(SKKN HAY NHẤT) một số DẠNG bài tập TÍCH PHÂN THƯỜNG gặp ở lớp 12

Trong chương trình toán THPT, cụ thể là phân môn giải tích 12 học sinh đã được tiếp cận với các vấn đề về tích phân.. Tuy nhiên, trong chương trình SGK giải tích 12 hiện hành được trình

1 Họ và tên: NGUYỄN THỊ THANH

2 Ngày tháng năm sinh: 20 - 04 - 1987

8 Nhiệm vụ được giao: giảng dạy môn Toán lớp 12C5, 11B9 11B10

9 Đơn vị công tác : Trường THPT Xuân Hưng

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO:

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học

- Năm nhận bằng: 2010

- Chuyên ngành đào tạo : Toán học

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC:

Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán

Số năm có kinh nghiệm: 06 năm

Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 6 năm gần đây: Các dạng bài tập viết phương trình đường thẳng; các dạng bài tập liên quan đến khảo sát hàm số

sinh còn chậm, giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh nắm được bài tốt hơn

Trong chương trình toán THPT, cụ thể là phân môn giải tích 12 học sinh đã được tiếp cận với các vấn đề về tích phân Tuy nhiên, trong chương trình SGK giải tích 12 hiện hành được trình bày ở chương III, phần bài tập đưa ra sau bài học rất hạn chế Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít nên trong quá trình giảng dạy giáo viên chưa thể đưa ra nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kĩ năng giải cho học sinh Trong khi đó, trong thực tế các bài toán về tích phân rất phong phú và đa dạng và đặc biệt trong các đề thi Đại học – Cao đẳng – THCN, các em sẽ gặp một lớp các bài toán tích phân mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lúng túng chưa gọn gàng, sáng sủa

Vì vậy tôi mới tổng hợp một số dạng bài tập để giúp các em học sinh lớp 12

có thể tự học để nâng cao kiến thức, tự ôn tập để giải tốt các đề thi Đại học – Cao đẳng –THCN

II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA

ĐỀ TÀI:

1 Thuận lợi:

Học sinh được truyền thụ các kiến thức cơ bản về tích phân

Được sự hỗ trợ của các giáo viên trong tổ

lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc

biệt là bộ môn Toán rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người

Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần

các em ngại học môn này

- Muốn học tốt môn Toán các em phải nắm vững các tri thức khoa học ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu nôm Toán một cách có hệ thống trong chương trình phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm

bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải

- Trong SGK giải tích 12 chỉ nêu một số bài tập tích phân đơn giản chưa tạo

sự hứng thú, tìm tòi sáng tạo của học sinh Vì vậy khi gặp các bài toán phức tạo

hơn các em sẽ lúng túng trong việc tìm lời giải

- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm ( SKKN ) này với mục đích giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài

toán tích phân

- Trong giới hạn SKKN tôi chỉ hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài toán

tích phân thường gặp

2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:

Đưa ra một số bài toán tích phân và đề ra phương pháp giải

A LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b] F(x) là một nguyên hàm

của f(x) trên [a; b] Tích phân từ a đến b của f(x) kí hiệu: ( )

b a

f x dx

 và xác định bởi công thức: ( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x dx  F x  F b  F a





1

cot sin x dx   x c 

cot( ) sin ( ax b ) dx   a ax b   c



1

cot sin u du   u  c

u



 

( a x )   a x ln a ( a u )   a u ln a u  ( ) e x   e x ( ) e u   e u u 

1 (ln ) x

u a



 

(sin ) x   cos x (sin ) u   u  cos u

(cos ) x    sin x (cos ) u    u  sin u

2 2

1 (tan ) 1 tan

(cot ) x       (1 cot x ) 2

(cot ) x u  u (1 cot u )

      

5 Phương pháp tích phân:

a Phương pháp đổi biến:

Định lí 1: Cho hàm số f x ( ) liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử hàm số

cos2a 1

1 t



 ;

2 2

1 t cos a

f) Công thức biến đổi tổng thành tích

sina + sinb = 2sin

a 

tana  tanb =

cosa.cosb

b) sin(a 

2

0 1

dx I

2 3

Đổi cận: 0 0; 1

4

x    t x    t 

4 2

(1 tan ) 5

[ ( )] ( ) ( ) ( )

b b

b a

1 ( 2 3)

3 3

3 3

2 1

xdx K

2

J   x  x dx Giải:

1 1

c)

2

2 1

2 1

xdx K

x

  c) 2

1

ln (2 ln )

e

xdx K

1 1

0 0

e

xdx K

Phương pháp: Đặt t  cos x

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

a)

2 3 0

a)

2 3

0 0

e)

2 2 2

sin 2 sin 2sin cos sin (2 cos 1) sin

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

a)

ln 2

2 0

Đặt: t   1 xe x    dt (1 x e dx ) x Đổi cận: x    0 t 1; x     1 t 1 e

1 1

e x

1 tan cos

2 6

3 2 cot sin

1 tan cos

2 6

3 2 cot sin

c)

1

2 0

2 2

a)

3 2 2

b)

3

2 1

1 ln(1 x )

dx x



2 sin

Giải:

a)

4 2

2 sin

Đặt

2

2 1

cot sin

2 1

Ví dụ:Tính các tích phân sau:

a)

6

0 sin

2 2 2

1 0

0 0

Dạng 2:

m dx

5 ( x 3) dx

2 2

1 2

3 3

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

a)

1 2 0

Q x dưới dạng tổng các phân thức đơn giản

+ Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn Q(x): ta phân tích ( )

1 1

1 2

1 1

2 2

2

dt J

2 1 sin cos [ sin( ) sin( )]

2 1 cos cos [co s( ) cos( )]

4 0

1 (1 2 cos 2 cos 2 ) 4

4 0

Phương pháp giải:

a) Nếu một trong hai số m, n là số lẻ:

+ Nếu m lẻ thì đặt t  cos x + Nếu n lẻ thì đặt t  sin x b) Nếu m và n là số chẵn: đặt t = tanx

c) Nếu m và n đều là số chẵn và là số dương: dùng công thức hạ bậc

2 1 cos 2 sin

2

x

x  

, 2 1 cos 2 cos

2

x

x  

và nhân đôi sin 2 x  2sin cos x x

d) Nếu m và n đều là số lẻ và là số dương: dùng công thức

sin 2 x  2sin cos x x Đưa về dạng 2a

1 1

1 2

2t

 ; cosx = 2

2

t 1

t 1





; tanx = 2

t 1

2t



Đặc biệt:

+ Nếu f ( sin , cos )  x  x  f (sin , cos ) x x ( f là một hàm chẵn đối với sinx

và cosx) thì đặt t = tanx hoặc t = cotx

+ Nếu ( sin , cos ) f  x x   f (sin , cos ) x x ( f là một hàm lẻ đối với sinx ) thì đặt t = cosx

+ Nếu (sin , cos ) f x  x   f (sin , cos ) x x ( f là một hàm lẻ đối với cosx) thì đặt t = sinx

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

a)

3 2

2 0

cos 4sin 1

a) Ta có

3 2

cos 4sin 1

cos cos cos (1 sin ) cos

sin sin sin (1 sin ) sin (2 cos )

1 tan (1 tan )

t x

dt

t K

0 2( sin xdx sin xdx ) 2[ ( cos ) x (cos ) x ]=4 2

L   xdx

Đặt

1 ln