Luận văn dáng điệu nghiệm của một lớp bất đẳng thức vi biến phân (tt)

7 2 Tính giải được trên đoạn compact và sự tồn tại nghiệm 2.1 Tính giải được trên đoạn compact... Với mong muốn tìm hiểu về các bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều,

Mục lục

1.1 Độ đo không compact 3 1.2 Ánh xạ đa trị 6 1.3 Nửa dòng đa trị và tập hút của nửa dòng đa trị 7

2 Tính giải được trên đoạn compact và sự tồn tại nghiệm

2.1 Tính giải được trên đoạn compact 9 2.2 Sự tồn tại nghiệm phân rã 12

3.1 Nửa dòng đa trị sinh bởi hệ 14 3.2 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong Cτ 15

Lời mở đầu

1 Đặt vấn đề

Xét hệ bất đẳng thức vi biến phân

x0(t) = Ax(t) + h(x(t)) + B(x(t), xt)u(t), t ∈ [0, T ], (0.1)

hv − u(t), F (x(t)) + G(u(t))i ≥ 0, ∀v ∈ K, t ∈ [0, T ], (0.2)

x(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], (0.3) trong đó x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ K ⊂ Rm với K là một tập lồi đóng, A ∈ Rn×n,

B, F, G, h là các hàm phi tuyến Bất đẳng thức vi biến phân (differential variational inequality - DVI) được nghiên cứu một cách hệ thống bắt đầu

từ công trình của Pang và Stewart [14] Trong công trình này, các tác giả

đã đề cập đến DVI như là mô hình của nhiều bài toán trong cơ học, mạng điện, hệ động lực kinh tế, mạng lưới giao thông, Về mặt toán học, DVI được xem là hệ vi phân với ràng buộc một phía, nó chứa nhiều lớp bài toán đã biết như các hệ vi phân đại số, bài toán bù vi phân,

Hệ (0.1)-(0.3) là một mô hình tiêu biểu của các DVIs có trễ trong không gian hữu hạn chiều Hệ này đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu trong những năm gần đây

Với mong muốn tìm hiểu về các bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều, chúng tôi chọn vấn đề "Dáng điệu nghiệm của một lớp bất đẳng thức vi biến phân" làm đề tài nghiên cứu của luận văn

2 Mục đích nghiên cứu

Trình bày một số kết quả gần đây về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp DVI (0.1)-(0.3) dựa trên công trình [1]

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

1 Tìm hiểu về bất đẳng thức biến phân;

2 Tìm hiểu về lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều;

3 Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ (0.1)-(0.3)

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiêu cứu: Hệ DVI (0.1)-(0.3)

• Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ của giải tích bao gồm:

• Lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều;

• Lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén

6 Dự kiến đóng góp mới

Chứng minh chi tiết các kết quả trong công trình [1]

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Độ đo không compact

Cho E là một không gian Banach Kí hiệu

P(E) = {B ⊂ E : B 6= ∅}

B(E) = {B ∈ P(E) : B bị chặn}

Định nghĩa 1.1 Một ánh xạ β : B(E) → R+ được gọi là một độ đo không compact (MNC) trên E nếu

β(co Ω) = β(Ω) với mọi Ω ∈ B(E),

trong đó co Ω là bao lồi đóng của Ω

Một MNC được gọi là

(i) đơn điệu nếu với mọi Ω0, Ω1 ∈ B(E), Ω0 ⊂ Ω1 thì β(Ω0) ≤ β(Ω1); (ii) không kì dị nếu β({a} ∪ Ω) = β(Ω) với bất kì a ∈ E, Ω ∈ B(E); (iii) bất biến đối với nhiễu compact nếu β(K ∪ Ω) = β(Ω) với mọi K là tập compact tương đối trong E và Ω ∈ B(E);

(iv) nửa cộng tính đại số nếu β(Ω0+Ω1) ≤ β(Ω0)+β(Ω1) với mọi Ω0, Ω1 ∈ B(E);

(v) chính quy nếu β(Ω) = 0 tương đương với tính compact tương đối của

Ω;

Một số ví dụ quan trọng về MNC

Ví dụ 1.1 Độ đo không compact Hausdorff χ(·), được định nghĩa như sau: với mỗi Ω ∈ B(E),

