Khóa luận tốt nghiệp toán học: Dạy học giải toán tổ hợp - xác suất theo hướng phân dạng bài tập cho học sinh THPT

MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 I. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1 II. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1 1. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 1 2. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 2 III. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................. 2 IV. Cấu trúc đề tài .............................................................................................. 2 Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................. 3 1. Cơ sở lí luận ................................................................................................... 3 1.1. Vị trí chức năng của bài tập toán học ........................................................... 3 1.2. Yêu cầu đối với lời giải ............................................................................... 4 1.3. Phương pháp tìm lời giải bài tập toán học.................................................... 5 1.4. Dạy học mạch toán ứng dụng tổ hợp – xác suất ........................................... 7 1.5. Nội dung chương trình và kiến thức cơ bản về tổ hợp – xác suất trong trình toán THPT.......................................................................................................... 8 1.5.1. Nội dung chương trình tổ hợp – xác suất trong chương trình toán THPT ........ 8 1.5.2. Một số kiến thức cần nhớ về tổ hợp – xác suất ......................................... 8 2. Thực trạng dạy và học kiến thức tổ hợp xác suất ở một số trường trung học phổ thông miền núi ........................................................................................... 14 2.1. Khảo sát thực trạng dạy và học kiến thức tổ hợp xác suất ở một số trường THPT miền núi................................................................................................. 14 Chương II: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ TỔ HỢP XÁC SUẤT ............. 21 2.1. Dạy học giải bài tập toán tổ hợp trong chương trình toán THPT ................ 21 2.1.1. Dạng 1: Đếm số phần tử của tập hợp ...................................................... 21 2.1.2. Dạng 2: Bài toán xếp các phần tử và bài toán chọn các phần tử .............. 22 2.1.3. Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình .............. 24 2.1.4. Dạng 4: Chứng minh một đẳng thức và bất đẳng thức ............................ 27 2.1.5. Dạng 5: Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton ............. 29 2.2. Một số dạng bài tập xác suất ...................................................................... 35 2.2.1. Dạng 1: Các bài toán tính xác suất đơn giản ........................................... 35 2.2.3. Dạng 3: Các bài toán sử sụng quy tắc cộng, quy tắc nhân ....................... 41 Chương III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ................................................... 49 3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................... 49 3.2. Phương pháp thực nghiệm ......................................................................... 49 3.3. Nội dung thực hiện .................................................................................... 49 3.4. Tổ chức thực nghiệm ................................................................................. 49 3.5. Phương pháp thực nghiệm. ........................................................................ 49 3.6. Đánh giá kết quả thực nghiệm ................................................................... 50 3.6.1. Biện pháp ............................................................................................... 50 3.6.2. Phân tích kết quả .................................................................................... 50 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 54 1 MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Môn “giải tích tổ hợp xác suất” là một phần của “đại số và giải tích” lớp 11 và có trong cấu trúc các đề thi toán và cao đẳng và đại học, là một mảng toán khó, nhiều học sinh không phân biệt được khi nào dùng “tổ hợp” khi nào dùng “chỉnh hợp”, không giải được các bài toán về “nhị thứ Newton”, về phần xác suất học sinh cũng vấp phải các bài toán về tính xác suất các biến cố, biến cố có điều kiện nhất là các câu trong đề thi cao đẳng và đại học. Bài toán về giải tích tổ hợp xác suất rất đa dạng và phong phú và cũng là nội dung rất phức tạp trong chương trình toán THPT. Mặc dù đã đưa ra các giải tổng quát cho một số dạng toán cụ thể có phương pháp giải rõ ràng song còn nhiều bài toán giải tích tổ hợp xác suất chúng ta chưa có cách giải cụ thể, khi đi sâu vào nghiên cứu tổ hợp - xác suất tìm hiểu các khái niệm trong các kiến thức này cho ta thấy các khái niệm đều được xây dựng bằng ngôn ngữ ánh xạ các kiến thức của nó rất cơ bản và liên quan mật thiết với nhau. Để hiểu rõ lý thuyết cần phải tìm hiểu và làm nhiều bài tập, học sinh muốn nắm vững nội dung bài học thì phải dạy cho học sinh cách học cách làm bài tập một cách có hệ thống có phương pháp giải cụ thể cho từng dạng từ đó học sinh có thể tự mình làm được các bài tập. Hệ thống các bài tập trong SGK, sách bài tập được chọn lọc cận thận và đóng vai trò quan trọng trong việc củng cố lý thuyết, song để đáp ứng yêu cầu nâng cao, mở rộng đào sâu kiến thức thì hệ thống bài tập đó chưa đủ và chưa phân dạng được các dạng bài tập. Như vậy học sinh khó nắm bắt hệ thống bài tập, khi gặp các dạng bài tập tổ hợp - xác suất khác với các bài tập học sinh đã quen giải, học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc tìm lời giải. Vì vậy, việc nghiên cứu tìm tòi hệ thống các phương pháp giải toán tổ hợp - xác suất là cần thiết và hữu ích cho học sinh, sinh viên sư phạm toán và giáo viên toán các trường THPT. Với lí do trên, tôi chọn và nghiên cứu đề tài “Dạy học giải toán tổ hợp - xác suất theo hướng phân dạng bài tập cho học sinh THPT” nhằm cung cấp thêm cho học sinh một số phương pháp để giải các bài toán tổ hợp - xác suất từ đó nâng cao khả năng giải toán, khả năng tư duy và hứng thú học tập cho học sinh. II. Mục đích nghiên cứu

