Khóa luận tốt nghiệp toán học: Một số bài toán nhận dạng tam giác

Khóa luận toán học

Líi u ti¶n em xin gûi líi ìn h¥n th nh ¸n thy gi¡o - ThS Nguy¹n Thanh T òng, ng÷íi ¢ ti¸p h÷îng d¨n, h¿ b£o tªn t¼nh

º em ho n th nh kho¡ luªn n y.

Trong qu¡ tr¼nh ho n th nh kho¡ luªn n y em luæn nhªn ÷ñ sü quan t¥m, õng hë, ëng vi¶n, gâp þ thy gi¡o trong khoa To¡n - Lþ

- Tin, bi»t l  thy trong tê ¤i sè - H¼nh hå v  b¤n sinh vi¶n lîp K50 ¤i hå s÷ ph¤m To¡n.

çng thíi, º ho n th nh kho¡ luªn n y em ¢ nhªn ÷ñ sü t¤o

i·u ki»n thuªn lñi v· sð vªt h§t, t i li»u tham kh£o th÷ vi»n v  ban ngh nh thuë tr÷íng ¤i hå T¥y

Nh¥n dàp n y ho ph²p em ÷ñ b y tä láng bi¸t ìn s¥u ¸n thy gi¡o, b¤n sinh vi¶n v  ìn và ban ngh nh nâi tr¶n, bi»t

l  thy gi¡o - ThS Nguy¹n Thanh T òng ¢ nhi»t t¼nh gióp ï, ëng vi¶n em trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n v  ho n th nh khâa luªn.

Em r§t mong nhªn ÷ñ nhúng þ ki¸n âng gâp thy gi¡o, b¤n sinh vi¶n º kho¡ luªn n y ÷ñ ho n thi»n hìn.

Em xin h¥n th nh ìn!

Sìn La, th¡ng 05 n«m 2013

Sinh vi¶n

Ph¤m Thà T oan

Khâa luªn n y dòng nhúng k½ hi»u vîi þ ngh¾a ành trong b£ng d÷îi ¥y:

A, B, C Sè o gâ t÷ìng ùng t¤i ¿nh A, B, C

a, b, c ë d i èi di»n gâ A, B, C

ha, hb, hc ë d i ÷íng xu§t ph¡t tø A, B, C

ma, mb, mc ë d i ÷íng trung tuy¸n xu§t ph¡t tø A, B, C

la, lb, lc ë d i ÷íng ph¥n trong xu§t ph¡t tø A, B, C

R ë d i b¡n k½nh ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam

r ë d i b¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p tam

ra, rb, rc ë d i b¡n k½nh ÷íng trán b ng ti¸p gâ A, B, C

p= a+ b + c

2 Nûa hu vi tam

5

0.1 Lþ do hån khâa luªn 6

0.2 h nghi¶n 6

0.3 Nhi»m vö nghi¶n 7

0.4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n 7

0.5 Ph¤m vi nghi¶n 7

0.6 C§u kho¡ luªn 7

1 Ki¸n sð 8 1.1 ¯ng l÷ñng b£n trong tam 8

1.2 Mët sè b§t ¯ng ¤i sè 12

2 T½nh sè o gâ trong tam 14 3 Nhªn d¤ng tam 22 3.1 Nhªn d¤ng tam 22

3.2 Nhªn d¤ng tam vuæng 28

3.3 Nhªn d¤ng tam ·u 38

3.4 Nhªn d¤ng tam 48

T rong méi h÷ìng tr¼nh to¡n ð phê thæng r§t nhi·u d¤ng to¡n

nhau, trong â nhªn d¤ng tam l  mët d¤ng to¡n hay v  khâ, th÷íng g°p trong · thi tuyºn sinh v o ¤i hå v  Cao ¯ng ký thi t½nh h§t tuyºn hån hå sinh ¥y l  mët lîp b i to¡n quan trång trong phn H» l÷ñng trong tam nâi ri¶ng, v  trong h÷ìng tr¼nh mæn hå l÷ñng ð nh  tr÷íng phê thæng nâi hung Nëi dung b£n

