đi qua C(1;1), D(3; 2)-

Lời giải

1.2 Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d Tìm hàm số đó biết:d đi qua 2 (0;2), F( ;0) 5 E

Lời giải

1.3 Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d Tìm hàm số đó biết:d đi qua G(1;3), H(3;1)

Lời giải

1.4 Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d Tìm hàm số đó biết:d đi qua (12; 3), K(8; 3) I - -

Lời giải

Câu 2 Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d Tìm hàm số đó

biết: d đi qua A -(3; 2) và song song với D : 3x- 2y+ =1 0

Lưu ý

Cho hai đường thẳng:

Lời giải tham khảo

Gọi hàm số cần tìm là y=ax b a+ , ¹ 0

Ta có

:

Vì d / / D nên

3 2 1 2

a b

ìïï = ïï íï

ï ¹ ïïî (1) Mặt khác A Î d Þ - 2= 3a b+ (2)

Từ (1) và (2) suy ra

3 2 13 2

a b

ìïï = ïï íï

ï = -ïïî Vậy hàm số cần tìm là

y= x

d y=a x b+

d y =a x b+ Khi đó:d và 1 d song song2 nhau

;

ïï

Û íï ¹ ïî

2.1 Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d

Tìm hàm số đó biết:d đi qua B(1;1) và song song với

Ox

Lời giải

2.2 Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d Tìm hàm số đó biết:d đi qua C -( 1; 1)- và song song với Ox

Lời giải

2.3 d đi qua D -(2; 2) và song song với :x y 1 0 D - + = Lời giải

2.4 d đi qua E -( 1; 5)- và song song với : 2x y 3 0 D - - =

Lời giải

Câu 3 Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d Tìm hàm số đó

biết: d đi qua A(2; 1- ) và d ^d' với d y' : =4x+3.

Lời giải tham khảo

Lưu ý

Cho hai đường thẳng:

d y=a x b+

d y =a x b+

Gọi hàm số cần tìm là y=ax b a+ , ¹ 0

Đường thẳng d đi qua A(2; 1- )

nên 1- =2a b+ (1)

Và

1

4

d ^d Þ a = - Û a =

thay vào (*) ta được

1 2

b =

- Vậy hàm số cần tìm là

y= - x

-

Khi đó: d và 1 d vuông góc2 nhau Û a a1 2 = - 1

3.1 Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d

Tìm hàm số đó biết:d đi qua B(1; 1- )

và d ^d' với

d y= - x+ .

Lời giải

3.2 Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d Tìm hàm số đó biết:d đi qua C - -( 1; 5) và ' d ^d với d y' : =2x- 3. Lời giải

Câu 4 Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d Tìm hàm số đó biết rằng d đi qua điểm ( A - 1;1) và có hệ số góc bằng - 3. Lời giải tham khảo Gọi hàm số cần tìm là y=ax b a+ , ¹ 0 Đường thẳng d có hệ số góc bằng 3  a 3 Đường thẳng d đi qua A(2; 1- ) nên 1- =2a b+ mà a  nên:3 ( ) 1 2a b 1 2 3 b b 5 - = + Þ - = - + Þ = . Vậy hàm số cần tìm là y= - 3x+5. Lưu ý 4.1 Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d Tìm hàm số đó biết rằng d đi qua điểm ( B1; 3 - ) và có hệ số góc bằng 2. Lời giải

4.2 Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d Tìm hàm số đó biết rằng d đi qua điểm ( C - -1; 3) và có hệ số góc bằng - 2. Lời giải

Dạng toán 3 Bài toán tương giao

Phương pháp:

· Cho hai đường thẳng d y1 : =a x b1 + và 1 d y2 : =a x b2 + 2. Khi đó:

a) d và 1 d trùng nhau 2

;

ïï

Û íï = ïî b) d và 1 d song song nhau 2

;

ïï

Û íï ¹ ïî c) d và 1 d cắt nhau 2 Û a1 ¹ a2. Và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình

ïï

ïî d) d và 1 d vuông góc nhau 2 Û a a1 2 = - 1

Câu 1 Cho hai đường thẳng d y: = +x 2 , ' :m d y=3x+2

( m là tham số).

