Sai phân
Cho một điểmt0∈Rvà một khoảng cáchh: 0< h 0 Khi chọn t₀ = 0 và h = 1 (đơn vị thời gian), tập I trở thành tập các số nguyên Z, minh họa cho sự phân chia thời gian thành các mốc rời rạc đều nhau Điều này đặc biệt hữu ích trong các mô hình phân tích hệ thống rời rạc hoặc quá trình diễn biến theo từng bước thời gian cố định.
I={n= 0,±1,±2, }:=Z. Trường hợp riêng: vớin= 0,1,2, ta có tập các số nguyên không âm:
Giả sửf là một ánh xạ từZvàoR d (hoặc vào không gian tổng quátX): f :Z→R d
Định nghĩa 1.1 xác định rằng, giả sử hàm số \(f(\tilde{a})\) được định nghĩa trên tập số nguyên \(\mathbb{Z}\) và nhận giá trị trong \(\mathbb{R}^d\) Hiệu sai phân cấp một của hàm số \(f(\tilde{a})\) tại điểm \(n \in \mathbb{Z}\) được gọi là sai phân cấp nhất, đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích sự biến đổi của hàm số theo từng bước tiến trong tập nguyên.
Sai phân cấp hai củaf(.)tại nlà
Phương trình sai phân
Trong luận văn, các ký hiệu x(n) hoặc xn được hiểu như nhau, đều đại diện cho một hàm số biến số nguyên chưa biết cần được xác định Định nghĩa 1.2 trình bày rằng, giả sử x(n), n ∈ Z là hàm số chưa biết, được xác định từ một đẳng thức liên quan đến n, x(n) và các sai phân cấp, ví dụ như đến cấp k của x(n).
F(n, x(n),∆x(n), ,∆ k x(n)) = 0, khi đó đẳng thức này gọi là một phương trình sai phân.
Từ Định nghĩa1.1về sai phân các cấp, ta thấy mọi phương trình chứa đến sai phân cấpkcó thể đưa về dạng tổng quát sau
G(n, x(n+k), x(n+k−1), , x(n+ 1), x(n)) = 0 (1.4) Cấp của phương trình sai phân trên được xác định bởi: maxi ∈Z + {i|x(n), x(n+i)cùng có mặt trong phương trình}.
Trong lý thuyết phương trình sai phân, nếu một phương trình cấp k cho phép giải ra x(n+k) dựa theo các giá trị trước đó, nghĩa là x(n+k) = f(n, x(n+k−1), x(n+k−2), , x(n+1), x(n)), thì phương trình đó gọi là dạng chính tắc cấp k Dạng chính tắc này giúp xác định rõ cấu trúc và cách giải phương trình sai phân một cách rõ ràng và hiệu quả hơn.
Phương trình có dạng sau được gọi là phương trình tuyến tính cấpk x(n+k) +ak − 1(n)x(n+k−1) +ã ã ã+a1(n)x(n+ 1) +a0(n)x(n) =f(n) (1.6) Nếuf(n)≡0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất x(n+k) +ak − 1(n)x(n+k−1) +ã ã ã+a1(n)x(n+ 1) +a0(n)x(n) = 0 (1.7)
Nếu các hệ số ai(n) đều không phụ thuộc vào n thì ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng. x(n+k) +ak − 1x(n+k−1) +ã ã ã+a1x(n+ 1) +a0x(n) = 0.
Trong trường hợp phương trình tuyến tính hệ số hằng và x∈R 1 , phương trình nghiệm phức sau gọi là phương trình đặc trưng của phương trình trên:
Các nghiệm của phương trình này được gọi là nghiệm đặc trưng của phương trình sai phân tương ứng Tập các nghiệm đặc trưng này được xem là tập phổ của phương trình, thường ký hiệu là σ, đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích và giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình sai phân.
Giải phương trình sai phân
Hiện chưa có phương pháp chung để giải các phương trình sai phân dạng tổng quát trong R^d hoặc ngay cả trong R^1, nhưng việc giải phương trình vẫn khả thi trong một số trường hợp đặc biệt Ví dụ, các trường hợp đơn giản nhất bắt đầu từ khi k = 1, giúp làm rõ các phương pháp giải quyết phù hợp với các dạng sai phân nhất định.