nâ thº tâm t­t nh÷ sau: Cho mët tam thäa m¢n mët hay hai

gâ ta ph£i t¼m t½nh h§t tam â, h¯ng h¤n nh÷: t¼m sè o

gâ hùng tä gi¡ trà h m l÷ñng gâ hùng minh l  tam vuæng, ·u, b i to¡n nhªn d¤ng tam ÷ñ xem nh÷ mët b÷î trung gian r§t nhi·u b i to¡n Trong â o¡n nhªn xem mët tam l  vuæng, ·u hay d¤ng bi»t n o â s³ gióp h r§t nhi·u

ho t½nh di»n h, hu vi hay y¸u tè trong tam V¼ nhúng l½ do â, tæi ¢ hån kho¡ luªn Mët sè b  i to¡n nhªn d¤ng

Khâa luªn ho hå sinh th¶m v· nhªn d¤ng tam xu§t ph¡t tø b i to¡n hùa s®n y¸u tè h¼nh hå tø â gióp hå sinh d¹ d ng nhªn bi¸t ÷ñ iºm, h¼nh d¤ng tam

Khoa luªn nghi¶n v· d¤ng b i to¡n nhªn d¤ng tam

- b i to¡n trung hå phê thæng

- b i to¡n thi hå sinh giäi

Ngo i phn mð u, líi ìn, nhúng k½ hi»u, m k¸t luªn, t i li»u tham kh£o, nëi dung kho¡ luªn gçm 3 h÷ìng:

• Ch÷ìng 2: T½nh gâ trong tam

• Ch÷ìng 3: Nhªn d¤ng tam

Ki¸n sð

1 ành lþ h m sè sin

asin A =

bsin B =

csin C = 2R

Tø ¥y ta suy ra: sin A = a

2R; sin B =

b2R; sin C =

c2R

b− c

b+ c =

tanB−C2tanB+C2 ;

c− a

c+ a =

tanC−A2tanC+A2



c = a cos B + b cos A = r cotA

2 + cot

B2

6 Cæng ÷íng trung tuy¸n tam

4R2R2

sin A sin B sin Cpr

4S

b) B¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p tam

bsinC2 sinA2cosB2 =

csinA2 sin B2cos C24R sin A2.sinB2.sinC2

B¡n k½nh ÷íng trán b ng ti¸p tam

ra = S

p− a =

acos B2 cos C2cosA2 = p tan

A2

rb = S

p− b =

bcos C2 cos A2cosB2 = p tan

B2

rc = S

p− c =

ccos A2 cosB2cos C2 = p tan

C2

11 Mët sè ¯ng l÷ñng trong tam th÷íng g°p

T rong tam ABC ta luæn

sin(A + B) = sin C; cos(A + B) = − cos CsinA+ B

Khi â a) sin A + sin B + sin C = 4 cosA

2.cos

B

2.cos

C2

b) sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C

Thªt vªy

sin 2A + sin 2B + sin 2C = 2 sin(A + B) cos(A − B) + 2 sin C cos C

= 2 sin C[cos(A − B) − cos(A + B)]

= 4 sin A sin B sin C

cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sinA

2.sin

B

2.sin

C2

d) cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 − 4 cos A cos B cos C

Thªt vªy

cos 2A + cos 2B + cos 2C = 2 cos(A + B) cos(A − B) + 2 cos2C − 1

= −1 − 2 cos C[cos(A − B) + cos(A + B)]