χ(Ω) = inf{  > 0 : Ω có một  −lưới hữu hạn}

Khi đó χ(·)là MNC thỏa mãn tất cả các tính chất nêu trong Định nghĩa 1.1

Ví dụ 1.2 Ký hiệu C([0, T ];Rn) là không gian các hàm liên tục trên

[0, T ], nhận giá trị trong Rn Xét độ đo không compact xác định như sau

χT(D) = 1

2limδ→0sup

x∈D

max

t,s∈[0,T ],|t−s|<δ

kx(t) − x(s)k (1.1)

Độ đo χT được gọi là module liên tục đồng bậc trong C([0, T ];Rn)

Độ đo χT là một MNC thỏa mãn các tính chất của định nghĩa (1.1), trừ tính chính quy Thật vậy

(i) Cho D0 ⊂ D1 ⊂ C([0, T ];Rn) Khi đó:

sup

y∈D 0

max

|t 1 −t 2 |<δky(t1) − y(t2)k ≤ sup

y∈D 1

max

|t 1 −t 2 |<δky(t1) − y(t2)k

Do đó χT(D0) ≤ χT(D1) Vậy χT đơn điệu

(ii) Ta chứng minh χT(coD) = χT(D) Vì χT đơn điệu, ta chỉ cần chỉ ra

χT(coD) ≤ χT(D) Thật vậy

Với x ∈ coD, ta có x = P∞

i=1αiyi, αi ≥ 0,P∞

i=1αi = 1, yi ∈ D Khi đó

max

|t 1 −t 2 |<δkx(t1) − x(t2)k ≤ sup

i

max

|t 1 −t 2 |<δkyi(t1) − yi(t2)k

≤ sup

y∈D

max

|t 1 −t 2 |<δky(t1) − y(t2)k

Vậy χT(coD) = χT(D)

(iii) Ta có

χT(D0 ∪ D1) = sup

y∈D 0 ∪D 1

max

|t 1 −t 2 |<δky(t1) − y(t2)k

= max{ sup

y∈D0

max

|t 1 −t 2 |<δky(t1) − y(t2)k}, sup

y∈D1

max

|t 1 −t 2 |<δky(t1) − y(t2)k

= max{χT(D0), χT(D1)}

Nếu K ∈ C([0, T ];Rn) là tập compact tương đối thì K đồng liên tục Do

đó, χT(K) = 0 và χT(K ∪ D) = max{χT(D), χT(K)} = χT(D) Vậy χT

bất biến đối với nhiễu compact

Đặc biệt, khi cho K = {a} ta được χT không kì dị

(iv) Ta có

sup

y∈D 1 +D 2

max

|t 1 −t 2 |<δky(t1) − y(t2k

= sup

y 1 ∈D 1 ,y 2 ∈D 2

max

|t 1 −t 2 |<δk(y1 + y2)(t1) − (y1 + y2)(t2)k

= sup

y 1 ∈D 1 ,y 2 ∈D 2

max

|t 1 −t 2 |<δk(y1(t1) − y1(t2)) + (y2(t1) − y2(t2))k

≤ sup

y 1 ∈D 1 ,y 2 ∈D 2

max

|t 1 −t 2 |<δ(ky1(t1) − y1(t2)k + ky2(t1) − y2(t2)k

Do đó, χT(D1 + D2) ≤ χT(D1) + χT(D2))

Vậy χT là nửa cộng tính đại số

Ví dụ 1.3 Xét không gian BC([0, ∞);Rn) của các hàm liên tục, bị chặn trên [0; ∞] nhận giá trị trong Rn Kí hiệu πT là toán tử hạn chế trên không gian BC([0, ∞);Rn), tức πT(x) là hạn chế của x trên [0, T ] Khi đó

χ∞(D) = sup

T >0

χT(πT(D)), D ⊂ BC([0, ∞);Rn) (1.2)

là một độ đo không compact

Có thể kiểm tra MNC χ∞ thỏa mãn tất cả các tính chất trong Định nghĩa 1.1, nhưng không chính quy