1.3.1.Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng trong R 1
Bạn có thể tham khảo phần hướng dẫn cách giải trong các tài liệu [3], [4], nhưng chúng tôi sẽ bỏ qua chi tiết trình bày lại và tập trung vào giải các ví dụ thực tế, giúp người đọc dễ hiểu hơn về quy trình và phương pháp giải quyết vấn đề.
Ví dụ 1.1 Giải phương trình y(n+ 2) +y(n+ 1)−6y(n) = 4.3 n+1
Phương trình thuần nhất tương ứng:y(n+ 2) +y(n+ 1)−6y(n) = 0
Phương trình đặc trưng tương ứngλ 2 +λ−6 = 0có hai nghiệm phân biệt là: λ= 2, λ=−3.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:y(n) =¯ C1.2 n +C2.(−3) n
Do3không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng nên ta tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất ở dạng: ˆ y(n) =A.3 n
Thayy(n); ˆˆ y(n+ 1); ˆy(n+ 2) vào phương trình không thuần nhất, ta có:
Từ đây, so sánh các hệ số của3 n , ta được:A= 2 y(n) = 2.3ˆ n Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất đã cho là y(n) = ¯y(n) + ˆy(n) =C1.2 n +C2.(−3) n + 2.3 n
Ví dụ 1.2 Giải phương trình x(n+ 2) +x(n) = 6 cosnπ
Phương trình thuần nhất: x(n+ 2) +x(n) = 0 Phương trình đặc trưng:λ 2 + 1 = 0có nghiệm là λ=±i= 1 cosπ
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: ¯ x(n) =C1cosnπ
Ta tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất ở dạng: ˆ x(n) =A.ncosnπ
2 Thayx(n); ˆˆ x(n+ 2)vào phương trình không thuần nhất, So sánh hệ số củacosnπ
2 + 2nsinnπ Nghiệm tổng quát của hệ không thuần nhất là:2 x(n) =C1cosnπ
2 1.3.2.Phương trình sai phân tuyến tính hệ số biến thiên trong R 1
Phương pháp biến thiên hệ số là một kỹ thuật phổ biến để giải các phương trình tuyến tính không thuần nhất Quá trình bắt đầu bằng việc giải phương trình thuần nhất để tìm nghiệm tổng quát, sau đó xem các hằng số trong nghiệm là hàm của biến thời gian Bằng cách này, khi thay vào phương trình không thuần nhất, ta sẽ nhận được một phương trình sai phân mới để xác định hàm của thời gian và các hằng số xuất hiện trong nghiệm.
Ví dụ 1.3 Giải phương trình sai phân: x(n+ 1)−nx(n) =n! ln(n+ 2).
Giải phương trình thuần nhất bằng công thức truy hồi: x(n+ 1) =nx(n)⇔x(n) = (n−1)!x(0) ĐặtC=x(0), ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: x(n) =C.(n−1)!
Tiếp theo, ở công thức nghiệm tổng quát này coiC=C(n), ta có: x(n) =C(n).(n−1)! và x(n+ 1) =C(n+ 1).n!
Thay chúng vào phương trình không thuần nhất, ta có: n!C(n+ 1)−nC(n)(n−1)! =n! ln(n+ 2)⇔C(n+ 1)−C(n) = ln(n+ 2)
Sử dụng tính chất của sai phân cấp một, ta có
X i=0 ln(i+ 2) = ln[(n+ 1)!] ĐặtC(0) =D, ta đượcC(n) =D+ ln[(n+ 1)!].
Thay lại vào nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, ta được nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất là x(n) = (D+ ln[(n+ 1)!])(n−1)!
Ví dụ 1.4 Giải phương trình: x(n+ 1)−9 n x(n) = 3 n 2 +n+1 cosπn
Bằng công thức truy hồi, giải phương trình thuần nhất: x(n+ 1) = 9 n x(n)⇔x(n) = 3 n(n − 1) x(0).