= −1 − 4 cos A cos B cos C

e) tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C

Thªt vªy, ta tan(A + B) = − tan C hay

tan A + tan B

1 − tan A tan B = − tan C. Do â

tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C

g) cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1

Thªt vªy , theo þ e) ta tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C,

l 

1cot A +

1cot B +

1cot C =

1cot A cot B cot C,

hay cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1

1cot B2 cot C2 +

1cotC2 cot A2 = 1,

i) sin2A+ sin2B + sin2C = 2 + 2 cos A cos B cos C

Thªt vªy, theo þ d) ta

sin2A+ sin2B + sin2C = 3

2 − 1

2(cos 2A + cos 2B + cos 2C)

= 2 + 2 cos A cos B cos C

cos2A+ cos2B + cos2C = 1 + 1

2(cos 2A + cos 2B) + cos

2

C

= 1 − [cos(A − B) + cos(A + B)] cos C

= 1 − 2 cos A cos B cos C

12 Mët sè h» b£n trong tam vuæng

Cho tam ABC vuæng t¤i A Khi â ta

b = a sin B = a cos C = c tan B = c cot C

c = a sin C = a cos B = b tan C = b cot B

a.h = b.c; b2

= ab′; c2

= ac′1

b c

T am ABC A, B, C l  gâ v  a, b, c ln l÷ñt l  ë d i

BC, CA, AB Khi â ta

a) B§t ¯ng v· ë d i: T rong mët tam ë d i mët bao gií lîn hìn hi»u v  nhä hìn têng ë d i hai

l¤i l 

|a − b| < c < a + b; |b − c| < a < b + c; |c − a| < b < c + a

b) Quan h» giúa gâ v  èi di»n: Trong mët tam gâ èi di»n vîi lîn hìn l  gâ lîn hìn v  ng÷ñ l¤i l a ≥ b khi v h¿ khi A≥ B v  t÷ìng tü tr÷íng hñp l¤i.

T½nh sè o gâ trong tam

T½nh sè o gâ trong tam l  mët trong d¤ng b i to¡n v· nhªn d¤ng tam º gi£i ÷ñ b i to¡n n y nh÷ hùng minh

÷ñ tam ¢ ho mët gâ n o â b¬ng mët gi¡ trà ho tr÷î thæng th÷íng ta ph£i sû döng ki¸n ¢ hå º bi¸n êi ¯ng

b i to¡n v· d¤ng ìn gi£n nh§t, rçi tø â t¼m ra sè o gâ tam

B i sè 2.1 T½nh sè o gâ trong ∆ABC bi¸t r¬ng

√

1 + 2 cos2Csin A = 3

√

Líi gi£i a) ¯ng (2.1) t÷ìng ÷ìng vîi

2 cos2A− 1 + 2√3 [cos(B + C) cos(B − C)] + 5

√

1 + 2 cos2Bsin C+

√

1 + 2 cos2Csin A ≥ 3 3

r

Tsin A sin B sin C.

(2.7)

Tø (2.6) v  (2.7), suy ra

√

1 + 2 cos2Asin B +

√

1 + 2 cos2Bsin C+

√

1 + 2 cos2Csin A ≥ √63

1 + 2 cos2Bsin C +

√

1 + 2 cos2Csin A ≥ 3√2

D§u b¬ng x£y ra khi v  h¿ khi

2 = cot

B

2 = cot

C2

suy ra A = B = C = 600

V ªy tam ABC A = B = C = 600

B i sè 2.2 Cho tam ABC khæng tò thäa m¢n i·u ki»n

cos 2A + 2√

2 cos B + 2√

2 cos C = 3 (2.10) T½nh ba gâ tam ABC

Líi gi£i

Khæng l m m§t t½nh têng qu¡t b i to¡n, gi£ sû A < B < C Theo

b i ra ta A, B, C t¤o ra mët sè n¶n A+ C = 2B M  trong tam ABC ta luæn A+ B + C = π n¶n B = π

t֓ng ֓ng sin A + sin C = 3

2, hay cos C − A

√3

B i sè 2.4 Cho tam ABC gâ thäa m¢n ¯ng

sin2A+ sin2B = 2n+1psin2

bsin B =c

C = sin2A+ sin2B = 1 + cos C cos(A − B) > 1

i·u n y m¥u thu¨n.

