0D1 3 các phép toán trên tập hợp tự luận đáp án chi tiết

CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.. Hãy thử tìm một cách giải khác... a Viết tập A dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.Viết tập B dưới dạng liệt kê các phần tử...

Trang 1

§ 3 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP

 Giao của hai tập hợp

- Giao của hai tập hợp: ABx x A và x B 

 Hợp của hai tập hợp

- Hợp của hai tập hợp: ABx x A hoặc x B 

 Hiệu và phần bù của hai tập hợp

- Hiệu của hai tập hợp: A B\ x xA và x B 

- Phần bù: Cho BA thì C B A A B\

B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

 DẠNG TỐN 1: XÁC ĐỊNH TẬP HỢP VÀ PHÉP TỐN TRÊN TẬP HỢP

1 Các ví d minh h a ụ minh họa ọa.

Ví dụ 1: Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng

{0 ; 1; 2; 3; 4}

A =

{0 ; 4; 8; 12;16}

B =

{1;2;4;8;16}

Lời giải tham khảo

Ta cĩ các tập hợp A B C, , được viết dưới dạng nêu các tính chất đặc trưng

là

A ={xỴ N x| £ 4}

B = xỴ N xM và x £ 16}

{2 |n 4

C = n £ và n Ỵ N}

Ví dụ 2.Tập A 1; 2;3;5;6 Cĩ bao nhiêu tập con của A gồm hai phần

tử Để giải bài tốn, hãy liệt kê tất cả các các tập con cĩ thể của tập A gồm

hai phần tử, rồi đếm số các tập con này Hãy thử tìm một cách giải khác

Lời giải tham khảo : Các tập con gồm hai phần tử là :

Lưu ý:

Khi muốn xác định tập hợp bằng cách nêu tính chất đặc trưng, chúng ta cần nhìn kỹ vào tập hợp

đã cho ở đề bài rồi dựa vào vốn kiến thức Tốn học đã biết, để phát hiện tính chất đặc trưng của tập hợp đĩ

Lưu ý:

Nếu tập A cĩ n phần tử (n ≥ 2) thì

:

B A

Trang 2

         

       

     

   

 

1;2 , 1;3 , 1; 4 ; 1;5 ; 1;6 ; 2;3 , 2;5 ; 2;5 ; 2;6 ; 3; 4 ; 3;5 ; 3;6 ; 4;5 ; 4;6 ; 5;6

Vậy, có tất cả 15 tập hợp con

Cách 2 Ứng với mỗi phần tử của A, ta lập được 5 tập con của A (gồm 2

phần tử bằng cách kết hợp phần tử đó với 1 trong 5 phần tử còn lại Vì A có

6 phần tử nên ta lập được 6 5 30  tập con Trong cách đếm này, mỗi

tập con được đếm 2 lần, Chẳng hạn 1; 2 và  2;1 , thực chất là 1 

Vậy số tập con có hai phần tử là 6 5 15

2





Ví dụ 3: Cho A = -{ 4; 2; 1;2;3;4- - } và B ={xÎ Z|x £ 4} Tìm

tập hợp X sao cho

c) A ÈX =B với X có đúng bốn phần tử

Lời giải tham khảo : Ta có

4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4

x

Suy ra B = -{ 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4- - - }

a) Ta có B A = -\ { 3;0;1}

Suy ra X Ì B A\ thì các tập hợp X là

{ } { } { } { } { } { } { }

-b) Ta có {- 4; 2; 1;2;3;4- - } Ì X Ì {- 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4- - - }suy ra

tập hợp X là

{- 4; 2; 1;2;3;4 ,- - } {- 4; 2; 3; 1;2;3;4 ,- - - } {- 4; 2; 1;0;2;3;4- - }

{- 4; 2; 1;1;2;3;4 ,- - } {- 4; 2; 3; 1;0;2;3;4 ,- - - } {- 4; 2; 3; 1;1;2;3;4- - - }

