Mục đích nghiên cứu
Học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải bài toán hình học về diện tích phẳng, đòi hỏi khả năng lập luận logic và tư duy không gian Tuy nhiên, việc tham khảo chuyên đề, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp và tự tìm tòi các phương pháp giải giúp nâng cao kỹ năng và hiểu biết Các thuận lợi đến từ việc tích cực học hỏi, áp dụng kiến thức thực tế và sự hướng dẫn tận tình của giáo viên, góp phần giúp học sinh tự tin hơn khi giải các bài toán hình học phẳng.
Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Giáo viên giảng dạy môn toán THPT
- Học sinh khối 12 ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia
- Đội tuyển thi học sinh giỏi tỉnh khối 12.
Phương pháp nghiên cứu
- Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện
- Tìm kiếm tài liệu liên quan đến hình học phẳng, hình học giải tích phẳng; những sáng kiến kinh nghiệm của các đồng nghiệp thuộc bộ môn toán
- Giảng dạy các tiết bài tập, chuyên đề tại các lớp 10A6, 10A1, 12A1 tại các trường THPT Yên Mỹ, Minh Châu, Triệu Quang Phục để thu thập thông tin
- Họp nhóm biên soạn để tìm phương án hợp lý nhất.
NỘI DUNG 2 I Thực trạng vấn đề trước khi làm đề tài
Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả
- Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo giảng dạy cho các thầy cô dạy môn Toán tại trường THPT
- Đề tài là tài liệu tham khảo bổ ích cho các em thi học sinh giỏi, khối 10 và các em học sinh thi THPT Quốc gia.
Cơ sở lí luận
1 Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
2 Phương pháp tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa
3 Một số kết quả hình học phẳng thường dùng
Tính chất 1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm I, tiếp tuyến Cx tại C
Tính chất 2 Cho hình vuông ABCD, gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của BC và
CD Khi đó AM BN
Tính chất 3 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm I Có trực tâm H,
M là trung điểm của BC Khi đó AH 2 IM
Trong tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm I, điểm H và K lần lượt là chân các đường cao kẻ từ B và C xuống các cạnh AC và BC Tính chất quan trọng là đường trung trực của đoạn thẳng HK vuông góc với đường nối IA, thể hiện mối liên hệ chặt chẽ giữa các yếu tố trong tam giác nội tiếp và các điểm chân đường cao Điều này giúp hiểu rõ hơn về quan hệ giữa trung tâm đường tròn nội tiếp, các chân đường cao và các đường trung trực trong hình học tam giác.
Trong tam giác ABC, trực tâm H được xác định là điểm giao của các đường cao Giao điểm thứ hai của đường thẳng AH với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là điểm D, giúp xác định quan hệ hình học quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của tam giác Điểm M là giao điểm của đường thẳng AH với một điểm đặc biệt nào đó, góp phần làm rõ các mối liên hệ hình học trong tam giác Những yếu tố này cùng nhau giúp phân tích các tính chất của tam giác và các yếu tố liên quan đến trực tâm, đường tròn ngoại tiếp, qua đó mở rộng hiểu biết về hình học không gian hai chiều.
BC Khi đó M là trung điểm của HD
Trong tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp là J và tâm đường tròn ngoại tiếp là I Điểm D là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với đường thẳng AJ, đồng thời D chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC Ngoài ra, điểm D còn có đặc điểm quan trọng là đường thẳng nối D và I vuông góc với cạnh BC, thể hiện mối liên hệ chặt chẽ giữa các tâm và các đường trục trong tam giác.
Trong tam giác ABC có trực tâm H, điểm H là trung tâm của đường tròn nội tiếp tam giác DEF, với D, E, F lần lượt là chân đường cao từ các đỉnh A, B, C xuống các cạnh BC, CA, AB Tính chất này giúp xác định mối liên kết giữa trực tâm H và đường tròn nội tiếp của tam giác DEF, qua đó tạo nền tảng cho các bài toán liên quan đến quan hệ hình học trong tam giác.