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là \( x(n) = C \cdot 3^n \), với \( C = x(0) \) Tiếp theo, xem \( C \) là một hàm số theo \( n \), tức là \( C = C(n) \), thì nghiệm tổng quát có dạng \( x(n) = C(n) \cdot 3^n \) Khi thay vào phương trình không thuần nhất, ta tìm ra phương trình để xác định hàm số \( C(n) \).
D=C(0) và áp dụng tính chất của sai phân, ta có:
Thay lại vào nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, ta có nghiệm tổng quát của phương trình không thần nhất là: x(n) = [D+2 +√
1.3.3 Phương trình dạng phi tuyến trong R 1
Trong lĩnh vực phương trình sai phân phi tuyến không chính tắc, hiện chưa có phương pháp giải chung hiệu quả Công thức truy hồi sử dụng để giải các phương trình chính tắc thường gặp nhiều hạn chế khi số bước giải tăng lên Tuy nhiên, trong một số trường hợp đặc biệt, có thể áp dụng các phép đổi biến phù hợp để chuyển đổi phương trình phi tuyến sang dạng tuyến tính, giúp dễ dàng hơn trong việc giải quyết.
Ví dụ 1.5 Giải phương trình với điều kiện ban đầu y(n+ 1) = 5− 6 y(n);y(0) = 1 (∗)
Lời giải. Đặt y(n+ 1) = z(n+ 1) z(n) ta về được phương trình sau z(n+ 2)−5z(n) + 6z(n+ 1)) z(n+ 1) = 0.
Doy(n) = 0 không phải là nghiệm của (*) nên z(n+ 1) 6= 0với mọi n ∈Z + Vậy, phương trình cuối tương đương với z(n+ 2)−5z(n) + 6z(n+ 1)) = 0⇔z(n) =C12 n +C23 n Thay lại, ta có y(n) = z(n+ 1) z(n) =C12 n+1 +C23 n+1
Thay điều kiện ban đầu, ta có y(0) = 1 = 2 +D3
2. Vậy, nghiệm cần tìm là y(n) = 2 n+2 −3 n+1
Ví dụ 1.6 Giải phương trình x(n+ 1) = 2x(n) + 3 x(n) + 1.
Đầu tiên, lưu ý rằng với điều kiện ban đầu tùy ý x(n₀) = x₀, ta có thể tìm nghiệm bằng công thức truy hồi liên tiếp Tuy nhiên, sau một vài bước, công thức nghiệm sẽ trở nên rất phức tạp Do đó, ta sẽ áp dụng phương pháp khác để giải quyết Đặt x(n) = [y(n+1) - y(n)] / y(n), ta đưa ra phương trình liên quan: y(n+2) - y(n+1) / y(n+1) = 2y(n+1) + y(n) / y(n+1).
Dox(n) = 0không thỏa mãn phương trình đã cho nêny(n) = 0không thỏa mãn phương trình cuối Vì vậy, phương trình cuối tương đương với y(n+ 2)−3y(n+ 1)−y(n) = 0.
Nghiệm tổng quát của phương trình này là y(n) =C1(3 +√
2 ) n Thay lại theo biếnx(n), ta có x(n) = y(n+ 1)−y(n) y(n)
. Ở đây:D:=C1/C2 là một hằng số tuỳ ý.
1.3.4.Phương trình sai phân tuyến tính trong R d
Bây giờ ta xét đến công thức nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính trong R d (hoặc trong không gian tổng quátX) Xét phương trình sau vớix∈R d (hoặcx∈X): x(n+ 1) =A(n)x(n) +f(n) (1.8)
Phương trình thuần nhất được biểu diễn dưới dạng x(n+1) = A(n) x(n) Để hiểu rõ hơn, ta cần tìm nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất này, bắt đầu bằng cách xác định công thức nghiệm tổng quát của phương trình Quá trình này đòi hỏi phân tích kỹ lưỡng các cặp (n₀, x₀) để xây dựng một phương pháp chung giải pháp cho hệ thuần nhất.
