KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TOÁN: KHÔNG GIAN SOBOLEV PHỤ THUỘC V€ÀO THỜI GIAN

KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P KHÔNG GIAN SOBOLEV PHỤ THUỘC V€ÀO THỜI GIAN

TR×ÍNG „I HÅC T…Y BC

É VI˜T Y–N

KHÆNG GIAN SOBOLEV PHÖ THUËC V€O THÍI GIAN

Chuy¶n ng nh: Gi£i h

Ng÷íi h÷îng d¨n: TS V Trång L÷ïng

Sìn La, th¡ng 5 n«m 2013

Thíi gian træi qua thªt nhanh, hîp m­t m  em ¢ ho n th nh bèn n«m

¤i hå Nhî ng y n o, u khâa hå bè mµ ÷a ¸n tr÷íng g°p tr÷íng

lîpmîi, thy mîi, b¤nb± mîivîibao bïngï v lol­ng.Vªy m 

em tr£i qua bèn n«m hå Bèn n«m hå tªp vîi bi¸t bao khâ kh«n, v§t

v£, nhúng v§p ng¢ em t÷ðng nh÷ m¼nh khæng thº v÷ñt qua Nh÷ng mong

muèn ÷ñ l m khâa luªn khi tèt nghi»p ¢ th ©y em ph§n §u nhi·u

trong hå tªp Cuèi vîi k¸t qu£ ¢ ¤t ÷ñ trong n«m u, em

¢ ÷ñ õ i·u ki»n l m khâa luªn d÷îi sü h÷îng d¨n thy V Trång

L÷ïng ÷ñ l m khâa luªn l  mët ni·m vui, ni·m vinh dü lîn èi vîi em

Nh÷ngb¶n â khæng½t néilov khæng ½tkhâ kh«n, n ol khan

hi¸mt i li»u, thíi gian h¤n hµp, ki¸n th¼ mîi v  t÷ìng èi khâ, Nh÷ng

vîi ki¸n m  em ¢ ÷ñ thy bë mæn trang bà trong n«m qua

vîi sü h÷îng d¨n nhi»t t¼nh thy V Trång L÷ïng, nh÷ sü

ëng vi¶n, gióp ï gia ¼nh v  b¤n b± khâa luªn ÷ñ

0.1 Lþ do hån khâa luªn 5

0.2 èi t÷ñng, ph÷ìng ph¡p, ph¤m vi nghi¶n 5

0.2.1 èi t÷ñng nghi¶n 5

0.2.2 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n 6

0.2.3 Ph¤m vi nghi¶n 6

0.3 h, nhi»m vö v  nhúng âng gâp khâa luªn 6

0.3.1 h 6

0.3.2 Nhi»m vö 6

0.3.3 Nhúng âng gâp khâa luªn 6

1 Mët sè ki¸n li¶n quan 8 1.1 Khæng gian h 8

1.2 Khæng gian Hilbert 9

1.2.1 D¤ng Hermite 9

1.2.2 h væ h÷îng 11

1.3 Khæng gian Sobolev 12

1.3.1 Khæng gian C k (Ω) 12

1.3.2 Khæng gian L p (Ω) 13

1.3.3 ¤o h m y¸u trong khæng gian W k p (Ω) 19

1.3.4 ¤o h m suy rëng 21

1.3.5 Khæng gian Sobolev W k p (Ω), (1 ≤ p < ∞), (k ∈ Z + ) 25

1.3.6 Khæng gian ◦ W p k (Ω), (1 ≤ p < ∞) 30

1.3.8 ành l½ triºn 42

1.3.9 Khæng gian h m H −1 (Ω) 45

2 Khæng gian Sobolev phö thuë v o thíi gian 48

2.1 Khæng gian L p (0, T ; X) 482.2 Khæng gian C([0, T ]; X) 482.3 ¤o h m y¸u trong khæng gian L 1 (0, T ; X) 482.4 Khæng gian Sobolev W 1

p (0, T ; X) 49

0.1 Lþ do hån khâa luªn

Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ra íi v o kho£ng th¸ k¿ thù 17, do nhu