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d d, '

cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng

b) Tìm m để ba đường thẳng d d, '

và d" :y= -mx+2 phân biệt đồng quy

Lời giải tham khảo

a) Ta có a d = ¹1 a d' = suy ra hai đường thẳng , '3 d d cắt nhau

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d d, '

là nghiệm của hệ phương

trình

î î suy ra d d, ' cắt nhau tại

- b) Vì ba đường thẳng d d d, ', "

đồng quy nên M Î d" ta có

3

m

m

ê

· Với m = ta có ba đường thẳng là1

d y= +x d y = x+ d y= - +x

phân biệt và đồng quy tại M(0;2)

Lưu ý

· Với m = - ta có '3 d º d" suy ra m = - không thỏa mãn3

Vậy m = là giá trị cần tìm.1

1.1 Cho hai đường thẳng:

1

2

d y= - x+ d y = x+

Chứng minh rằng hai đường thẳng d d, '

cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng

Lời giải

1.2 Cho đường thẳng d y: =(m- 1)x+m và ( 2 ) ' : 1 6 d y= m - x+ Tìm m để hai đường thẳng d d, ' song song với nhau Lời giải

1.3 Tìm m để ba đường thẳng d y: =2 ,x 2 ' : 6, '' : 5 3 d y = - x+ d y=m x+ m+ phân biệt đồng quy Lời giải

Câu 2 Cho hàm số y = - 3x+6 có đồ thị là đường d Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác Tính diện tích tam giác đó Lời giải tham khảo Giao điểm của d với trục hoành, trục tung lần lượt là A2;0 ; B0;6 Ta có: OA2,OB6. Diện tích tam giác vuông OAB là: 1 1 2.6 6 2 2 OAB S  OA OB  (đvdt) Lưu ý 2.1 Cho hàm số y= - 2x- 4 có đồ thị là đường d Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác. Tính diện tích tam giác đó Lời giải

2.2 Cho hàm số y = +x 4 có đồ thị là đường d Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác. Tính diện tích tam giác đó Lời giải

Dạng toán 4 Đồ thị hàm số bậc nhất.

Phương pháp giải

* Đồ thị của hàm số y ax b 

Để vẽ đồ thị hàm số y ax b  ta chỉ cần xác định 2 giao điểm phân biệt của đường thẳng

* Đồ thị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Vẽ đồ thị ( )C

của hàm số y= ax b+

Ta có:  

a khi a

a

< Khi đó ( )C

là hợp củahai đồ thị ( )C1 và ( )C2 .

Phương pháp 2: Vẽ đường thẳng y=ax+b và y= - ax b- rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trụchoành Phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là ( )C

- Giữ nguyên đồ thị ( )C ở bên phải trục tung;

- Lấy đối xứng đồ thị ( )C ở bên phải trục tung qua trục tung.

· Biết trước đồ thị ( )C :y= f x( )

khi đó đồ thị ( )C2 :y= f x( )

là gồm phần:

- Giữ nguyên đồ thị ( )C ở phía trên trục hoành

- Lấy đối xứng đồ thị ( )C ở trên dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.

· Từ đồ thị ta có thể tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cũng như biện luận số nghiệm của phương trình.

Câu 1 Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

3 6

y= x+

Lời giải tham khảo

TXĐ: D = ¡ , a = > suy ra hàm số đồng biến trên ¡ 3 0

( 2;0 ,) ( 1;3)

-1.1

y= - x+

Lời giải

1.2.y2x 3

Lời giải

Câu 2 Cho các hàm số : y=2x- 3,y= - -x 3,y= - 2

a) Vẽ đồ thị các hàm số trên

b) Xác định giao điểm của các đồ thị hàm số đó

Lời giải tham khảo

a) Đường thẳng y=2x- 3 đi qua các điểm (0; 3 ,) 3;0

2

A - Bæ öçç ÷÷÷

çè ø

Lưu ý

Đường thẳng y= - -x 3 đi qua các điểm A(0; 3 ,- ) (C - 3;0)

