Luận văn phân tích độ nhạy liên hợp đối với phương trình vi phân đại số (tt)

Trong thời gian qua đã có nhiều kết quả thu được về phương trình vi phân đại số, chẳng hạn như các kết quả về nghiệm, về tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ của phương trình vi ph

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

LÊ THỊ OANH

PHÂN TÍCH ĐỘ NHẠY LIÊN HỢP ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN ĐẠI SỐ

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ

THANH HÓA – 2016

Người hướng dẫn: TS.Hoàng Nam

Phản biện 1: ……… .

Phản biện 2: ……….

Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn

thạc sĩ khoa học tại: Trường Đại Học Hồng Đức Vào hồi: ….giờ… ngày …tháng… năm2016.

Có thể tìm hiểu luận văn tại

-Thư viện trường Đại học Hồng Đức,

-Bộ môn: Giải Tích,Trường Đại học Hồng Đức

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong thực tiễn hiện nay, kể cả trong khoa học và ứng dụng có nhiều vấn đề, nhiều bài toán,

chẳng hạn như mô tả động lực, mô tả hệ thống mạng điện, lý thuyết điều khiển, đòi hỏi chúng ta phải quan tâm giải quyết hệ phương trình vi phân đại số Từ cuối những năm 70 và đầu những năm

90 của thế kỉ XX đã có nhiều nhà toán học trên thế giới nghiên cứu về phương trình vi phân đại số, một trong số đó là các nhà toán học thuộc Đại học Humbodt của Berlin, nhóm các nhà toán học Nga, Mỹ, Ba Lan và một số nước khác Ở nước ta, vào những năm 90 của thế kỉ XX đã có một số nhà toán học thuộc Đại học sư phạm Hà Nội, Đại học khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội nghiên cứu về phương trình vi phân đại số

Trong thời gian qua đã có nhiều kết quả thu được về phương trình vi phân đại số, chẳng hạn như các kết quả về nghiệm, về tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ của phương trình vi phân đại số, tính ổn định của hệ có nhiễu nhỏ, tính nhị phân, phương trình liên hợp đối với phương trình vi phân đại số,… góp phần từng bước hoàn thiện và phát triển lý thuyết về phương trình vi phân đại số và đẩy mạnh việc ứng dụng của chúng trong thực tiễn

Các mô hình toán học hiện đang sử dụng để khảo sát, điều tra hiện tượng vật lý đang ngày càng trở nên thực tế hơn Các đặc tính mới của các mô hình này là họ thường sử dụng thông số mà giá trị có thể không được biết chính xác, cách gọi để phân tích độ nhạy tham số Lĩnh vực được áp dụng, bao gồm tối ưu hóa, tham số ước lượng, điều khiển tối ưu, mô hình đơn giản hóa, độ nhạy quá trình, phân tích sự không chắc chắn và thiết kế thí nghiệm cho một loạt các vấn đề khoa học và

kỹ thuật,… Nghiên cứu gần đây về các phương pháp và phần mềm để phân tích độ nhạy của phương trình vi phân đại số (Cao et al., 2003; Feehery et al., 1997; Li and Petzold, 2000; Li and Petzold, 1999; Li at al., 2000 and Maly and Petzold, 1997) đã chứng tỏ rằng dãy con các giá trị nhạy cảm có thể được tính toán đáng tin cậy và hiệu quả thông qua sự vi phân kết hợp với các kỹ thuật về nghiệm của phương trình vi phân đại số Tuy nhiên, có một số vấn đề khó khăn khi ta phân tích độ nhạy của hệ phương trình vi phân đại số với số lượng lớn các tham số so với số lượng các biến Theo phương pháp này, ta có thể tính độ nhạy của các tham số bằng cách sử dụng hệ liên hợp tuyến tính, không cần thiết phải mở rộng hệ ban đầu, điều đó nâng cao hiệu quả tính toán vấn đề xem xét Phương pháp này được sử dụng trong một loạt các thí nghiệm, nơi các kết quả được so sánh với ước lượng của độ nhạy bằng phương pháp hữu hạn khác nhau, được sử dụng rộng rãi cho

sự đơn giản của việc thực hiện nó Bởi vậy, Luận văn nghiên cứu đề tài:

“Phân tích độ nhạy liên hợp đối với phương trình vi phân đại số”.