hå v  nhi·u ngh nh khoa hå Nâ ng y vai trá quan

trång v  ÷ñ ùng döng rëng r¢i trong khoa hå v  ngh» Ng y nay,

ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng trð th nh bë mæn to¡n hå b£n vøa mang

t½nh l½ thuy¸t vøa mang t½nh ùng döng rëng r¢i Tr÷î sü ph¡t triºn

m¤nh m³ khoa hå v  ngh», h­n r¬ng ph÷ìng tr¼nh ¤o h m

ri¶ng ph¡t triºn m¤nhm³ hìn núatrong t÷ìng lai, mð ra mët ÷íng

ho nhúng ai y¶u h nghi¶n To¡n hå ùng döng

Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ¢ v  ang ph¡t triºn r§t m¤nh m³ ð tr¶n

th¸ giîi, nh÷ng ðn÷î ta th¼ v¨n h¤n h¸ h nâi v· bëmæn n y, n¶n nâ

v¨n l  v§n · mîi m´, v  b½ ©n h h sü kh¡m ph¡ nhúng ai y¶u

h nâ Hìn núa, trong qu¡ tr¼nh hå tªp ÷ñ thy giîi thi»u, h÷îng

d¨n, tæi th§y r§t hùng thó vîi bë mæn n y Ch½nh v¼ vªy, nh¬m gâp

phn ho nhúng ai y¶u h bë mæn n y nâi hung v  b£n th¥n gi£ nâi

ri¶nghiºu s¥uhìn v· bëmæn n y tæi m¤nhd¤n t¼m hiºu · t i:"Khæng gian

Sobolev phö thuë v o thíi gian"

0.2 èi t÷ñng, ph÷ìng ph¡p, ph¤m vi nghi¶n

0.2.1 èi t÷ñng nghi¶n

èi t÷ñng nghi¶n l  khæng gian Sobolev phö thuë v o thíi gian

V§n · ÷ñ nghi¶n trongkhâa luªn l v§n · mîi m´ so vîi sinh

vi¶n ¤i hå v¼ vªy ph÷ìng ph¡p nghi¶n sû döng hõ y¸u l  nghi¶n

l½ thuy¸t thº l  khæng gian Sobolev Ph÷ìng ph¡p nghi¶n gçm

s÷u tm t i li»u, å hiºu t i li»u tr¶n sð â ph¥n h, têng hñp, di¹n

gi£i, l m rã v  tr¼nh b y th nh mët h» thèng º gi£i quy¸t v§n · °t ra

khâa luªn

0.2.3 Ph¤m vi nghi¶n

Ph¤m vi nghi¶n khâa luªn l  nhúng ành ngh¾a, t½nh h§t, ành

l½, v  v§n · li¶n quan khæng gian Sobolev phö thuë v o thíi gian,

baogçm khænggian L p (0, T ; X), khænggian C([0, T ]; X),¤o h m y¸u trongkhæng gian L p (0, T ; X), v khæng gian Sobolev W p 1 (0, T ; X)

luªn

h khâa luªn l  l m rã kh¡i ni»m, t½nh h§t, ành l½, trong

khæng gian Sobolev phö thuë v o thíi gian

âng gâp th¶m t i li»u tham kh£o ho sinh vi¶n v  t§t nhúng ai y¶u

h, quan t¥m ¸n bë mæn ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng

0.3.2 Nhi»m vö

Vîim h°tranhi»mvö nghi¶n khâa luªnl n¶ura v  hùng

minh v§n · li¶n quan ¸n khæng gian Sobolev phö thuë v o thíi gian

0.3.3 Nhúng âng gâp khâa luªn

âng gâp nêi bªt khâa luªn l  l m rã r ng, hi ti¸t hìn h» thèng tri

mîi, huy¶n s¥u v· bë mæn ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng hi»n ¤i â

rëng, khæng gian Sobolev ngo i ra ta bi¸t t½nh h§t v  v§n · li¶n quan

khæng gian Sob bi»t khâa luªn th¶m mët phn ki¸n

bë mæn ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng hi»n ¤i, â l  nâi v· khæng