T r÷íng hñp 3: Kiºm tra th§y C = 900

Líi gi£i

¯ng ¢ ho t÷ìng ÷ìng vîi

sin A + sin B + sin C = √

3(cos A + cos B + cos C),

B i sè 2.6 Cho ABC tho£ m¢n

sin A + sin B + sin C =

r + 4R sin2 C

22R sinC

a) N¸u M = 0 th¼ tam ABC mët gâ vuæng

b) N¸u M < 0 th¼ tam ABC ba gâ nhån

N¸u M > 0 th¼ tam ABC mët gâ tò

Líi gi£i

Thªt vªy , ta

M = cos2A+ cos2B + cos2C − 1

= −2 cos A cos B cos C

Do â:

a) N¸u M = 0 th¼ cos A cos B cos C = 0 i·u n y d¨n ¸n ∆ABC l  tam vuæng.

b) N¸uM < 0th¼cos A cos B cos C > 0.Do vai trá cos A, cos B, cos C

l  nh÷ nhau v  ∆ABC khæng thº qu¡ mët gâ tò n¶n tø b§t ¯ng

n y ta cos A > 0, cos B > 0 v  cos C > 0 Khi â tam ABC ba

gâ nhån.

N¸u M > 0 th¼ cos A cos B cos C < 0 Lªp luªn t÷ìng tü nh÷ tr¶n,

ta thu ÷ñ tam ABC mët gâ tò.

B i sè 2.8 T½nh gâ tam ABC bi¸t

≤ 1 + 2

√22

!

.1 = 1 +√

2,

m  sin A + sin B + sin C = 1 +√

2 n¶n d§u b¬ng x£y ra khi v  h¿ khi

C ≥ 1n¶ncos A cos B cos C ≤ 0.Do â tam

ABC tçn t¤i mët gâ tò vuæng Gi£ sû A ≥ 900

2 .

°t x = sinA

2 vîi x ∈

"√2

2 ; 1

!(v¼

π

2 ≤ A < π) Khi â

f(x) ≤ 1 −

√2

Ta x²t h m sèf(x) = x2

−x f′(x) = 2x−1 > 0vîi måix ∈

"√2

!

= 1 −√2

2 n¶n f(x) ≥ 1 −

√2

Nhªn d¤ng tam

Muèn bi¸t mët tam t½nh h§t g¼ (·u, vuæng, ) ta th÷íng

sû döng ph²p bi¸n êi l÷ñng º t½nh gâ Ngo i ra

ta sû döng ph÷ìng ph¡p nh÷: sû döng ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ düa tr¶n t½nh h§t tam v  h m sè, so s¡nh º rã hìn v· ph÷ìng ph¡p n y ta x²t mët sè b i to¡n sau:

cos2 C

2 =

12

2 =

14

V ªy tam ABC t¤i C

B i sè 3.2 Cho tam ABC tho£ m¢n h» sau:

ha ≤√bc.cosA

2,

d§u b¬ng b§t ¯ng x£y ra khi v  h¿ khi b = c

V ªy tam ABC t¤i A

b) Theo t½nh ÷íng trung tuy¸n v  ành lþ h m sè ta

Tø (3.10), d§u b¬ng x£y ra khi v  h¿ khi b = c

V ªy tam ABC t¤i A

B i sè 3.3 Cho tam ABC tho£ m¢n ¯ng sau:

a)2(1 + cos C)

b)sin A − sin B + sin Csin A + sin B + sin C = tan

= tanB

2.tan

C2

2.sin

C2cos A

2.cos

C2

V ªy tam ABC t¤i C

B i sè 3.4 Cho tam ABC A, B, C < π

2. Chùng minh r¬ng ABC

l  tam n¸u v  h¿ n¸u

tan2A+ tan2B = 2 tan2 A+ B

D§u b¬ng b§t ¯ng x£y ra khi v  h¿ khi

tan A = tan B suy ra A = B

V ªy tam ABC t¤i C

B i sè 3.5 Chùng minh r¬ng tam ABC n¸u tho£ m¢n ¯ng

a) 2 cos B sin A sin C

+√3



= 174

suy ra 2 cos B sin A sin C = sin2A+ sin2C − sin2B, (3.16)