{- 4; 2; 1;0;1;2;3;4 ,- - } {- 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4- - - }

c) Ta có A ÈX =B với X có đúng bốn phần tử khi đó tập hợp X là

{- 4; 3;0;1 ,- } {- 3; 2;0;1 ,- } {- 3; 1;0;1 ,- } {- 3;0;1;2},

{- 3;0;1;3 ,} {- 3;0;1;4}

Ví dụ 4: Cho các tập hợp:

|2 8

{2 1|

C = x+ xÎ Z và - 2£ x£ 4}

a) Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới dạng liệt kê các phần tử

 nó có  1

2

n n 

tập con gồm hai phần tử

 Số tập con có k phần

tử là

( 1)( 2) ( 1) 1.2

!

!( )!

k n

C

k n

k n k





(Số Tổ hợp chập k của n

phần tử)

Trang 3

b) Tìm A ÈB A, ÇB B C, \ , C A BÈ (B C\ )

c) Tìm (A CÈ ) \ B

Lời giải tham khảo : a) · Ta có:(x2+7x+6) (x2- 4) =0

2

6

x x

Û êêë - = Û ê = -êë hoặc

2 2

x x

é = -ê

ê = ê

Vậy A = -{ 6; 2; 1;2- - }

x

Vậy B ={0;1;2;3;4}

· Ta có { 2, 1,0,1,2,3,4}

x x

ì Î

-íï - £ £

Suy ra C = -{ 3; 1;1;3;5;7;9- }

b) Ta có: AÈB = -{ 6; 2; 1;0;1;2;3;4 ,- - } AÇB ={ }2 ,

B C =

( \ ) ( ) (\ \ ) { 6; 2; 1;1;3}

A B

-c) Ta có: A CÈ = -{ 6; 3; 2; 1;1;2;3;5;7;9- - - }

Suy ra (A CÈ ) \ B = -{ 6; 3; 2; 1;5;7;9- - - }

2 Bài tập luyện tập.

Bài 1.27: Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng

{ 4; 3; 2; 1;0 ; 1; 2; 3; 4}

A = - - - - , B ={1; 3; 5; 7; 9}, C ={0;1;4;9;16;25}

Bài 1.28: a) Trong các tập sau đây, tập nào là tập con của tập nào

b) Tìm tất cả các tập X thoả mãn bao hàm thức sau;

{ }1;2 Ì X Ì {1;2;3;4;5}.

Bài 1.29: Cho tập hợp 14

|

x

a) Hãy xác định tập A bằng cách liệt kê các phần tử

b) Tìm tất cả các tập con của tập hợp A

Bài 1.30: Cho A ={xÎ ¡ |(x4- 16) (x2- 1) = 0} và B ={xÎ N | 2x- 9£ 0}

Tìm tập hợp X sao cho

a) X Ì B A\

b) A B\ =X ÇA với X có đúng hai phần tử

Bài 1.31: Cho tập A = -{ 1;1;5;8}, B ="Gồm các ước số nguyên dương của 16"

Trang 4

a) Viết tập A dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.

Viết tập B dưới dạng liệt kê các phần tử

b) Xác định các phép toán AÇB A, ÈB A B, \ .

Bài 1.32: Cho các tập hợp E ={xÎ N | 1£ x<7}

A = xÎ N x - x x = và B ={xÎ N x| là số nguyên tố nhỏ hơn 6}

a) Chứng minh rằng A Ì E và B Ì E

b) Tìm C A C B C A E ; E ; (E ÈB)

c) Chứng minh rằng : E \ (A ÇB)=(E A\ ) (È \E B)

 DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BIỂU ĐỒ VEN ĐỂ GIẢI TOÁN

1 Phương pháp giải.

· Chuyển bài toán về ngôn ngữ tập hợp

· Sử dụng biểu đồ ven để minh họa các tập hợp

· Dựa vào biểu đồ ven ta thiết lập được đẳng thức (hoặc phương trình hệ phương trình) từ đó tìm được

kết quả bài toán

Trong dạng toán này ta kí hiệu n X là số phần tử của tập ( ) X

2 Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1 : Mỗi học sinh của lớp 10A1 đều biết chơi đá cầu hoặc cầu

lông, biết rằng có 25 em biết chơi đá cầu, 30 em biết chơi cầu lông, 15

em biết chơi cả hai Hỏi lớp 10A1 có bao nhiêu em chỉ biết đá cầu?

bao nhiêu em chỉ biết đánh cầu lông? Sĩ số lớp là bao nhiêu?

