Bồi dưỡng năng lực tự học toán 7 phụ lục

1 Chứng minh rằng N là trung điểm của đoạn thẳng AC.. Ax BC cắt đường thẳng MN tại E .// 1 Chứng minh: M là trung điểm của đoạn thẳng BC... Kẻ AH vuông góc với xy ở H và BK vuông góc với

PHẦN C – PHỤ LỤC

1 ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC.

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB5cm AC, 7cm và BC 9cm Kéo dài AB lấy điểm D sao cho BD BA , kéo dài AC lấy điểm E sao cho CE CA . Kéo dài

đường trung tuyến AM lấy điểm I sao cho MI MA

1) Tính độ dài các cạnh của tam giác ADE .

1) Chứng minh rằng N là trung điểm của đoạn thẳng AC

2) Tính độ dài đoạn thẳng MN theo a.

Bài 3: Cho tam giác MNP có MN 4cm MP, 6cm NP, 8 cm Kéo dài MN lấy điểm I sao cho NI NM, kéo dài MP lấy điểm K sao cho PK PM , kéo dài

đường trung tuyến MO lấy điểm S sao cho OS OM

1) Tính độ dài các cạnh của tam giác MIK.

EF  BC

3) Chứng minh: ME MF AE AF , 

Bài 5: Cho tam giác OPQ cân tại O có I là trung điểm của đoạn thẳng PQ Kẻ.//

IM OQ M OP , IN OP N OQ//   

1) Chứng minh IMN cân tại I

2) Chứng minh OI là đường trung trực của MN .

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A có AM là đường cao N là trung điểm của đoạn

thẳng AC Kẻ Ax BC cắt đường thẳng MN tại E //

1) Chứng minh: M là trung điểm của đoạn thẳng BC

2) Chứng minh: ME AB //

3) Chứng minh: AE MC

Bài 7: Cho tam giác ABC, trên nửa mặt phẳng bờ là AC không chứa điểm B lấy

điểm D bất kỳ Gọi M N P Q lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng, , ,

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến Gọi N là trung

điểm của đoạn thẳng AC .

1) Chứng minh rằng MN AC

2) Tam giác AMN là tam giác gì? Vì sao?

3) Chứng minh rằng 2AM BC

Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE Gọi M và N lần

lượt là trung điểm của đoạn thẳng BD và CE

1) Chứng minh rằng

12

DM  BC 2) Chứng minh rằng tam giác DME cân.

3) Chứng minh rằng MN DE

Bài 11: Cho tam giác ABC, trên AC lấy theo thứ tự điểm D và E sao cho

AD DE EC  Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC BD cắt AM tại I ,1) Chứng minh rằng ME B // D

2) Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng AM

3) Chứng minh rằng

14

DI  BD

Bài 12: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến Lấy D thuộc cạnh AC

sao cho

1.2

AD DC

Kẻ ME BD E CD//   , BD cắt AM tại I 1) Chứng minh rằng AD DE EC 

2) Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng AM

2 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn Vẽ tia đối của tia AB rồi lấy điểm D trên cạnh ấy sao

cho DA AB Vẽ tia đối của tia AC rồi lấy điểm E sao cho AEAC

Bài 3: Tam giác ABC có AB AC Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho

AD AC Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE AB

1) Định dạng hai tam giác ACD và ABE

2) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE Chứng minh M, A, N thẳnghàng

Bài 4: Tam giác ABC vuông ở A có đường cao AH Kẻ HM vuông góc AB ở M rồi

kéo dài lấy MD MH Kẻ HN vuông góc AC ở N rồi kéo dài lấy NE NH

1) So sánh AD với AE

2) Chứng minh D, A, E thẳng hàng

Bài 5: Lấy hai điểm A và B ở về hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng

xy Kẻ AH vuông góc với xy ở H và BK vuông góc với xy ở K sao cho AH BK.Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng HK Chứng minh A, O, B thẳng hàng

Bài 6: Cho xOy  900 Trên Ox lấy hai điểm A và C sao cho A nằm giữa hai điểm O

và C Trên tia Oy lấy hai điểm B và D sao cho OA OB ; AC BD

1) Định dạng OAB và OCD

2) Gọi M và n là trung điểm của AB và CD Chứng minh O, M, N thẳng hàng

Bài 7: Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN Trên tia đối của tia MB

lấy điểm D sao cho MD MB Trên tia đối của tia CN lấy điểm E sao cho NE NC Chứng minh D, A, E thẳng hàng

3 DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Bài 1: Cho ABC vuông ở A có đường cao AH Chứng minh: AB AC BC AH 

Bài 2: Cho ABC có hai đường cao BD và CE Chứng minh: AB CE AC BD.  .

