Luận văn quá trình sinh higgs từ va chạm e e khi chùm e, e phân cực trong mô hình randall sundrum(tt)

Để có thể giải quyết được các hạn chế trên, đã có các hướng mở rộng mô hình chuẩn và cho hứa hẹn nhiều hiện tượng vật lí mới rất thú vị tại thang năng lượng cao như lý thuyết Kaluza – Kl

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nhiều thực nghiệm đã khẳng định tính đúng đắn của mô hình chuẩn tại thang năng lượng điện yếu

cỡ 200 GeV với độ chính xác rất cao, nó đã thống nhất tương tác điện từ và tương tác yếu Tuy nhiên trong

mô hình chuẩn còn tồn tại một số vấn đề cần giải quyết Để có thể giải quyết được các hạn chế trên, đã có các hướng mở rộng mô hình chuẩn và cho hứa hẹn nhiều hiện tượng vật lí mới rất thú vị tại thang năng lượng cao như lý thuyết Kaluza – Klein (1921), mở rộng không thời gian bốn chiều thành không thời gian năm chiều, nhằm mục đích thống nhất cả tương tác hấp dẫn Lý thuyết này đã gặp một số khó khăn về hiện tượng luận, tuy nhiên ý tưởng của nó là cơ sở cho các lý thuyết hiện đại sau này như thống nhất Higgs – Gauge (GHU), lý thuyết mở rộng với không thời gian lớn … Một trong những lý thuyết trên, mô hình Randall – Sundrum có thể giải quyết tốt vấn đề phân bậc, giải thích tại sao lại chỉ có ba thế hệ fermion, vấn

đề khối lượng neutrino…

Trong khuôn khổ luận văn chúng tôi quan tâm đến lý thuyết mở rộng thêm chiều không gian mà cụ

thể là mô hình Randall – Sundrum để nghiên cứu sự sinh Higgs, do đó chúng tôi ch n đề tài : “Quá trình sinh Higgs từ va chạm e e khi chùm e , e  phân cực trong mô hình Randall - Sundrum” làm đề tài

nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu chi tiết sự sinh Higgs từ quá trình va chạm e e , khi chùm e+, e- phân cực, kêt quả thu được sẽ cung cấp bằng chứng khẳng định sự tồn tại của nó cũng như tính đúng đắn của mô hình mở rộng

3 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng phương pháp lí thuyết trường lượng tử với sự hỗ trợ của quy tắc Feynman để tính biên độ

tán xạ và tiết diện tán xạ

- Sử dụng phần mềm Mathematica để đánh giá số và vẽ đồ thị

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu sự sinh Higgs từ va chạm e e  khi chùm hạt tới e , e  phân cực

- Phạm vi nghiên cứu: Trong khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử, chúng tôi tính toán giải tích và đánh giá số tiết diện tán xạ của quá trình va chạm e e 

tạo cặp Higgs hh, khi tính đến sự phân cực của chùm hạt tới

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn

Các kết quả nghiên cứu sẽ đóng góp vào thực nghiệm trong việc thu Higgs Và quan tr ng hơn, đó

là bằng chứng quan tr ng về sự tồn tại của hạt Higgs trong mô hình, cũng như khẳng định tính đúng đắn của

mô hình Randall- Sundrum

6 Bố cục khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Mô hình Randall - Sundrum

Chương 2: Biểu thức tiết diện tán xạ của quá trình e e hh khi chùm e , e  phân cực

Chương 3: Tính số và thảo luận

Chương 1

MÔ HÌNH RANDALL – SUNDRUM

Người ta đã mở rộng không – thời gian bốn chiều Minkowski của mô hình chuẩn thành không – thời gian năm chiều Chiều thứ năm được compact trên một vòng tròn S1

Không – thời gian thu hút chính là không gian đối xứng cực đại và có độ cong âm (anti – de Sitter space) Trên chiều thứ năm ta đưa vào đối xứng chẵn lẽ Z2 vì vậy hai điểm (x , )μ  và (x ,- )μ  là đồng nhất Chiều thứ năm có dạng S1