Tính không chính quy củaχ∞được chứng minh bằng cách chọn dãy{fk} ⊂ BC([0, ∞);R) như sau

fk(t) =















0, t 6∈ [k, k + 1], 2t − 2k, t ∈ [k, k + 12],

−2t + 2k + 2, t ∈ [k + 12, k + 1]

Rõ ràng {πT(fk)} là compact (hội tụ tới 0 trong C([0, T ];R) với T> 0 bất kỳ), do vậy χT({πT(fk)}) = 0 và χ∞({fk}) = 0 Tuy nhiên

sup

t≥0

|fk(t) − fl(t)| = 1 với k 6= l,

Vậy{fk}không là dãy Cauchy trongBC([0, ∞);R)và mặc dùχ∞({fk}) =

0 nhưng {fk} là không compact Vậy χ∞ là không chính quy

Tiếp theo chúng ta sẽ xây dựng một độ đo không compact chính quy trong

BC([0, ∞);Rn) Ta sử dựng những độ đo không compact trênBC([0, ∞);Rn)

sau

dT(D) = sup

x∈D

sup

t≥T

kx(t)k,

d∞(D) = lim dT(D)

Đặt

χ∗(D) = χ∞(D) + d∞(D) (1.3) Bằng kiểm tra đơn giản ta được χ∗ là một MNC trong BC([0, ∞);Rn)

Bổ đề 1.1 MNC χ∗ được xác định bởi (1.3) là chính quy

1.2 Ánh xạ đa trị

Cho Y là một không gian metric

Định nghĩa 1.2 Ánh xạ đa trị F : Y → P(E) được gọi là:

(i) nửa liên tục trên (u.s.c) nếu F−1(V ) = {y ∈ Y : F (y) ∩ V 6= ∅} là tập con đóng của Y với mọi V là tập con đóng trong E

(ii) nửa liên tục trên yếu nếu F−1(V ) là tập con đóng của Y với mọi V

là tập con đóng yếu trong E

(iii) đóng nếu đồ thị của nó ΓF = {(y, z) : z ∈ F (y)} là tập con đóng của

Y × E

(iv) compact nếu F (B) là compact tương đối trong E với mọi B là tập bị chặn trong Y

(v) tựa compact nếu hạn chế của nó trên mỗi tập con compact A ⊂ Y là ánh xạ đa trị compact

Bổ đề sau cho ta một điều kiện đủ để kiểm tra một ánh xạ đa trị là nửa liên tục trên

Bổ đề 1.2 ([11]) Cho G : Y → P(E) là ánh xạ đa trị tựa compact đóng với giá trị compact Khi đó G là nửa liên tục trên

Điều kiện cần và đủ cho tính nửa liên tục trên yếu được phát biểu trong

bổ đề sau

Bổ đề 1.3 ([6]) Cho X là không gian Banach và Ω là một tập con khác rỗng của một không gian Banach khác Giả sử rằng G : Ω → P(X) là một ánh xạ đa trị với giá trị lồi, compact yếu Khi đó G là nửa liên tục trên yếu nếu và chỉ nếu với {xn} ⊂ Ω và {yn} ∈ G(xn), luôn tồn tại dãy con của {yn} hội tụ yếu đến y0 ∈ G(x0)

Ta sẽ sử dụng định lý điểm bất động dạng Schauder sau đây

Định lí 1.1 ([11]) Cho M là một tập con đóng, lồi, bị chặn của E và

F : M → P(M) là ánh xạ đa trị compact, nửa liên tục trên với giá trị lồi, compact Khi đó, Fix (F ) := {x ∈ F (x)} là một tập compact khác rỗng

1.3 Nửa dòng đa trị và tập hút của nửa dòng đa trị

Trong mục này chúng ta trình bày tóm tắt một số khái niệm và kết quả về lý thuyết tập hút toàn cục của nửa dòng đa trị (xem [13]) Cho

Γ là một nhóm con không tầm thường của nhóm cộng các số thực R và

Γ+ = Γ ∩ [0, ∞)

Định nghĩa 1.3 Ánh xạ G : Γ+× E → P(E) được gọi là nửa dòng đa trị nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