1 Cần đặc biệt chú ý quan hệ vuông góc, sự bằng nhau, quan hệ về góc của hình vuông, hình thoi và các tam giác đặc biệt
2 Các công thức diện tích, khoảng cách, công thức tính góc, các định lý sin, cosin trong tam giác…
4 Một số bài toán cơ bản
Bài toán 1 Lập phương trình đường thẳng
1 Qua hai điểm phân biệt
2 Qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước
3 Qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước
4 Qua một điểm và tạo với một đường thẳng cho trước một góc không đổi
5 Qua một điểm và cách một điểm một khoảng không đổi
6 Là phân giác tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau
7 Là phân giác của một góc của một tam giác cho trước
Bài toán 2 Tìm điểm M thỏa mãn một tính chất cho trước
1 Đối xứng với một điểm qua một đường thẳng
2 Thuộc một đường đã cho và cách một điểm cố định một khoảng không đổi
3 Thuộc hai đường mà ta cần xác định hai phương trình hai đường d A
4 Điểm M thuộc đường thẳng (∆) và M cùng với điểm I cho trước tạo với (∆) một góc không đổi
Bài toán 3 Lập phương trình đường tròn
1 Qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng
2 Biết tâm và bán kính
3 Biết tâm thuộc một đường và thỏa mãn một tính chất cho trước
1 Về bài toán tìm điểm
Khi xác định điểm cần tìm, cần xem xét yếu tố thuận lợi như vị trí rõ ràng và dễ nhận biết Kiểm tra xem điểm đó có nằm trên một đường đã biết hay không để dễ dàng hơn trong việc xác định chính xác vị trí Khả năng tính được khoảng cách từ điểm cần tìm đến một điểm cố định giúp đảm bảo độ chính xác trong quá trình xác định vị trí Đặc biệt, cần chú ý nếu điểm cần tìm là trọng tâm, trực tâm hoặc tâm của đường tròn ngoại tiếp, vì những điểm này có đặc điểm hình học đặc biệt hỗ trợ trong việc xác định vị trí chính xác hơn.
+) Để tìm điểm A, có thể tìm điểm B thuận lợi hơn mà từ đó xác định đƣợc tọa độ điểm A
2 Về mối liên hệ ba điểm
Cho ba điểm A, B, C trong đó đã biết hai trong ba điểm Khi đó các điểm có thể có các mối quan hệ sau:
+) Tạo thành mối quan hệ vuông góc +) Tạo thành tam giác cân, đều
+) Tạo thành một góc xác định +) Ba điểm thẳng hàng
3 Về mối liên hệ giữa hai điểm và đường thẳng
Cho hai điểm A, B và đường thẳng d Khi đó chúng có thể có các mối quan hệ sau:
+) AB tạo với d một góc xác định (B thuộc d)
+) Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng d
Để tìm lời giải cho một bài toán hình giải tích phẳng, bước đầu tiên là xác định các giả thiết của bài toán để phát hiện tính chất hình học nổi bật và các mối liên hệ ràng buộc giữa các yếu tố.
Trong bước thứ hai của quá trình, chúng ta thực hiện đại số hóa các điểm và đường bằng cách xác định mối liên hệ hình học giữa chúng để xây dựng các phương trình và hệ phương trình phù hợp Quá trình này giúp chuyển đổi các mối liên hệ không gian thành dạng toán học cụ thể, dễ dàng giải quyết hơn Đại số hóa các điểm và đường là bước quan trọng trong việc biến đổi bài toán hình học thành dạng phương trình, từ đó tối ưu hóa quá trình tìm nghiệm chính xác và nhanh chóng hơn.
