50 câu ôn phần toán đánh giá năng lực đhqg hà nội phần 6 (bản word có giải)

Câu 2 TH: Một chất điểm chuyển động với phương trình trong đó , được tính bằng giây s và được tính bằng mét m.. Câu 2 TH: Một chất điểm chuyển động với phương trình trong đó , được tín

Trang 1

50 câu ôn phần Toán - Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội - Phần 6 (Bản word có giải)

TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG – Lĩnh vực: Toán học

Câu 1 (NB): Cho biểu đồ về sự tác động của một số thực phẩm tới môi trường:

(Nguồn: ourwordindata.org)

Thực phẩm nào tác động tới môi trường nhiều nhất?

Câu 2 (TH): Một chất điểm chuyển động với phương trình trong đó ,

được tính bằng giây (s) và được tính bằng mét (m) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm bằng

Trang 2

Câu 5 (TH): Trong hệ tọa độ , cho điểm biểu diễn số phức Gọi là điểm thuộcđường thẳng sao cho tam giác cân tại Điểm là điểm biểu diễn của số phức nào dướiđây?

Câu 10 (TH): Bà chủ quán trà sữa muốn trang trí quán cho đẹp nên quyết định thuê nhân công xây

một bức tường bằng gạch với xi măng (như hình vẽ bên dưới), biết hàng dưới cùng có 500 viên, mỗi hàngtiếp theo đều có ít hơn hàng trước 1 viên và hàng trên cùng có 1 viên Hỏi số gạch cần dùng để hoànthành bức tường trên là bao nhiêu viên?

Câu 11 (TH): Tìm các hàm số biết rằng

Trang 3

Câu 12 (VD): Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình vẽ Đặt

, với là tham số thực Điều kiện cần và đủ để bất phương trình nghiệm đúng với là

Câu 13 (TH): Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người ta nhìn thấy một chướng ngại vật nên đạp

phanh Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc , trong đó t là thời

gian (tính bằng giấy) kể từ lúc đạp phanh Quãng đường mà ô tô đi được trong 15 giây cuối cùng bằng

Câu 14 (VD): Một người gửi 200 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất năm Nếukhông rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào tiền gốc để tính lãi chonăm tiếp theo Sau ngày gửi 4 năm, người đó nhận được số tiền gồm cả tiền gốc và tiền lãi là 252 495 392đồng( biết rằng trong suốt thời gian gửi tiền, lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra khỏingân hàng) Lãi suất năm (r làm tròn đến chữ số hàng đơn vị) là

Câu 15 (TH): Tìm tập nghiệm của bất phương trình

Trang 4

Câu 18 (TH): Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn

Trang 5

Câu 26 (VD): Cho tứ diện Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh , là trungđiểm của , là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Tính tỉ số ?

Câu 30 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm Gọi M là

điểm thuộc mặt phẳng sao cho tổng có giá trị nhỏ nhất Tìm tọa độ của điểm M

Trang 6

A B C D

Câu 33 (VD): Cho là hàm số liên tục trên tập số thực và thỏa mãn Tính

Câu 34 (VD): Cho 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100, chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 tấm thẻ Xác

suất để chọn được 3 tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là số chia hết cho 2 là:

Câu 35 (VD): Cho khối lập phương có độ dài một cạnh là Gọi là điểm thuộccạnh sao , là trung điểm Mặt phẳng chia khối lập phương thành haikhối đa diện, tính theo thể tích của khối đa diện chứa đỉnh

Câu 39 (TH): Có 5 cuốn sách toán khác nhau và 5 cuốn sách văn khác nhau Có bao nhiêu cách sắp xếp

chúng thành 1 hàng sao cho các cuốn sách cùng môn thì đứng kề nhau ?

Đáp án: ……….

Trang 7

Câu 40 (VDC): Cho là đa thức thỏa mãn Tính

Câu 43 (TH): Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và hai trục tọa độ là

( là hai số nguyên tố cùng nhau) Tính

Đáp án: ……….

Câu 44 (VD): Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Số giá trị nguyên của tham số để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt là:

Đáp án: ……….