Bài 3: Cho ABC có góc A nhọn và AB6 ;cm AC 8cm, đường cao BD3cm.Tính độ dài đường cao CE

Bài 4: Cho xAy nhọn Trên tia Ax lấy điểm B, trên tia Ay lấy điểm C Kẻ BDAy tại D, CEAx tại E Giả sử BD5cm CE, 3cm AB, 10cm Tính AC

Bài 5: Cho ABC có AB AC và hai đường cao BH, CK Theo công thức tính diện

tích ABC , hãy chứng minh BH CK

Bài 6: Cho ABC có AB AC và hai đường cao BH, CK Trên AC lấy E tùy ý

Trên tia đối của tia BA lấy BD CE Chứng minh:

Bài 8: Cho điểm M thuộc tia phân giác Ot của xOy nhọn.

1) Có nhận xét gì về khoảng cách từ điểm M đến hai cạnh Ox và Oy?

2) Trên Ox lấy hai điểm A và B Trên Oy lấy đoạn CD AB Chứng minh S MAB S MCD

Bài 9: Cho ABC có AB AC Kẻ BH vuông góc AC ở H Trên BC lấy điểm M bất

kì Vẽ MI vuông góc AB ở I và MK vuông góc AC ở K S AMB, S AMC và S ABC có liên

hệ gì? Hãy chứng minh MI MK BH

Bài 10: Cho ABC là tam giác đều có chiều dài cạnh là x, có đường cao AD Lấy

điểm M bất kì trong ABC Kẻ MH, MI, MK lần lượt vuông góc với BC, CA, AB ở

H, I và K Chứng minh MI MK MH  AD

Bài 11: Bài toán thường dùng thứ I:

a) Cho hai đường thẳng song song Chứng minh rằng khoảng cách từ hai điểm bất kì

trên đường thẳng này đến đường thẳng kia là bằng nhau Khoảng cách đó được gọi làkhoảng cách của hai đường thẳng song song

b) Chứng minh rằng nếu hai đầu của một đoạn thẳng ở cùng phía và cách đều một

đường thẳng cho trước thì đoạn thẳng đó song song với đường thẳng đã cho

Bài 12: Cho đoạn thẳng CD nằm trên đường thẳng xy và cho đoạn thẳng AB xy Kẻ

AH và BK cùng vuông góc với đường thẳng xy tại H và K

1) Có nhận xét gì về AH và BK.

2) So sánh diện tích của ACD và của BCD

Bài 13: Cho đoạn thẳng CD và đường thẳng //d CD Cho điểm M di động trên d Có nhận xét gì về diện tích của MCD khi M di động?

Bài 14: Cho d d và 1, 2 d là ba đường thẳng song song và cách đều (nghĩa là khoảng3

cách giữa d và 1 d bằng khoảng cách giữa 2 d và 2 d ) Lấy đoạn thẳng CD trên 3 d A2

là điểm di động trên d và B là điểm di động trên 1 d Chứng minh 3 S CDA S CDB

Bài 15: Cho đoạn thẳng CD nằm trên đường thẳng xy M là trung điểm của CD Cho

đoạn thẳng AB xy So sánh diện tích của ACM//  và của BMD

Bài 16: Cho hai đoạn thẳng AD BC và AD BC sao cho A và B ở cùng phía đối//với đường thẳng CD

1) Chứng minh AB CD // 2) So sánh S ACD và S BCD.