1 G(0, w) = {w}, với mọi w ∈ E

2 G(t1 + t2, x) ⊂ G(t1, G(t2, x)), với mọi t1, t2 ∈ Γ+, x ∈ E,

trong đó G(t, B) = ∪x∈BG(t, x), B ⊂ E

Một nửa dòng đa trịG được gọi là chặt nếu G(t1+ t2, w) = G(t1, G(t2, w))

với mọi w ∈ E và t1, t2 ∈ Γ+

Một nửa dòng đa trị G được gọi là bị chặn chung cuộc nếu với mỗi tập

bị chặn B ⊂ E, có một số T (B) > 0 thỏa mãn γT (B)+ (B) bị chặn Ở đây

γT (B)+ (B) là quĩ đạo sau thời gian T (B) : γT (B)+ (B) = S

t≥T (B)

G(t, B)

Định nghĩa 1.4 Tập hợp A được gọi là tập hút toàn cục của nửa dòng

đa trị G nếu nó thỏa mãn những điều kiện sau

1 A nửa bất biến âm, nghĩa là A ⊂ G(t, A), ∀t ∈ Γ+;

2 A hút bất kì B ∈ B(E), nghĩa là dist(G(t, B), A) → 0 khi t → ∞, với mọi tập bị chặn B ⊂ E, với dist(·, ·) là nửa khoảng cách Hausdorff của hai tập con trong E

Định nghĩa 1.5 Nửa dòng đa trị G được gọi là tán xạ điểm nếu có một tập bị chặn B0 hút bất kì x ∈ E, nghĩa là tồn tại K > 0 sao cho với

w ∈ E, u(t) ∈ G(t, w), ta có ku(t)kE ≤ K, ∀t ≥ t0(kwkE)

Định nghĩa 1.6 Nửa dòng đa trị G được gọi là nửa compact tiệm cận trên nếu ∀B ∈ B(E) thỏa mãn với T (B) ∈ Γ+, γT (B)+ ∈ B(E), thì dãy bất

kì ξn ∈ G(tn, B), tn → ∞, là tiền compact trong E

Định nghĩa 1.7 Một tập bị chặn B1 ⊂ E được gọi là tập hấp thụ của nửa dòng đa trị G nếu có tính chất: với mỗi tập bị chặn B ⊂ E luôn tồn tại τ = τ (B) ≥ 0 thỏa mãn γτ+(B) ⊂ B1

Rõ ràng rằng nếu nửa dòng đa trị G có một tập hấp thụ thì nó tán xạ điểm và bị chặn chung cuộc

Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ về sự tồn tại của tập hút toàn cục của nửa dòng đa trị G

Định lí 1.2 Giả thiết rằng nửa dòng đa trị G có những tính chất sau

1 G(t, ·) là nửa liên tục trên và có giá trị đóng với mỗi t ∈ Γ+;

2 G tán xạ điểm;

3 G là nửa compact tiệm cận trên

Nếu G bị chặn chung cuộc thì nó có một tập hút toàn cục compact A

trong E Hơn nữa, nếu G là nửa dòng đa trị chặt thì A là bất biến, tức là

A = G(t, A) với mọi t ∈ Γ+

Chương 2

Tính giải được trên đoạn compact

và sự tồn tại nghiệm phân rã

2.1 Tính giải được trên đoạn compact

Đặt

J = [0, T ], CT = C([0, T ];Rn), Cτ = C([−τ, 0];Rn), C = C([−τ, T ];Rn)

Trong những phần tiếp theo, chúng ta sử dụng các giả thiết sau

(H1) A là một toán tử tuyến tính trên Rn

(H2) Ánh xạ B : Rn × Cτ → Rn×m là ánh xạ liên tục sao cho luôn tồn tại những hằng số dương ηB, ζB thỏa mãn

kB(v, w)k ≤ ηB(kvk + kwkCτ) + ζB,

với mọi v ∈ Rn, w ∈ Cτ

(H3) Hàm F : Rn → Rm là liên tục và có một số dương ηF thỏa mãn

kF (v)k ≤ ηF với mọi v ∈ Rn

(H4) Ánh xạ G : K → Rm là hàm liên tục thỏa mãn

1 G là đơn điệu trên K, nghĩa là

hu − v, G(u) − G(v)i ≥ 0, ∀u, v ∈ K;