Câu 45 (TH): Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

là đường thẳng có dạng , với nguyên tố cùng nhau Tính

Đáp án: ……….

Câu 46 (TH): Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , và đáy làtam giác đều có độ dài cạnh bằng 2 Tính góc giữa hai mặt phẳng và

Đáp án: ……….

Trang 8

Câu 47 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng và điểm

Khoảng cách từ điểm đối xứng của qua đường thẳng đến bằng:

Câu 50 (VDC): Cho hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng 36, độ dài đường chéo bằng 6 Tìm

giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp đó

Đáp án: ………

Trang 9

LỜI GIẢI CHI TIẾT

TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG – Lĩnh vực: Toán học

Câu 1 (NB): Cho biểu đồ về sự tác động của một số thực phẩm tới môi trường:

(Nguồn: ourwordindata.org)

Thực phẩm nào tác động tới môi trường nhiều nhất?

Phương pháp giải:

Trang 10

Quan sát thông tin, đọc số liệu lượng khí CO2 phát thải ra môi trường khi sản xuất 1kg thực phẩm. Thực

phẩm nào có lượng phát thải khí CO2 nhiều nhất thì có tác động nhiều nhất tới môi trường

Giải chi tiết:

Dựa vào thông tin đã cho trong biểu đồ trên ta thấy:

Nuôi bò lấy thịt làm phát thải nhà kính nhiều nhất

Khi sản xuất 1kg thịt bò lượng phát thải CO2 tương đương là 60kg CO2 Điều này có nghĩa là thịt bò làthực phẩm có tác động nhiều nhất tới môi trường

Câu 2 (TH): Một chất điểm chuyển động với phương trình trong đó ,

được tính bằng giây (s) và được tính bằng mét (m) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm bằng

Vận tốc của chất điểm tại thời điểm được tính theo công thức

Ta có:

Vận tốc của chất điểm tại thời điểm bằng:

Câu 3 (NB): Phương trình có nghiệm là

Giải phương trình logarit cơ bản:

Ta có

Vậy nghiệm của phương trình là

Câu 4 (VD): Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm

- Từ phương trình đầu tiên, giải phương trình bậc hai tìm

- Thế vào phương trình còn lại tìm

Xét phương trình

Với thay vào phương trình ta có (vô nghiệm)

Trang 11

Với thay vào phương trình ta có

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Câu 5 (TH): Trong hệ tọa độ , cho điểm biểu diễn số phức Gọi là điểm thuộcđường thẳng sao cho tam giác cân tại Điểm là điểm biểu diễn của số phức nào dướiđây?

+ Số phức được biểu diễn bởi điểm trên mặt phẳng tọa độ

+ Tam giác cân tại

Cho ba điểm và Khi đó phương trình mặt phẳng có dạng:

được gọi là phương trình mặt chắn

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm có dạng:

Câu 7 (NB): Trong không gian cho hai vecto và Góc tạo bởi hai vecto

Trang 12

Cho hai vecto và

Câu 8 (VD): Cho biểu thức Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên âm của thỏamãn bất phương trình ?

Mà là số nguyên âm và nên

Vậy có 5 giá trị nguyên âm của thỏa mãn điều kiện

Trang 13

Câu 9 (TH): Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng

Sử dụng tính chất hai góc bù nhau

Giải phương trình lượng giác cơ bản

Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc

Câu 10 (TH): Bà chủ quán trà sữa muốn trang trí quán cho đẹp nên quyết định thuê nhân công xây

một bức tường bằng gạch với xi măng (như hình vẽ bên dưới), biết hàng dưới cùng có 500 viên, mỗi hàngtiếp theo đều có ít hơn hàng trước 1 viên và hàng trên cùng có 1 viên Hỏi số gạch cần dùng để hoànthành bức tường trên là bao nhiêu viên?