Lời cảm ơn

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, chúng tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Toán – Lý – Tin đặc biệt là thầy giáo – T.S Nguyễn Triệu Sơn đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình làm khóa luận Tôi xin gửi lời cảm ơn tới cán

bộ phòng quản lý khoa học và quan hệ quốc tế, thư viện trường đại học Tây Bắc, các em học sinh và giáo viên hai trường THPT Mường Bi – Tân Lạc, THPT Phan Đình Giót – TP Điện Biên đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận

Trong quá trình hoàn thành khóa luận, do thời gian và kinh nghiệm hạn chế nên khóa luận không thể tránh khổi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2013 Sinh viên

Từ Thị Mai Hương

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 1 Bảng điều tra GV trường THPT Mường Bi 13 Bảng 2 Bảng điều tra GV trường THPT Phan Đình Giót –

Bảng 4 Bảng điều tra học sinh lớp 1 trường THPT Phan

Đình Giót- TP Điện Biên

14

Bảng 5 Bảng điều tra khả năng nhận thức, mức độ kiến

thức, tính hứng thú học tập kiến thức tổ hợp xác suất của học sinh lớp 11 trường THPT Mường Bi

15

Bảng 6 Bảng điều tra khả năng nhận thức, mức độ kiến

thức, tính hứng thú học tập kiến thức tổ hợp xác suất của học sinh lớp 11 trường THPT Phan Đình

Giót – TP Điên Biên

15

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

I.Lý do chọn đề tài 1

II.Mục đích nghiên cứu 1

1.Mục đích nghiên cứu 1

2 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

III Phương pháp nghiên cứu 2

IV.Cấu trúc đề tài 2

Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3

1 Cơ sở lí luận 3

1.1 Vị trí chức năng của bài tập toán học 3

1.2 Yêu cầu đối với lời giải 4

1.3 Phương pháp tìm lời giải bài tập toán học 5

1.4 Dạy học mạch toán ứng dụng tổ hợp – xác suất 7

1.5 Nội dung chương trình và kiến thức cơ bản về tổ hợp – xác suất trong trình toán THPT 8

1.5.1 Nội dung chương trình tổ hợp – xác suất trong chương trình toán THPT 8

1.5.2 Một số kiến thức cần nhớ về tổ hợp – xác suất 8

2 Thực trạng dạy và học kiến thức tổ hợp xác suất ở một số trường trung học phổ thông miền núi 14

2.1 Khảo sát thực trạng dạy và học kiến thức tổ hợp xác suất ở một số trường THPT miền núi 14

Chương II: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ TỔ HỢP XÁC SUẤT 21

2.1 Dạy học giải bài tập toán tổ hợp trong chương trình toán THPT 21

2.1.1 Dạng 1: Đếm số phần tử của tập hợp 21

2.1.2 Dạng 2: Bài toán xếp các phần tử và bài toán chọn các phần tử 22

2.1.3 Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 24

2.1.4 Dạng 4: Chứng minh một đẳng thức và bất đẳng thức 27

2.1.5 Dạng 5: Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton 29

2.2 Một số dạng bài tập xác suất 35

2.2.1 Dạng 1: Các bài toán tính xác suất đơn giản 35

2.2.3 Dạng 3: Các bài toán sử sụng quy tắc cộng, quy tắc nhân 41

Chương III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 49

3.1 Mục đích thực nghiệm 49

3.2 Phương pháp thực nghiệm 49

3.3 Nội dung thực hiện 49

3.4 Tổ chức thực nghiệm 49

3.5 Phương pháp thực nghiệm 49

3.6 Đánh giá kết quả thực nghiệm 50

3.6.1 Biện pháp 50

3.6.2 Phân tích kết quả 50

KẾT LUẬN 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Môn “giải tích tổ hợp xác suất” là một phần của “đại số và giải tích” lớp

11 và có trong cấu trúc các đề thi toán và cao đẳng và đại học, là một mảng toán khó, nhiều học sinh không phân biệt được khi nào dùng “tổ hợp” khi nào dùng

“chỉnh hợp”, không giải được các bài toán về “nhị thứ Newton”, về phần xác suất học sinh cũng vấp phải các bài toán về tính xác suất các biến cố, biến cố có điều kiện nhất là các câu trong đề thi cao đẳng và đại học Bài toán về giải tích

tổ hợp xác suất rất đa dạng và phong phú và cũng là nội dung rất phức tạp trong chương trình toán THPT Mặc dù đã đưa ra các giải tổng quát cho một số dạng toán cụ thể có phương pháp giải rõ ràng song còn nhiều bài toán giải tích tổ hợp xác suất chúng ta chưa có cách giải cụ thể, khi đi sâu vào nghiên cứu tổ hợp - xác suất tìm hiểu các khái niệm trong các kiến thức này cho ta thấy các khái niệm đều được xây dựng bằng ngôn ngữ ánh xạ các kiến thức của nó rất cơ bản