m  ta cos A + cos B + cos C − 1 = 4 sinA

!2

+ cos C −

√32

!2

+ sin B −

√32

√32sin B =

√32

C = π6

2 =

16

V ªy tam ABC t¤i A

B i sè 3.6 Cho tam ABC tho£ m¢n ¯ng sau:

a)1 + cos Bsin B =

Líi gi£i

a) p döng ành lþ h m sè sin, ¯ng (3.19) ÷a ¸n

1 + cos Bsin B =

2a + c

√4a2

v do â

1

1 − cos B =

2a2a − c suy ra c = 2a cos B

p döng ành lþ h m sè ta thu ÷ñ a = b V ªy tam ABC

V ªy tam ABC t¤i A

B i sè 3.7 Chùng minh r¬ng tam ABC khi gâ tho£ m¢n

hay

4sin2A+ sin2B = 1

sin2A + 1

sin2B,

bi¸n êi ¯ng n y ta thu ÷ñ

[(sin A − sin B)(sin A + sin B)]2 = 0

l  sin A − sin B = 0 suy ra A = B

V ªy tam ABC t¤i C

sinC

2 + cos

A− B2

2 = cos

C2

v¸ vîi v¸ hai b§t ¯ng tr¶n ta thu ÷ñ

3(cos B + 2 sin C) + 4(sin B + 2 cos C) ≤ 15

D§u b¬ng x£y ra khi v  h¿ khi

sin C6

3

suy ra B + C = π

2

V ªy tam ABC vuæng t¤i A

B i sè 3.9 Cho tam ABC thäa m¢n h» tanA

Líi gi£i

abc r4R = (p − a)(p − b)(2c − c),

b = 54

ABC vuæng t¤i B.

V ªy ABC l  tam vuæng.

* i·u ki»n õ: Gi£ sû tam ABC vuæng t¤i A, khi â ta

Ta i·u ph£i hùng minh.

B i sè 3.10 Cho tam ABC thäa m¢n h»

a) sin(A + B) cos(A − B) = 2 sin A sin B (3.31)

hay (1 − t)[t(1 − cos(A − B)) + (1 + cos(A − B))] = 0 (3.34)

V¼ cos(A − B) ∈ (−1; 1] n¶n t(1 − cos(A − B)) + (1 + cos(A − B)) > 0

Do â ¯ng (3.34) t÷ìng ÷ìng

1 − t = 0 ⇔ t = 1

t÷ìng ÷ìng sin 2A − sin 2B + cos C(sin A − sin B) = 0,

B i sè 3.11 Chùng minh r¬ng tam ABC vuæng, bi¸t r¬ng nâ thäa

R = 25

Líi gi£i a) p döng ành lþ h m sè sin, ¯ng (3.36) trð th nh

cos B + cos C = sin B + sin C

2.cos

A2,

hay 1 − 2 sin2 A

2 = 0 t֓ng ֓ng cos A = 0 suy ra A= 900

V ªy tam ABC vuæng t¤i A.

- Ng÷ñ l¤i, gi£ sû c ≥ b T÷ìng tü ta hùng minh ÷ñ tam ABC

vuæng t¤i C

V ªy tam ABC vuæng.

B i sè 3.12 Chùng minh r¬ng n¸u tam ABC khæng tò v  thäa m¢n h»

Theo t½nh ë d i ÷íng trung tuy¸n ta b2+ c2

V ªy tam ABC vuæng t¤i A

B i sè 3.13 Cho tam ABC thäa m¢n h»

a) tan 2C = 2bc

b2

b)a+ b + c4R = 1 −



sin2 B

2 + sin

2 C2

C = 2 sin B sin Csin2

hay sin B cos C(sin B − cos C) + sin2C(sin B − cos C) = 0.