2 Mục đích nghiên cứu

- Mục đích nghiên cứu của luận văn là nhằm giới thiệu một phương pháp mới dựa trên các hệ

liên hợp để phân tích độ nhạy tham số của phương trình vi phân đại số Phương pháp này được sử dụng trong một loạt các thí nghiệm và các kết quả được so sánh với việc ước lượng độ nhạy bằng

các phương pháp khác nhau hữu hạn, được sử dụng rộng rãi vì tính đơn giản của việc thực hiện chúng và xét tính ổn định của hệ liên hợp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày về phương pháp độ nhạy liên hợp đối với hệ phương trình vi phân đại số phụ thuộc vào tham số Một phương pháp mới dựa trên các hệ liên hợp để phân tích độ nhạy của tham số của phương trình vi phân đại số

- Nghiên cứu đề xuất mở rộng phương pháp này dựa trên việc sử dụng các hàm so sánh cho phép chuyển hệ liên hợp ban đầu về một hệ đại số làm cho nó phù hợp với nhiều phương pháp số hiệu quả

- Trình bày tính ổn định, tính ổn định của hệ liên hợp (đối với phương trình vi phân đại số bán tường minh) hoặc của một hệ liên hợp bổ sung (đối với phương trình vi phân đại số hoàn toàn ẩn)

4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu

- Phương trình vi phân đại số và phương trình liên hợp;

- Độ nhạy liên hợp của phương trình vi phân đại số;

- Tính ổn định, ổn định số của phương trình vi phân

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tìm kiếm ,tổng hợp các tài liệu từ giáo trình ,sách vở về phường vi phân đại số và độ nhạy

liên hợp của phương trình vi phân đại số Sau đó phân tích ,tổng hợp để trình bày rõ ràng ,hợp logic các vần đề

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn được cấu trúc gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung sau:

Chương 1: Phương trình vi phân đại số và phương trình liên hợp

Chương này trình bày một số khái niệm, kết quả cơ bản về phương trình vi phân đại số và phương trình vi phân đại số liên hợp và tính ổn định của nghiệm của phương trình vi phân

Chương 2: Độ nhạy liên hợp của phương trình vi phân đại số

Chương này giới thiệu một phương pháp dựa trên các hệ liên hợp để phân tích độ nhạy của tham số của phương trình vi phân đại số; mở rộng phương pháp dựa trên việc sử dụng các hàm so sánh, cho phép chuyển hệ liên hợp ban đầu về một hệ đại số làm cho nó phù hợp với nhiều phương pháp số hiệu quả

Cuối cùng là phần Kết luận và phần Danh mục tài liệu tham khảo

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP

1.1 Một số khái niệm về phương trình vi phân đại số

Định nghĩa 1.3 Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma trận hằng A nếu nó là số tự nhiên bé

nhất thỏa mãn kerA k kerA k 1 Kí hiệu chỉ số của ma trận A là ind A , thế thì  

ind A  min k kerA{ : k kerA k1}

Định nghĩa 1.5 Nếu cặp A B chính quy và ,  det A B(c  ) 0 với mọi c C thì ind cA B{ 1A}



được gọi là chỉ số của cặp ma trận A B Như vậy ,  ind{ , }A B ind cA B { 1A}



 với mọi c C

Định nghĩa 1.6 Phương trình

(A Px)' ( B AP x ' ,) q (1.2) trong đó A B I, :  L C C( m, m), :f I C m là ma trận hàm thỏa mãn giả thiết sau

 T1 dim imA t    r m t I,  ;

T2 Cặp ma trận A t B t là chính quy chỉ số 1 với t I ,      ;

T3 Tồn tại một phép chiếu Q C I L C C 1( , ( m, m) lên kerA , được gọi là phương trình vi phân