Đường thẳng y = - 2 song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm

có tung độ bằng -2

b) 2 đường thẳng

y= x- y= - -x

cắt nhau tại A(0; 3- ) , 2 đường thẳng 3, 2 y= - -x y= cắt nhau tại A - -'( 1; 2) , 2 đường thẳng 2 3, 2 y= x- y= cắt nhau tại 1 " ; 2 2 A æç - ÷ç ö÷÷ çè ø 2.1 Cho các hàm số: 3 2 3, 2, 2 y= - x+ y= +x y= a) Vẽ đồ thị các hàm số trên b) Xác định giao điểm của các đồ thị hàm số đó Lời giải

x

y

-2 -3

3 2

O 1 x y

Câu 3: Vẽ đồ thị của hàm số 3 0 3 0 x khi x y x khi x       Lời giải tham khảo Với x ³ 0 đồ thị hàm số y=3x là phần đường thẳng đi qua hai điểm (0;0 ,) (1;3) O A nằm bên phải của đường thẳng x = 0 Với x < đồ thị hàm số 0 y= - 3x là phần đường thẳng đi qua hai điểm ( 1;3 ,) ( 2;6) B - C nằm bên trái của đường thẳng x = 0 Lưu ý Ta có thể vẽ đồ thị hàm số này bằng cách: Vẽ đường thẳng y= 3x và = - 3 y x rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành Phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là đồ thị hàm số cần tìm Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng 3.1 Vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) 2 0 0 x khi x y x khi x ì ³ ïï = íï - < ïî

b)y= - 3x+3 Lời giải

3.2 Vẽ đồ thị của hàm số y= x - 2. Lời giải

………

………

………

3.3 Vẽ đồ thị của hàm số y= x - 2 Lời giải

3.4 Vẽ đồ thị của hàm số y= 3x- 2 - 2x- 6 Lời giải

Dạng toán 5 Bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Phương pháp: Cho hàm số f x( ) =ax b+ và đoạnéëa b; ùÌû ¡ Khi đó, đồ thị của hàm số yf x  trên [a b; ] là một đoạn thẳng nên ta có một số tính chất:  max, f x( ) max{ff( ) ( ); } a b a b é ù ë û =  min, f x( ) min{ff( ) ( ); } a b a b é ù ë û =  max ( ), f x max{ ff( ) ; ( )} a b a b é ù ë û = Áp dụng các tính chất đơn giản này cho chúng ta cách giải nhiều bài toán một cách thú vị, ngắn gọn, hiệu quả Câu 1: Cho hàm số y= f x( ) = -x 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 1,3] Lời giải tham khảo Do a   nên hàm số đồng biến trên 1 0 ¡ Do đó, 1;3 miné ùy f( 1) 4 -ë û = - = -Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 1,3] là 4. Lưu ý 1.1 Cho hàm số y= f x( )= - x+3 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [1, 2] Lời giải

Câu 2: Cho hàm số f x( ) = 2x m - Tìm m để giá trị lớn nhất của ( ) f x trên é ùë û đạt giá trị nhỏ nhất.1;2 Lời giải tham khảo Dựa vào các nhận xét trên ta thấy max ( )[1;2] f x chỉ có thể đạt được tại 1 x = hoặc x = 2 Như vậy nếu đặt M = max ( )[1;2] f x thì M ³ f( )1 = 2- m và ( )2 4 M ³ f = - m Ta có 2 4 (2 ) ( 4) (1) (2) 1 2 2 2 m m M ³ ff + = - + - ³ - m + m- = Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 4 3 (2 )( 4) 0 m m m m m ì - = -ïï Û = íï - - ³ ïî Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1, đạt được chỉ khi m = 3 Lưu ý 2.1 Cho hàm số 2 2 3 4 y= x x- - m+ Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y là nhỏ nhất Lời giải

Dạng toán 6 Bài tập tổng hợp

Lưu ý

Từ bảng biến thiên ta có thể tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, một đoạn.

1 Lập bảng biến thiên của hàm số sauy x 3.

Lời giải

2 Lập bảng biến thiên của hàm số sau 2 2 2 4 0 2 3 4 0 x khi x y x khi x x khi x ìï - + ³ ïïï =íï - < < ï - - £

ïïî Lời giải

3 Lập bảng biến thiên của hàm số sau y= x2 + x2- 2x+ 1 Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số đó trên éë- 2;2ùû Lời giải

4 Lập bảng biến thiên của hàm số sau 2 4 4 1 y= x + x+ - x+ . Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số đó trên éë- 2;2ùû Lời giải