(SKKN HAY NHẤT) tiếp cận, nhìn nhận khái niệm toán học dưới nhiều cách khác nhau để phát triển năng lực tư duy và giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông

Chính giáo viên cũng là người truyền cảm hứng môn học, truyền kiến thức, phương pháp môn học cho các em vì thế nếu trước mỗi khái niệm các em được phân tích, mổ xẻ và nhìn nhận theo nhiề

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

TIẾP CẬN, NHÌN NHẬN KHÁI NIỆM TOÁN HỌC DƯỚI NHIỀU CÁCH KHÁC NHAU ĐỂ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LĨNH VỰC: TOÁN HỌC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

TIẾP CẬN, NHÌN NHẬN KHÁI NIỆM TOÁN HỌC DƯỚI NHIỀU CÁCH KHÁC NHAU ĐỂ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LĨNH VỰC: TOÁN HỌC

Người thực hiện: NGÔ TRÍ THỤ

Tổ bộ môn: Toán - Tin Thời gian thực hiện: Năm học 2020 - 2021

Số điện thoại: 0982112369

Diễn Châu, tháng 3 năm 2021

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Tính mới của đề tài 1

PHẦN II NỘI DUNG 2

1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 2

1.1 Cơ sở lí luận 2

1.1.1 Năng lực 2

1.1.2 Dạy học theo tiếp cận phát triển năng lực 2

1.1.3 Đặc điểm năng lực Toán học 4

1.1.4 Các thành tố của năng lực Toán học 4

1.1.5 Cấu trúc bài học môn Toán theo tiếp cận phát triển năng lực 6

1.2 Cơ sở thực tiễn 7

2 TIẾP CẬN, NHÌN NHẬN KHÁI NIỆM TOÁN HỌC DƯỚI NHIỀU CÁCH KHÁC NHAU ĐỂ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 8

2.1 Bài Toán 1 8

2.2 Bài Toán 2 11

2.3 Bài Toán 3 15

2.4 Bài Toán 4 17

2.5 Bài Toán 5 19

3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM VÀ ĐIỀU TRA QUAN SÁT 22

3.1 Giáo án thực nghiệm số 1 23

3.2 Giáo án thực nghiệm số 2 32

3.3 Điều tra quan sát 43

PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 48

1 Kết luận 48

2 Kiến nghị 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

giáo dục nước ta Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học

Trong bối cảnh Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đòi hỏi giáo dục phổ thông cũng phải có bước chuyển căn bản tập trung vào xây dựng và hoàn thiện nhân cách (phẩm chất và năng lực) con người Việt Nam đáp ứng yêu cầu hội nhập và phát triển của đất nước

Trong giai đoạn hiện nay, việc tiếp cận dần với chương trình giáo dục phổ thông 2018 đang là một yêu cầu cấp thiết và gấp rút đối với ngành giáo dục đặc biệt là giáo viên, người trực tiếp thực thi và thực hiện chương trình, việc đổi mới cách thức và phương pháp dạy học đang là một xu thế tất yếu diễn ra Một trong những phương pháp dạy học quan trong để giúp giáo viên và học sinh thực hiện tốt chương trình giáo dục phổ thông 2018 chính là phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực người học

Trong quá trình dạy và học Toán THPT, học sinh được tiếp cận với rất nhiều khái niệm Toán học cũng như các Định lí Toán học, các kết quả Toán học quan trọng Một vấn đề đặt ra là làm thế nào để các em hiểu, nhớ và biết vận dụng khái niệm Toán học đó một cách linh hoạt trong nhiều tình huống bài tập Toán học thì đòi hỏi ở người giáo viên phải có một phương pháp tốt một sự trăn trở mỗi khi chuẩn bị bài, trước mỗi tiết học cho các em Chính giáo viên cũng là người truyền cảm hứng môn học, truyền kiến thức, phương pháp môn học cho các em vì thế nếu trước mỗi khái niệm các em được phân tích, mổ xẻ và nhìn nhận theo nhiều hướng khác nhau sẽ giúp các em hiểu kĩ, hiểu sâu khái niệm từ đó giúp các em biết vận dụng chúng theo nhiều khía cạnh, nhiều góc độ khác nhau trước mỗi tình huống bài tập Toán học đồng thời từ việc biết vận dụng khái niệm Toán học theo nhiều góc độ khác nhau ấy sẽ giúp các em phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, đồng thời giúp các em có khả năng linh hoạt trong suy nghĩ giải quyết các vấn đề thực tiễn cuộc sống Từ những mục đích

nêu trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: “Tiếp cận, nhìn nhận khái niệm toán học dưới nhiều cách khác nhau để phát triển năng lực tư duy và giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông”

2 Tính mới của đề tài

Sáng kiến giúp học sinh phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học, phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học góp phần phát huy tính tích cực chủ động

và phát triển phẩm chất năng lực toàn diện cho học sinh được thể hiện theo cách riêng biệt mà không trùng với bất cứ giải pháp nào đã được đề cập

Chứng minh tính khả thi và tính hiệu quả khi áp dụng đề tài nhằm nâng cao

PHẦN II NỘI DUNG

1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Cơ sở lí luận

1.1.1 Năng lực

Các nhà tâm lí học cho rằng, năng lực là sự kết hợp của các kiến thức, kĩ năng và thái độ có sẵn hoặc ở dạng tiềm năng của một cá nhân, là tổng hợp đặc điểm thuộc tính tâm lí của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó có hiệu quả cao Hiện nay, quan niệm chung về năng lực được nhiều người thừa nhận là: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” (Chương trình Giáo dục phổ thông tổng thể (tháng 7/2017)) Như vậy:

- Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện của người học

- Năng lực là sự tích hợp của kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,…

- Năng lực được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn

Khái quát lại năng lực có thể hiểu là sự kết hợp của các kiến thức, kĩ năng, phẩm chất, thái độ và hành vi của một cá nhân để thực hiện một công việc có hiệu quả Năng lực không chỉ bao hàm kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo mà còn cả giá trị, động

cơ, đạo đức và hành vi xã hội

Theo tác giả Trần Kiều (2014): “Các năng lực cần hình thành và phát triển cho người học môn Toán trong trường phổ thông Việt Nam là: năng lực tư duy;

năng lực giải quyết vấn đề; năng lực mô hình hóa; năng lực giao tiếp; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán; năng lực học tập độc lập và hợp tác”

1.1.2 Dạy học theo tiếp cận phát triển năng lực

Theo Đặng Thành Hưng (2014): “Bản chất của giáo dục theo tiếp cận phát triển năng lực là lấy năng lực làm cơ sở (tham chiếu) để tổ chức chương trình và thiết kế nội dung học tập Điều này cũng có nghĩa là năng lực của học sinh sẽ là kết quả cuối cùng cần đạt của quá trình dạy học hay giáo dục Nói cách khác, thành phần cuối cùng và cơ bản của mục tiêu giáo dục là các phẩm chất và năng lực của người học Năng lực vừa được coi là điểm xuất phát đồng thời là sự cụ thể hóa của mục tiêu giáo dục Vì vậy, những yêu cầu về phát triển năng lực học sinh cần được đặt đúng chỗ của chúng trong mục tiêu giáo dục”

Dạy học theo tiếp cận năng lực nhấn mạnh:

- Muốn có năng lực, học sinh phải học tập và rèn luyện trong hoạt động và bằng hoạt động Mặt khác, các năng lực được hình thành trong quá trình dạy học không chỉ ở nhà trường mà còn dưới tác động của gia đình, xã hội, của chính trị, tôn giáo, văn hóa…

- “Lấy việc học của học sinh làm trung tâm”, chú ý tới mỗi cá nhân học sinh, giúp họ tự tìm tòi, khám phá, làm chủ tri thức và vận dụng vào giải quyết các tình huống thực tế cuộc sống, qua đó có thể rút ra kinh nghiệm và tri thức cho riêng mình

- Kết quả đầu ra của người học, những gì người học làm được sau khi kết thúc chương trình học hoặc kết thúc bài học, nhấn mạnh đến khả năng thực tế của học sinh

- Cách học, yếu tố tự học của người học Thay vì lối dạy truyền thống thầy giảng trò nghe có thể tổ chức cho các nhân tự học, học theo nhóm, học theo sở thích và mối quan tâm riêng của người học,

- Giáo viên là người thiết kế, tổ chức và hướng dẫn học sinh tích cực, tự lực thực hiện các nhiệm vụ học tập

- Môi trường dạy học phải tạo điều kiện tương tác tích cực giữa học sinh với học sinh, giữa giáo viên với học sinh, thúc đẩy và tạo cho học sinh hiện thực hóa năng lực của mình thông qua quan sát, tìm tòi, khám phá, sáng tạo

- Khuyến khích việc ứng dụng công nghệ, thiết bị dạy học (đặc biệt là ứng dụng công nghệ và thiết bị dạy học hiện đại) nhằm tối ưu hóa việc phát huy năng lực người học

Dạy học theo tiếp cận năng lực toán học nhấn mạnh các đặc điểm:

- Năng lực Toán học không chỉ bao hàm kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo mà còn

cả động cơ, thái độ, hứng thú và niềm tin trong học toán Muốn có năng lực toán học học sinh phải rèn luyện, thực hành, trải nghiệm trong học tập môn Toán

- Nhấn mạnh đến kết quả đầu ra, dựa trên những gì người học làm được (có tính đến khả năng thực tế của học sinh) Khuyến khích người học tìm tòi, khám phá trí thức toán học vận dụng vào thực tiễn Đích cuối cùng cần đạt là phải hình thành được năng lực học tập môn Toán ở học sinh

- Nhấn mạnh đến cách học, yếu tố tự học của người học Giáo viên là người hướng dẫn và thiết kế, còn học sinh phải tự xây dựng kiến thức và hiểu biết toán học của riêng mình

- Xây dựng môi trường dạy học tương tác tích cực Phối hợp các hoạt động tương tác của học sinh giữa các cá nhân, cặp đôi, nhóm hoặc hoạt động chung cả lớp và hoạt động tương tác giữa giáo viên và học sinh trong quá trình dạy học môn Toán

biệt là ứng dụng công nghệ và thiết bị dạy học) nhằm tối ưu hóa việc phát huy năng lực của người học

1.1.3 Đặc điểm năng lực Toán học

Năng lực Toán học là một loại hình năng lực chuyên môn, gắn liền với môn học Có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực toán học Hiệp hội giáo viên Toán của Mĩ mô tả: “Năng lực Toán học là cách thức nắm bắt và sử dụng nội dung kiến thức toán” Ở Việt Nam trong những năm gần đây, các nhà nghiên cứu thường nhắc tới quan niệm về năng lực toán học của các nhà giáo dục toán học Đan Mạch

và đề xuất của tác giả Trần Kiều (Viện khoa học giáo dục Việt Nam)