gian Sobolev phö thuë v o thíi gian v  v§n · li¶n quan

Mët sè ki¸n li¶n quan

Cho E l  khæng gian tuy¸n t½nh

ành ngh¾a 1.1 Gi£ sû E l  khæng gian v tr¶n tr÷íng væ h÷îng sè

R hay sè C H m ρ ành tr¶n E gåi l  mët hu©n tr¶n E n¸u

ρ thäa m¢n i·u ki»n sau

i ρ(x) ≥ 0 vîi ∀x ∈ E v  ρ(x) = 0 th¼ x = 0

ii ρ(λx) = |λ| ρ(x) vîi ∀λ ∈ K v  ∀x ∈ E

iii ρ(x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y) vîi ∀x, y ∈ E

Khæng gian v E vîi mët hu©n ρ tr¶n nâ gåi l  khæng gian tuy¸nt½nh ành hu©n hay ng­n gån l  khæng gian ành hu©n

vîi ∀x, y, z ∈ E , ∀λ ∈ K

Kho£ng h d ành bði (1.1)÷ñ gåi l  kho£ng h sinhbðihu©n ρ.

ành ngh¾a 1.2 Khæng gian ành hu©n E l  mët khæng gian vîikho£ng h sinh bði hu©n ành bði

d(x, y) := kx − yk, vîi x, y ∈ E

ành ngh¾a 1.3 i D¢y {u k } ∞ k=1 ⊂ E ÷ñ gåi l  d¢y hy trong E

n¸u vîi måi ǫ > 0, ∃N > 0 sao ho ku k − u l k < ǫ, vîi k, l ≥ N.

ii E l  y õ n¸u méi d¢y hy trong E ·u hëi tö, ngh¾a l  vîi

{u k } ∞ k=1 ⊂ E l  d¢y hy, tçn t¤i u ∈ E sao ho {u k } ∞ k=1 hëi tö ¸n u.

iii Khæng gian h E l  khæng gian tuy¸n t½nh ành hu©n y õ

ành ngh¾a 1.4 Khæng gian E ÷ñ gåi l  khæng gian y(hay õ) n¸u måi d¢y hy trong E ·u hëi tö

ành ngh¾a 1.5 Khæng gian tuy¸n t½nh ành hu©n E ÷ñ gåi l  khænggian n¸u E vîi sinh bði hu©n tr¶n E l  mëtkhæng gian

y

ành ngh¾a 1.6 Khæng gian ành hu©n E gåi l  kh£ ly n¸u E mët tªp

¸m ÷ñ trò mªt trong E

E kh£ li n¸u tçn t¤i mët d¢y {x n } n ∈N ∗

phn tû E sao ho vîi méi

|ϕ(x, y)| 2 ≤ ϕ(x, x).ϕ(y, y), ∀x, y ∈ E

Chùng minh °t a = ϕ(x, x), b = ϕ(x, y), c = ϕ(y, y). Chó þ r¬ng a, c l 

sè khæng ¥m, v  b§t ¯ng hùng minh l  |b| 2 ≤ ac. Vîi måi

q ϕ(y, y) vîi måi x, y ∈ E

Suy ra

ϕ(x + y, x + y) ≤ ϕ(x, x) + 2

q ϕ(x, x)ϕ(y, y) + ϕ(y, y)

q ϕ(y, y) vîi måi x, y ∈ E

ành l½ ÷ñ hùng minh

1.2.2 h væ h÷îng

h væ h÷îng tr¶n khæng gian v E l  d¤ng Hermite d÷ìng tr¶n E v thäa m¢n th¶m i·u ki»n ϕ(x, x) = 0 ⇒ x = 0.

N¸u ϕ l  h væ h÷îng tr¶n E th¼ hóng ta k½ hi»u ϕ(x, y) bði < x, y > v 

ta gåi < x, y > l  h væ h÷îng hai v x v  y.