Bước 3 Giải các phương trình, hệ phương trình trên tìm tọa độ điểm hay phương trình đường
Bước 4 Kết luận; đánh giá, tìm hướng phát triển α d B
TỪ MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢN ĐẾN BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Hình học Euclid (hình học phẳng) là hệ thống hình học dựa trên các tiên đề cốt lõi, cung cấp nền tảng cho các lý thuyết hình học cơ bản Hình học giải tích phẳng là phương pháp biểu diễn hình học Euclid bằng ngôn ngữ đại số, giúp biến đổi các bài toán hình học phẳng trở nên dễ dàng hơn Việc tọa độ hóa các điểm và các đường thẳng trong hình học phẳng cho phép chúng ta phát biểu các bài toán một cách linh hoạt mà không làm thay đổi tính chất gốc của bài toán Nhờ đó, các phương pháp hình học giải tích giúp tối ưu hóa việc giải quyết các bài toán hình học phẳng một cách chính xác và hiệu quả hơn.
Từ một bài toán gốc, chúng ta có thể sáng tác ra nhiều bài toán hình giải tích phẳng khác nhau, mở rộng phạm vi nghiên cứu Để nghiên cứu một bài toán hình giải tích phẳng một cách toàn diện và có tính phát triển, việc tìm kiếm bài toán cội nguồn là cực kỳ cần thiết nhằm hiểu rõ nguồn gốc và mối liên hệ giữa các bài toán Điều này giúp nâng cao khả năng sáng tạo và phát triển các phương pháp giải quyết mới trong lĩnh vực hình giải tích phẳng.
Xuất phát từ bài toán:
“Cho hình vuông ABCD Gọi M và N lần lƣợt là trung điểm của BC và CD Khi đó AN DM ”
Bằng cách tọa độ hóa điểm M và cho phương trình đường thẳng AN Ta có bài toán sau:
“Cho hình vuông ABCD Gọi M và N lần lƣợt là trung điểm của BC và DC Biết điểm M(2; 3) và đường thẳng AN có phương trình x - 2y + 6 =0 Tìm tọa độ điểm A”
Trong bài toán, điểm N được xem ở vị trí N’ và ta thay đoạn DM bằng đoạn PM, giữ cố định điểm A và vẽ đường tròn đường kính AM Bằng trực giác, ta nhận thấy rằng AN’ vuông góc (⊥) với PM và giao điểm H của AN’ và PM nằm trên đường BD Sử dụng công cụ vectơ hoặc tọa độ, ta có thể chứng minh chính xác nhận định này, giúp làm rõ mối quan hệ hình học trong đề bài.
Ta có kết quả sau: “Cho hình vuông ABCD Gọi N là điểm trên cạnh DC sao
NC = 2DN, P là điểm trên cạnh AD sao cho PA = 5PD, H là giao điểm của AN và PM
Trong bài toán này, tam giác AHM là tam giác vuông cân với điểm H thuộc đoạn BD và thỏa mãn điều kiện HB = 3HD, giúp xác định vị trí chính xác của các điểm Việc cho biết tọa độ một số điểm cùng với phương trình các đường thẳng hợp lý đã mở ra nhiều bài toán liên quan đến cùng một vấn đề hình học Các bài toán này đặc biệt nổi bật trong các đề thi đại học năm 2012 và 2014, thể hiện tính phổ biến và ứng dụng thực tiễn của phương pháp giải quyết các bài toán hình học bằng cách xác định tọa độ và phương trình đường thẳng.