Theo Blomhoj & Jensen (2007): “Năng lực Toán học như khả năng sẵn sàng hành động để đáp ứng với thách thức toán học của các tình huống nhất định”

Theo Niss (1999): “Năng lực Toán học như khả năng của các nhân để sử dụng các khái niệm toán học trong một loạt các tình huống có liên quan đến toán học, kể cả những lĩnh vực bên trong hay bên ngoài của toán học (để hiểu, quyết định và giải thích)” Niss cũng xác định tám thành tố của năng lực toán học và chia thành hai cụm Cụm thứ nhất bao gồm: năng lực tư duy toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực suy luận toán học

Cụm thứ hai bao gồm: năng lực biểu diễn; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương diện toán

Tám năng lực đó tập trung vào những gì cần thiết để cá nhân có thể học tập

và ứng dụng toán học Các năng lực này không hoàn toàn độc lập mà liên quan chặt chẽ và có phần giao thoa với nhau

Theo tác giả Trần Kiều (2014): “Các năng lực cần hình thành và phát triển cho người học qua dạy học môn Toán trong trường phổ thông Việt Nam là: Năng lực tư duy; năng lực giải quyết vấn đề; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giao tiếp; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học; năng lực độc lập và hợp tác”

1.1.4 Các thành tố của năng lực Toán học

Trước hết, mục đích then chốt của việc học toán là để trở thành những con người “thông minh hơn”, biết cách suy nghĩ, giải quyết vấn đề trong học tập và đời sống Muốn vậy, mỗi người cần biết cách “chuyển dịch”, mô tả các tình huống (có

ý nghĩa toán học) đặt ra trong thực tiễn phong phú sang một bài toán hay một mô hình toán học thích hợp, tìm cách giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập, từ đó đối chiếu, giải quyết các vấn đề thực tiễn đề ra Mặt khác, việc giải quyết các vấn đề toán học gắn liền với việc đọc hiểu, ghi chép, trình bày, diễn đạt các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác (thảo luận, tranh luận, phản biện) với người khác, gắn liền với việ sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường hoặc động tác hình thể

Năng lực học toán bao gồm các thành tố: năng lực tư duy và lập luận toán

học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ phương tiện học toán

Mỗi thành tố của năng lực toán học cần được biểu hiện cụ thể bằng các tiêu chí, chỉ báo Điều này có độ phức tạp cao và được minh họa trong bảng:

Các thành tố của năng lực toán học

Các tiêu chí, chỉ báo

1 Năng lực

tư duy và lập luận toán học

Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:

- So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hóa, khái quát hóa; tương tự; quy nạp; diễn dịch

- Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trược khi kết luận

- Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học

2 Năng lực

mô hình hóa toán học

Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:

- Sử dụng các mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,…) để mô tả các tình huống trong các bài toán thực tế

- Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình thiết lập

- Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến

mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp

3 Năng lực giải quyết vấn đề toán học

Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:

- Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học

- Đề xuất, lựa chọn được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề

- Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra

- Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hóa cho vấn đề tương tự

4 Năng lực giao tiếp toán học

Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:

- Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các thông tin toán học cần thiết được trình bày dưới dạng văn bản toán học hay do người khác nói hoặc viết ra

- Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đủ, chính xác)

biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic,…) kết hợp với ngôn ngữ thông thường hoặc động tác hình thể khi trình bày, giải thích và đánh giá các ý tưởng toán học trong sự tương tác (thảo luận, tranh luận) với người khác

5 Năng lực

sử dụng công

cụ, phương tiện học toán

Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:

- Biết tên gọi, tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản các

đồ dùng, phương tiện trực quan thông thường, phương tiện khoa học công nghệ (đặc biệt là phương tiện sử dụng công nghệ thông tin) phục vụ cho việc học toán

- Sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ và phương tiện học toán, đặc biệt là phương tiện khoa học công nghệ để tìm tòi khám phá giải quyết vấn đề toán học (phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa tuổi)

- Chỉ ra được các ưu điểm, hạn chế của những công cụ, phương tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp lí

1.1.5 Cấu trúc bài học môn Toán theo tiếp cận phát triển năng lực

Mô hình dạy học theo tiếp cận phát triển năng lực gồm các bước chủ yếu:

Trải nghiệm - Phân tích, khám phá, rút ra bài học - Thực hành, luyện tập - Vận dụng kiến thức, kĩ năng vào thực tiễn

* Trải nghiệm: Để nhận thức được về một đối tượng, một sự việc hay một vấn đề nào đó, người học phải dựa trên vốn kiến thức, vốn kinh nghiệm đã có từ trước Trong môn Toán, kiến thức hình thành trước thường là cơ sở để hình thành

và phát triển những kiến thức tiếp theo

Do đó trong dạy học, giáo viên cần phải tìm hiểu vốn kinh nghiệm và hiểu biết sẵn có của học sinh trước khi học một kiến thức mới và tổ chức cho học sinh trải nghiệm Sự định hướng và tổ chức các hoạt động của giáo viên là quan trọng, nhưng vốn kiến thức của học sinh, những trải nghiệm của học sinh vẫn là yếu tố quyết định trong việc hình thành kiến thức mới