Khæng gian v E vîi mët h væ h÷îng h., i tr¶n nâ gåi l khænggian ti·n Hilbert

Cæng kxk = p (x, x); ∀x ∈ E ànhmët hu©ntr¶n Edo â khænggian ti·n Hilbert l  khæng gian ành hu©n vîi hu©n sinh bði h væ h÷îng

â

ành ngh¾a 1.10 N¸u khæng gian ti·n Hilbert E y vîi sinh bði

h væ h÷îng tr¶n E ÷ñ gåi l  khæng gian Hilbert

ành ngh¾a 1.11 Cho mët khæng gian tuy¸n t½nh E Mët h m sè f (x)

ành tr¶n E v  l§y g½ trà l  sè hay tòy theo E l  khæng gianhay gåi l mët phi¸m h m tr¶nE Phi¸m h m â gåi l  tuy¸n t½nh n¸u

1 f (x + y) = f (x) + f (y) vîi måi x, y ∈ E

2 f (αx) = αf (x) vîi måi x ∈ E v  måi sè α.

V  f ÷ñ gåi l  bà n¸u mët h¬ng sè C > 0 º ho

(∀x ∈ E ) |f(x)| ≤ Ckxk.

ành ngh¾a 1.12 (hëi tö y¸u)

Ta nâi d¢y {u k } ∞ k=1 ⊂ E hëi tö y¸u ¸n u ∈ E n¸u < u ∗ , u k >−→< u ∗ , u >

vîi måi phi¸m h m tuy¸n t½nh bà h°n u ∗ ∈ E ∗

v k½ hi»u l  u k ⇀ u.

(E ∗

l  tªp hñp t§t phi¸m h m tuy¸n t½nh bà h°n tr¶n E , v  gåi l khæng gian èi ng¨u E )

D¹ d ng kiºm tra r¬ng: N¸u u k → u, th¼ u k ⇀ u. v  ta mët d¢y hëi

tö y¸u th¼ bà h°n Tø â, n¸u u k ⇀ u th¼ kuk ≤ lim

hìn núa v¸ ph£i ¯ng l  húu h¤n

Bê · 1.4 Gi£ sû H l  khæng gian Hilbert kh£ ly Khi â tø mët d¢y

bà h°n trong H thº h ra mët d¢y hëi tö y¸u trong H

- C c (Ω) l  tªp hñp h m li¶n v  gi¡ trong Ω.

Gi£ sû Ω l  mët tªp mð trong R n, u ∈ C ∞ (Ω) Ta k½ hi»u {x ∈ Ω |u(x) 6= 0}

l  gi¡ h m u, v k½ hi»u l  supp u N¸u supp u th¼ h m u(x)

ành ngh¾a 1.13 Cho Ω l  mët tªp o ÷ñ Lebesgue trong R k v  µ l 

ë o Lebesgue tr¶n σ- ¤i sè F tªp o ÷ñ Lebesgue tr¶n R k Vîi méi

Chùng minh N¸u kfk = 0 kgk = 0 th¼ f = 0 g = 0 h.k.n Suy ra

f.g = 0 h.k.n v  do â kfgk 1 = 0. Vªy b§t¯ng óng trong tr÷íng hñp

n y X²t tr÷íng hñp kfk p > 0, kgk q > 0. Vîi méi x ∈ Ω ¡p döng bê · 1.5

|f(x)| p kfk p p

+ 1 q

|g(x)| q kgk q q

kfk p p

kfk p p

+ 1 q

ành lþ 1.3 Gi£ sû p ≥ 1 v  Ω l  mët mi·n thuë R n Tçn t¤i mët tªp on

¸m ÷ñ phn tû khæng gian L p (Ω), sao bao tuy¸n t½nh nâtrò mªt trong L p (Ω)

Chùng minh Gi£ sû R l  mët sè húu t¿ n o â, x ∈ R n

K½ hi»u Q(x, R) l  h¼nh hëp

Q(x, R) = 

y ∈ R n : |y i − x i | < R, i = 1, n

gi£ sû f ∈ L p (Ω) v  ǫ > 0 °t f (x) = 0 vîi x 6= Ω, v  x²t nh÷ mët h mthuë L p ( R n ) Chån R l  mët sè nguy¶n õ lîn sao ho

l§p δ = R √

n2 − N vîi N l mëtsè nguy¶n n oâ º δ õ nhä Chiah¼nh hëp

Q(0, R)th nh h¼nh hëp nhä khæng giaonhau ë d i l R2 − N v x²t tªp hñp S bao gçm h m tr÷ng X j (x) h¼nh hëp n y vîi måi

