BÀI GIẢNG HÌNH KHÔNG GIAN HAY

BÀI GIẢNG HÌNH KHÔNG GIAN HAY

CHƯƠNG 1 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

TÓM TẮT LÝ THUYẾTCác đối tượng của hình học không gian là các điểm, đường thẳng, mặt phẳng chúng có quan hệ với nhau qua các tiên đề

Tiên đề 1 Qua hai điểm phân biệt có 1 đường thẳng và chỉ một mà thôiTiên đề 2 Qua 3 điểm không thẳng hàng có một mặt phẳng và chỉ một mà thôi

Tiên đề 3 Nếu một đường thẳng có 2 điểm phân biệt nằm trên một mặt phẳng thì đường thẳng đó hoàn toàn nằm trên mặt phẳng

Tiên đề 4 Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng đi qua điểm chung ấy Đường thẳng chung ấy gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng

Vị trí tương đối mặt phẳng và đường thẳng

Có 3 vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng như sau:

Đường thẳng song song mặt phẳng

Định lý 1: Nếu đường thẳng ∆ không thuộc mặt phẳng mà song song với một đường thẳng d thuộc mặt phẳng thì đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng

Định lý 2 Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng P thì mọi mặt phẳng chứa ∆ cắt P đều theo những giao tuyến song song.

Định lý 3 Nếu hai mặt phẳng cắt nhau mà song song với 1 đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó

Định lý 4 Cho hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia

Đường thẳng cắt mặt phẳng

Đường thẳng thuộc mặt phẳng

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Có 4 vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng a và b

Hai đường thẳng trùng nhau thì 2 đường thẳng có 2 điểm phân biệt

Hai đường thẳng cắt nhau thì 2 đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm phân biệt

Hai đường thẳng song song với nhau thì chúng không có điểm chung và đồng phẳng

Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng không có điểm chung và không đồng phẳng

Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Có 3 vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Hai mặt phẳng trùng nhau thì 2 mặt phẳng đó có 3 điểm chung và không thẳng hàng

Hai mặt phẳng song song thì hai mặt phẳng đó không có điểm chung

Định lý 1: Nếu mặt phẳng P chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng Q thì P và Q song song với nhau

Định lý 2: Nếu một đường thẳng nằm một trong hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng kia

Định lý 3: Nếu một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song với nhau thì chúng sẽ cắt theo những giao tuyến song song.

Hai mặt phẳng cắt nhau thì giao điểm của chúng là một đường thẳng

Cách xác định mặt phẳng

Có 4 cách xác định mặt phẳng

Ba điểm không thẳng hàng

Một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó

Hai đường thẳng đồng quy

Hai đường thẳng song song

Một số hình thông dụng

Tứ diện: là hình hợp bởi 4 điểm không đồng phẳng

Hình chóp: Cho đa giác lồi A1 A2 A3 An và điểm S ở ngoài mặt phẳng đa giác Hình chóp là hình giới hạn bởi n ∆SA1A2; ∆SA2A3…

Cắt hình chóp bởi một mặt phẳng α ta được các đoạn thẳng tạo nên bởi tập hợp các điểm chung của một mặt nào đó của hình chóp với mặt phẳng α gọi là các đoạn giao tuyến, các đoạn giao tuyến này nối tiếp nhau thành một đa giác phẳng gọi là thiết diện của hình chóp với mặt phẳng α

Hai mặt phẳng vuông gócHai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng là 900

Định lý 1 Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau

Định lý 2 Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào thuộc một trong hai mặt phẳng mà vuông góc với giao tuyến thì sẽ vuông góc với mặt phẳng kia

Định lý 3 Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau, A là một điểm nằm trong mặt phẳng này thì đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng kia cũng thuộc mặt phẳng này

Định lý 4 Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng song song với mặt phẳng thứ 3 đó.

Khoảng cáchKhoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là khoảng cách giữa điểm đó và hình chiếu của nó trên đường thẳng đó.

Khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng tới mặt phẳng

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm từ mặt phẳng này tới mặt phẳng kia

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

GócGóc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng

đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b

Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng P là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mặt phẳng P

Nếu a vuông góc với mặt phẳng P thì góc của nó bằng 900

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với 2 mặt phẳng đó hoặc là góc giữa hai đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng tại 1 điểm

Diện tích hình chiếu

Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng P và S’ là diện tích hình chiếu H’ của H trên mặt phẳng P’ thì S'=Scosϕ

Trong đó ϕ là góc giữa hai mặt phẳng P và P’

D

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN

BÀI TOÁN 1 CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG

Ba điểm không thẳng hàng

Một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó

Hai đường thẳng đồng quy

Hai đường thẳng song song

1 Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng

a Chứng minh rằng 3 trong 4 điểm này không thẳng hàng, liệt kê các mặt phẳng khác nhau

b Hãy nêu các cặp đường thẳng chéo nhau

2 Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b, trên a lấy hai điểm phân biệt A, B và trên b lấy hai điểm C, D phân biệt Chứng minh rằng AC và BD chéo nhau

B

A

CD

I

A

DS

O

I

J

BÀI TOÁN2 XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

1 Cho tứ diện ABCD, lấy điểm M thuộc AB, N thuộc AC và điểm I trong

∆BCD, giả sử MN không song song BC Tìm giao tuyến mặt phẳng

a MNI và BCD

b MNI và ABD

c MNI và ACD

2 Cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối không song song và điểm S không thuộc mặt phẳng tứ giác, tìm giao tuyến của hai mặt phẳng là:

a SAC và SBD

b SAB và SCD

c SAD và SBC

5 Cho tứ diện ABCD lấy điểm I trên AB, lấy điểm J trong ∆BCD và điểm K trong ∆ACD, tìm giao tuyến của mặt phẳng IJK với các mặt của tứ diện.

BÀI TOÁN 3 XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG

VÀ MẶT PHẲNG

Bản chất là ta xác định giao điểm của đường thẳng và đường thẳng nào đó thuộc mặt phẳng hoặc là xác định giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng chứa đường thẳng rồi xác định giao điểm là giao điểm của đường thẳng và giao tuyến đó

1 Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC và

K là giao điểm trên BD với KD<KB Dựng giao điểm của CD và AD với mặt phẳng MNK

2 Cho tứ diện ABCD, lấy điểm M trên AB, N trong ∆BCD và K trong

∆ACD, dựng giao điểm của CD và AD với mặt phẳng MNK

3 Cho hình chóp SABCD lần lượt trên SA, AB, BC lấy các điểm M, N, P sao cho NP không song song với AD và CD Dựng giao điểm của SD, SC với mặt phẳng MNP

4 Cho tứ diện ABCD, lấy điểm M trên AB và N trong ∆BCD Dựng giao điểm của AC với mặt phẳng MND

5 Cho tứ diện ABCD lấy điểm M trên AB và N trên AC và I trong ∆BCD, dựng giao điểm của BD, CD với mặt phẳng IMN

6 Cho hình chóp SABCD và điểm M trên SB, dựng giao điểm SC với mặt phẳng ADM

M

N

L

BÀI TOÁN 4 CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG

Bản chất chứng minh đó là giao tuyến của 2 mặt phẳng phân biệt

1 Cho đường thẳng d cắt mặt phẳng α tại I, lấy 2 điểm A, B trên d và M trong không gian không thuộc d và α, giả sử MA và MB lần lượt cắt α tại A’ và B’, chứng minh 3 điểm I, A’, B’ thẳng hàng

2 Cho 3 nửa đường thẳng Ox, Oy, Oz không đồng phẳng, lấy hai điểm phân biệt A, A’ trên Ox, hai điểm phân biệt B, B’ trên Oy, hai điểm phân biệt C, C’ trên Oz sao cho BC cắt B’C’ tại D, CA cắt C’A’ tại E và AB cắt A’B’ tại F, chứng minh 3 điểm D, E, F thẳng hàng