đại số tuyến tính chỉ số 1 chuyển được

Định lý 1.1 [10] Giả sử (1.1) là phương trình vi phân đại số chính quy chỉ số 1 trên 

 Khi đó x(t) là nghiệm trên  thỏa mãn điều kiện đầu

x(0) x0ker (0)A N(0); (1.4)

nếu và chỉ nếu x t( ) P t u t S( ) ( ) Q t G( ) 1( )t B t u t ( ) ( ) f t( ) , t 

     , trong đó u(t)là nghiệm bài

toán giá trị đầu

1 0

'( ) '( ) ( ) ( )( '( )) ( ) ( ) ( ) ( )) (0) (0)











Nếu ta sử dụng phép

S

P  I QG B lên S(t) dọc N(t) thì các công thức (1.5) và (1.6) được viết lại như sau

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( '( )) ( ) ( )

S S

x t P t u t Q t G f t









 1.7 

và nếu f(t)=0 thì ( ) ( ) ( ) 1

'( ) ( '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

S S

x t P t u t

u t P t P t P t G t B t u t







  1.8 

1.2 Phương trình liên hợp của phương trình vi phân đại số.

Định nghĩa 1.8 Phương trình

(A) B (1.9)s

với A B I, : L C C( m, m), : s I  C m thỏa mãn 3 giả thiết

 T1 dim imA t    r m t I, 

T2 Cặp ma trận A t B t là chính quy chỉ số 1 với t I ,     

T3 Tồn tại một phép chiếu Q C I L C C 1( , ( m, m) lên kerA ,

được gọi là phương trình liên hợp của phương trình vi phân đại số (1.2) chỉ số 1

Định lý 1.2[3] Với các giả thiết    T1 , T2 , T , với 3 0C m và s C I C  , m bất kì, bài toán giá trị ban đầu

 0  0 0 0













(1.10)

có nghiệm 1  , m

A

A t  t    .

Định lý 1.3[3] Với các giả thiết    T1 , T2 , T , với 3 0C m bất kỳ và s C I C  , mthì nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.10) là duy nhất

Xét phương trình A B (1.11)p

trong đó A B I, :  L C C m, m là những ma trận hàm liên tục thỏa mãn các giả thiết  T1   T3

Định nghĩa 1.9 Cho phương trình A t x t    B t x t   q, t I, (1.13) trong đó

  1( , ( m, m)),    ,  m 

A t C I L C C B t C I L C ,detA t 0,rankA t r, t I x C , 

được gọi là phương trình vi phân đại số chỉ số 2 (index- 2 tractable) trên I nếu

(i) dimN t1  const,

(ii) N t1 S t  C m,  t I ,

trong đó Q t là phép chiếu lên   N t kerA t , t I, P t  I Q t ;

               

                     



Xét phương trình vi phân dạng Hessenberg, nghĩa là hệ dạng

1 11 1 12 2 1

'

B =q

x







( ,T T T) , m, m ,

Định lý 1.5[14] Giả sử (1.13) là phương trình vi phân đại số giải được có chỉ số 2 với Q 1 là hàm khả vi liên tục Khi đó, các kết quả sau là đúng

(i) Bài toán giá trị ban đầu (1.8), (1.2) có nghiệm duy nhất trong

1( , m) :  ( , m) : 1( , m)

N

1 2

( , m), ( , m)

q C I R Q G q C I R  (ii) Nếu (.) x là nghiệm của phương trình thuần nhất thì ( ) x t M t( ) :im( )t S t t I( ),  (iii) Với mỗi x*M t( )* qua đó có đúng một nghiệm của phương trình thuần nhất tại thời điểm

*

t I Không gian nghiệm M(t) là một không gian con riêng của S(t) và

dimM t( ) m dimN dim((NS t( ))

Bổ đề 1.6[14] Giả sử phương trình (1.13) chuyển được với chỉ số 2, trong đó 1

1 1 2 1

Q Q A B khả

vi liên tục Khi đó phương trình (1.13) tương đương với hệ

 