Trong dạy học dựa trên trải nghiệm giáo viên cần tạo ra các tình huống gợi vấn đề để học sinh được trải nghiệm bằng cách huy động các kiến thức và kinh nghiệm thực tiễn để suy nghĩ, biến đổi đối tượng hoạt động, tìm ra hướng giải quyết vấn đề Hoạt động trải nghiệm được thiết kế dựa trên mục tiêu bài học và những kiến thức đã có của học sinh Hoạt động trải nghiệm sẽ giúp học sinh có hứng thú trong học tập, thôi thúc học sinh khám phá tìm hiểu kiến thức mới

*Phân tích, khám phá, rút ra bài học: Qua hoạt động trải nghiệm, học sinh đã bước đầu tiếp cận được với kiến thức cảu bài học Do đó, hoạt động phân tích - rút

ra bài học cần phải được thiết kế với các hình thức tổ chức học tập phong phú giúp học sinh biết huy động kiến thức, chia sẻ và hợp tác trong học tập để thu nhận kiến

thức mới Sau khi học sinh đã phát hiện ra kiến thức mới, giáo viên là người chuẩn hóa lại kiến thức cho học sinh để rút ra bài học

*Thực hành, luyện tập: Hoạt động này cần được thiết kế sao cho mỗi học sinh đều được tự mình giải quyết vấn đề rồi chia sẻ với bạn về cách giải quyết vấn

đề Khi thiết kế hoạt động này, giáo viên cần xác định được những thuận lợi và khó khăn của học sinh, dự kiến được những tình huống học sinh cần sự trợ giúp trong học tập Hoạt động này giúp học sinh củng cố kiến thức vừa học và huy động, liên kết với kiến thức đã có để thực hiện giải quyết vấn đề Giáo viên cần tổ chức các hoạt động học tập phong phú để tránh sự nhàm chán cho học sinh

*Vận dụng kiến thức, kĩ năng vào thực tiễn: Mục đích của hoạt động này là giúp học sinh vận dụng được kiến thức, kĩ năng, thái độ đã được tích lũy từ quá trình học tập môn Toán và những kinh nghiệm của bản thân vào giải quyết các vấn

đề trong thực tiễn học tập hoặc trong cuộc sống một cách sáng tạo; phát triển cho học sinh năng lực tổ chức và quản lí hoạt động, năng lực tự nhận thức và tích cực hóa bản thân Giáo viên hướng dẫn học sinh kết nối, sắp xếp, vận dụng các kiến thức kĩ năng đã học để giải quyết vấn đề đặt ra Giáo viên cũng có thể tổ chức hoặc đưa ra yêu cầu, dự án học tập để học sinh thực hiện theo cá nhân, theo nhóm

Như vậy, Dạy học theo hướng tiếp cận phát triển năng lực người học là cách thức tổ chức quá trình dạy học thông qua một chuỗi các hoạt động học tập tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh, với sự hợp tác của bạn học và sự hướng dẫn, trợ giúp hợp lí của giáo viên, hướng đến mục tiêu hình thành và phát triển năng lực toán học Quá trình đó có thể được tổ chức theo chu trình bốn bước là: Trải nghiệm

- Phân tích, khám phá, rút ra bài học - Thực hành, luyện tập - Vận dụng kiến thức,

kĩ năng vào thực tiễn

có thể yêu cầu các em phải làm thành thạo bài tập mức độ 1 và 2 và bước đầu biết vận dụng khái niệm vào giải quyết các bài tập ở mức độ vận dụng Việc tiếp cận, nhìn nhận khái niệm Toán học dưới nhiều cách khác nhau có thể yêu cầu các em phải thực hiện dưới sự hướng dẫn khá cụ thể của giáo viên Với đối tượng học sinh giỏi Toán chúng ta yêu cầu học sinh phải làm thành thạo các bài tập đến mức độ vận dụng và giải quyết được cơ bản các bài tập mức độ vận dụng cao Việc tiếp cận, nhìn nhận khái niệm Toán học dưới nhiều cách khác nhau giáo viên có thể yêu cầu các em ở mức độ tự tìm hiểu, tìm hiểu độc lập với giáo viên trong quá trình tự

hiểu hoặc tìm hiểu có sự trợ giúp của giáo viên dưới dạng gới ý, gợi mở sau đó các

em tự giải quyết vấn đề Như vậy về cơ sở thực tiễn cho việc khả thi của đề tài là hoàn toàn có thể thực hiện được, đồng thời khi triển khai thực hiện đề tài cá nhân tác giả khẳng định rằng với đối tượng học sinh nào các em cũng sẽ thấy được sự hứng khởi nhất định đặc biệt với đối tượng học sinh giỏi các em sẽ rất hào hứng và tích cực qua đó sẽ phát triển năng lực Toán học nói riêng đặc biệt là hai thành tố

“năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực giải quyết các vấn đề toán học” và năng lực tư duy nói chung cho các em giúp các em linh hoạt hơn trong tư duy, trong giải quyết các tình huống thực tiễn cuộc sống

2 TIẾP CẬN, NHÌN NHẬN KHÁI NIỆM TOÁN HỌC DƯỚI NHIỀU CÁCH KHÁC NHAU ĐỂ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ GIẢI QUYẾT VẤN

ĐỀ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Trong phần này chúng tôi đưa ra những tình huống là các bài toán cụ thể

mà trong đó muốn giải được thì học sinh phải nắm được khái niệm đề cập đến trong bài Toán đồng thời trong mỗi bài Toán đó chúng tôi sẽ dẫn dắt gợi mở giúp học sinh được tiếp cận và nhìn nhận khái niệm đó dưới nhiều cách khác nhau qua