Z×R d tùy ý Nghiệm của(1.9) với điều kiện ban đầu(n0, x 0 )được xác định như sau (xem [6]):
A(i) vàC=x(n0)là véc tơ hằng tùy ý Khi đó, ta có x(n) = Φ(n, n0)C (1.10)
Ma trận Φ(n, m) =A(n−1)A(n−2)ã ã ãA(m+ 1)A(m) (m≤n) (1.11) gọi là ma trận nghiệm cơ bản của phương trình(1.9) và(1.8).
Trong trường hợp ma trậnA(n)không suy biến với mọin∈Z, ta có Φ(n, m) = Φ(n,0)Φ − 1 (m,0)
Khi đó, ma trận sau đây gọi là ma trận Green: Φ(n, m) = Φ(n,0)Φ − 1 (m,0).
Ma trận Green, ký hiệu là Φ(m, n), được xác định với mọi m, n trong Z, kể cả khi m > n, và có những đặc tính quan trọng như: Φ(n, n) = I (đằng sau ma trận đơn vị), Φ(m, l)Φ(l, n) = Φ(m, n) thể hiện tính chất phối hợp, và nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính liên quan là x(n) = Φ(n, m)x(m) Ngoài ra, nghiệm tổng quát của hệ không thuần nhất cũng được xác định dựa trên các đặc tính của ma trận Green để giải bài toán hiệu quả hơn.
Phương pháp biến thiên hằng số giúp tìm công thức nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất Giả sử ma trận A(n) không suy biến với mọi n ∈ Z, ta xem C như một hàm của n, tức C = C(n) Với công thức nghiệm tổng quát của nghiệm nghiệm riêng tổng quát từ (1.10), ta có x(n) = Φ(n, n0) C(n), và từ đó suy ra x(n+ 1) = Φ(n+ 1, n0) C(n+ 1).
LấyC=C(n0), khi đó ta có
Xn i=1 Φ − 1 (n0+i, n0)f(n0+i−1) (1.14) Thay(1.14)vào(1.10), ta có nghiệm tổng quát của(1.8)là x(n) = Φ(n, n0)[C+
2) NếuA là ma trận hằng vàn0= 0 thì x(n) =A n C+
Việc tìm nghiệm tổng quát thường gặp khó khăn do phải biết biểu thức của A_n Tuy nhiên, trong một số trường hợp đặc biệt khó khăn, vấn đề này có thể được khắc phục hiệu quả Dưới đây là các trường hợp điển hình giúp giải quyết bài toán một cách dễ dàng hơn.
Ví dụ 1.7 Tìm nghiệm tổng quát của:
Dễ thấy,A 2 =O Áp dụng công thứcx(n) =A n C+ n − 1
A n − i − 1 f(i)với điều kiện ban đầu chẳng hạn X(0) =C, ta có: x(1) +
Ví dụ 1.8 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình không autonom:
Ta có det(A(n)) = 4.25 n khác 0 với mọi n ∈ Z Vậy A(n) không suy biến với mọi n Lấy n0 = 0,
Công thức(1.18)còn chưa thật cụ thể, ta muốn tính toán cụ thể tới từng phần tử Ta thấy
. Bằng phương pháp quy nạp, ta có thể tính được: Φ(n,0) =A n
3 x4(n) =C42 n + 3nC52 n x5(n) =C52 n d) Các véc tơ riêng và công thức nghiệm.
Ta đã biết nghiệm của phương trình này với điều kiện ban đầu (0, X(0)) là X(n) = A^n X(0) Vì việc tính lũy thừa của ma trận A khá phức tạp, thường ta sẽ tìm các phương pháp khác để giải, đặc biệt khi biết các giá trị riêng của ma trận A Theo Định lý 1.1, nếu ma trận A có các giá trị riêng là λ₁, λ₂, , λ_p cùng với các véc-tơ riêng tuyến tính độc lập tương ứng là v₁, v₂, , v_p, thì nghiệm tổng quát của phương trình này có thể được xác định dựa trên các giá trị riêng và véc-tơ riêng của A.