Trang 14

Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến, đặt

Đặt

Câu 12 (VD): Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình vẽ Đặt

, với là tham số thực Điều kiện cần và đủ để bất phương trình nghiệm đúng với là

- Biến đổi bất phương trình về dạng

- Xét hàm trên đoạn và kết luận

Trang 15

Câu 13 (TH): Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người ta nhìn thấy một chướng ngại vật nên đạp

phanh Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc , trong đó t là thời

gian (tính bằng giấy) kể từ lúc đạp phanh Quãng đường mà ô tô đi được trong 15 giây cuối cùng bằng

Áp dụng công thức

Quãng đường mà ô tô đi được trong 15 giây cuối cùng là:

Câu 14 (VD): Một người gửi 200 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất năm Nếukhông rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào tiền gốc để tính lãi chonăm tiếp theo Sau ngày gửi 4 năm, người đó nhận được số tiền gồm cả tiền gốc và tiền lãi là 252 495 392đồng( biết rằng trong suốt thời gian gửi tiền, lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra khỏingân hàng) Lãi suất năm (r làm tròn đến chữ số hàng đơn vị) là

Áp dụng công thức tính lãi kép sau n năm , trong đó: A là số tiền gửi lúc đầu; r là lãi suất

hàng tháng

Trang 16

Sau 4 năm người đó nhận được số tiền là

- Đưa về bất phương trình logarit cùng cơ số Sử dụng công thức

- Giải bất phương trình logarit:

ĐKXĐ:

Ta có:

Kết hợp điều kiện xác định

Vậy bất phương trình có tập nghiệm:

Câu 16 (TH): Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị trong mặt phẳng Quay hình quanh trục hoành ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng

Cho hai hàm số và liên tục trên [a; b] Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi

hai đồ thị số , và hai đường thẳng khi quay quanh trục Ox là:

Trang 17

Giải phương trình hoành độ giao điểm:

Quay hình quanh trục hoành ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng

Câu 17 (VD): Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số nghịch biến trênkhoảng

Trang 18

Gọi , có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là

Ta có:

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn là đường tròn có bán kính

Trang 19

Câu 21 (TH): Cho đường cong Giá trị của để

Vậy với phương trình đường cong làphương tình đường tròn

Câu 22 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng lần lượt có phươngtrình là ; và cho điểm Tìm phương trình mặt phẳng đi qua

M đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng

Trang 20

+) Phương trình mặt phẳng đi qua và nhận là 1 VTPT là:

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy và đường sinh

Bán kính của đường tròn đáy là:

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là:

Câu 24 (TH): Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là và Xét hình nón có đỉnh và đáy làđường tròn Gọi lần lượt là thể tích của khối trụ và khối nón đã cho Tỉ số bằng

Công thức tính thể tích của khối trụ có bán kính đáy R và chiều cao h là:

Công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy R và chiều cao h là:

Trang 21

Gọi bán kính đáy hai đáy của hình trụ là R Ta có: ,

Câu 25 (VD): Cho khối lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh , hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh , góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng Thể tích khối lăng trụ bằng

- Xác định góc giữa và là góc giữa và hình chiếu của lên

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao của lăng trụ

- Thể tích khối lăng trụ với lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ

Trang 22

Gọi là trung điểm của

là hình chiếu vuông góc của lên

Diện tích đáy (do đều cạnh )

Vậy thể tích khối lăng trụ là:

Câu 26 (VD): Cho tứ diện Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh , là trungđiểm của , là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Tính tỉ số ?

Vẽ hình sau đó sử dụng định lý Ta-lét trong tam giác

Trog qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại

Xét tam giác ta có:

Từ (1) & (2)

Trang 23

Câu 27 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm Tậphợp các điểm thỏa mãn là mặt cầu có bán kính bằng:

- Áp dụng công thức tính khoảng cách hai điểm trong không gian

- Thay các khoảng cách vào giả thiết rồi đưa phương trình về phương trình mặt cầu

- Phương trình đường thẳng đi qua và có 1 VTCP là

Ta có: , do đó đường thẳng nhận là 1 VTCP

Phương trình đường thẳng đi qua và có 1 VTCP là

Trang 24

Câu 29 (VD): Cho hàm số với có đồ thị như hình vẽ sau Điểm cựcđại của đồ thị hàm số là:

- Tính đạo hàm của hàm số

- Giải phương trình

- Lập BBT hàm số và kết luận điểm cực đại của hàm số

Ta có BBT hàm số như sau:

Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là

Câu 30 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm Gọi M là

điểm thuộc mặt phẳng sao cho tổng có giá trị nhỏ nhất Tìm tọa độ của điểm M

- Kiểm tra điểm nằm khác phía so với mặt phẳng

Trang 25

- khi và chỉ khi M là giao điểm của EF và

có nằm khác phía so với mặt phẳng

Khi đó, khi và chỉ khi trùng với là giao điểm của EF và

Ta có: Giả sử M0(1;−2;4−t)M0(1;−2;4−t)

Mà

Vậy, tổng có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

là

- Khảo sát và lập BBT của hàm số

- Từ đó suy ra BBT của hàm số và kết luận số điểm cực trị của hàm số

Ta có:

Khi đó ta có BBT của hàm số như sau:

Trang 26

Từ đó ta có BBT của hàm số như sau :

- Bình phương hai vế, đặt ẩn phụ , tìm điều kiện của

- Sử dụng định lí Vi-ét tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện tìm được ở trên

ĐKXĐ:

có nghiệm khi và chỉ khi

Ta có:

Trang 27

- Nhân cả hai vế của phương trình với

- Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế phương trình

- Sử dụng phương pháp đổi biến số

- Đề thi từ trang T-a-i-l-i-e-u-c-h-u-a-n.v-n

Trang 28

Câu 34 (VD): Cho 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100, chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 tấm thẻ Xác

suất để chọn được 3 tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là số chia hết cho 2 là:

- Tính số phần tử của không gian mẫu

- Gọi A là biến cố: “chọn được 3 tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là số chia hết cho 2”, xét 2 TH: + TH1: 3 số được chọn cùng là số chẵn

+ TH2: 3 số được chọn có 1 số chẵn và 2 số lẻ

Từ đó tính số phần tử của biến cố A là

- Tính xác suất của biến cố A:

Số phần tử của không gian mẫu là:

Câu 35 (VD): Cho khối lập phương có độ dài một cạnh là Gọi là điểm thuộccạnh sao , là trung điểm Mặt phẳng chia khối lập phương thành haikhối đa diện, tính theo thể tích của khối đa diện chứa đỉnh

Trang 29

- Xác định thiết diện của hình lập phương cắt bởi

- Phân chia và lắp ghép các khối đa diện

Trong kéo dài cắt tại , trong kéo dài cắt tại

Trong nối cắt lần lượt tại

Khi đó thiết diện của khối lập phương cắt bởi là ngũ giác và

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

., là trung điểm của nên

.Khi đó ta có:

Trang 30

Vậy

Câu 36 (NB): Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại giao điểm với trục tung là

Đáp án: 6

- Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung

- Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có hoành độ là

Ta có:

Do đó, hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 0 là

điểm cực trị?

Đáp án: 3

Ta có

Phương trình có 3 nghiệm bậc lẻ nên hàm số có 3 điểm cực trị

Câu 38 (TH): Trong không gian với hệ trục , khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Trang 31

Câu 39 (TH): Có 5 cuốn sách toán khác nhau và 5 cuốn sách văn khác nhau Có bao nhiêu cách sắp xếp

chúng thành 1 hàng sao cho các cuốn sách cùng môn thì đứng kề nhau ?

Đáp án: 2.5!.5!

Áp dụng tính chất nhân

Ta có số cách sắp xếp 5 cuốn sách toán khác nhau là 5!

Số cách sắp xếp 5 cuốn sách văn khác nhau là 5!

Có 2 cách để sắp xếp 5 cuốn sách toán khác nhau và 5 cuốn sách văn khác nhau thành 1 hàng ngang

Do đó số cách xếp thỏa mãn bài toán là 2.5!.5!

Đáp án:

- Tìm

- Biến đổi, làm mất dạng vô định để tìm giới hạn của hàm số

Ta thấy: nên

Ta có:

Tiêu đề	50 câu ôn phần Toán - Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội - Phần 6 (Bản word có giải)
Trường học	Đại học Quốc gia Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Đề thi ôn tập
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	39
Dung lượng	3,2 MB