 

1

1 2 1 1

1

1 1 2 1

0, 0

,

y



















(1.15)

trong đó z PP x y PQ x 1 ,  1 và v Qx Hơn nữa, nếu 0    

1

z R PP t với một số tt0,, thì nghiệm z của bài toán giá trị đầu 1  

zPP A B  PP z

  im 1  ,  0, 

1.3 Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phương trình vi phân đại số

Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau

A t x t( )  B t x t    0 (1.16) trong đó I  R n, ,A B L n ,det A0,q C I R  , n Giả sử phương trình (1.16) có chỉ số 1 và

 

KerA t trơn

Định nghĩa 1.10 Nghiệm tầm thường x t  của hệ (1.16) được gọi là ổn định (theo nghĩa của  0 Lyapunov) nếu với mọi số  0cho trước và với mọi t I  đều tồn tại  ( , ) 0t0   sao cho nếu x0R n thoả mãn P t x 0 0  thì x t t x ; ,0 0  với mọi  t t0

Định nghĩa 1.11 Nghiệm tầm thường x t  của hệ (1.16) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó  0

ổn định và tồn tại số 0( ) 0t0  sao cho nếu P t x 0 0 0 t0 thì x t t x ; ,0 0  0 khi t  

Định nghĩa 1.12 Nghiệm tầm thường x t  của hệ (1.16) được gọi là ổn định tiệm cận mũ nếu  0 tồn tại hằng số dương  và với mọi số  0 cho trước đều tồn tại số tại  ( , ) 0t0   sao cho

nếu x0R n thoả mãn P t x 0 0  thì    0

0 0

  

 với mọi  t t0

Định nghĩa 1.13 Nghiệm tầm thường x t  của phương trình vi phân đại số có chỉ số 2 (1.16)  0

được gọi là ổn định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số  0cho trước và với mọi  t I

đều tồn tại  ( , ) 0t0   sao cho nếu x0R n thoả mãn P t P t x 0 1 0( ) 0  thì x t t x ; ,0 0 

với mọi  t t0

Định nghĩa 1.14 Nghiệm tầm thường x t  của phương trình vi phân đại số có chỉ số 2 (1.16)  0

được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số 0( ) 0t0  sao cho nếu

 0 1 0( ) 0

P t P t x  thì x t t x ; ,0 0  0 khi t  

Định nghĩa 1.15 Nghiệm tầm thường x t  của phương trình vi phân đại số có chỉ số 2 (1.16)  0

được gọi là ổn định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương  và với mọi số 0 cho trước đều tồn tại số tại  ( , ) 0t0   sao cho nếu x0R n thoả mãn P t P t x 0 1 0( ) 0  thì

   0

0 0

  

 với mọi  t t0

Định lý 1.7 Giả sử 1

1 0

s

Q QA B bị chặn trên t  Khi đó, nghiệm tầm thường của (1.11) là ổn0, 

định tiệm cận mũ nếu và chỉ nếu các nghiệm tầm thường của phương trình

uPA B1 1 0 P u 0,tt0,

là ổn định tiệm cận mũ đối với imP t  

Định lý 1.8 [14]. Giả sử phương trình (1.13) chuyển được với chỉ số 2, trong đó Q1 Q A B1 21 1



khả vi liên tục đồng thời  QQ 1 và QP A B1 21 1 bị chặn Khi đó, nghiệm tầm thường của phương trình( 1.13) là ổn định tiệm cận mũ nếu và chỉ nếu nghiệm tầm thường nghiệm của phương trình

z  PP A B  PP  z  t  t 

là ổn định tiệm cận mũ đối với im PP t  1  .