Ví dụ 1.9 Giải phương trình:X(n+ 1) =AX(n), trong đó
Phương trình đặc trưng: det(A−λE) = 0⇔
+) Vớiλ=λ1=−2, tìm được hai véc tơ riêng làv1
+) Vớiλ=λ3= 3, tìm được véc tơ riêng làv3
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình trên là
x1(n) =C1(−2) n +C2(−2) n +C33 n x2(n) =C1(−2) n +C33 n x3(n) =−C2(−2) n + 2C33 n 1.3.4.Phương trình sai phân phi tuyến dạng chính tắc
Phương trình sai phân tuyến tính cấp k dạng tổng quát không thể giải theo dạng chính tắc hoặc dạng tuyến tính thường được coi là chưa có phương pháp giải cụ thể Tuy nhiên, mọi phương trình được đưa về dạng chính tắc đều có thể giải bằng phương pháp truy hồi Định lý về tồn tại và duy nhất của nghiệm trong trường hợp phương trình chính tắc cấp k không yêu cầu hàm f phải liên tục hoặc Lipschitz, giúp đơn giản hóa quá trình giải so với phương trình vi phân Với điều kiện ban đầu xác định, ta có thể tìm nghiệm riêng bằng cách truy hồi liên tiếp bắt đầu từ n0, áp dụng công thức x(n0+ 1) =f(n0, x(n0), x(n0−1), , x(n0−k+ 1)).
Đây là một công thức truy hồi phức tạp, chỉ có thể đưa ra biểu thức tường minh của nghiệm trong các trường hợp đặc biệt đã được xét trước đó.
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu kiến thức cơ bản về phương trình sai phân, giúp độc giả hiểu rõ các khái niệm phương trình sai phân và ứng dụng của chúng Tác giả đã tự giải các ví dụ do giáo viên hướng dẫn để làm rõ cách tìm nghiệm của phương trình sai phân đặc biệt trong không gian một và nhiều chiều Những kiến thức mở đầu này cung cấp nền tảng vững chắc để tiếp tục nghiên cứu và ứng dụng phương trình sai phân trong các lĩnh vực toán học và khoa học.
Tính ổn định của các phương trình sai phân
Khái niệm ổn định nghiệm phương trình sai phân
Lý thuyết ổn định nghiệm các phương trình sai phân mở rộng từ lý thuyết ổn định nghiệm của các phương trình vi phân, được đặt nền móng bởi nhà toán học A Lyapunov vào cuối thế kỷ 19 Từ đó, lý thuyết này phát triển mạnh mẽ và được ứng dụng rộng rãi trong phân tích các quá trình thực tiễn Lý thuyết ổn định tập trung vào dáng điệu của tập nghiệm trên nửa trục thời gian [0, +∞], với hai phương pháp chính để nghiên cứu tính ổn định: dựa vào tập phổ của ma trận hoặc toán tử tuyến tính, và dựa vào hàm Lyapunov, một hàm bổ trợ đặc trưng cho tính ổn định Gần đây, các nhà nghiên cứu còn đề cập đến các phương pháp mới dựa trên bất đẳng thức để phân tích ổn định của các hệ thống.
Các phương trình cấp cao có thể được đưa về dạng phương trình cấp một trong không gian có số chiều lớn hơn, giúp đơn giản hóa quá trình phân tích và giải quyết Vì vậy, để đảm bảo tính tổng quát, ta sẽ trình bày các khái niệm và mệnh đề liên quan đến phương trình cấp một một cách rõ ràng và chính xác.
Xét phương trình sai phân dạng chính tắc trong tập số nguyên n ≥ n₀, với n₀ là một số nguyên không âm Phương trình có dạng x(n+1) = f(n, x(n)), trong đó f(n, 0) = 0 đối với mọi n thuộc tập Z(n₀) Điều kiện này đảm bảo rằng hệ phương trình có nghiệm tầm thường là x ≡ 0 Để đơn giản hóa và giữ tính tổng quát, thường chọn n₀ = 0, dẫn đến Z(n₀) ≡ Z+ (tập các số nguyên không âm).