Q(0,R)

|f(x) − h(x)| p dx

 p 1 +

 R

≤ 3ε

Do v y tªp hñp tê hñp tuy¸n t½nh h m X j, trò mªt trong L p (Ω)

ành l½ ÷ñ hùng minh

b) T½nh li¶n to n h m thuë L p (Ω)

Mët trong nhúng ùng döng quan trång h m thuë khæng gian

L p (Ω), p ≥ 0 l  t½nh li¶n to n nâ

ành lþ 1.4 Gi£ sû Ω l  mët mi·n thuë R n , f ∈ L p (Ω), p ≥ 1, f(x) = 0

b¶n ngo i Ω Khi â vîi méi ǫ > 0 tçn t¤i mët sè δ > 0, sao

Z

Ω

|f(x) − f(x + y)| p dx < ε

vîi måi y thäa m¢n |y| < δ.

ành ngh¾a 1.14 Mët mi·n Ω thuë R n ÷ñ gåi l  mi·n sao èi vîi iºm

x 0 , n¸u vîi méi iºm x ∈ Ω, o¤nth¯ng nèi x 0 vîi x thuë v o mi·n Ω.

Tr÷íng hñp bi»t, mi·n lçi l  mi·n sao èi vîi måi iºm thuë mi·n â

D÷îi ¥y l  mët ành l½ v· t½nh li¶n to n trong mi·n h¼nh sao

mët h m thuë khæng gian L p (ω).

ành lþ 1.5 Gi£ sû Ω l  mët mi·n h¼nh sao èi vîi gè tåa ë v  f ∈

L p (Ω), p ≥ 1, f(x) = 0 b¶n ngo i Ω. Khi â, vîi måi ǫ > 0, sao ho

Chùng minh °t u(x) = 0 èi vîi x ∈ R n \Ω Khi â,



f (y)dy

 g(x)dx

 g(x)dx

= Z

1.3.3 ¤o h m y¸u trong khæng gian W p k (Ω)

ành ngh¾a 1.16 Gi£ sû u, v ∈ L 1 loc (U ) v  α l  mët a h¿ sè Ta nâi r¬ng

v l  ¤o h m y¸u α u n¸u

Bê · 1.7 (T½nh duy nh§t ¤o h m y¸u.) Mët ¤o h m y¸u α

u n¸u tçn t¤i th¼ ÷ñ ành mët h duy nh§t (sai tr¶n tªp ë

vîi måi φ ∈ C c ∞ (U ), khi â v 1 − v 2 = 0 h.k.n

i·u ph£i hùng minh

Sau ¥y ta ÷a v½ dö º h¿ sü tçn t¤i ¤o h m y¸u mët h m:

V½ dö 1.1 Cho n = 1, U = (0, 2) v  u(x), v(x) ÷ñ ành bði

i·u ph£i hùng minh.

Ti¸p theo l  v½ dö h¿ ra mët h m khæng tçn t¤i ¤o h m y¸u:

khæng tçn t¤i ¤o h m y¸u º kiºm tra, ta s³ h¿ ra khæng tçn

t¤i b§t k¼ h m v ∈ L 1 loc (U ) thäa m¢n

ành ngh¾a 1.17 Gi£ sû Ω l  mët mi·n trong R n Mët h m u(x) ∈ L p (Ω)

÷ñ gåi l  ¤o h m suy rëng α h m v(x) ∈ L p (Ω) n¸u:

vîi måi h m ψ ∈ C ◦ ∞ (Ω), ta nâi ψ l  h m thû

Chó þ 1.1 i H m v(x) khæng qu¡ mët ¤o h m suy rëng

l§y ¤o h m.