và liên quan mật thiết với nhau

Để hiểu rõ lý thuyết cần phải tìm hiểu và làm nhiều bài tập, học sinh muốn nắm vững nội dung bài học thì phải dạy cho học sinh cách học cách làm bài tập một cách có hệ thống có phương pháp giải cụ thể cho từng dạng từ đó học sinh

có thể tự mình làm được các bài tập Hệ thống các bài tập trong SGK, sách bài tập được chọn lọc cận thận và đóng vai trò quan trọng trong việc củng cố lý thuyết, song để đáp ứng yêu cầu nâng cao, mở rộng đào sâu kiến thức thì hệ thống bài tập đó chưa đủ và chưa phân dạng được các dạng bài tập Như vậy học sinh khó nắm bắt hệ thống bài tập, khi gặp các dạng bài tập tổ hợp - xác suất khác với các bài tập học sinh đã quen giải, học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc tìm lời giải Vì vậy, việc nghiên cứu tìm tòi hệ thống các phương pháp giải toán tổ hợp - xác suất là cần thiết và hữu ích cho học sinh, sinh viên sư phạm toán và giáo viên toán các trường THPT

Với lí do trên, tôi chọn và nghiên cứu đề tài “Dạy học giải toán tổ hợp -

xác suất theo hướng phân dạng bài tập cho học sinh THPT” nhằm cung cấp

thêm cho học sinh một số phương pháp để giải các bài toán tổ hợp - xác suất từ

đó nâng cao khả năng giải toán, khả năng tư duy và hứng thú học tập cho học sinh

II Mục đích nghiên cứu

1 Mục đích nghiên cứu

Cung cấp hệ thống một số phương pháp bài toán về tổ hợp - xác suất từ

đó giúp cho học sinh hạn chế được những khó khăn khi giải những bài toán tổ hợp - xác suất có dạng đặc biệt, đồng thời giúp các em hình thành tư duy toán học trong quá trình làm các bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Giới thiệu cho học sinh có cách nhìn nhận chính xác về một số bài toán

tổ hợp xác suất trong chương trình toán THPT

- Cung cấp cho học sinh phương pháp giải một số dạng toán tổ hợp xác suất cụ thể phức tạp hơn những dạng thông thường

III Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

IV Cấu trúc đề tài

- Mở đầu

Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương II: Một số phương pháp giải toán tổ hợp xác suất

Chương III: Thực nghiệm sư phạm

- Kết luận

- Tài liệu tham khảo

Chương I

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 Cơ sở lí luận

Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hướng vào việc những con người lao động

tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp qua đó góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh

Về phương pháp giáo dục: phải khuyến khích tự học, phải ứng dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh những năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề

Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều rèn luyện nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, hiện đại vào quá trình dạy học đảm bảo điều kiện và thời gian tự học và tự nghiên cứu cho học sinh

Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn nhằm tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh

Tóm lại: Cốt lõi của việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động chống lại thói quen thụ động Quan điểm chung của việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường THPT là tổ chức cho học sinh được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động với tinh thần tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo

1.1 Vị trí chức năng của bài tập toán học

Bài tập có vai trò quan trọng trong bộ môn toán và điều căn bản là mang lại hoạt động cho học sinh Thông qua việc giải bài tập học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí

… Những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học Vì vậy, vai trò của bài tập toán thể hiện trên ba bình diện sau:

 Bình diện mục tiêu dạy học

Bài tập toán học ở trường THPT là mang lại những giá trị hoạt động mà việc thực hiện những hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu Mặt khác,

những bài tập cũng thể hiện những khả năng khác nhau hướng đến mục tiêu dạy học môn toán cụ thể:

+ Hình thành củng cố tri thức kĩ năng kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn

+ Phát triển kỹ năng trí tuệ

+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật

 Bình diện nội dung

Những bài tập toán học là mang lại những hoạt động liên hệ với những nội dung hoạt động nhất định, là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết

 Bình diện phương pháp

Bài tập toán học là mang lại giá trị hoạt động để người học kiến tạo tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện mục tiêu giáo dục khác nhau Khai thác tốt các bài tập đó góp phần tổ chức cho học sinh trong hoạt động tự giác tích cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập trong giao lưu

1.2 Yêu cầu đối với lời giải

Trước hết ta cần nắm vững yêu cầu của lời giải: Lời giải phải đúng và tốt, trình bày vắn tắt Nó bao hàm đủ các ý cần thiết nhưng không quá cô đọng Để thuận tiện cho việc thực hiện yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có thể cụ thể hóa các yêu cầu đương nhiên phải chấp nhận các yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết:

* Kết quả đúng, kể cả các bước trung gian

* Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ … thỏa mãn các yêu cầu bài ra Kết quả các bước trung gian cũng phải đúng

Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm trong tính toán, hình vẽ biến đổi biểu thức

* Lời giải đầy đủ

Lời giả không thể bỏ sót một trường hợp, một chi tiết cần thiết nào Ví dụ: khi giải phương trình không được thiếu nghiệm hoặc khi phân chia các trường hợp không được thiếu khả năng nào …