Trong chương này, do chỉ đề cập đến phương trình sai phân cấp một, có thể sử dụng cả hai loại ký hiệu x(n) hoặc x(k) tùy vào sự thuận tiện trong quá trình trình bày và phân tích Định nghĩa 2.1 cung cấp khung pháp lý rõ ràng cho việc hiểu và áp dụng các phương trình sai phân cấp một trong các bài toán toán học và kỹ thuật.
Nghiệm tầm thường x(n)≡0 của phương trình sai phân (2.1) được coi là ổn định nếu, với mọi n₀ thuộc tập số nguyên dương và mọi ε > 0, luôn tồn tại một δ = δ(ε, n₀) sao cho mọi nghiệm x(n) của phương trình thỏa mãn bất đẳng thức kx(n₀)k < δ thì cũng sẽ thỏa mãn kx(n)k < ε đối với mọi n ≥ n₀ Điều này đảm bảo rằng sự sai lệch nhỏ ban đầu không gây ra biến thiên lớn của nghiệm theo thời gian, phản ánh tính ổn định của nghiệm tầm thường trong hệ thống.
Nghiệm ổn định x(n) ≡ 0 được coi là hút nếu nó có tính chất ổn định tiệm cận, nghĩa là tồn tại số δ₁ = δ₁(n₀, ε) sao cho mọi vòng lặp bắt đầu nằm trong khoảng δ₁ từ điểm ban đầu x(n₀), thì giới hạn của x(n) khi n tiến tới vô cùng chính là 0 Điều này giúp xác định rõ ràng hơn về tính ổn định của nghiệm tầm thường trong các hệ thống động.
Nghiệm tầm thường được gọi là ổn định mũ khi tồn tại các số dương N, α và tập Dn0 ⊆ R d sao cho với mọi x(n0) = x0 thuộc Dn0, sẽ có bất kỳ n ≥ n0 thỏa mãn kx(n)k ≤ N kx0k e^{−α(n − n0)} Điều này đảm bảo rằng sự biến thiên của nghiệm giảm theo hàm mũ theo thời gian, thể hiện tính ổn định mạnh mẽ của nghiệm tầm thường trong hệ thống.
Dn 0 rộng nhất có tính chất trên gọi là miền hút tạin0 của nghiệm tầm thường.
• Nếu các số δ0, δ1 nói trên có thể chọn không phụ thuộc vào thời điểm ban đầun0 thì các nghĩa ổn định trên đây gọi là "đều".
Chú ý Khi nghiệm cân bằng ổn định thì ta nói một cách quy ước rằng hệ phương trình là ổn định.
Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định
Phương pháp thứ nhất Lyapunov
2.2.1.1.Hệ thuần nhất dừng trong R d
Xét phương trình sau trongR d :
Tập phổ của ma trận A, còn gọi là tập các giá trị riêng ω(A), được định nghĩa là tập các giá trị λ trong phức số C sao cho det(A−λE) = 0 Đây chính là tập các giá trị riêng của ma trận A, phản ánh các đặc tính nổi bật của ma trận trong không gian phức Hệ phương trình (2.3) luôn có nghiệm cân bằng tầm thường X(n) ≡ 0 với mọi n, cho thấy sự ổn định ban đầu của hệ thống Trong quá trình phân tích, ta kí hiệu rõ các thành phần này để thuận tiện trong việc tìm hiểu các đặc trưng của ma trận và ứng dụng trong các lĩnh vực kỹ thuật và toán học.
Kết quả quan trọng của định lý 2.1 là nghiệm tầm thường X(n)≡0 của hệ (2.3) được coi là ổn định khi tập giá trị riêng của ma trận A nằm trong vòng tròn B₁(0), tức là σ(A)⊆B₁(0) Ngoài ra, điều kiện cần thiết là các nghiệm của phương trình đặc trưng có độ lệch bằng 1, và những nghiệm này phải là nghiệm đơn.
Nghiệm tầm thường là ổn định tiệm cận nếuσ(A)⊆B1(0).