CHƯƠNG 2

ĐỘ NHẠY LIÊN HỢP CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ

Trong chương này, ta sẽ giới thiệu một phương pháp dựa trên các hệ liên hợp để phân tích độ nhạy của tham số của phương trình vi phân đại số Ngoài ra ta cũng mở rộng phương pháp dựa trên việc sử dụng các hàm so sánh, cho phép chuyển hệ liên hợp ban đầu về một hệ đại số làm cho

nó phù hợp với nhiều phương pháp số hiệu quả Phương pháp độ nhạy liên hợp cũng được trình bày đối với phương trình vi phân đại số phụ thuộc tham số Hệ liên hợp được suy ra với các điều kiện ban đầu nhất quán của nó đối với phương trình vi phân Hessenberg chỉ số 2

2.1 Đạo hàm của hệ liên hợp đối với độ nhạy

Xét phương trình cân bằng có dạng tổng quát

  0 

, , , 0,

F x x t p









(2.1)

tạo nên bởi một tổ hợp các phương trình vi phân và phương trình đại số, trong đó x R n xlà vec tơ biến trạng thái và p R n p là vec tơ tham số Vấn đề tính toán độ nhạy của các tham số của một hệ

phương trình vi phân đại số dạng (2.1) có dạng như sau: Đối với một sự phụ thuộc tham số của hệ

phương trình vi phân đại số dạng (2.1), tìm

j

dx

dp tại thời gian T, với j1,2, , n p

Các nghiệm của chúng đòi hỏi nghiệm tương thích của hệ phương trình vi phân đại số ban đầu với với n - hệ nhạy cảm, thu được bằng cách lấy đạo hàm phương trình vi phân đại số ban đầu p

tương ứng theo mỗi tham số Ta qua tâm đến việc tính toán độ nhạy dG

dp của một hàm mục tiêu

của nghiệm nhiễu và tham số

 

0 ( , , , T g x t p)

G x p  dt,

hoặc là sự loại trù nhau độ nhạy dg

dp của một hàm ( , , )g x t p được xác định tại thời điểm T Bây

giờ ta xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính cho bởi công thức sau

Ax Bx 0,

ở đây ,A B là các ma trận hàm phải thỏa mãn đủ trơn, khi đó phương trình vi phân đại số liên hợp

của phương trình trên là (A) B 0,

2.1.1 Độ nhạy của G x p , 

Trước hết, để giải bài toán về độ nhạy đối với hàm G x p , được cho bởi công thức (2.2) Để ,  giới thiệu một hệ số Lagrange  , ta hình thành hàm mục tiêu bổ sung ( , )I x p như sau

    .

0

, , T ( , , , )

I x p G x p  F x x t p dt,

trong đó,  là một hệ số Lagrange và ( , , , ) 0F x x p t  được xác định bởi (2.1)

Lấy đạo hàm cả hai vế theo p , độ nhạy của G x p đối với p là , 

 *  * *  * 

0T P p 0T x x ( x) p x p 0T

dG

dp              (2.7)

Ta giả sử (*F x) *F xg x, (2.8)

và đối với phương trình vi phân đại số có chỉ số 0 và có chỉ số 1, để đơn giản ta có thể lấy

( ) t F x t T 0 Phương trình (2.7) trở thành  *  *

0

P p x p

dG

dp       (2.10)

Để tìm các điều kiện ban đầu (tại t T ) đối với hệ liên hợp, ta phải thực hiện việc xem xét cấu trúc của hệ phương trình vi phân đại số

Đối với trưòng hợp các hệ phương trình vi phân đại số có chỉ số 0 và chỉ số 1, ta có thể chọn F x t T  0, (2.11) dẫn tới phương trình độ nhạy đối với dG

dp là

0T P p  x p 0

t

dG



    Cách chọn này sẽ không đủ cho trường hợp hệ phương trình vi phân đại số Hessenberg có chỉ số 2 Xét hệ

1 2

( , , ),

0 ( , ),

d d a

d

f x p

 











ở đây, x và d x là các thành phần nghiệm vi phân và thành phần nghiệm đại số tương ứng, a

1

d

f

A

x





 ,

1

a

f B

x





 ,

2

d

f C x





 và ma trận tích CB khả nghịch Ở đây, hệ liên hợp được cho bởi

công thức