* Ngôn ngữ chính xác

* Trình bày rõ ràng, đảm bảo thẩm mỹ

Yêu cầu này đặt ra với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu

tố trong lời giải

* Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn hợp lý nhất

Trong quá trình dạy học cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải trong một bài toán, hướng dẫn học sinh phân tích, so sánh để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lý nhất Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

1.3 Phương pháp tìm lời giải bài tập toán học

Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giải một bài toán Nhưng đó là một tham vọng không tưởng Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng không thể có chung thuật giải

Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán là điều có thể và rất cần thiết Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Pôlya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tế dạy học, có thể tổng kết phương pháp chung để giải bài toán như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Để tìm hiểu nội dung đề bài ta cần thực hiện các thao tác sau:

- Phát biểu nội dung đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

- Phân biệt cái đã cho cái phải tìm, phải chứng minh

- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài Khi hướng dẫn học sinh tìm hiểu nội dung đề bài giáo viên thường đặt ra những câu hỏi phát vấn dạng:

- Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thỏa mãn điều kiện cho trước hay không?

- Hãy vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp

- Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện Có thể diễn tả các điều kiện

đó bằng công thức hay không?

Bước 2: Tìm lời giải

Tìm cách giải bài tập toán học hay ta đi thực hiện các hoạt động sau:

- Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng của bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán cụ thể như: Chứng minh phản chứng, quy nạp, dựng hình, quỹ tích …

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kỹ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả tìm được với một số tri thức liên quan

- Tìm những cách giải khác, so sánh chúng để tìm được cách giải hợp lý nhất

- Trong quá trình đi tìm lời giải cần đặt những câu hỏi dạng:

+ Đã gặp bài toán này hay chưa? Hay đã gặp bài toán này ở dạng hơi khác hay chưa?

+ Hãy xét kỹ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng yếu tố chưa biết hay yếu tố đã biết tuơng tự

+ Thấy được một bài toán có liên quan mà bạn có lần giải rồi? Có cần phải đưa thêm yếu tố phụ thì mới áp dụng được bài toán đó?

+ Có thể phát biểu bài toán dưới dạng khác không?

+ Hãy giải một phần của bài toán

+ Có thể thay thế bằng điều kiện khác để xác định cái phải tìm hay không? Có thể thay thế cái phải tìm hay cái đã cho hay cả hai nếu cần thiết sao cho cái phải tìm mới và cái đã cho mới được gần nhau hơn?

+ Đã sử dụng hết cái đã cho hay chưa? + Đã để ý một khái niệm trong bài toán hay chưa?

+ Kiểm tra lại kết quả? Kiểm tra từng bước? Kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải toán?

+ Có thể tìm được kết quả theo một cách khác hay không? Có thể thay thế trực tiếp kết quả không?

+ Hãy so sánh các giải để tìm ra cách giải tối ưu nhất

Bước 3: Trình bày cách giải

Từ cách giải đã được phát hiện sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Để có một lời giải chặt chẽ ta cần thực hiện theo các bước sau:

- Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ ở bước hai

- Trình bày lại lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán phát hiện, những yếu tố lệch lạc nhất thời và đã điều chỉnh những chỗ cần thiết

Bước 4: nghiên cứu sâu lời giải

Nghiên cứu sâu lời giải nghĩa là nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải, nghiên cứu giải những bài toán tương tự, những bài toán liên quan,

mở rộng hay lật ngược vấn đề

Có thể dung kết quả đó hay phương pháp đó cho một bài toán tương tự, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào khác

Kết luận: Phương pháp chung để giải một bài toán không phải là thuật giải

để giải bài toán là những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi phát hiện Nói chung cách thức dạy học sinh phương pháp chung để giải toán như sau:

- Thông qua việc giải toán cần nhấn mạnh để học sinh nắm được phương pháp chung có bốn bước và có ý thức vận dụng

- Cần đặt cho học sinh câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần biết

sử dụng những câu hỏi này như công cụ kích thích sự tìm tòi, phát hiện để thực hiện từng bước của phương pháp chung giải toán

1.4 Dạy học mạch toán ứng dụng tổ hợp – xác suất

Kiến thức tổ hợp xác suất là những yếu tố mới được đưa vào chương trình toán THPT Trong khi dạy những yếu tố này, giáo viên cần nắm vững và thể hiện những tinh thần sau:

Thứ nhất là việc dạy những yếu tố về tổ hợp Những yếu tố này rất cần thiết cho nhiều ứng dụng trong thực tiễn Đặc biệt, chúng còn phục vụ cho việc giải toán xác suất Những bài toán về tổ hợp thường đòi hỏi học sinh phân tích

kĩ lưỡng tình huống thực tế, xem xét thấu đáo và hợp lí các trường hợp, không

bỏ sót và không để trùng lặp

Khi dạy học một số yếu tố về tổ hợp ở lớp 11, cần nhấn mạnh, hướng dẫn

kĩ lưỡng về “bài toán chọn và quy tắc nhân” và “sơ đồ cây” biểu thị trực quan nguyên tắc chọn đó