/ Z2 chính là Orbifold với hai điểm cố định  0 và  π Brane tử ngoại (UV – Brane, hay Brane Planck ) được đặt tại 0

  trong Brane này tương tác chủ yếu là tương tác hấp dẫn Brane hồng ngoại (IR – Brane, SM – Brane, hay TeV – Brane) định xứ tại  π ở Brane này tương tác chiếm ưu thế là các tương tác mạnh, yếu và tương tác điện từ T a độ của một điểm trong không – thời gian năm chiều lúc này là (x , )μ  Khoảng năm chiều có dạng như sau:

MN

ds = G dx dx = G dx dx + 2G dx dx + G dμν μ ν μ μ   2 (1.1) Với GMN là tenxơ metric năm chiều, quy ước viết tenxơ này giống với [4] nhưng ngược với [7] Số hạng Gμ

bị khử ở mode không do đối xứng Orbifold, nên lúc này ta có:

gravity vis hid

1.2 Lời giải phương trình Einstein và khoảng bất biến trong trường hợp cổ điển

Trường hợp cổ điển là trường hợp không có các hạt vật chất thông thường (particle excitation), nghĩa

là Lvis = Lhid = 0, còn Vvis và Vhid nhận các giá trị không đổi g i là năng lượng chân không (vacuum energy) Các giá trị này đóng vai trò là nguồn hấp dẫn ngay cả khi không có các hạt vật chất thông thường Trong phần này ta chỉ xét metric năm chiều cổ điển ở trạng thái nền (ground state) Đây là trường hợp đơn giản nhất Trường hợp có sự tồn tại của vật chất trên 3 – brane sẽ được xét theo dao động quanh trạng thái chân không

Kết hợp với các phương trình (1.4) ta có tác dụng cổ điển có dạng:

δ G

MN MN MN

Khoảng bất biến tương ứng với phương trình (1.7) có dạng (1.2) trong đó:

chiều mở rộng, trong trường hợp này ta xét rc không đổi Như vậy:

2σ( )

2σ( )

2σ( ) MN

Chu kì có thể được ch n là: (0, 2), ( -, ),… Tuy nhiên chu kì ta ch n phải chứa hai điểm cố định 0 và 

và được mô tả như hình 1.1

Hình 1.1 Sự phụ thuộc của  vào 

 Xét chu kì (-, ), từ phương trình (1.21) ta có:

c c

σ' = kr sign( )σ" = kr sign'( )

2 c

Chiều thứ năm sẽ không thể quan sát bằng những thí nghiệm hiện tại cũng như trong tương lai, trong trường hợp bán kính compact rc nhỏ (nhưng vẫn lớn hơn 1/k) Khi đó xét dao động của trường hấp dẫn không khối lượng, khoảng bất biến khi đó có dạng:

2kT(x)

μν μν

ds = e  η h (x) dx dx T (x)d , (1.27)

trong đó hμν biểu diễn dao động tenxơ trong không gian Minkowski và là graviton của lý thuyết hiệu dụng bốn chiều (đây cũng đồng thời là mode không khối lượng trong khai triển Kaluza – Klein của Gμν) G i metric bốn chiều Minkowski định xứ là:

g (x) = ημν μνhμν (1.28) Hàm thực T(x) là hằng số địa phương Bán kính compact là rc là VEV (vacuum expectation value) của giá trị tuyệt đối trường T(x) Theo các lý thuyết có nhiều chiều mở rộng hơn, giá trị tuyệt đối sẽ ổn định tại rc với khối lượng ít nhất là 10-4eV Bây giờ ta thay T bằng rc trong trường hợp chiều mở rộng compact Tác dụng gravity có dạng:

= 2r M ( )e

02kr

 

3 2kr π M

Để xác định Lagrangian của trường vật chất ta cần biết tương tác của các trường trên 3 – brane với trường hấp dẫn năng lượng thấp Từ điều kiện chuẩn hóa các trường ta có thể xác định được khối lượng vật

lý, chẳng hạn ta xem xét sự sinh khối lượng trường Higgs, ta có:

c

2kr π vis

kr π c

0

v e v (1.41) Khối lượng vật lý của trường Higgs là

kr π c

0

m e m , 1.42)