Bài toán 1 (ĐH_A_2012) Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND Giả sử 11 1 ;
và AN có phương trình 2x - y - 3 = 0 Tìm tọa độ điểm A
Có 4 hướng để tìm tọa độ điểm A
Hướng 1 “Tìm độ lớn góc M H” (cách 1)
Hướng 2 “Tìm độ lớn góc M H” (cách 2)
Hướng 3 “Tính M kh ng s d ng yếu tố góc” (cách 1)
Hướng 4 “Tính M kh ng s d ng yếu tố góc” (cách 2)
Nhận xét: Nếu bài toán thay vì cho tọa độ điểm M, mà thay bằng cho tọa độ trung điểm
I của đoạn thẳng AM Thì bài toán ở mức độ sâu hơn
Thay vì cho phương trình đường thẳng AN ta có thể cho tọa độ của điểm H, từ đó ta có đề thi Đại học khối A năm 2014
Trong bài toán 2 (ĐH_A_2014), ta xét hình vuông ABCD trong mặt phẳng Oxy với điểm M là trung điểm của đoạn BC, có tọa độ M(1; 2) Điểm H nằm trên đoạn DB sao cho tỷ lệ HB bằng 3 lần DH, yêu cầu tìm phương trình đường thẳng AD dựa vào các dữ liệu M và H đã cho Chúng ta cần xác định vị trí chính xác của điểm H khi biết tọa độ H(2; ), từ đó xây dựng phương trình đường thẳng AD một cách chính xác Bài toán đòi hỏi áp dụng các kiến thức về tọa độ, trung điểm, tỷ lệ đoạn thẳng, cùng phương trình đường thẳng trong không gian phẳng Oxy để tìm ra lời giải chính xác.
Hướng 1 “Tìm trung điểm I c a đoạn thẳng D”
Hướng 2 “Tìm hai điểm ph n biệt tr n đường D”
Hướng 3 “Tìm một điểm tr n D và góc gi a D với một đường thẳng cố định
Góc HM đã được đo đúng tại điểm không đối diện, góp phần làm rõ tính chất đặc biệt của góc AMP bằng 45 độ Góc này có ý nghĩa quan trọng trong việc phân tích các mối quan hệ giữa các góc trong hình học, đặc biệt khi khai thác theo hướng “số đo góc ở tâm bằng hai lần số đo góc nội tiếp cùng chắn một cung.” Nhờ đó, bài toán trở nên dễ dàng hơn trong việc xác định các góc liên quan và chứng minh các mối quan hệ hình học quan trọng Các kiến thức này không chỉ giúp nâng cao khả năng tư duy hình học mà còn tối ưu hóa khả năng áp dụng vào các bài tập thực tiễn và thi cử.
Trong bài toán này, ta xét hình vuông ABCD với điểm M là trung điểm của cạnh BC và điểm H nằm trên đường chéo BD sao cho BH bằng ba lần độ dài của HD Đường thẳng MH cắt cạnh AD tại điểm P, tạo thành một phép dựng quan trọng trong bài Đối với tam giác AMP, tâm của đường tròn ngoại tiếp là điểm I(-1, 2), giúp xác định vị trí chính xác của đường tròn nội tiếp tam giác Phương trình của đường thẳng AD là 2x - y - 6 =, đóng vai trò then chốt trong việc xác định mối quan hệ hình học trong bài Đáp án tổng thể liên quan chặt chẽ đến các yếu tố hình học như trung điểm, các điểm trên đường chéo, và các biến cố cắt nhau, giúp giải quyết bài toán một cách chính xác.
0 Tìm tọa độ điểm A ĐS: A(1; -4)
Xét bài toán gốc dưới một góc nhìn khác
Ta có bài toán sau:
Trong mặt phẳng dùng hệ trục tọa độ Oxy, bài toán liên quan đến hình vuông ABEM với G là trung điểm của cạnh EM, có các điểm H và D là hình chiếu vuông góc của A và E lên đoạn BG Điểm C được xác định là đối xứng của A qua M, đồng thời K là hình chiếu vuông góc của C lên một đường thẳng đã cho, giúp xác định các mối quan hệ hình học trong bài toán.
AD Giả sử H(-5; -5), K(9; -3) và trung điểm của đoạn thẳng AC thuộc đường thẳng có phương trình d: x – y + 10 = 0 Tìm tọa độ điểm A
Trong khi đó đề thi THPT Quốc gia năm 2015 nhƣ sau:
