3 bài 11 tích vô hướng của hai vectơ

KHỞI ĐỘNGTrong vật lí, nếu có lực không đổi tác động vào một vật tại điểm O và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường s = OM thì công A của lực được tính theo công thức trong đó gọi là

NHIỆT LIỆT CHÀO ĐÓN CÁC EM ĐẾN VỚI BÀI HỌC MỚI!

KHỞI ĐỘNG

Trong vật lí, nếu có lực không đổi tác động vào một vật tại điểm O và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường s = OM thì công A của lực được tính theo công thức trong đó gọi là cường độ của lực tính bằng Newton (N), là độ dài của vectơ tính bằng mét (m), là góc giữa hai vectơ và còn công A tính bằng Jun (J).

⃗ 𝐹

KHỞI ĐỘNG

⃗ 𝐹

Trong toán học, giá trị của biểu thức (không kể đơn vị

đo) được gọi là gì?

02

03

NỘI DUNG BÀI HỌC

Góc giữa hai vectơ Tích vô hướng của hai vectơ Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng

TIẾT 1: GÓC VÀ TÍCH VÔ HƯỚNG GIỮA HAI VECTƠ

1 Góc giữa hai vectơ

Thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ1

Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng

được gọi là số đo góc giữa hai vectơ và Hãy

tìm số đo các góc giữa và , và

HĐ1

Số đo góc giữa hai vectơ và là số đo góc CBD và bằng 30o.

Số đo góc giữa hai vectơ và là số đo góc ADB và bằng 50o.

Giải

Em hãy nêu khái niệm góc giữa hai vectơ.

Cho hai vectơ và khác Từ một điểm A tùy ý,

vẽ các vectơ và Khi đó, số đo của góc BAC

được gọi là số đo góc giữa hai vectơ và hay

đơn giản là góc giữa hai vectơ kí hiệu là ( )

KẾT LUẬN

C

B A

⃗

𝑢

⃗

𝑣

Góc giữa hai vectơ và có thể nhận một giá trị trong đoạn nào?

Chú ý

 Quy ước rằng góc giữa hai vectơ và có thể nhận một giá trị tùy ý từ 0o đến 180o

 Nếu ( ) = 90o thì ta nói rằng và vuông góc với

nhau, kí hiệu là hoặc

 Đặc biệt, được coi là vuông góc với mọi vectơ

Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng 0o, 180o?

 Góc giữa hai vectơ bằng 0o khi hai vectơ cùng hướng.

 Góc giữa hai vectơ bằng 180o khi hai vectơ ngược hướng.

Luyện tập 1 Cho tam giác đều ABC Tính (, ).

2 Tích vô hướng của hai vectơ

Trong toán học, giá trị của biểu thức (không kể đơn vị

đo) được gọi là gì?

⃗ 𝐹

KẾT LUẬN

Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không và là một số, kí hiệu là được xác định bởi công thức sau:

.

Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ , là một số dương? Là một số âm?

 Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không , là một số dương khi góc giữa hai vectơ , là góc lớn hơn 0o và nhỏ hơn 90o

 Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không , là một số âm khi góc giữa hai vectơ , là góc lớn hơn

90o và nhỏ hơn 180o

• Nếu hai vectơ và vuông góc với nhau thì tích vô hướng của hai vectơ bằng bao nhiêu?

• Hãy so sánh tích vô hướng với bình phương độ dài của vectơ

Chú ý

Khi nào thì ( )2 thì bằng 2.2?

Ta có:

Ví dụ 2 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a.

Tính các tích vô hướng sau: , ,

Vì (, ) = 90 o nên = 0.

Hình vuông có cạnh bằng a nên có đường chéo bằng a

Giải

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Hãy tính theo a, b, c.

TIẾT 2: BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT

CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

3 Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng

Thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ2

HĐ2 Cho hai vectơ cùng phương = (x;y) và = (kx; ky) Hãy

kiểm tra công thức = k(x2 + y2) theo từng trường hợp sau:

a) = b) ≠ và k ≥ 0 c) ≠ và k < 0

Giải

c) Vì nên hai vectơ ngược hướng

Ta có:

Vậy

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ không cùng phương = (x; y) và = (x′; y′).

a) Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho = , = b) Tính AB2, OA2, OB2 theo tọa độ của A và B

c) Tính theo tọa độ của A, B

HĐ3

Thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ3

KẾT LUẬN Tích vô hướng của hai vectơ và được tính theo công

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng Oxy, tính tích vô hướng của

các cặp vectơ sau:

a) = (2; -3) và = (5; 3)b) Hai vectơ đơn vị và tương ứng của các trục Ox, Oy

Giải

a) Ta có: = 2 5 + (-3) 3 = 10 - 9 = 1

b) Vì = (1; 0) và = (0; 1) nên = 1 0 + 0 1 = 0

Luyện tập 3 Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ

HS thảo luận nhóm đôi thực hiện HĐ4.

HĐ4 Cho ba vectơ = (x1; y1), = (x2; y2), = (x3; y3).

a) Tính ( + ), + theo tọa độ của các vectơ , , b) So sánh ( + ) và +

c) So sánh và

=

Tính chất của tích vô hướng:

Với ba vectơ bất kì và mọi số thực k, ta có:

 (tính chất giao hoán)

 (tính chất phân phối đối với phép cộng)

Chú ý Từ các tính chất trên, ta có thể chứng minh được:

TIẾT 3: ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ VÀO BÀI TOÁN

HÌNH HỌC

Cho tam giác vuông tại A có = 60o Gọi M là trung điểm của cạnh BC Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm PQ Chứng minh rằng =

90o khi và chỉ khi BP + CQ = BC

Ví dụ 4

Mặt khác,

= MB MC cos180 o = -a 2

= MB CQ cos30 o = a.CQ

= BP MC cos60 o = a BP = BP CQ cos90 o = 0

Giải

a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên Suy ra:

b) Gọi tọa độ điểm H(x; y)

Vận dụng

a) Công sinh bởi lực bằng: (1)

Công sinh bởi lực bằng (2)

Công sinh bởi lực bằng:

(3)

Từ (1), (2), (3) và theo tính chất phân phối đối với phép cộng của tích vô hướng suy ra công sinh bởi lực bằng tổng của các công sinh bởi lực và

Giải

b) Vì có phương vuông góc với

phương chuyển động nên công sinh

LUYỆN TẬPBài 4.21 (SGK - tr70)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ

và trong mỗi trường hợp sau:

a) = (−3; 1), = (2; 6)

b) = (3; 1), = (2; 4)

c) = (-; 1), = (2; −)

a) Ta có = (-3) 2 + 1 6 = 0 Suy ra (; ) = 90 o

Giải

Bài 4.22 (SGK - tr70) Tìm điều kiện của , để: a) = ||.|| b) = −||.||

Giải

a) tức là hai vectơ và cùng hướng

b) tức là hai vectơ và ngược hướng

VẬN DỤNGBài 4.25 (SGK - tr70)

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:

SABC =

Gợi ý

Bài 4.26 (SGK - tr70)

Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2

CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE BÀI GIẢNG!