1.5 Tại sao phải cần có Orbifold

Để thiết lập một lý thuyết dựa trên một khoảng không – thời gian với số chiều lẻ, người ta phải đối diện với một vấn đề đó là theo cách thông thường không thể sinh ra được các fermion chiral Lý do ở đây là các fermion biến đổi dưới biểu diễn spinor của nhóm Lorentz Trong không - thời gian bốn chiều có hai biểu diễn bất khả quy không tương ứng với các spinor Wey liên hệ lẫn nhau thông qua biến đổi chẵn lẽ Trong không gian năm chiều chỉ có một biểu diễn bất khả quy tạo ra spinor Dirac Điều này có thể hiểu được bằng cách xét đại số Clifford có các thành phần sinh ra các vi tử của biểu diễn spinor Để thỏa mãn đầy đủ hệ thức:

 M, N = 2ηMN (1.43) Trong năm chiều, ta phải bổ sung ma trận thứ năm vào các ma trận  Ma trận này phải phản giao hoán với bốn ma trận ban đầu Theo kết quả tổng quát của lý thuyết biểu diễn nhóm, đại số Clifford trong không gian năm chiều bao gồm các ma trận 4x4 [4] Cách ch n duy nhất ở đây là

5 iγ5 γ γ γ γ0 1 2 3

Điều này làm mất đi khả năng xây dựng toán tử chiếu vì 5 lúc này là một phần của đại số Toán tử chiếu trong không gian năm chiều lúc này là γ γ γ γ γ γ0 1 2 3 4 5 1, nói cách khác ta chỉ có một biểu diễn bất khả quy:

Hình 1.2: Cách đưa vào đối xứng Orbifold

Để thu được các fermion xoắn trái, xoắn phải, ta đưa vào đối xứng Orbifold Hình (1.2) chỉ ra cách đưa vào đối xứng Z2 [7] Sự phân ly của các spinor Dirac có thể chia thành các hàm Z2 chẵn lẻ Điều này có thể được chứng minh qua ví dụ sau:

Mode không của QL tương tự như lưỡng tuyến SU(2)L trong mô hình chuẩn Tuy nhiên mode không của QR

biến mất do đối xứng Orbifold Để giữ lại các đơn tuyến, ta cần đưa thêm vào các spinor với biến đổi ngược lại của các thành phần:

Có hai vấn đề cần tinh chỉnh trong mô hình Randall-Sundrum Thứ nhất là việc ch n Vhid và Vvis sao cho hằng số vũ trụ hiệu dụng bốn chiều có giá trị bé, thứ hai là việc xác định bán kính compact rc có giá trị phù hợp để giải quyết vấn đề phân bậc Ta tập trung vấn đề thứ hai làm cách nào để thiết lập một bán kính cố định cho chiều mở rộng mà không cần phải tinh chỉnh Trước khi cơ chế compact hóa có hiệu lực, metric có dạng:

đề phân bậc mà chỉ để bảo toàn bất biến Lorentz trong siêu mặt bốn chiều

Trong trường hợp tổng quát, khi xét đến hấp dẫn những tính toán cần thiết cho tenxơ metric ta cần chú ý đến [3] Ở đây ta chỉ xét trường hợp giới hạn là SM, bỏ qua các hiệu ứng hấp dẫn, thừa nhận cơ chế Goldberger –Wise [9] Trong cơ chế ổn định Goldberger –Wise này, người ta đưa vào một trường vô hướng trong không – thời gian tổng quát (x,y) , dẫn đến hiệu dụng bốn chiều cho trường radion Thế hiệu dụng này có một cực tiểu không tầm thường Tác dụng tương ứng có dạng:

Ở đây các chỉ số v, h tương ứng với visible và hidden và gMN

được xác định theo [7], đồng thời λh Vhid,

m

v = 4 +

k Đưa nghiệm này vào tác dụng (1.48) và phân tích theo chiều thứ năm ta thu được số hạng động năng bốn

chiều và thế năng hiệu dụng bốn chiều:

2 2vkT(x)π 2 2vkT(x)π

V [T(x)] = k(v + 2)A [e 1] + (k2)B [1 e  ]