Do â suy ra



sin B = cos Csin B cos C + sin2C = 0

Tr÷íng hñp 1: N¸u sin B = cos C th¼ B + C = 900 Do â, tam

ABC vuæng t¤i A

Tr÷íng hñp 2:sin B cos C + sin2

- N¸u ∆ABC vuæng t¤i B th¼ A, C ph£i nhån, l  cos A, cos C > 0

v  sin B = 1 Khi â (3.41) ÷a ¸n

cos C + 1 − cos2C = 0 suy ra

2

i·u n y l  væ lþ v¼ cos C ∈ (0; 1)

- N¸u ∆ABC vuæng t¤i C th¼ cos C = 0 Thay v o (3.41) ta ÷ñ

sin2C = 0 i·u n y l  væ lþ

V ªy tam ABC vuæng t¤i A

b) p döng ành lþ h m sè sin v  h¤ ¯ng (3.40) trð th nh

2R(sin A + sin B + sin C)

V ªy tam ABC vuæng t¤i A

B i sè 3.14 Chùng minh r¬ng tam ABC vuæng khi v  h¿ khi nâ

(3.43) Líi gi£i

a) Tø r = (p − a) tanA2 = (p − b) tanB2, suy ra p − a = r cotA2 v 



Khi â ¯ng (3.42) trð th nh



cotA

2 + cot

B2

2 suy ra A = 900

V ªy tam ABC vuæng t¤i A

b) Ta cos2A+ cos2B+ cos2C = 1 − 2 cos A cos B cos C (3.44) V¼ A, B, C l  sè o ba gâ tam ABC n¶n

1 − 2 cos A cos B cos C = 1 t÷ìng ÷ìng cos A cos B cos C = 0,

V ªy tam ABC vuæng.

B i sè 3.15 Cho tam ABC thäa m¢n h»

2 sin(B + 450) = cos A + cos B + cos C,

t֓ng ֓ng sin B = cos A + cos C,

2 =

C − A2

R(sin A + sin B + sin C − 2) = r, (3.48)

m  ta cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin A

2 = cos

B − C2

2 =

B − C2A

2 =

C − B2

(3.51) Chùng minh r¬ng tam ABC ·u.

Líi gi£i a) Theo ành lþ h m sè sin, ¯ng (3.50) trð th nh

(1 −√3 sin C) sin B = sin A − 2 sin C

V¼sin B, sin C > 0 v 0 < sinC + π

B = π3

V ªy tam ABC ·u.



cos B + C

2 + cos

B − C2

cos A + cos B + cos C

= (cos A + cos B).1 − cos A cos B + sin A sin B

suy ra A = B = π

3

V ªy tam ABC ·u.

B i sè 3.17 Chùng minh r¬ng tam ABC ·u khi v  h¿ khi nâ thäa

a) Theo ành lþ h m sè sin ¯ng (3.57) ÷a ¸n

sin 2A + sin 2B + sin 2C = sin A + sin B + sin C, (3.59)

m  ta sin A + sin B + sin C = 4 cosA

V ªy tam ABC ·u.

b) Theo t½nh ÷íng trung tuy¸n tam ta

V ªy tam ABC ·u.

B i sè 3.18 Cho tam ABC thäa m¢n h» sau:

sin B + sin C = 2 sin A (3.65)

tan B + tan C = 2 tan A (3.66) Chùng minh r¬ng tam ABC ·u.

2 sin Acos A .

Do sin A ≥ 0 n¶n cos A = 2 cos B cos C t÷ìng ÷ìng

2 cos A = cos(B − C) hay 2

â suy ra tam ABC ·u.