Lời giải tham khảo :

Dựa vào biểu đồ ven ta suy ra số học sinh chỉ biết đá cầu là

25 15- =10

Số học sinh chỉ biết đánh cầu lông là 30 15- =15

Do đó ta có sĩ số học sinh của lớp 10A1 là 10 15 15+ + =40

Ví dụ 2: Trong lớp 10C có 45 học sinh trong đó có 25 em thích môn

Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích

môn nào, 5 em thích cả ba môn Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba

môn trên

Gọi a b c, , theo thứ tự là số học sinh chỉ thích môn Văn, Sử, Toán;

x là số học sịnh chỉ thích hai môn là văn và toán

y là số học sịnh chỉ thích hai môn là Sử và toán

z là số học sịnh chỉ thích hai môn là văn và Sử

Ta có số em thích ít nhất một môn là 45 6- =39

Sựa vào biểu đồ ven ta có hệ phương trình

Lưu ý:

Nhận xét: Với A B C, , là các

tập bất kì khi đó ta luôn có

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

n A B C n A n B n C

n A B n B C n C A n A B C

· È È + +

Ç Ç Ç

=

- - - + Ç Ç

25

30

0

15

Trang 5

5 25 (1)

5 39 (4)

ì + + + =

ïï

ïï + + + =

ïï

íï + + + =

ïï

ï + + + + + + =

ïïî

Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta có

a b c+ + + x+ +y z + = (5)

Từ (4) và (5) ta có

a b c+ + + - - a b c- - + =

20

a b c

Vậy chỉ có 20 em thích chỉ một môn trong ba môn trên

Ví dụ 3: Trong lớp 10C1 có 16 học sinh giỏi môn Toán, 15 học sinh

giỏi môn Lý và 11 học sinh giỏi môn Hóa Biết rằng có 9 học sinh vừa

giỏi Toán và Lý, 6 học sinh vừa giỏi Lý và Hóa, 8 học sinh vừa giỏi

Hóa và Toán, trong đó chỉ có 11 học sinh giỏi đúng hai môn

Hỏi có bao nhiêu học sinh của lớp

a) Giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa

b) Giỏi đúng một môn Toán, Lý hoặc hóa

Gọi , ,T L H lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi môn Toán, Lý, Hóa

B là tập hợp học sinh giỏi đúng hai môn

Theo giả thiết ta có

z

y

b

18(S)

20(T) 25(V)

11(H)

15(L)

16(T)

6(LH) 8(TH)

9(LT)

Trang 6

( ) 16, ( ) 15, ( ) 11, ( ) 11

( ) 9, ( ) 6, ( ) 8

n T I L = n L I H = n H I T = và

a) Xét tổng n(T ÇL)+n(L ÇH)+n(H ÇT) thì mỗi phần tử của

tập hợp T Ç ÇL H được tính ba lần do đó ta có

n T ÇL +n L ÇH +n H ÇT - n T Ç ÇL H =n B

Hay

( )

1

3

Suy ra có 4 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa

b) Xét n T( I L) +n L( I T ) thì mỗi phần tử của tập hợp

T Ç ÇL H được tính hai lần do đó số học sinh chỉ giỏi đúng môn

toán là

n T - éêën T L +n H T - n T Ç ÇL H ùúû

Tương tự ta có

Số học sinh chỉ giỏi đúng môn Lý

n L - éêën T L +n L H - n T Ç ÇL H ùúû

Số học sinh chỉ giỏi đúng môn Hóa

n H - éêën H T +n L H - n T Ç ÇL H ùúû

Suy ra số học sinh giỏi đúng một môn Toán, Lý hoặc hóa là

3 4 1+ + = 8

Ví dụ 4. Trong một khoảng thời gian nhất định, tại một địa phương,

Đài khí tượng thủy văn đã thống kê được: Số ngày mưa: 10 ngày; Số

ngày có gió: 8 ngày; Số ngày lạnh: 6 ngày; Số ngày mưa và gió: 5

ngày; Số ngày mưa và lạnh : 4 ngày; Số ngày lạnh và có gió: 3 ngày;

Số ngày mưa, lạnh và có gió: 1 ngày

Vậy có bao nhiêu ngày thời tiết xấu (Có gió, mưa hay lạnh)?

Ký hiệu A là tập hợp những ngày mưa, B là tập hợp những ngày có

gió, C là tập hợp những ngày lạnh

Theo giả thiết ta có:n A( ) =10, n B( ) = , 8 n C =( ) 6,

Trang 7

5, 4,

n A BÇ = n A CÇ = n B CÇ = n A B CÇ Ç =

Để tìm số ngày thời tiết xấu ta sử dụng biểu đồ Ven(hình vẽ) Ta cần

tính n A( ÈB ÈC).

Xét tổng n A( ) +n B( ) +n C( ): trong tổng này, mỗi phần tử của A

giao B, B giao C, C giao A được tính làm hai lần nên trong tổng

( ) ( ) ( )

n A +n B +n C ta phải trừ đi tổng

n AÇB +n B CÇ +n C ÇA

Trong tổng n A( ) +n B( ) +n C( ) được tính n A( ÇB CÇ ) 3 lần,

trong n A( ÇB)+n B( ÇC)+n C( ÇA)

cũng được tính n A( ÇB CÇ ) 3 lần Vì vậy

( ) ( ) ( )

Ç

=

Vậy số ngày thời tiết xấu là 13 ngày

Bài 1.33: Một nhóm học simh giỏi các bộ môn : Anh, Toán, Văn Có 8 em giỏi Văn, 10 em giỏi Anh, 12

em giỏi Toán, 3 em giỏi Văn và Toán, 4 em giỏi Toán và Anh, 5 em giỏi Văn và Anh, 2 em giỏi cả ba môn Hỏi nhóm đó có bao nhiêu em?

Bài 1.34: Có 40 học sinh giỏi, mỗi em giỏi ít nhất một môn Có 22 em giỏi Văn, 25 em giỏi Toán, 20 em

giỏi Anh Có 8 em giỏi đúng hai môn Văn, Toán; Có 7 em giỏi đúng hai môn Toán, Anh; Có 6 em giỏi đúng hai môn Anh, Văn Hỏi: Có bao nhiêu em giỏi cả ba môn Văn, Toán, Anh?

Bài 1.35: Trong Kỳ thi tốt nghiệp phổ thông, ở một trường kết quả số thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc như

sau: Về môn Toán: 48 thí sinh; Về môn Vật lý: 37 thí sinh; Về môn Văn: 42 thí sinh; Về môn Toán hoặc môn Vật lý: 75 thí sinh; Về môn Toán hoặc môn Văn: 76 thí sinh; Về môn Vật lý hoặc môn Văn: 66 thí sinh; Về cả 3 môn: 4 thí sinh Vậy có bao nhiêu học sinh nhận được danh hiệu xuất sắc về:

a) Một môn?

b) Hai môn?

c) ít nhất một môn?

 DẠNG TOÁN 3: CHỨNG MINH TẬP HỢP BẰNG NHAU, TẬP HỢP CON

Trang 8

· Để chứng minh A Ì B

Lấy "x x, Î A ta đi chứng minh xÎ B

· Để chứng minh A =B ta đi chứng minh

+ A Ì B và B Ì A hoặc "x x, Î A Û xÎ B

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho các tập hợp ,

3

A =ìïïí p+k k p Î Züïïý

î þ,

2 ,

3

B = -ìïïí p+k k p Î Züïïý

k

C = -ìïïí p+ p k Î Züïïý

a) Chứng minh rằng A =B

b) A Ì C

3

" Î Þ $ Î = + suy ra

2

x= p- p+ k + p = - p + k + p

Vì k0 Î Z Þ k0+ Î1 Z do đó xÎ B suy ra A Ì B (1)

:

3

" Î Þ $ Î = - + suy ra

x= - p + +p k - p= p + k - p

Vì k0 Î Z Þ k0- 1Î Z do đó xÎ A suy ra B Ì A (2)

Từ (1) và (2) suy ra A =B

3

" Î Þ $ Î = + suy ra

Vì k0 Î Z Þ 2(k0+1) Î Z do đó x CÎ

Suy ra A Ì C

Ví dụ 2: Cho A và B là hai tập hợp Chứng minh rằng

a) (A B\ ) Ì A

b) A Ç(B A\ ) = Æ

c) AÈ(B A\ ) =A BÈ

a) Ta có x x, A B\ x A x A

ì Î ïï

Lưu ý:

1 Với k là biến chạy trong

Z , ta có:

0

2

2 1

k

+ Î

- Î

¢

2 Hai tập A và B thoạt nhìn

có vẻ khác nhau, nhưng thực ra chúng bằng nhau Điều này về sau, gặp nhiều trong phần giải phương trình lượng giác Tập nghiệm của cùng một phương trình lượng giác có thể có những cách ghi khác nhau nhưng thực ra bản chất vẫn là một

Trang 9

Suy ra (A B\ ) Ì A

\

ìï Î ï

Suy ra AÇ(B A\ ) = Æ

c) Ta có

\

é Î ê

ê

Ví dụ 3: Cho các tập hợp ,A B và C Chứng minh rằng

a) A Ç(B CÈ ) (= A BÇ ) (È A CÇ )

b) A È(B CÇ ) (= A BÈ ) (Ç A CÈ )

c) A Ç(B C\ ) (= A BÇ ) \C

x C

ì Î ïï

Î Ç È Û íïï Î È Û í êïï ê

î ï êïî ë Î

x C

éì Îïïêíê

é

íêï Î

êïëî

Suy ra AÇ(B CÈ ) (= A BÇ ) (È A CÇ )

é Î ê

ê

êï ëî

x C

ì é Î

ïï ê

ï ê

ïï ê Î

ï ê

ïî ë

Suy ra AÈ(B CÇ ) (= AÈB) (Ç A CÈ )

c) Ta có ( \ )

\

ì Î ïï

Lưu ý:

1 Các kết quả trong Ví dụ

3, chính là các tính chất quan trọng của phép toán tập hợp Đó là tính chất phân phối phép toán giao với hợp ở a) b)

Tính phân phối của phép hợp với phép hiệu ở c)

2 Các kết quả ở Ví dụ a) b) còn được gọi là công thức

Dermorgan

Trang 10

( ) \

ïï

Suy ra AÇ(B C\ ) (= A BÇ ) \C

Bài 1.36: Cho A ={xÎ N x| chia hết cho 4}, B ={xÎ N x| chia hết cho 6} và C ={xÎ N x|

chia hết cho 12}

a) Chứng minh rằng A Ì C và B Ì C

b) AÈB =C

c) A Ë B

Bài 1.37: Cho các tập hợp 2 ,

6

A = -ìïïí p+k p k Î Züïïý

11 2 , 6

B =ìïïí p+k p k Î Züïïý

,

k

C =ìïïí p+ p k Î Züïïý

a) Chứng minh rằng A =B

b) A Ì C

Bài 1.38: Cho các tập hợp A Ì B C, Ì D Chứng minh rằng

a) A CÈ Ì B ÈD b) A CÇ Ì B c) C A B ÈA =B

Bài 1.39: Cho các tập hợp ,A B và C Chứng minh rằng

a) (A B\ ) (È B A\ ) (= A BÈ ) (\ A ÇB)

b) A\ (B CÇ ) (= A B\ ) (È A C\ )

c) A\ (B CÈ ) (= A B\ ) (Ç A C\ )

 DẠNG TOÁN 4: PHÉP TOÁN TRÊN TẬP CON CỦA TẬP SỐ THỰC

· Để tìm A ÇB ta làm như sau

- Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp ,A B lên trục số

- Biểu diễn các tập ,A B trên trục số (phần nào không thuộc các tập đó thì gạch bỏ)

- Phần không bị gạch bỏ chính là giao của hai tập hợp ,A B

· Để tìm A ÈB ta làm như sau

- Tô đậm các tập ,A B trên trục số

- Phần tô đậm chính là hợp của hai tập hợp ,A B

· Để tìm A B\ ta làm như sau

- Biểu diễn tập A trên trục số(gạch bỏ phần không thuộc tập A), gạch bỏ phần thuộc tập B trên trục số

- Phần không bị gạch bỏ chính là A B\ .

2 Các ví dụ minh họa.

Trang 11

+

Ví dụ 1: Cho các tập hợp:

| 3

|1 5

a) Hãy viết lại các tập hợp A B C, , dưới kí hiệu khoảng, nửa

khoảng, đoạn

b) Tìm A ÈB A, ÇB A B, \ .

c) Tìm (B CÈ ) (\ A CÇ )

a) Ta có:

( ;3 ) (1;5 2;4

A = - ¥ B = ùû C = -éë ùû.

b) · Biểu diễn trên trục số

Suy ra A BÈ = - ¥( ;5ùû

· Biểu diễn trên trục số

Suy ra A BÇ =(1;3)

· Biễu diễn trên trục số

Suy ra A B\ = - ¥( ;1ùû

c) Bằng cách biểu diễn trên trục số ta có

A CÇ = -éë 2;3) và B CÈ = -éë 2;5ùû

Suy ra ta có (B CÈ ) (\ A CÇ ) = ë ûé ù3;5

Nhận xét: Việc biểu diễn trên trục số để tìm các phép toán tập

hợp ta làm trên giấy nháp và trình bày kết quả vào

Ví dụ 2: Xác định các tập số sau và biểu diễn trên trục số:

a) (- 4;2ù éû ëÇ 0;4) b) (0;3) È ë ûé ù1;4

c) éë- 4;3 \ù éû ë- 2;1ùû d) ¡ \ 1;3é ùë û

a) Ta có (- 4;2ù éû ëÇ 0;4) = é ùë û0;2

Biểu diễn tập đó trên trục số là

b) Ta có (0;3) È é ùë û1;4 =(0;4ùû

Biểu diễn tập đó trên trục số là

Lưu ý:

1 Cần nắm vững khái niệm về các tập con của  cùng với quy cách biễu diễn hình học của chúng

- Tập hợp con của :

*

.

     Trong đó:

:



 là tập hợp số tự nhiên không có

số 0 : là tập hợp số tự nhiên

 : là tập hợp số nguyên

: là tập hợp số hữu tỷ

( ; ) :

   

 là tập hợp số thực

- Khoảng:

 ( ; )a b x  ax b  :

 ( ;a   ) x  a x  :

 (   ; )b x  x b  :

- Đoạn: a b;   x  a x b  :

- Nửa khoảng:

 a b; x  a x b   :

 a b;   x  a x b  :

 a;   x  a x  :

     ;b x  x b  :

2 Với dạng toán này cần quan tâm kỹ các vị trí đầu mút để tránh sai sót, làm mất đi sự chính xác của bài giải và cũng làm mất điểm số của bài thi

( ) ]////////

/ / / / ( )\/\/\/\]\/\/\/\

( / / / /)\/\//\/\]\ \ \ \

/ / / / /[ ]/ / / / / /

/ / / / ( ]/ / / / / /

Tiêu đề	Các phép toán trên tập hợp nội dung đáp án chi tiết
Trường học	Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	Bài giảng
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	1,36 MB