Đầu tiên, ta chứng minh cho trường hợp σ(A) ⊆ B₁(0) Với ε > 0 tùy ý và n₀ ∈ Z⁺, ta bắt đầu bằng việc chứng minh tính ổn định của phương trình X(n+1) = A X(n) Trong lý thuyết ma trận, người ta thường sử dụng ký hiệu λ_max(A) = max{|λ| : λ ∈ σ(A)} để chỉ giá trị eigenvalue lớn nhất theo môđun và λ_min(A) = min{|λ| : λ ∈ σ(A)} cho eigenvalue nhỏ nhất Đồng thời, có đẳng thức q := λ_max(A) = lim_{n→∞} p_n, thể hiện sự hội tụ của các giá trị đặc trưng của ma trận A theo thời gian.
||A n ||. Ở đây chuẩn được mặc định là chuẩn toán tử, nghĩa là:||A||= sup
Doσ(A)⊆B1(0)nên λmax(A)0, c(0) = 0 sao cho
∆V(n, xn)≤ −c(kxnk) (2.11) thìxn≡0là ổn định tiệm cận.
6) Nếu tồn tại hàm số b(.)∈ K,sao cho điều kiện 3) được thay bởi a(kxk)≤V(n, x)≤b(kxk), (∀n∈Z + ,∀x∈U) thì tính ổn định nói trên là "đều".
Phương pháp Lyapunov thứ hai là một công cụ hiệu quả để khảo sát tính ổn định của phương trình tuyến tính đồng định trong R^d Định lý 2.8 chỉ ra rằng, hệ phương trình (*): x(n+1) = A x(n), sẽ ổn định khi tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P và Q thỏa mãn một điều kiện nhất định Điều này giúp xác định tính ổn định của hệ dựa trên các ma trận Lyapunov, mang lại phương pháp đơn giản và chính xác trong phân tích hệ thống tuyến tính.
A T P A−P =−Q (∗∗) thì nghiệm cân bằng tầm thường của hệ (*) là ổn định tiệm cận.
Nếu nghiệm tầm thường của hệ (*) là ổn định tiệm cận, thì với mỗi ma trận đối xứng xác định dương Q, phương trình (**) luôn có nghiệm P đối xứng xác định dương Điều này thể hiện mối liên hệ chặt chẽ giữa tính ổn định và tính xác định dương của các ma trận trong quá trình nghiên cứu Trong các bài toán liên quan đến lý thuyết hệ thống và ma trận, việc xác định các nghiệm này đóng vai trò quan trọng giúp đảm bảo tính ổn định của hệ Khi ma trận Q là đối xứng xác định dương, ta có thể đảm bảo sự tồn tại của nghiệm P đối xứng xác định dương, góp phần nâng cao tính chính xác của phân tích lý thuyết.
Chứng minh Chiều thuận Hệ (*) có nghiệm cân bằng tầm thường x(k)≡0,∀k∈Z + Để xét tính ổn định của nó ta chọn hàm Lyapunov
Ta kiểm tra tính xác định âm của∆V(x).Quả vậy,
Vậy∆V(x)là xác định âm Nghiệmx≡0 là ổn ịnh tiệm cận.
Trong hệ (*), giả sử nghiệm x ≡ 0 là nghiệm ổn định tiệm cận, điều này đảm bảo rằng tất cả các giá trị riêng của ma trận A đều có độ lớn nhỏ hơn 1, phản ánh tính chất ổn định của hệ Sử dụng ma trận Q đối xứng xác định dương tùy ý làm tham số, ta có thể chứng minh rằng các đặc điểm của hệ sẽ được duy trì, từ đó khẳng định tính ổn định của nghiệm trong các điều kiện đã cho.
(A T ) i QA i là nghiệm của phương trình (**) Quả vậy, với tuỳ ým∈Z + ta có:
Do các giá trị riêng củaA đều có modun nhỏ hơn1 nênA m+1 →O khim→+∞ Vì vậy, chuyển qua giới hạn đẳng thức cuối, ta có
Dễ thấyP T =P,Pxác định dương vàPthỏa mãn phương trình (**) Định lý được chứng minh xong.