đó giúp các em hiểu sâu hơn khái niệm Toán học đồng thời giúp các em phát triển tư duy lôgic và lập luận Toán học, phát triển năng lực giải quyết vấn đề, giúp các em linh hoạt hơn trong các tình huống là các bài Toán thực tế của cuộc sống hàng ngày

2.1 Bài Toán 1

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy choA 1;2 , B 3;1, C 5;2 Chứng minh A B C, , là ba đỉnh của một tam giác

Nhận xét: Ba điểm A B C, , là ba đỉnh của một tam giác khi và chỉ khi chúng

là ba điểm không thẳng hàng Như vậy bài Toán gián tiếp đề cập đến khái niệm Ba điểm không thẳng hàng

Cách tiếp cận thứ nhất: Ba điểm A B C, , không thẳng hàng nếu chúng không cùng thuộc một đường thẳng, chẳng hạn điểm A không nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm B và C Với cách tiếp cận này ta có lời giải:

Lời giải: - Viết phương trình đường thẳng BC:

Ta có BC 8;1 là VTCP của đường thẳng BC, n1; 8   là VTPT của đường thẳng BC

Phương trình đường thẳng BC: 1x  5 8 y 2 0  x 8y 11  0

- Kiểm tra điểm A không thuộc đường thẳng BC: Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng BC ta thấy 1.1 8.2 11      4 0  A BC Vậy A B C, ,không thẳng hàng nên chúng là ba đỉnh của một tam giác

Cách tiếp cận thứ hai: Ba điểm A B C, , không thẳng hàng nếu chúng không cùng thuộc một đường thẳng, chẳng hạn điểm A không nằm trên đường thẳng đi

qua hai điểm B và C điều này đồng nghĩa với khoảng cách từ A đến đường thẳng

BC là một số dương Với cách tiếp cận này ta có lời giải:

Lời giải: - Phương trình đường thẳng BC là: x 8y 11  0

- Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC:  

 2 2

  Vậy A B C, , không thẳng hàng nên chúng là ba đỉnh của một tam giác

Cách tiếp cận thứ ba: Ba điểm A B C, , không thẳng hàng khi và chỉ khi hai

Cách tiếp cận thứ tư: Ba điểm A B C, , không thẳng hàng khi và chỉ khi hai

Lời giải: Ta có AB  4; 1, AC 4;0 ;   16

4 65

p pAB pBC pCA   Vậy 1135 0

4

ABC

Chứng tỏ A, B, C là ba đỉnh của một tam giác

Cách tiếp cận thứ sáu: Ba điểm A B C, , không thẳng hàng khi và chỉ khi chúng cùng thuộc một đường cong Parabol Với cách tiếp cận này chúng ta sẽ chỉ

Lời giải: Xét phương trình đường tròn 2 2

x y  ax by c với 2 2

0

a b  c Thay tọa độ A B C, , vào phương trình đường tròn ta có hệ phương trình:

x y  x y  nên chúng không thẳng hàng

Chứng tỏ A B C, , là ba đỉnh của một tam giác

Cách tiếp cận thứ tám: Ba điểm A B C, , không thẳng hàng khi và chỉ khi hai

Lời giải: - Phương trình đường thẳng BC là: x 8y 11  0

- Phương trình đường thẳng ABlà: x 4y  7 0, ta thấy ngay ABvà BClà hai đường thẳng cắt nhau vậy A B C, , là ba điểm không thẳng hàng nên chúng là ba đỉnh của một tam giác

Lời bình: +) Trong bài Toán trên ta bàn đến việc chứng minh ba điểm

, ,

A B Clà ba đỉnh của một tam giác là một bài Toán quen thuộc và khá đơn giản đối với học sinh lớp 10 THPT Bài Toán trên đã gián tiếp đề cập đến khái niệm ba điểm không thẳng hàng Một cách đơn giản ba điểm A B C, , không thẳng hàng khi

và chỉ khi chùng không cùng thuộc một đường thẳng thế thi với những cách tiếp cận như trên chúng ta đã chỉ ra cho học sinh thấy rằng khái niệm ba điểm không cùng năm trên một đường thẳng sẽ được hiểu trực tiếp rằng có một điểm không thuộc đường thẳng đi qua hai điểm còn lại, đồng thời cũng đã chỉ ra cho học sinh thấy rằng một điểm không thuộc đường thẳng đi qua hai điểm còn lại cũng có nghĩa rằng nó có khoảng cách khác 0 đến đường thẳng đó hoặc nó cùng với hai điểm kia tạo thành một miền phẳng có diện tích khác không Ở đây tác giả muốn lưu ý thêm rằng, trong cách chứng minh ba điểm A B C, , tạo thành miền phẳng có diện tích khác 0 chúng ta đã đi tính giá trị biểu thức p p ABpBCpCA và thấy nó khác 0 thì mới khẳng định A B C, , tạo thành tam giác chứ không phải thừa

nhận A B C, , là ba đỉnh của một tam giác trước rồi mới đi tính diện tích của nó

Ngoài ra, chúng ta cũng đã cho học sinh thấy thêm hai cách tiếp cận, cách nhìn khác về khái niệm ba điểm thẳng hàng đó là: Ba điểm không thẳng hàng cũng đồng nghĩa với chùng cùng thuộc một đường Parabol hoặc một đường tròn