Theo quan điểm toán học ứng dụng, cần lưu ý học sinh đến sự kiện là số

tổ hợp chỉnh hợp chập k của n phần tử tăng nhanh khi n tăng

Thứ hai là việc dạy học một số yếu tố của lý thuyết xác suất Dựa vào các công thức về hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp, nhi thức newtơn, ở một số ban của trường THPT phân ban, người ta trình bày một số kiến thức về xác suất như những ứng dụng của tổ hợp và mang tính cách là những kiến thức thực hành

1.5 Nội dung chương trình và kiến thức cơ bản về tổ hợp – xác suất

trong trình toán THPT

1.5.1 Nội dung chương trình tổ hợp – xác suất trong chương trình toán THPT Trong chương trình môn toán ở trường THPT, kiến thức tổ hợp – xác suất được tìm hiểu ở chương trình toán lớp 11 và nội dung kiến thức bao gồm các vấn đề sau:

- Những khái niệm ban đầu về đại số tổ hợp – xác suất

- Các quy tắc đếm

- Các khái niệm và tính chất của hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

- Nhị thức newtơn và các dạng toán liên quan

- Các khái niệm quan trọng ban đầu của xác suất: Phép thử, kết qủ của phép thử và không gian mẫu

- Khái niệm của xác suất của biến cố và biết cách tính xác suất của biến cố Theo Phân phối chương trình của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo phần tổ hợp – xác suất được dạy trong 13 tiết cụ thể như sau:

- Bài 1: Quy tắc đếm (3 tiết)

- Bài 2: Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp (5 tiết)

- Bài 3: Nhị thức Newtơn (1 tiết)

- Bài 4: Phép thử và biến cố (2 tiết)

- Bài 5: Xác suất của biến cố (2 tiết)

1.5.2 Một số kiến thức cần nhớ về tổ hợp – xác suất

Giải: Số cách chọn một học sinh đi dự đại hội là 280 325 605  cách

 Ta có quy tắc cộng: Giả sử có một công việc có thể thực hiện theo

phương án A hoặc theo phương án B

Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B Do vậy công việc đó có thể thực hiện bởi n m cách

 Quy tắc cho công việc với nhiều phương án:

Giải sử có một công việc có thể được thực hiện một trong k phương án

Nếu A và B là hai tập hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của

ABbằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B, tức là:

A B A  B

b) Quy tắc nhân

Ví dụ: An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường Từ nhà

An đến nhà Bình có 4 con đường, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường?

Giải: Với mỗi cách đi từ nhà An đến nhà Cường có 6 cách đi tiếp từ nhà Bình đến nhà Cường Vì có 4 cách đi từ nhà An đến nhà Bình nên có tất cả 4.624cách đi từ nhà An đến nhà Cường

 Ta có quy tắc nhân: Giải sử một công việc nào đó gồm hai công đoạn

A và B Công đoạn A có thể làm theo n cách Với mỗi cách thực hiện công đoạn

A thì công đoạn B có thể làm theo m cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách

 Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn:

Giải sử một công việc nào đó gồm k công đoạn A , A , , A 1 2 k Công đoạn i

A có thể làm theo ni i 1, k cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo

Kết quả của cuộc thi là một danh sách gồm 3 người theo thứ tự nhất, nhì,

ba Danh sách này là hoán vị của tập hợp {An, Bình, Châu} nếu kí hiệu tập{An, Bình, Châu} là {a, b, c}thì tập hợp này có tất cả 6 hoán vị

a,b,c , a,c,b , c,a,b , c,b,a , b,c,a , b,a,c           

Một cách tổng quát ta có: Cho tập hợp A có n phần tửn0 Khi đó sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được 1 hoán vị các phần tử của tập A

* Số các hoán vị

Định lí: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là:Pn n!

b) Chỉnh hợp

* Chỉnh hợp là gì?

Một cách tổng quát: Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k Khi lấy ra

k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A

c) Tổ hợp là gì?

* Định nghĩa

Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với1 k n Mỗi tập con của A có

k phần tử gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là tổ hợp chập k của A)

Như vậy, lập một tổ hợp chập k của A chính là lấy ra k phần tử của A mà không quan tâm đến thứ tự

Ví dụ: Cho tập hợpAa,b,c Các tổ hợp chập hai của A là:

4 Số hạng tổng quát trong khai triển là

Ta có thể tìm các hệ số có mặt trong khai triể nhị thức Newton theo bảng

số dưới đây gọi là tam giác Pascal, do nhà toán học ngườ Pháp Pascal thiết lập vào năm 165:

Tam giác Pascal được thiết lập như sau:

- Đỉnh được ghi số 1 Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1

- Nếu biết hàng thứ n n0 thì hàng thứ n 1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả đó vào hàng dưới

ở vị trí giữa hai số này Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng Cụ thể:

Các số ở hàng thứ n là dãy gồm n 1 số sau:C ,C , ,C 0n 1n nn

1.5.1.2 Kiến thức cần nhớ về xác suất

1.5.1.2.1 Biến cố và phép thử biến cố

 Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết

quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp các kết quả có thể có của phép thử đó

 Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là

không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là 

 Biến cố là một tập con của không gian mẫu

Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa A, B,C và cho dưới dạng

mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con

Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:

Tậpđược gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không) Tập  được gọi là biến cố chắc chắn