2x1(n) +x1(n)x 2 2 (n). Đầu tiên ta tìm điểm cân bằng của hệ Giả sử điểm cân bằng là(x ∗ , y ∗ ), nghĩa là
Thay vào hệ, ta có
Vậy, hệ có duy nhất một điểm cân bằng làO(0,0). Để xét tính ổn định của điểm cân bằng này ta chọn hàm Lyapunov như sau:
VớiX := (x1, x2) T , dễ thấy rằngV(0) = 0, V(X)>0,∀X6= 0 vàkXk 2 =kx1k 2 +kx2k 2
Có thể chọn hàmặ), b(.)∈ Knhư sau: a(s) =s 2 , b(s) = 4.s 2 ,nghĩa là với s=kXkthìa(kXk) =kXk 2 , b(kXk) = 4kXk 2
Việc còn lại là kiểm tra tính xác định âm của∆V(X)trong một lân cận nào đó của điểm cân bằng O. Quả vậy,
Điểm cân bằng tầm thường O(0,0) là điểm ổn định tiệm cận đều, đảm bảo hệ thống có khả năng trở lại trạng thái ban đầu sau khi bị tác động nhỏ Tuy nhiên, cần lưu ý rằng tính ổn định này chỉ mang tính cục bộ, không đảm bảo tính toàn cục của hệ thống trong mọi điều kiện.
Trong ví dụ 2.6, phương trình phi tuyến z(k+1) = z(k) a + b z(k) với z ∈ R¹ và a > 1 có nghiệm cân bằng tầm thường z* = 0 Để xác định tính ổn định tiệm cận của nghiệm z* = 0, ta lựa chọn hàm Lyapunov trong một lân cận đủ nhỏ của điểm z = 0 nhằm phân tích đặc tính ổn định của hệ thống.
V(z) =ln 2 (1 +z) Đầu tiên, ta chỉ ra sự tồn tại các hàmặ)∈ K, b(.)∈ K, sao cho: a(|zk)≤ | ≤b(|z|), ∀z thuộc một lân cận đủ nhỏ của z = 0.
Ta thấy, khi|z|đủ bé sao cho:
1 e 0
Vậyz= 0là điểm cực tiểu của hàmf(x)
Do đó tồn tại một lân cận đủ nhỏ củaz= 0 sao cho trên đó luôn cóf(z)>0(trừ điểm z= 0), hay ln(1 +z)< z, ∀z6= 0, đủ nhỏ.
Khi đó,|ln(1 +z)|0 đủ nhỏ).
Do−t 0 Vậyt= 0là điểm cực tiểu địa phương.
⇒f(t)>0 hayt >|ln(1−t)|hay|z|>|ln(1 +z)|khi z 1⇒11 + z 1 ⇒ln 2 (1 + a+bz z )< ln 2 (1 + z 1 )hay∆V S0, đảm bảo rằng nhu cầu ban đầu luôn lớn hơn lượng cung ban đầu, từ đó duy trì cân bằng thị trường hợp lý. -Tối ưu nội dung với công cụ AI giúp bạn viết đoạn văn mạch lạc, chuẩn SEO và thể hiện ý chính rõ ràng trong [bài viết của bạn](https://pollinations.ai/redirect/claude).
Bên cầu cần mua một lượng làmD đơn vị hàng hóa (với giáP(n))
Bên cung cần bán một lượng làmS đơn vị hàng hóa (với giáP(n))
Mua được một lượng hàng, lượng cầu tại thời kỳnsẽ giảm đi là
D(n) =D0−mDP(n) Bán được một lượng hàng, lượng cung ở thời kỳ sau cần bổ sung thêm là
S(n+ 1) =S0+mSP(n) Trạng thái lý tưởng là tại thời kỳ tiếp theo, lượng cung bằng lượng cầu, nghĩa là:
Ký hiệu lạiA=−m m D S ;B = D m 0 − D S 0 , khi đó phương trình trên được đưa về dạng chính tắc:
P(n+ 1) =AP(n) +B Giá cân bằngP ∗ được xác định bởi
Ta sẽ xét các định tính của nghiệm cân bằng này trong ba trường hợp: a)A=−1, b) A