3 Trong mặt phẳng α cho hai đường thẳng d1 và d2, lấy hai điểm A, B không thuộc α sao cho đường thẳng AB cắt α tại I, mặt phẳng β qua AB cắt d1 tại

M và d2 tại N, chứng minh rằng I, M, N thẳng hàng

4 Cho hình chóp SABCD trong đó AD và BC không song song, lấy điểm

M trên SB và O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

I M N

a Dựng giao điểm N của SC và ADM;

b AN và DM cắt nhau tại I Chứng minh rằng S, I, O thẳng hàng

BÀI TOÁN 5 CHỨNG MINH 3 ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

Muốn chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta cần chứng minh hai đường thẳng giao nhau trên đường thẳng thứ 3.

Chúng là các đường thẳng không đồng phẳng và cắt nhau từng đôi 1

1 Cho tứ diện ABCD gọi E, F, G lần lượt là 3 điểm trên 3 cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại J (I khác C và J khác D) Chứng minh CD,

IG, JF đồng quy

2 Chứng minh rằng nếu 3 đường không đồng phẳng và đôi một cắt nhau thì

3 đường thẳng này đồng quy tại một điểm

3 Cho hình chóp SABCD, một mặt phẳng α lần lượt cắt các cạnh SA, SB,

SC, SD tại A’, B’, C’, D’ gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD Chứng minh 3 đường thẳng A’C’, B’D’, SO đồng quy

4 Cho hai ∆ABC và ∆A’B’C’ không cùng nằm trong một mặt phẳng, giả sử

BC cắt B’C’, AC cắt A’C’ và AB cắt A’B’ Chứng minh rằng 3 đường thẳng AA’, BB’, CC’ thường đồng quy tại một điểm

BÀI TOÁN 6 TÌM TẬP HỢP ĐIỂM LÀ GIAO TUYẾN HAY MỘT PHẦN

GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

1 Cho hình chóp SABCD, một mặt phẳng α di động qua trung điểm A’ của

SA, B’ của SB cắt SC, SD lần lượt tại C’ và D’, tìm tập hợp giao điểm của A’C’ và B’D’(giả sử mặt phẳng A’B’C’ cắt SO)

2 Cho hình chóp SABCD trong đó AD và BC không song song, gọi O là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm của AD và BC M di động trên SB, EM cắt SC tại N, tìm tập hợp giao điểm I của AN và DM

CHƯƠNG 2 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

LÝ THUYẾT

BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI TOÁN 1 CHỨNG MINH RẰNG HAI ĐƯỜNG THẲNG

SONG SONG

Phương pháp

Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng sau đó dùng phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong hình học phẳng

Chứng minh chúng song song với đường thẳng thứ 3

Dùng tính chất hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng này.

1 Cho tứ diện ABCD gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB,

3 Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a, gọi I, J, K lần lượt là trung điểm

BC, CA, AD tính IK? Suy ra các cặp cạnh đối của tứ diện vuông góc với nhau

4 Cho hình chóp ABCD , ABCD là hình bình hành và SA=SB, SC=SD chứng minh rằng (SA;BC)=(SB;AD).

5 Cho tứ diện ABCD với AB vuông góc CD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD chứng minh MP=NQ

BÀI TOÁN 2 CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

MẶT PHẲNG

Chứng minh đường thẳng đó song song với một đường thẳng trong mặt phẳng

1 Cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng hình bình hành ABCD, gọi M và N là trung điểm của SA và SB, chứng minh MN song song mặt phẳng SCD

2 Cho tứ diện SABC, gọi M và N là trung điểm AB và SB, chứng minh SA song song với mặt phẳng CMN Xác định giao tuyến của mặt phẳng CMN với mặt phẳng SAC

BÀI TOÁN 4 DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI MỘT

a Tứ giác MNPQ là hình gì?

b Giả sử AB vuông góc CD thì MNPQ là hình gì? Tính diện tích của MNPQ biết AM=x; AB=AC=CD=a tính x để diện tích này lớn nhất

2 Cho điểm S ở ngoài mặt phẳng hình bình hành ABCD, gọi M và N là trung điểm của AD và BC, mặt phẳng α qua MN và song song với SD cắt hình chóp SABCD theo hình gì?