Bài 17: Cho hai đoạn thẳng AB CD và AB CD sao cho B và C ở một bên đường//thẳng AD AC cắt BD ở O Chứng minh:

Bài 18: Cho hai đoạn thẳng AB CD và AB CD sao cho B và C ở một bên đường//thẳng AD AC cắt BD ở O Đoạn AD và BC kéo dài cắt nhau ở I Chứng minh:

Bài 19: Cho hai điểm D và E ở bên trong xOy nhọn Trên Ox lấy A sao cho

//

AD Oy và trên Oy lấy B sao cho BE Ox //

1) So sánh S EOA và S OAB; 2) So sánh S OAB và S DOB;

3) So sánh S EOA và S DOB.

Bài 20: Cho ABC Trên cạnh AC lấy hai điểm D và E (D nằm giữa A và E) Trên

AB lấy I sao cho DI //BC Trên BC lấy K sao cho EK // AB Chứng minh

EBI DBK

S S

Bài 21: Cho hai tia Ax // Cy cùng chiều Lấy B trên Ax và D trên tia Cy Chứng

minh:

1) S ABC S ABD; 2) S ACB S ACD S ABCD

Bài 22: Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng xy Trên xy lấy bốn điểm A, B, C, D

theo thứ tự sao cho AB CD

1) So sánh diện tích của MAB và của MCD

2) Chứng minh S MAC S MBD bằng cách cộng diện tích

Bài 23: Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng xy Một đoạn thẳng CD trượt trên xy

sao cho độ dài đoạn thẳng CD không đổi Có nhận xét gì về diện tích của MCD

Bài 24: Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng xy Trên xy lấy bốn điểm A, B, C, D

theo thứ tự sao cho AB CD Gọi O là trung điểm của BC Chứng minh:

1) S MAC S MBD; 2) S MOB S MOC 3) S MOA S MOD

Bài 25: Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng xy Trên xy lấy các đoạn thẳng AB và

CD sao cho AB3CD Tính

MAB MCD

S AD

S AB ; 3)

ADE ABC

S AD AE

S AB AC

Bài 27: Cho ABC có diện tích bằng 16cm D là trung điểm của AB và trên AC lấy2

điểm E sao AC4AE Chứng minh

ADE ABC

S AD AE

S AB AC và tính S ADE.

Bài 28: Cho ABC có BM và CN là hai đường trung tuyến

1) So sánh S BCM và S BCN với S ABC Có nhận xét gì về khoảng cách từ M và N đến

Bài 31: Bài toán thường dùng thứ II:

Chứng minh rằng đường trung tuyến chia tam giác thành hai phần có diện tích bằngnửa diện tích tam giác đó

Bài 32: Cho zCt nhọn Trên cạnh Cz lấy A và E sao cho A là trung điểm của CE.

Lấy điểm B bên trong zCt sao cho AB Ct //

Bài 38: Cho ABC có hai trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G Chứng minh:

1) S ABD S BCE 2) S GBC S AEGD

Bài 39: Cho ABC có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G Chứng minh: 1) S GAB S GBC;

2) S GBC S GAC rồi suy ra S GAC S BAC : 3;

3) S AGD S ABD: 3 rồi suy ra BD3GD;

4) Nếu trung tuyến AF cắt BD tại G’ thì ta có kết quả gì tương tự câu c? suy ra bađường trung tuyến trong tam giác đồng quy tại một điểm

Bài 40: Cho hai tia Ax Cy cùng chiều Lấy B trên Ax và D trên Cy Gọi I là trungđiểm của BD, CI cắt Ax tại F Chứng minh:

1) ICD IFB; 2) S ACI S AFI;

3) S ABI S CDI S ACI; 4) S ABCD 2S ACI

Bài 41: Cho ABC có AD là đường phân giác Chứng minh:

1) ADB và ADC có một đường cao chung; Khoảng cách từ D đến AB và ACbằng nhau;

2) S ADB :S ADC DB DC: ;

3) S ADB:S ADC AB AC: ; 4)

DB AB

DC AC .