 Phép toán trên biến cố

Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử và

các kết quả của phép thử là đồng khả năng

Tập\ Ađược gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A.Và A xảy ra

khi và chỉ khi Akhông xảy ra

TậpABđược gọi là hợp của các biến cốAvà B

TậpABđược gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết là A.B

Nếu A B  thì ta nói Avà B là xung khắc

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay

không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất của xảy ra của

biến cố kia

1.5.1.2.2 Định nghĩa cổ điển của xác suất

Giả sửAlà biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết

quả đồng khả năng xuất hiện

   

P A  1 P Ab) Quy tắc cộng xác suất

Nếu A và B xung khắc thì:

P AB P A P BNếu A B  thì P A B    P A P B

Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P A B    P A P B

2 Thực trạng dạy và học kiến thức tổ hợp xác suất ở một số trường trung học phổ thông miền núi

2.1 Khảo sát thực trạng dạy và học kiến thức tổ hợp xác suất ở một số trường THPT miền núi

2.1.1 Mục đích yêu cầu

Việc điều tra nhằm mục đích thu thập thông tin từ đó biết được khả năng chuyên môn nghiệp vụ của giáo viên và kết quả học tập của học sinh Qua đó nhận xét được trình độ chuyên môn, khả năng tiếp thu của học sinh qua việc học môn toán nói chung và môn đại số giải tích nói riêng, qua đó biết được thực trạng dạy và học ở trường THPT giúp cho việc tạo cơ sở thực tiễn nhằm đề suất các giải pháp sư phạm, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học các kiến thức

tổ hợp xác suất

2.1.2 Đối tượng điều tra

Giáo viên toán ở hai trường: THPT Mường Bi – Tân lạc, THPT Phan Đình Giót – TP Điện Biên Phủ

Học sinh lớp 11 ở hai trường: THPT Mường Bi – Tân Lạc, THPT Phan Đình Giót – TP Điện Biên Phủ

2.1.3 Hình thức và nội dung kiểm

a Hình thức điều tra: Chủ yếu dùng phương pháp thu thập số liệu kết quả

dạy đối với giáo viên và trực tiếp dự giờ kiểm tra, đánh giá đối với học sinh

Cụ thể dùng:

+ Phiếu thăm dò

+ Dự giờ giảng dạy của giáo viên

+ Giảng dạy ở lớp thực nghiệm

+ Kiểm tra mức độ nhận thức môn toán của học sinh qua bài kiểm tra một tiết

b Nội dung điều tra:

- Giáo viên điều tra về tuổi nghề, hệ đào tạo, chất lượng giảng dạy

- Đối với học sinh:

+ Điều tra học lực của học sinh

+ Điều tra độ yêu thích bộ môn đại số và giải tích lớp 11

+ Điều tra khả năng tiếp thu và hiểu bài của học sinh lớp 11 trong khi học môn toán lớp 11

2.1.4 Một số kết quả điều tra về thực trạng dạy và học kiến thứ đại số tổ hợp ở một số trường THPT miền núi

a) Kết quả điều tra đối tượng là giáo viên

Bảng 1: Trường THPT Mường Bi

TT Họ và tên Tuổi nghề

(năm)

Hệ đào tạo

Chất lượng giảng dạy Giỏi Khá TB

Chất lượng giàng dạy Giỏi Khá TB

 Qua điều tra cho thấy:

Một số giáo viên đã có thâm niêm công tác lâu năm nên có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy Do đó trình tự các bước lên lớp và phương pháp giảng dạy bộ môn đều nắm vững Tuy nhiên, cũng có một phần không nhỏ

là hệ thống giáo viên trẻ tuổi mới bước vào nghề chưa có nhiều kinh nghiệm, do

đó đây cũng là một điểm hạn chế

Về trình độ giáo viên: Đều được đào tạo hệ đại học chính quy

Về chất lượng giảng dạy đa số giáo viên đạt chất lượng giảng dạy loại khá, đặc biệt cũng có một số giáo viên đạt chất lượng giảng dạy loại giỏi và đạt danh hiệu dạy giỏi các cấp, tuy nhiên số lượng chưa nhiều nhưng nó cũng đóng vai trò tích cực trong việc cổ vũ, động viên các nhà giáo không ngừng học hỏi

để nâng cao tay nghề

b) Kết quả điều tra học sinh

Bảng 3: Bảng điểu tra học sinh lớp 11 THPT Mường Bi

Bảng 5: Bảng điều tra khả năng nhận thức, mức độ kiến thức, tính hứng

thú học tập kiến thức đại số tổ hợp của học sinh lớp 11

trường THPT Mường Bi

Lớp Mức độ kiến thức của lớp

dưới

Khả năng nhân thức Tính hứng thú học

tập môn toán Nắm

chắc

kiến

thức

Nắm kiến thưc khá

Nắm kiến thức trung bình

Hổng kiến thức

Tốt Khá TB Yếu Hứng

thú học tập

Bình thường

Bắt buộc

chắc

kiến

thức

Nắm kiến thưc khá

Nắm kiến thức trung bình

Hổng kiến thức

Tốt Khá TB Yếu Hứng

thú học tập

Bình thường

Bắt buộc

 Qua bảng số liệu điều tra về học sinh lớp 11 ta có nhận xét:

Trong mỗi lớp điều có sự phân bố đa dạng về thành phần dân tộc, về học lực, về khả năng nhận thức, về mức độ nắm bắt kiến thức, tính hứng thú trong học tập môn toán của các em học sinh, tính đa dạng thể hiện ở các khía cạnh:

Về thành phần dân tộc: Có sự phân bố tương đối rộng về thành phần dân

tộc, trong một lớp có nhiều thành phần dân tộc, mỗi thành phần dân tộc chiếm tỷ

lệ không nhỏ trong lớp

Về học lực: Trong một lớp học lực của các em không đều nhau, có cả học

sinh có học lực giỏi, song vẫn có học sinh có học lực kém Học sinh có học lực trung bình chiếm tỷ lệ cao so với các học sinh có học lực giỏi, khá, yếu, kém

Về mức độ nắm bắt kiến thức ở lớp dưới: Đa phần học sinh nắm bắt kiến

thức ở các lớp dưới một cách mơ màng, số học sinh nắm chắc kiến thức không cao và vẫn có học sinh hổng kiến thức một cách nguy hiểm

Khả năng nhận thức: Trong lớp có sự phân bố khả năng nhận thức khá đa

dạng, Khả năng nhận thức tốt chiếm tỷ lệ chưa cao, khả năng nhận thức trung bình chiếm tỷ lệ đa số

Qua nhận xét trên ta có nhận xét về thuận lợi và khó khăn khi các bạn học sinh tham gia học tập:

Thuận lợi: Trong mỗi lớp đều có bạn có học lực khá giỏi về mỗi môn nên

việc hỗ trợ giưa các bạn học khá và các bạn có học lực trung bình giúp cho các

em học tập tốt hơn

Trong tập thể lớp về thành phần dân tộc tương đối đa dạng, đoa cũng là cơ hội tốt giúp cho các bạn vùng sâu vùng xa hòa đồng vươn lên trong học tập

Khó khăn: Đa phần các bạn có học lực trung bình nên tính sáng tạo nhanh

nhạy trong tiếp thu bài giảng chưa cao

Mức độ nắm bắt kiến thức từ các lớp dưới còn ở mức độ trung bình, gây khó khăn khi tiếp thu bài mới

Tính hứng thú khi các em học môn này chưa cao, gây cản trở cho các em khi học bài mới

2.1.5 Đề xuất giải pháp sư phạm để nâng cao chất lượng dạy học kiến thức đại số tổ hợp của giáo viên và học tập của học sinh

Giáo viên cần giới thiệu nhiều phương pháp cho học sinh giải bài tập mà các em đã học nhằm khơi dậy, tái hiện kiến thức cũ giúp các em vận dụng giải quyết các bài bài tập một cách nhanh chóng và đạt hiệu quả cao

Cần đưa thêm các phương pháp ứng dụng công thức hoán vị, chỉnh hợp,

tổ hợp… đưa các bài toán về biến số tự nhiên quen thuộc để giải bài toán được

dễ dàng

Nội dung sách giáo khoa bám sát chương trình và đảm bảo nguyên tắc kế thừa Thực tế giảng dạy cho thấy các bài toán tổ hợp xác suất luôn là một dạng toán khó đối với học sinh, đặc biệt học sinh rất lung túng không biết khi nào dùng chỉnh hợp khi nào dùng tổ hợp, khi đó sách giáo khoa đã cố gắng trình bày nội dung này cho thật sinh động gần với thực tiễn Trong bài có nhiều ví dụ về các tình huống khác nhau để học sinh có cơ hội thực hành

Chương II MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ TỔ HỢP XÁC SUẤT

2.1 Dạy học giải bài tập toán tổ hợp trong chương trình toán THPT

2.1.1 Dạng 1: Đếm số phần tử của tập hợp

Phương pháp: Vận dụng các quy tắc đếm cơ bản

Bài toán 1: Trên kệ sách có 12 quyển sách tham khảo toán lớp 11 và 6

quyển sách tham khảo lý lớp 11 Hỏi một học sinh có bao nhiêu cách chọn một

trong hai loại sách nói trên?

Phân tích:

Vì sách tham khảo toán và lý là khác nhau nên mỗi lần lấy ra một quyển sách bất kì là một cách chọn Do đó áp dụng quy tắc cộng ta có số cách chọn một trong hai loại sách trên

Lời giải:

Học sinh có hai phương án chọn:

Phương án 1: Chọn một quyển sách toán có 12 cách chọn

Phương án 2: Chọn một quyển sách lý có 6 cách chọn

Vậy học sinh có: 12 6 18  cách chọn một trong hai loại sách trên

Bài toán 2: Một lớp có 40 học sinh Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một

ban điều hành lớp gồm một lớp trưởng một lớp phó và một thủ quỹ Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Biết rằng mỗi học sinh đều có thể làm một nhiệm vụ

Phân tích: Để chọn một ban điều hành lớp ta phải thực hiện liên tiếp ba

hành động: Hành động 1 chọn lớp trưởng, hành động 2 chọn lớp phó và hành

động 3 chọn thủ quỹ nên áp dụng quy tắc nhân ta sẽ suy ra được số cách chọn

Lời giải:

Có 40 cách chọn lớp trưởng

Sau khi chọn lớp trưởng xong có 39 cách chọn một lớp phó

Sau khi chọn lớp trưởng và lớp phó xong có 38 cách chọn thủ quỹ Vậy ta có tất cả 40.39.38 58280 cách chọn

Bài toán 3: Cho tập hợpA1,2,3,4,5.Từ các phần tử của A có thể lập

được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau bắt đầu bằng chữ số 5

Phân tích:

Để thành lập các số từ các số đã cho ta gọi số cần tìm là xabcde

Để thành lập một số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau ta phải thực hiện năm hành động lựa chọn liên tiếp các chữ số a, b, c, d, e từ tập A

Lời giải:

Gọi số cần tìm là xabcde

Do số tự nhiên bắt đầu bằng chữ số 5 nên a có một cách chọn

Sau khi chọn a xong ta có

4 cách chọn b (vì a b )

3 cách chọn c

2 cách chọn d

1 cách chọn e Vậy theo quy tắc nhân ta có 1.4.3.2.1 24 cách

2.1.2 Dạng 2: Bài toán xếp các phần tử và bài toán chọn các phần tử

Phương pháp:

- Sử dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

- Sử dụng phối kết hợp giữa hoán vị và chỉnh hợp, giữa tổ hợp và hoán vị

- Có thể sử dụng phương pháp gián tiếp để giải bài toán này

Bài toán 1: Một tổ có 12 học sinh Thầy giáo có ba đề kiểm tra khác nhau

cần chọn bốn học sinh cho mỗi đề kiểm tra Hỏi có mấy cách chọn?

- Đầu tiên chọn 4 trong 12 học sinh cho đề một có C cách Tiếp đến chọn 124

4 trong 8 học sinh còn lại cho đề hai có C cách 84

- Các học sinh còn lại làm đề ba

Vậy ta có: C C124 84 12! 8! 34650

4!4! 4!4!

Bài toán 2: Một bàn dài có hai dãy ghế ngồi đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6

ghế người ta muốn xếp chỗ cho 6 học sinh của trường A và 6 học sinh của trường B vào bàn trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau?

Phân tích:

Để xếp chỗ cho học sinh của hai trường ngồi đối diện nhau ta phải thực hiện hai hành động liên tiếp, đầu tiên là xếp chỗ cho hai nhóm học sinh ngồi đối diện nhau thì khác trường, tiếp theo chon học của hai trương ngồi vào chỗ

Trong nhóm học sinh A có 6! cách sắp xếp 6 em vào 6 chỗ ngồi

Trong nhóm học sinh B có6! cách sắp xếp 6 em vào 6 chỗ ngồi

Vậy ta có 2.6!.6! cách

Bài toán 3: Ông A có 11 người bạn, ông ta muốn mời 5 người bạn trong số

họ đi chơi Trong 11 người đó có hai người không muốn gặp mặt nhau Hỏi ông

A có bao nhiêu cách mời?

Lời giải:

Bài toán có hai khả năng xảy ra:

- Khả năng 1: Ông A mời 5 người trong đó không có hai người ghét nhau,

3 Bài Một đoàn tàu có ba toa tàu nếu trên sân ga có bốn hành khách chuẩn

bị đi tàu du lịch Mỗi toa có ít nhất bốn chỗ trống Hỏi

a) Có bao nhiêu cách sắp xếp bốn vị khác lên ba toa tàu đó

b) Có bao nhiêu cách sắp xếp bốn vị khác lên ba toa tàu đó để có một toa có

ba trong bốn vị khách trên

2.1.3 Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

Phương pháp:

Vận dụng các công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp đưa bài toán về biến số

tự nhiên và lưu ý không nên khai triển thành đa thức khi bậc lớn hơn 2 (nếu không cần thiết) để sử dụng tính chất tích các số tự nhiên

* Chú ý các điều kiện có nghĩa của các biểu thức hoán vị, chình hợp, tổ hợp:

x

P : Đk: *

x

y x

A :  Đk: x, y*, x y

y x

C : Đk: x, y, x0, yxQuy ước: 0! 1

Bài toán 1: Giải phương trình: 12Cx 1x 3 55A2x 1

555

Vậy phương trình có nghiệm là x8

Bài toán 2: Giải hệ phương trình:

Phân tích:

Ta áp dụng công thức

k n

n n 1 n k 1C

2 x 1 x

3x x 1 302!

Vậy phương trình có nghiệm là x2

k n

P n!

n!

A

n k !n!

Ck! n k !

n!

Ck! n k !

Bài toán 2: Chứng minh rằng n! 2 n 1 với n  , n 3

Phân tích: Ở đây ta dùng phương pháp quy nạp để minh

Lời giải:

Với n 3 , ta có: 3! 6 2  2 (đúng)

Giải sử bài toán đúng với nk k  ,k 3 , tức là ta có: k! 2 k 1 (1)

Ta chứng minh bài toán đúng khin k 1, nghĩa là chứng minh   k

2 3

2 n

2A

3! 3.2 2 3A