+ λ (Φ (0)h 2 v ) + λ e2 2h v 4kT(x)π(Φ (π) v )2  2 2v (1.51) Lấy tích phân phương trình chuyển động, ta thu được các số hạng tỉ lệ với hàm  có được từ đạo hàm cấp hai

() = (0) = 0 hoặc (0) = vh và () = vv Phương trình (1.51) gợi ý cho ta cách ch n thứ hai Các

phương trình (1.52), (1.53) cho phép cố định các hệ số A và B Không mất tính tổng quát giả sử cho các h,

v4k

1.7 Kết luận

Trong chương một, chúng tôi đã tính các vấn đề tổng quát về mô hình Randall- Sundrum Với việc

mở rộng không thời gian bốn chiều thành không thời gian năm chiều Mô hình Randall- Sundrum có thể giải quyết tốt vấn đề phân bậc, giải quyết được vấn đề giãn nở tăng tốc vũ trụ, giải thích tại sao lại chỉ có ba thế

hệ fermion, vấn đề khối lượng neutrino…mà mô hình chuẩn chưa giải quyết được

Chương 2 BIỂU THỨC TIẾT DIỆN TÁN XẠ

Trong chương này, chúng tôi áp dụng quy tắc Feynman để tính bình phương biên độ tán xạ của quá trình e e hh theo các kênh s, u, t và phần trộn theo các kênh này khi xét tới sự phân cực của chùm hạt tới e ,e 

2.1 Sự sinh cặp Higgs hh từ va chạm e e theo kênh s khi chùm e + , e - phân cực

2.1.1 Giản đồ Feynman theo kênh s

Quá trình va chạm với hai hạt ở trạng thái đầu là e+

và e-, hai hạt ở trạng thái cuối là hạt 2 hạt Higgs

h, được biểu diễn dưới dạng:

 1  2    1 2

e p + e p h k h k trong đó p1, p2 là xung lượng của các hạt tham gia e+ và e và k1, k2 là xung lượng của các hạt Higgs tạo thành

Quá trình va chạm thông qua trao đổi Higgs ( h ) và radion () theo kênh s có thể được mô tả bằng

giản đồ Feynman như sau

2.1.2 Biên độ tán xạ theo kênh s khi chùm e +

, e - phân cực

Theo quy tắc Feynman, ta có biên độ tán xạ của quá trình này trong trường hợp chùm e+

, e- cùng phân cực trái là

Đối với trường hợp chùm e+ phân cực trái e

phân cực phải, biên độ tán xạ của quá trình này là

Ta cũng tính được các biên độ tán xạ trong các trường hợp phân cực khác nhau của chùm e+, e- ở trên như sau:

Đối với trường hợp chùm e+

phân cực trái, e- phân cực phải ta có

LR

2 s

2

ee hh eeh hhh

2

ee hh eeh hhh

và e-, sinh cặp Higgs theo kênh u được mô tả bằng giản đồ hình 2.2

2.2.2 Biên độ tán xạ theo kênh u khi chùm e +

, e - phân cực

Theo quy tắc Feynman, ta có biên độ tán xạ của quá trình này trong trường hợp chùm e+

, e- cùng phân cực trái là:

2 eeh uLL 2 2 L 2 u e L 1

Đối với trường hợp chùm e+

, e- cùng phân cực phải, e+ phân cực trái e- phân cực phải và trường hợp

e+ phân cực phải e- phân cực trái, ta có:

RR

2 eeh

gi

gi

gi

4 eeh

2 eeh

2 eeh

2 2 eeh

2.3.1 Giản đồ Feynman theo kênh t

Quá trình va chạm thông qua trao đổi theo kênh t có thể được mô tả bằng giản đồ Feynman như sau:

2 eeh tLL 2 2 L 2 t e L 1

Đối với trường hợp chùm e+

, e- cùng phân cực phải, e+ phân cực trái e- phân cực phải và trường hợp

e+ phân cực phải e- phân cực trái, ta có:

2 eeh

t e

gi

t e

gi

t e

gi

4 eeh

2 eeh

2 eeh

2 eeh

2 eeh

2.4 Phần trộn giữa các kênh s, u, t khi chùm e + ,e - phân cực

Đối với phần trộn giữa kênh s, u khi chùm e+

, e- phân cực chúng tôi tính các đại lượng:

g

q m q m p q2 up q1 u  p p2 1q qu u  p q2 uq pu 1, (2.49)

p E ,k , 1 1 p2E , 2 k, k E , p , 1 3  k2E , 4 p

Các véc tơ xung lượng 3 chiều của hệ được biểu diễn như hình vẽ:

Hình 2.4: Các véc tơ xung lượng ba chiều

Trong hệ quy chiếu khối tâm, ta có:

với s được g i là năng lượng khối tâm

Các đại lượng trong hệ khối tâm có các kết quả sau:

2

E = ,2s

E = ,

E

2

= s,2

Sử dụng các kết quả trong hệ quy chiếu khối tâm đã tính ở trên, thay vào các biểu thức bình phương biên độ tán xạ và phần trộn giữa các trường hợp phân cực của chùm e ,e  theo các kênh s, u, t Sau đó, ta được các biểu thức đó vào biểu thức bình phương biên độ tán xạ

k1

Chương 3 TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN

Trong chương này, chúng tôi sử dụng phần mềm Mathematica để khảo sát tiết diện tán xạ vi phân theo cos và tiết diện tán xạ toàn phần theo năng lượng khối tâm s khi chùm e ,e  phân cực Từ đó, chúng tôi chỉ các hướng có lợi nhất để thu tín hiệu Higgs trong điều kiện phòng thí nghiệm

3.1 Tiết diện tán xạ vi phân

Xét trong hệ đơn vị SI, chúng tôi ch n các thông số: m = 0,00051GeV, me =10GeV, m = 80GeV , w

Ở hình 3.1, hình 3.2 nhận thấy dạng đồ thị sự phụ thuộc của tiết diện vi phân vào cos là giống

nhau Trong cả hai hình, tiết diện tán xạ vi phân tăng nhanh khi cos tiến đến các giá trị 1 hoặc -1 và đạt giá trị nhỏ nhất khi cos 0 Do đó hướng có lợi để thu Higgs khi cos 1 hay hướng của hạt tới và hạt tạo thành cùng chiều hoặc ngược chiều và hướng không có lợi ứng với trường hợp hướng của Higgs tạo thành vuông góc với hướng của chùm electron tới Từ đồ thị 3.2a cho kết quả tiết diện tán xạ vi phân trong trường

hợp chùm e+ phân cực trái, chùm e- cùng phân cực phải là lớn nhất, cỡ 7,82652.1017pbar khi

cos  0,99999 Đối với các trường hợp khác như hình 3.1 và 3.2b tiết diện tán xạ vi phân có giá trị nằm trong khoảng từ 1021pbar đến 1024pbar khi -1 cos  1

Như vậy, trường hợp chùm e+

phân cực trái, chùm e- phân cực phải cho ta tiết diện vi phân thu được

là lớn nhất so với các trường hợp phân cực còn lại của chùm e+

, e- Đối với phần trộn giữa các trường hợp phân cực của chùm hạt tới e+

,e-, chúng tôi có các đồ thị tiết diện tán xạ vi phân phụ thuộc vào cos như hình

3.3 và hình 3.4 sau đây:

trộn với các trường hợp phân cực còn lại

trường hợp phân cực còn lại

Dạng đồ thị ở hình 3.3b, 3.4 là giống nhau Từ đồ thị hình 3.4 ta thấy tiết diện tán xạ vi phân tăng

6, 23256.10 pbar khi cos tiến tới các giá trị 1 hoặc -1 Tiết diện tán xạ vi phân ở hình 3.3b đạt

giá trị nhỏ nhất khi cos 0, giá trị nhỏ nhất này cỡ 11,9855.1026pbar Còn đối với hình 3.4a và 3.4b thì tiết diện tán xạ vi phân đạt giá trị nhỏ nhất khi cos  0, 2, giá trị nhỏ nhất này cỡ 2,07271.1025pbar Riêng đối với hình 3.3a, ta thấy tiết diện tán xạ vi phân tăng nhanh đến 6,10198.10-26

pbar khi cos tiến gần tới -1

và đạt giá trị nhỏ nhất là 5,91978.10-26

pbar khi cos 1