3 Cho điểm S ở ngoài mặt phẳng hình thoi ABCD cạnh a sao cho ∆SAD là

∆ đều, từ điểm M trên đoạn AB ta dựng mặt phẳng α song song với SA với BC Mặt phẳng α lần lượt cắt CD,SC,SB tại N, P, Q

a Tứ giác MNPQ là hình gì?

b Tính diện tích của MNPQ theo a và x=AM

c Tìm tập hợp giao điểm I của MQ và NP khi M di chuyển từ A đến B

4 Cho tứ diện ABCD, gọi I và J lần lượt là trung điểm của CA và CB, gọi M là điểm di động trên đoạn BD, mặt phẳng IJM cắt AD tại N.

a Chứng minh IJMN thông thường là hình thang, định vị trí của M để IJMN là hình bình hành?

b Tìm tập hợp giao điểm K của IM và JN khi M di động từ B đến D

c Giả sử các cạnh của tứ diện đều bằng a và đặt BM=x (0 x a)≤ ≤ , tính diện tích IJMN theo a và x

MN=a-x; IJ=a/2

5 Cho tứ giác ABCD trong đó AB và CD cắt nhau tại E, AD và BC cắt nhau tại F, điểm S ở ngoài mặt phẳng của tứ giác Một mặt phẳng α qua điểm M trên đoạn SA lần lượt cắt SB, SC, SD tại N, P, Q

a.Chứng minh rằng nếu α song song với SE hay SF thì MNPQ là hình thang

b Nếu α song song với SE và SF thì MNPQ là hình gì?

6 Cho tứ diện ABCD, từ điểm M trên cạnh AC ta dựng một mặt phẳng song song với AB và CD, mặt phẳng này lần lượt cắt BC, BD, AD tại N, P, Q Cho AB=a; CD=b; AC=c và MN=x.

a Tứ giác MNPQ là hình gì? Tính chu vi của nó?

b Khi M di động trên AC, tìm hệ thức giữa a và b sao cho chu vi MNPQ không đổi

c Tìm tập hợp giao điểm của MP và NQ khi M di chuyển từ A đến C

7 Cho tứ diện ABCD và điểm M ở trong ∆BCD

a Dựng đường thẳng qua M song song với hai mặt phẳng ABC và BD, đường thẳng này cắt mặt phẳng ACD tại B’, chứng minh AB’, BM, CD đồng quy tại một điểm

a Tứ giác AMNN’ là hình gì?

b Chứng minh đường thẳng NN’ ở trong một mặt phẳng cố định, tìm tập hợp điểm N’

c Xác định vị trí của d sao cho độ dài MN nhỏ nhất

9 Cho tứ diện ABCD, gọi AE là trung tuyến của ∆ACD và I là một điểm trên đoạn AE, một mặt phẳng α qua BI và song song với CỐ ĐỊNH, cắt AC tại M và AD tại N.

a Chứng minh MN song song CD;

b Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng BMN và BCD

c Chứng minh giao tuyến này cố định khi I di động trên AE

CHƯƠNG 3 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

BÀI TOÁN 1 CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng đồng quy song song với hai đường thẳng đồng quy trong mặt phẳng kia.

1 Cho tứ diện ABCD gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các ∆ ABC, ACD, ABD, chứng minh hai mặt phẳng (G1G2G3) và (BCD) song song

2 Cho hình bình hành ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau, chứng minh (ADF) song song (BCE)

3 Cho hình bình hành ABCD, từ A và C kẻ Ax và Cy song song cùng chiều và không nằm trong mặt phẳng ABCD, chứng minh (BAx) song song (DCy)