Bài 42: Chứng minh rằng đường phân giác trong một tam giác chia cạnh đối diện

thành hai đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn thẳng đó

Bài 43: Cho ABC Các điểm A’, B’, C’ lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB sao cho

BC  CA ; CA3AB'; AB3BC'; AA’ cắt BB’ ở D; BB’ cắt CC’ ở E; CC’ cắtAA’ ở F Đặt S a S ADB' (diện tích ADB'); S'a S ADEC'; S b S BEC' ; S'b SBEF 'A ;

AA C BB A CC B ABC

S S S  S

;2) Chứng minh S AA C' S BB A' S CC B' S ABC, suy ra SDEF S a S b S c

4 TOÁN NÂNG CAO ĐƯƠNG PHÂN GIÁC

Bài 1: Cho A thuộc tia phân giác của xOy Lấy B thuộc Ox; C thuộc Oy với

OB OC Lấy M nằm giữa O và B; N nằm giữa O và C với Om ON Chứng minh:

ABM CAN

Bài 2: Tam giác ABC có BD là phân giác Kẻ Dx//AB và cắt BC ở M My là tia phân

giác của DMC , Bz là phân giác ngoài của B Chứng minh hai đường thẳng Bz và

My vuông góc với nhau

Bài 3: Tam giác ABC có BI là phân giác trong, Bx là phân giác ngoài đỉnh B M là

trung điểm BI Kẻ My//Bx Chứng minh My là đường trung trực của BI.

Bài 4: Tam giác ABC có góc A nhỏ nhất Từ C kẻ đường thẳng song song với đường

phân giác BD, đường này cắt đường thẳng AB ở E

1) Chứng minh A 900.

2) Chứng minh tam giác CEB có hai góc bằng nhau

Bài 5: Tam giác ABC có B 3C Ax là tia đối của tia AC Tia phân giác BAx cắt

đường thẳng BC ở E Ay là phân giác của EAx Chứng minh:

1) Tam giác AEC có hai góc bằng nhau

2) Ay/BE

Bài 6: Tam giác ABC có

 12

C  B

Vẽ phân giác BD Lấy M thuộc tia đối của tia BD

với BM AC , N thuộc tia đối của tia CB với CN AB Chứng minh AM AN

Bài 7: Tam giác ABC có phân giác BD E thuộc tia đối của tia BA sao cho BE BC Chứng minh BD EC //

Bài 8: Tam giác ABC cân ở A có Ax là tia phân giác ngoài đỉnh A Chứng minh

//

Ax BC

Bài 9: Tam giác ABC có B 2C , BD là phân giác Trên tia đối của tia BD lấy

BM AC Trên tia đối của tia CB lấy CN AB I là trung điểm của MN Chứng

1) Chứng minh tam giác BDE vuông cân

2) Nếu cho ACB 300 và DE  3 thì hãy tính số đo ABE và độ dài cạnh của tamgiác BEC

Bài 13: Tam giác ABC có A 600 Phân giác BD, CE cắt nhau ở I Chứng minh:

ID IE

Bài 14: Tam giác ABC có A C B A     Phân giác BM, CN cắt nhau ở O Chứngminh tam giác OMN cân

Bài 15: Tam giác ABC có AB AC và AD là phân giác Chứng minh CD BD

Bài 16: Tam giác ABC có AD là phân giác và AB AC M thuộc AD Chứng minh:

Bài 19: Tam giác ABC có A 800; C  600 Hai tia phân giác góc B và góc C cắt

nhau ở I Tia phân giác ngoài của B cắt tia CI ở D Chứng minh: BDC ABC

Bài 20: Tam giác ABC có phân giác AD, BE.

1) Nếu ADC BEC Chứng minh: A B

2) Nếu ADB BEC Chứng minh: A B 1200

Bài 21: Cho O nằm trong tam giác ABC.

1) Chứng minh: BOC BAC 

2) Nếu O là giao điểm của hai tia phân giác trong góc B và góc C Chứng minh:

BOC  .

Bài 22: Cho tam giác ABC có góc C kém góc B 90 Kẻ tia phân giác của góc A cắt0

BC ở D Tính ADB

Bài 23: Các đường thẳng chứa tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh B, C cắt nhau ở O.

Chứng minh BOC bằng nửa góc ngoài đỉnh A

Bài 24: Tam giác ABC có B C Đường thẳng chứa tia phân giác của A ngoài cắt

Bài 25: Tam giác ABC có phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau ở I; phân giác

ngoài của góc B và góc C cắt nhau ở K Chứng minh:

Bài 27: Tam giác ABC có tia phân giác trong của góc B và tia phân giác của góc

ngoài đỉnh C cắt nhau ở M Tia phân giác trong của góc C và tia phân giác ngoài củagóc B cắt nhau ở N Chứng minh:

Bài 30: Tam giác ABC cân ở A có A 200 D thuộc AB với AD BC Tính số đo

ACD

Bài 31: Tam giác ABC đều có phân giác BD, CE cắt nhau ở O Chứng minh:

1) OA OB OC  ; 2) AOB BOC COA  ?

ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN

Bài 1: Tam giác ABC có: ˆA 80 0; ˆB 60 0; M là trung điểm AC Trên tia đối của tia

MB lấy MD = MB Tính BCD

Bài 2: Tam giác ABC có D thuộc AC, E là trung điểm của AB F là tia đối của tia ED

với EF = ED Chứng minh FBA 1800  (B C)ˆ ˆ

Bài 3: Tam giác ABC có AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, D thuộc tia

AM với AM = MD Vẽ MHAB tại H Chứng minh hai đường thẳng MH và DCvuông góc với nhau

Bài 4: Tam giác ABC có M, N là trung điểm của AC, AB Trên các tia BM, CN lấy

điểm D, E sao cho BM = MD và CN = NE Chứng mimhf A là trung điểm của DE

Bài 5: Tam giác ABC có AB AC M là trung điểm của BC Chứng minh AMkhông vuông góc với BC

Bài 6: Tam giác ABC có M, N là trung điểm của AB, AC Trên tia đối của tia NM

lấy NI = NM Chứng minh: CI // AB và CI AB

MN //BC và MN12BC

Bài 7: Tam giác ABC có D là trung điểm của AB Vẽ DE// SBC (E thuộc AC) Lấy F

thuộc BC với BF = DE Chứng minh DF// AC

Bài 8: Cho tam giác AOB lấy A’, B’ sao cho O là trung điểm AA’ và BB’ D là trung

điểm của AB, tia DO cắt A’B’ ở D’ Chứng minh D’ là trung điểm của A’B’

Bài 9: Tam giác ABC có M là trung điểm của BC Lấy e, F, G sao cho B, M, C là

trung điểm của AF, AE, AG Chứng minh rằng :

1) EC AB và / BE AC //

2) F, E, G thẳng hàng

Bài 10: Tam giác ABC cân ở A Lấy D thuộc AB, E thuộc AC với AD AE M, N làtrung điểm của DE, BC Chứng minh A, M, N thẳng hàng

Bài 11: Tam giác ABC cân ở A, trên tia đối của tia CA, CB lấy hai đoạn CD =CE.

M, N là trung điểm của BC và CE Chứng minh AM // DN

Bài 12: Tam giác ABC cân ở đỉnh A D thuộc tia đối của tia CA, kẻ DEBC ở E I

là trung điểm của CD, kéo dài EI lấy IK = IE, vẽ AM là phân giác tam giác ABC.Chứng minh AM CK ED // //

Bài 13: Tam giác ABC có BC = 2AB M là trung điểm của BC, D là trung điểm của

BM, trên tia AD lấy điểm E sao cho D là trung điểm của đoạn thẳng AE Chứngminh :

1) AME AMC So sánh AD và AC.

Bài 14: Cho B thuộc đoạn AC Vẽ tam giác đều DAB và EBC với D, E cùng thuộc

một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AC M, N là trung điểm của DC, AE.Chứng minh tam giác BMN đều

Bài 15: Tam giác ABC có M là trung điểm của BC và BAM CAM   Chứng minh

Bài 20: Tam giác ABC vuông cân ở A Qua A vẽ đường thẳng xy sao cho B, C ở

cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy Vẽ BH và CK cùng vuông góc với xy ở H, K.1) Chứng minh HK = BH + CK

2) Gọi M là trung điểm Tam giác MHK là tam giác gì ?

Bài 21: Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có AB = A’B’ ; AC = A’C’ ;