2 Tồn tại v0 ∈ K sao cho

lim

v∈K,kvk→∞

hv − v0, G(v)i kvk2 > 0

(H5) Ánh xạ h : Rn →Rn là liên tục thỏa mãn có các hằng số dương ηh, ζh

sao cho:

kh(u)k ≤ ηhkuk + ζh, ∀u ∈ Rn

Tiếp theo ta đưa ra định nghĩa nghiệm của bất đẳng thức vi biến phân (0.1) - (0.3)

Định nghĩa 2.1 Một hàm liên tục x : [−τ, T ] → Rn được gọi là nghiệm của (0.1) - (0.3) nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm khả tích u : J → K thỏa mãn

x(t) = etAϕ(0) +

t

Z

0

e(t−s)AB(x(s), xs)u(s)ds +

t

Z

0

e(t−s)Ah(x(s))ds, t ∈ J,

hv − u(t), F (x(t)) + G(u(t))i ≥ 0, với bất kì t ∈ J, ∀v ∈ K,

x(s) = ϕ(s), s ∈ [−τ, 0]

Kí hiệu

SOL(K, Q) = {v ∈ K : hw − v, Q(v)i ≥ 0, ∀w ∈ K}, (2.1) trong đó Q :Rm → Rm là ánh xạ cho trước

Bổ đề 2.1 Giả sử (H4)được thỏa mãn Khi đó với mỗiz ∈ Rm tập nghiệm SOL(K, z + G(·)) là khác rỗng, lồi và đóng Hơn nữa, tồn tại ηG > 0 sao cho

kvk ≤ ηG(1 + kzk), ∀v ∈SOL(K, z + G(·)) (2.2)

Để giải (0.1) - (0.3), ta biến đổi bài toán về dạng bao hàm thức vi phân Đặt

U (z) = SOL(K, z + G(·)), z ∈ Rm

Khi đó ta có U : Rm → P(Rm) có giá trị lồi, đóng (được suy ra từ Bổ đề 2.1) Hơn nữa, dễ dàng chỉ ra rằng U là ánh xạ đóng Bởi (2.2), ta có U

bị chặn địa phương, do đó nó là nửa liên tục trên.

Xác định Φ : Rn × Cτ → P(Rn) như sau

Φ(v, w) = {B(v, w)y + h(v) : y ∈ U (F (v))} (2.3)

Do B(v, w) là toán tử tuyến tính với mỗi v ∈ Rn, w ∈ Cτ và U có giá trị lồi, đóng, Φ cũng có giá trị lồi, đóng Hơn nữa, nhờ có tính liên tục của B,

F, h và U là nửa liên tục trên, nên ánh xạ đa trị hợp thành Φ là nửa liên tục trên

Nhờ những thiết lập trên, bất đẳng thức vi phân (0.1) - (0.3) được biến đổi thành bao hàm thức vi phân sau

x0(t) ∈ Ax(t) + Φ(x(t), xt), t ∈ J, (2.4)

x(t) = ϕ(t), t ∈ [−τ, 0] (2.5)

Kí hiệu:

PΦ(x) = {f ∈ L1(J ;Rn) : f (t) ∈ Φ(x(t), xt)}, với x ∈ C (2.6) Vậy ta có kết luận rằng nghiệm x ∈ C của bất đẳng thức vi biến phân (0.1) - (0.3) được cho bởi công thức dưới đây

x(t) = etAϕ(0) +

t

Z

0

e(t−s)Af (s)ds, f ∈ PΦ(x), t ∈ J, (2.7)

x(t) = ϕ(t), t ∈ [−τ, 0] (2.8) Cho y ∈ CT và ϕ ∈ Cτ, hàm y[ϕ] ∈ C được xác định như sau

y[ϕ](t) =







y(t), nếu t ∈ [0, T ], ϕ(t), nếu t ∈ [−τ, 0]

Xét tương ứng

W : L1(J ;Rn) → CT

W(f )(t) =

t

Z

0

e(t−s)Af (s)ds (2.9)