B i sè 3.19 Chùng minh r¬ng tam ABC ·u n¸u nâ thäa m¢n h»

2p − b2p + b +

2p − c2p + c =

3

Líi gi£i a) Theo ành lþ h m sè ta suy ra

D§u b¬ng x£y ra khi v  h¿ khi a = b = c V ªy tam ABC ·u b) ¯ng (3.69) ¢ ho t÷ìng ÷ìng vîi

b+ c2a + b + c +

V ªy tam ABC ·u.

B i sè 3.20 Cho tam ABC thäa m¢n h» sau:

11

a + 1

b + 1c,

khi â ¯ng (3.71) ÷ñ vi¸t l¤i nh÷ sau

a+ b + c

92S.

11

a + 1

b + 1c

D§u b¬ng x£y ra khi v  h¿ khi a = b = c

V ªy tam ABC ·u.

B i sè 3.21 Chùng minh tam ABC ·u, bi¸t r¬ng tam ABC

a) ¯ng (3.75) ¢ ho t÷ìng ÷ìng vîi

(a + b + c)2 = 4ab sin2A+ 4bc sin2B + 4ca sin2C,

l  a2 + 2a(b cos 2A + c cos 2C) + b2 + c2 + 2bc cos 2B = 0 (3.77)

N¸u a l  ©n th¼ (3.77) l  ph÷ìng tr¼nh hai

∆′ = (b cos 2A + c cos 2C)2− b2 − c2 − 2bc cos 2B

= −b2sin22A − c2sin22C + 2bc[cos 2A cos 2C − cos(2A + 2C)]

T r÷íng hñp 1: B − C = k2π

V¼ k ∈ Z v  |B − C| < π n¶n ta |k2π| < π, l  k = 0 Tø â suy

ra B = C

T r÷íng hñp 2: 2B − A = (2k − 1)π

V¼ k ∈ Z v  A, B l  sè o hai gâ tam ABC n¶n suy ra k = 1,

V ªy tam ABC ·u.

b) V¼ ∆ABC nhån n¶n tan A, tan B, tan C ≥ 0 v 

tan B ≥ 2√4 tan A tan B (3.78)

Ta i hùng minh

4

√tan A tan B ≥

sin Bcos B ≥ 1 + cos C

1 − cos C,

hay cos A cos B − sin A sin B + cos C(cos A cos B + sin A sin B) ≤ 0,

l  − cos C + cos C cos(A − B) ≤ 0

Do cos C > 0 n¶n b§t ¯ng n y ÷a ¸n cos(A − B) ≤ 1 Tø (3.78) v (3.79) ta suy ra

√tan A +√

tan A = √

tan B = √

tan Ccos(A − B) = cos(B − C) = cos(C − A) = 1

suy ra A= B = C

V ªy tam ABC ·u.

B i sè 3.22 Chùng minh r¬ng tam ABC ·u, bi¸t r¬ng gâ

nâ thäa m¢n h» sau:

1sin C =

1cosA2

cos B2

cos C2

V ªy tam ABC ·u.

b) V¼ sin A, sin B > 0 n¶n ¡p döng b§t ¯ng Cæsi, ta

1

sin A +

1sin B ≥ √ 2

sin A sin B ≥ sin A + sin B2

2

sin A + sin B. (3.88)

M°t vîi cosA− B

2 > 0 ta luæn

4sin A + sin B =

2cosC

2.cos

A− B2

cosC2

Tø (3.88) v  (3.89) ta suy ra

1sin A +

1sin B ≥ 2

cosC2

(3.90)

t÷ìng tü

1sin B +

1sin C ≥ 2

cos A2

(3.91)

1sin C +

1sin A ≥ 2

cos B2

(3.92)

Cëng v¸ vîi v¸ (3.90), (3.91) v  (3.92) ta thu ÷ñ

1sin A +

1sin B +

1sin C ≥ 1

cos A2

cos B2

cosC2

D§u b¬ng x£y ra khi v  h¿ khi