+) Việc cho học sinh tiếp cận với khái niệm ba điểm không thẳng hàng theo nhiều cách, nhiều con đường khác nhau có tác dụng:

- Giúp các em hiểu sâu hơn về khái niệm, nhớ khái niệm lâu hơn

- Các em có cách nhìn phong phú hơn, linh hoạt hơn về khái niệm đó Giúp các em phát triển tư duy lôgic và lập luận Toán học

- Giúp các em có nhiều hướng xử lí, nhiều cách giải cho một bài Toán giúp phát triển năng lực giải quyết vấn đề Toán học

- Trong quá trình giải bài Toán theo nhiều cách khác nhau cũng gián tiếp cho giúp các em vận dụng các khái niệm khác liên quan đến lời giải

- Về mặt thực tiễn cuộc sống: Giúp các em có kĩ năng nhìn nhận, phân tích,

mổ xẻ trước các vấn đề của bài Toán thực tế cuộc sống hàng ngày và các em cũng

sẽ có được kĩ năng xử lí tình huống, giải quyết tình huống gặp trong cuộc sồng hằng ngày một cách mềm dẻo và linh hoạt

+) Ngoài các cách tiếp cận và nhìn nhận khái niệm ba điểm thẳng hàng đã đề cập ở trên để giải quyết Bài Toán 1, thì chúng ta cũng có thể cho học sinh nhìn nhận bài Toán ở góc độ phản chứng Chúng ta sẽ đặt câu hỏi cho các em “Giả sử ngược lại ba điểm A B C, , không là ba đỉnh của một tam giác thì dẫn tới điều gì?” và bài Toán bây giờ chuyển về việc kiểm tra tính thẳng hàng của ba điểm A B C, ,

2.2 Bài Toán 2 (BT 11 trang 81 SGK HH12 Nâng cao NXB GD)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho bốn điểm A1;0;0, B0;1;0,

0;0;1

C ,D 2;1; 2   Chứng minh A B C D, , , là bốn đỉnh của một hình tứ diện

Nhận xét: Bài Toán đề cập đến khái niệm “Hình tứ diện” Theo định nghĩa

(trang 52 SGK HH11 NXBGD; trang 49 SGK HH11 nâng cao NXB GD) thì:

Trong không gian cho bốn điểm A B C D, , , không đồng phẳng Hình tạo thành bởi bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện Các điểm A B C D, , , gọi

là đỉnh của tứ diện Như vậy để chứng minh bốn điểm A B C D, , , là bốn đỉnh của một tứ diện ta chứng minh chúng không đồng phẳng Chúng ta sẽ giúp học sinh hiểu khái niệm bốn điểm không đồng phẳng theo nhiều cách tiếp cận và nhìn nhận khác nhau

Cách tiếp cận thứ nhất: Bốn điểm A B C D, , , không đồng phẳng nghĩa là có một điểm không nằm trên mặt phẳng chứa ba điểm còn lại, chẳng hạn điểm D

Lời giải: - Viết phương trình mp (ABC):

Lời giải: - Phương trình mpABC: x   y z 1 0

x y

hệ vô nghiệm Suy ra

đồng phẳng Vậy A B C D, , , là bốn đỉnh của một tứ diện

Cách tiếp cận thứ tư: Bốn điểm A B C D, , , không đồng phẳng  AB AC AD, ,

  , AB AC AD,    4 0 suy ra bốn điểm A B C D, , , không

đồng phẳng Vậy A B C D, , , là bốn đỉnh của một tứ diện

Cách tiếp cận thứ năm: Bốn điểm A B C D, , , là bốn đỉnh của một tứ diện

bốn miền tam giác ABC , ABD,ACD và BCD tạo thành một vật thể chiếm chỗ không gian có thể tích khác 0 Ta có lời giải:

Lời giải: Ta có: AB  1;1;0, AC  1;0;1, AD  3;1; 2   Kiểm tra được không có ba điểm nào trong bốn điểm A B C D, , , thẳng hàng

  >0V ABCD  23 0 Vậy A B C D, , , là bốn đỉnh của một tứ diện

Cách tiếp cận thứ sáu: Bốn điểm A B C D, , , không đồng phẳng khi và chỉ khi

có hai bộ mỗi bộ ba điểm trong bốn điểm thuộc hai mặt phẳng phân biệt, chẳng

mặt phẳng và hai mặt phẳng này khác nhau Ta có lời giải:

Cách tiếp cận thứ bảy: Bốn điểm A B C D, , , không đồng phẳng khi và chỉ khi có hai bộ mỗi bộ ba điểm trong bốn điểm thuộc hai mặt phẳng phân biệt,

một mặt phẳng và hai mặt phẳng này khác nhau điều này cũng có nghĩa là hai mặt phẳng này sẽ tạo với nhau một góc nhọn Ta có lời giải:

bốn điểm A B C D, , , không đồng phẳng nên chúng là bốn đỉnh của một tứ diện

Cách tiếp cận thứ tám: Bốn điểm A B C D, , , không đồng phẳng khi và chỉ

Lời giải: - Phương trình mpABC: x   y z 1 0, VTPT n1 1;1;1

 3;1; 2

AD   : VTCP của đường thẳng AD

1 0

A B C D không đồng phẳng nên chúng là bốn đỉnh của một tứ diện

Cách tiếp cận thứ mười một: Bốn điểm A B C D, , , không đồng phẳng tương đương với hai đường thẳng AB và CD là hai đường thẳng chéo nhau tương đương với có duy nhất một mặt phẳng chứa AB và song song với CD Ta có lời giải:

Lời giải: Ta có AB  1;1;0, CD  2;1; 3   AB CD,      3; 3;1 Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và nhận AB CD,      3; 3;1 làm VTPT

(P):  3x  1 3 y  0 1 z 0  0 3x  3y  z 3 0 Dễ thấy (P) chính là mặt phẳng chứa AB và song song với CD (P) hoàn toàn xác định chứng tỏ AB và

CD chéo nhau Vậy bốn điểm A B C D, , , không đồng phẳng nên chúng là bốn đỉnh của một tứ diện

Cách tiếp cận thứ mười hai: Bốn điểm A B C D, , , không đồng phẳng khi và chỉ khi chúng cùng nằm trên một mặt cầu Ta có lời giải:

Lời giải: Xét phương trình 2 2 2

x   y z ax by cz d  ,  2 2 2 

0

a b c  d

Thay tọa độ A B C D, , , vào phương trình trên ta có hệ phương trình:

A B C D không đồng phẳng nên chúng là bốn đỉnh của một tứ diện

Lời bình: + Việc giải bài toán chứng minh bốn điểm A B C D, , , trong không gian tọa độ Oxyz là bốn đỉnh của một tứ diện là một bài toán bình thường mà đa số học sinh lớp 12 đều giải quyết được, điều đáng nói ở đây là chúng tôi đã dẫn dắt để các em thấy được có thể nhìn nhận việc chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện được chuyển về chứng minh chúng không đồng phẳng Và khái niệm bốn điểm không đồng phẳng đã được thay thế bằng nhiều cách hiểu khác nhau với những cách thay thế tương đương khác nhau đã giúp học sinh có nhiều cách suy luận và lời giải tương ứng Việc này giúp các em có cách nhìn đa chiều trước một bài Toán, một khái niệm, giúp các em phát triển khả năng phân tích, phân chia, biện luận trường hợp làm phát triển khả năng tư duy logic và lập luận Toán học

+ Việc giải được một bài Toán theo nhiều cách khác nhau đi từ việc dẫn dắt, phân tích, thay thế khái niệm bằng các khái niệm tương đương cũng sẽ giúp các em phát triển sự linh hoạt trong giải quyết vấn đề, giúp các em biết phân tích so sánh

và sẽ chọn lựa được phương án tối ưu khi giải quyết bài Toán hay một vấn đề thực tiễn cuộc sống giúp các em phát triển năng lực giải quyết vấn đề

2.3 Bài Toán 3 (BT 12c trang 84 SGK HH10 nâng cao NXBGD)

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm P3; 2   trên đường thẳng

: 5x 12y 10 0

Nhận xét: Bài Toán đề cập đến khái niệm hình chiếu vuông góc của một

điểm lên một đường thẳng trong mặt phẳng

Cách tiếp cận thứ nhất: Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm P trên

Lời giải: Đường thẳng d đi qua P và vuông góc với đường thẳng có phương trình: 12x  3 5 y 2 0  12x 5y 26  0

H là giao điểm của d và  Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình:

Cách tiếp cận thứ hai: Cho điểm H chạy trên đường thẳng đến khi ta có

Cách tiếp cận thứ ba: H là hình chiếu vuông góc của P trên đường thẳng

Cách tiếp cận thứ tƣ: H là hình chiếu vuông góc của P trên đường thẳng

Cách tiếp cận thứ năm: H là hình chiếu vuông góc của P trên đường thẳng

Lời giải: Ta có    

 2 2

Cách tiếp cận thứ sau: H là hình chiếu vuông

giao điểm thứ hai của đường tròn đường kính AP

biệt nếu ta chọn ngẫu nhiên mà PA vuông góc với

Lời giải: Chọn điểm A  2;0, 1; 1

2

I  

 , AP 29 Đường tròn đường kính APcó tâm I bán kính 1

Lời bình: Trên đây chúng ta đã cho học sinh tiếp cận khái niệm hình chiếu

vuông góc của điểm lên đường thẳng theo nhiều cách khác nhau, từ đó giúp học sinh hiểu sâu và nắm vững hơn về khái niệm đồng thời giúp các em phát triển tư duy và phát triển năng lực giải quyết vấn đề

2.4 Bài Toán 4 (BT3.41 trang 114 SBT HH12 NXBGD)

Trong không gian Oxyz cho điểm M1; 1;2   và mp  : 2x y 2z 12  0 Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mp 

Nhận xét: Bài Toán đề cập đến khái niệm hình chiếu vuông góc của một

điểm lên một mặt phẳng Chúng ta sẽ giúp học sinh có nhiều cách tiếp cận với khái niệm này

Cách tiếp cận thứ nhất: Điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên

 

mp  khi và chỉ khi H là giao điểm của đường thẳng d qua M vuông góc với

 

mp  với mp  Ta có lời giải:

Lời giải: mp  có VTPT n2; 1;2   Phương trình tham số của đường thẳng d qua và vuông góc với mp  là:

1 2 1

Cách tiếp cận thứ tư: Điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên

 Dấu “=” xảy ra khi

Lời bình: Chúng ta vừa có năm cách tiếp cận khác nhau với khái niệm hình

chiếu vuông góc của một điểm trên một mặt phẳng Trong quá trình hình thành các cách tiếp cận cho học sinh chúng ta cũng đã đề cập đên hoặc dựa trên một số cơ sở xác định khái niệm khác chẳng hạn như qua ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng, làm cơ sở cho cách tiếp cận số năm Hay là trên cơ sở khái niệm khoảng cách ta thấy khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng chính là độ dài đoạn MH đồng thời nó là độ dài ngắn nhất giữa điểm M và một điểm bất kỳ trên

 

mp  để giúp các em có cách tiếp cán thứ tư Nghĩa là trong quá trình trăn trở, phân tích để tìm hiểu khái niệm chúng ta đã sử dụng sự liên tưởng liên kết với khái niệm khác có liên qua để lầm rõ thêm khái niệm chính đang tìm hiểu qua đó cũng phát triển tư duy cho học sinh

2.5 Bài Toán 5 (Trích VD3 trang 94 SGK HH12 nâng cao NXBGD)

Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng   :x 2y  z 1 0 và

  :x y 2z  3 0 Chứng tỏ hai mặt phẳng đó cắt nhau và viết phương trình

Nhận xét: Bài Toán có đề cập đên khái niệm giao tuyến của hai mặt phẳng

Theo tính chất thừa nhận 4 trang 43 SGK HH11 nâng cao NXB GD thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó Đường thẳng chung đó gọi

là giao tuyến của hai mặt phẳng Chúng ta sẽ dẫn dắt để học sinh có nhiều cách tiếp cận khác nhau với khái niệm này, giúp các em hiểu sâu nắm vững hơn về khái niệm giao tuyến của hai mặt phẳng và có được nhiều cách giải cho bài Toán đồng thời qua đó phát triển năng lực tư duy và năng lực giải quyết vấn đề Ta dễ dàng kiểm tra được hai mặt phẳng   và   là hai mặt phẳng cắt nhau

Bây giờ chúng ta chỉ bàn đến việc tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Cách tiếp cận thứ nhất: Giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng

chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó, vậy để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ta chỉ cần xác định hai điểm chung phân biệt A, B của chúng khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm A, B Ta có lời giải:

Lời giải: -) Tìm tọa độ hai điểm chung A, B của   và  

Cách tiếp cận thứ hai: Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng  

Lời giải: Làm như cách thứ nhất ta tìm được B 5;2;0 là một điểm chung của hai mặt phẳng   và  

Cách tiếp cận thứ ba: d là giao tuyến của hai mặt phẳng   và   thì

Cách tiếp cận thứ tƣ: Việc tìm giao tuyến của hai mặt phẳng   và   ta

Cách tiếp cận thứ năm: Gọi d là giao tuyển của   và   Lấy một điểm

có phương trình đường thẳng d Ta có lời giải:

Lời giải: M t t t1 ; ; 2 1  2t2  1 là điểm bất kỳ trên   un n,   5;3;1

5 3

Cách tiếp cận thứ sáu: Giả sử d là giao tuyển của hai mặt phẳng   và

,

đó phát triển tư duy và năng lực giải quyết vấn đề cho các em

+ Trên đây chúng đã đề cập đến những bài Toán cụ thể nhưng thông qua đó cũng chứa đựng những quy trình giải các bài Toán điển hình đó là bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng hoặc không thẳng hàng, bài toán chứng minh bốn điểm không đồng phẳng, bài toán tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng trong mặt phẳng, bài toán tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một mặt phẳng trong không gian, bài Toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng trong không gian Đây đều là những bài Toán quan trọng của chương trình Hình học trung học phổ thông

+ Trong quá trình dạy học dựa vào cách tiếp cận sự xác định các đối tượng hình học cơ bản khác nhau chúng ta cũng có thể hình thành cho học sinh cách phân loại các dạng bài tập Toán qua đó phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề Giúp các em có sự linh hoạt trong tư duy nhìn nhận vấn đề từ đó các em có những xử lý linh hoạt hơn trong các vấn đề của cuộc sống

3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM VÀ ĐIỀU TRA QUAN SÁT

Để kiểm chứng tính hiệu quả của đề tài chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm

sư phạm với 4 tiết dạy trên hai giáo án

3.1 Giáo án thực nghiệm số 1

Tiết Tự chọn Hình học chương trình Hình học 10:

LUYỆN TẬP KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ OXY Thời lượng 1 tiết = 45 phút Hình thức tổ chức dạy học: Tập trung trên lớp

Năng lực mô hình hóa Toán học

- Học sinh vẽ thành thạo mô hình về khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng

- Biểu diễn được các dữ liệu bài Toán thực tiễn thành bài Toán Toán học, vẽ hình cho bài toán

(1)

Năng lực giao tiếp Toán học

- Sử dụng được hiệu quả ngôn ngữ toán học (chữ số, chữ cái, kí hiệu toán học) (biểu hiện trong việc viết các kí hiệu

về khoảng cách, công thức khoảng cách, tọa độ của điểm, phương trình đường thẳng

- Kết hợp với ngôn ngữ thông thường khi trình bày, giải thích và tham gia đánh giá các ý tưởng (thảo luận, tranh luận) (thể hiện trong các báo cáo nhóm hoặc phản biện)

- Thể hiện được sự tự tin khi trình bày, diễn đạt, nêu câu hỏi, thảo luận, tranh luận các nội dung, ý tưởng liên quan đến khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và ứng dụng của khoảng cách trong thực tiễn

(2)

(3)