Cho ϕ ∈ Cτ, ta xét toán tử nghiệm F : CT → P(CT) như sau

F (y)(t) = {etAϕ(0) + W(f )(t) : f ∈ PΦ(y[ϕ])}, t ∈ J

Rõ ràng rằng y ∈ CT là một điểm bất động F nếu và chỉ nếu y[ϕ] là một nghiệm của bất đẳng thức vi phân (0.1) - (0.3)

Bổ đề 2.2 Với các giả thuyết (H2)-(H5), PΦ được xác định và là ánh xạ

đa trị có tính chất nửa liên tục trên yếu

Bổ đề 2.3 Toán tử W được xác định bởi (2.9) là compact

Bổ đề 2.4 Với các giả thuyết (H1)-(H5), toán tử nghiệm F là compact

và có đồ thị đóng

Ta phát biểu định lí về sự tồn tại nghiệm trên đoạn compact

Định lí 2.1 Giả sử rằng (H1)-(H5) được thỏa mãn Khi đó hệ (2.4)-(2.5)

có ít nhất một nghiệm trên [−τ, T ] Hơn nữa, tập nghiệm là compact

2.2 Sự tồn tại nghiệm phân rã

Trong phần này ta xét toán tử nghiệm F trên không gianBC(0, ∞;Rn) Với γ > 0 và ϕ ∈ Cτ, ký hiệu

Bϕγ(R) = {x ∈ C([0, ∞);Rn) : x(0) = ϕ(0), eγtkx(t)k ≤ R với mọi t ≥ 0}

Khi đó Bϕγ(R) là một tập con lồi, đóng và bị chặn của BC(0, ∞;Rn) Ta cần thay thế các giả thiết (H1), (H2) và (H5) bằng các giả thiết mạnh hơn (H1*) A là toán tử tuyến tính trên Rn sao cho tồn tại số a > 0 thỏa mãn

h−Az, zi ≥ akzk2 với mọi z ∈ Rn

(H2*) B thỏa mãn (H2) với ζB = 0

(H5*) h thỏa mãn (H5) với ζh = 0

Bổ đề 2.5 Với các giả thiết (H1*), (H2*), (H3)-(H4) và (H5*), ta có

F (Bϕγ(R)) ⊂ Bϕγ(R)

với một số R > 0 nào đó nếu

ηG(1 + ηF)ηB(1 + eγτ) + ηh+ γ < a (2.10) Sau đây là kết quả chính của mục này

Định lí 2.2 Giả sử (H1*)-(H2*), (H3)-(H4), (H5*) được thỏa mãn và tồn tại số γ > 0 sao cho

ηG(1 + ηF)ηB(1 + eγτ) + ηh+ γ < a

Khi đó hệ (0.1)-(0.3) có một tập compact các nghiệm xác định trên[−τ, ∞)

sao cho

eγtkx(t)k = O(1) as t → ∞

Chương 3

Sự tồn tại tập hút toàn cục

3.1 Nửa dòng đa trị sinh bởi hệ

Nửa dòng đa trị được sinh ra bởi bất đẳng thức vi biến phân (0.1)−(0.3) được xác định như sau

G : R+× Cτ → P(Cτ)

G(t, ϕ) = {xt : x[ϕ] là một nghiệm của (0.1)−(0.3)

trên [−τ, T ] với bất kì T > 0}

Có thể kiểm tra được

G(t1 + t2, ϕ) = G(t1, G(t2, ϕ)), với mọi t1, t2 ∈ R+, ϕ ∈ Cτ

Với mỗi ϕ ∈ Cτ kí hiệu

Σ(ϕ) = {x ∈ C([0, ∞);Rn) : x[ϕ] là một nghiệm của (0.1)−(0.3)

trên [−τ, T ] với bất kỳ T > 0}

Rõ ràng

πt ◦ Σ(ϕ) ⊂ S(·)ϕ(0) + W ◦ PΦ(πt◦ Σ(ϕ)[ϕ]) (3.1) Hơn nữa, ta có G(t, ϕ) = {x[ϕ]t : x ∈ Σ(ϕ)} Mặt khác, bởi Định lí 2.1,

πt ◦ Σ(ϕ) là tập compact trong C([0, t];Rn) với bất kì t > 0 Từ đó suy

ra G(t, ϕ) là compact trong Cτ, và do đó G(t, ·) có giá trị compact Tiếp theo, ta có các kết quả sau