iv Mët h m ¤o h m b¼nh th÷íng (¤o h m theo ngh¾a iºn) α

th¼ ¤o h m suy rëng α nh÷ng i·u ng÷ñ l¤i nâi hung khæng

óng

v Mët h m ¤o h m suy rëng α trong mi·n Ω th¼ nâ ¤o

h m suy rëng α trong mi·n Ω ′ ⊂ Ω Thªt vªy, gi£ sû f ∈ L 1 (Ω),

V½ dö 1.3 X²t h m f (x) = |x| tr¶n (−1; 1)

ta ¢ bi¸t tçn t¤i ¤o h m th÷íng vîi ∀x 6= 0 T¤i x = 0 th¼ khæng tçn t¤i

¤o h m v¼ f − (0 + ) = 1, f − (0 + ) = −1 Ta s³ hùng minh f (x) = |x| ¤o

nh÷vªy h mf (x) = |x| khæng ¤oh mth÷íngtr¶nkho£ng (−1; 1)nh÷ng

¤o h m suy rëng tr¶n kho£ng (−1; 1)

y=β(x) y=α(x)

dx = 0

y=β(x) y=α(x)

Do â khæng tçn t¤i ¤o h m u(x) t¤i iºm x = 0

Nh÷ng ta th§y, u(x) tçn t¤i ¤o h m suy rëng

R

φ(x)dx

l  ¤o h m suy rëng u(x).

ành lþ 1.9 Gi£ sû Ω l  mëtmi·n trong khænggian R n, Ω ′ l  mi·n

Ω sao ho kho£ng h giúa Ω ′ v  ∂Ω b¬ng d > 0 Khi â, èi vîi 0 < h < d

v  x ∈ Ω ′ ta

(D α u) h (x) = D α u h (x)

Chùng minh Do 0 < h < d; x ∈ Ω ′ v  h m θ( x − y

h ) ∈ C ◦ ∞ (Ω) vîi x ∈ Ω ′,n¶n khi sû döng ành ngh¾a ¤o h m suy rëng ta nhªn ÷ñ

u(x) ∈ L p (Ω) sao ho tçn t¤i ¤o h m suy rëng måi α, |α| ≤ k thuë

L p (Ω) v ÷ñ trang bà bði hu©n sau

kuk W k (Ω) =

 X

Chó þ 1.2 i Tø t½nh h§t L p (Ω) l  khæng gian y ta suy ra ÷ñ

W k

p l  khæng gian y

ii L 2 (Ω) l  khæng gian Hilbert suy ra W k

2 (Ω) l  khæng gian Hilbert

 tr÷íng hñp n y º ng­n gån ng÷íi ta k½ hi»u l  H k (Ω).

ành lþ 1.10 Gi£ sû Ω l  mët mi·n trongR n v  k ≥ 0, 1 ≤ p < ∞ Khi â

|α|≤k

kD α uk p L p (U )

 1 p +

 X

 X

2. Ta hùng minh W k

p (U ) l  khæng gian y.Gi£ sû {u m } ∞ m=1 l  d¢y hy n¬m trong W k

p (U ) V¼ W k

p (U ) l  khæng gian

L p (U ) n¶n {u m } ∞ m=1 l  d¢y hy trong L p (U ), m  L p (U ) l khæng gian h

Do â {u m } ∞ m=0 hëi tö v· u ∈ L p (U ) l  vîi måi ǫ > 0 b² tòy þ,

Do â {D α u m } ∞ m −0 l  d¢y hy trong L p (U )

Do L p (U ) l  y n¶n D α u m −→ u α trong L p (U ) vîi méi α : |α| ≤ k.

3. B¥y gií hóng ta kh¯ng ành u ∈ W k

p (U ) th¼ D α u = u α vîi |α| ≤ k

º ÷ñ i·u n y, ta l§y ành φ ∈ C c ∞ (U ). th¼

ku j k W k (Ω) ≤ C

Ngo ira,gi£ sû d¢y n y hëi töy¸u trong khænggian L p (Ω) tîimëth m u(x)

∂x i

p

dx

 1 p

vîi måi h m u ∈ W ◦ p 1 (Ω)

Chùng minh Gi£ sû u ∈ C ◦ ∞ (Ω) v  Ω n¬m trong d£i

Π = {x ∈ R n : a < x 1 < b} °t u(x) = 0 ngo i Ω Khi â

∂u(t, x 2 , , x n )

∂t

dt,

∂u(t, x 2 , , x n )

∂t

... u(x). Bði v¼ u h (x) kh£

vi vổ hÔn v giĂ hỡn nỳa u h (x) u(x) trongkhæng gian W k