Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm
Dựa trên các nghiên cứu lý thuyết và thực tiễn, chúng tôi đề xuất các phương pháp khai thác đa dạng các dạng bài tập về hàm đặc trưng để đổi mới phương pháp dạy học Những giải pháp này nhằm mục tiêu phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh, góp phần nâng cao hiệu quả giáo dục môn học.
Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu lí thuyết và ứng dụng đạo hàm của hàm số
Nghiên cứu các phương pháp dạy học tích cực: Hoạt động theo nhóm nhỏ, dạy học dự án
Xây dựng các tiêu chí, công cụ đánh giá kiến thức, phẩm chất năng lực học sinh
Thực nghiệm sư phạm để đánh giá hiệu quả của đề tài và có những điều chỉnh, kiến nghị đề xuất phù hợp.
Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí thuyết
Phương pháp đặt câu hỏi theo 3 kiểu: câu hỏi tự luận, câu hỏi trắc nghiệm, câu hỏi điền khuyết.
Giả thuyết khoa học
Nghiên cứu cơ bản về các phương pháp khai thác bài toán mới giúp nâng cao khả năng tư duy và sáng tạo trong Toán học Đồng thời, việc khám phá các ứng dụng của đạo hàm số đóng vai trò quan trọng trong việc mở rộng kiến thức và vận dụng thực tiễn Bên cạnh đó, triển khai các phương pháp dạy học sáng tạo đối với các chủ đề toán học giúp nâng cao hiệu quả giảng dạy và thúc đẩy sự hứng thú của học sinh đối với môn học.
Dựa trên thực tiễn các đề thi thử tốt nghiệp, đánh giá năng lực của các trường đại học, đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi học sinh giỏi, chúng ta có thể phân loại các dạng bài tập về hàm đặc trưng Việc phân loại này giúp xác định các phương pháp giải hiệu quả cho từng dạng toán thường gặp, từ đó nâng cao khả năng làm bài và xây dựng chiến lược ôn tập phù hợp cho học sinh Các đề thi thực tế cung cấp những số liệu quan trọng để nhận diện các dạng bài tập phổ biến về hàm đặc trưng, giúp giáo viên và học sinh tập trung vào các kỹ năng cần thiết để đạt được kết quả tốt trong kỳ thi.
Tính mới, đóng góp của đề tài
Dạng bài tập về Hàm đặc trưng đã xuất hiện trong các đề thi trước đây, chủ yếu ở dạng tự luận Từ năm 2017, đề thi môn Toán tốt nghiệp THPT chuyển sang dạng trắc nghiệm, đòi hỏi học sinh phải nắm vững phương pháp giải nhanh các bài tập về Hàm đặc trưng Do đó, bài viết giúp hệ thống hóa các dạng bài tập liên quan đến Hàm đặc trưng phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm, nâng cao khả năng làm bài nhanh và chính xác cho học sinh.
- Định hướng cho học sinh kỹ năng giải một số dạng bài toán thường gặp về hàm đặc trưng như phương trình, bất phương trình, hệ phương trình…
Hướng dẫn học sinh xây dựng hệ thống các bài toán về hàm đặc trưng giúp các em làm quen với xu hướng ra đề thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo, từ đó nâng cao khả năng thích nghi và đề phòng các dạng bài tập mới Việc này giúp học sinh tự tin hơn trong việc tìm tòi và giải quyết các bài toán về hàm đặc trưng, đồng thời phát triển năng lực sáng tạo và tư duy logic Các bài tập về hàm đặc trưng không chỉ rèn luyện kỹ năng giải toán mà còn góp phần nâng cao khả năng phân tích, tổng hợp và vận dụng kiến thức trong đề thi.
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Cơ sở lý luận
2.1.1 Các hằng đẳng thức đáng nhớ
Các hằng đẳng thức quan trọng này thường xuyên được áp dụng trong các bài toán về phương trình và bất phương trình liên quan đến hàm đặc trưng Việc ghi nhớ và vận dụng linh hoạt các đẳng thức này giúp giải quyết các bài toán toán học nhanh chóng và chính xác hơn Đặc biệt, chúng đóng vai trò then chốt trong việc phân tích và rút gọn các biểu thức phức tạp liên quan đến hàm đặc trưng Vì vậy, nắm vững các hằng đẳng thức này là kỹ năng cần thiết cho mỗi học sinh và sinh viên trong quá trình học tập môn Toán.
Ngoài ra ta còn sử dụng mốt số hệ quả sau:
2.1.2 Công thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp
2.1.3 Tính đơn điệu của hàm số
Cho hàm số xác định trên , trong đó là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng
( ) y = f x K K a) Hàm số đồng biến trên nếu mọi b) Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu mọi
Các định lý về tính đơn điệu của hàm số là những nguyên tắc cơ bản trong giải tích Cụ thể, nếu hàm số có đạo hàm trên đoạn, thì: a) khi đạo hàm luôn dương, hàm số đồng biến trên đoạn đó; b) khi đạo hàm luôn âm, hàm số nghịch biến trên đoạn đó; c) khi đạo hàm bằng không, hàm số không đổi trên đoạn đó Những định lý này giúp xác định xu hướng biến thiên của hàm số dựa trên dấu đạo hàm, là công cụ quan trọng trong phân tích hàm số và tối ưu hóa.
Nếu hàm số liên tục trên đoạn và có đạo hàm trên khoảng thì hàm số đồng biến trên đoạn
Nếu hàm số liên tục trên đoạn và có đạo hàm trên khoảng thì hàm số nghịch biến trên đoạn
2.1.4 Tính đơn điệu của hàm số
2.1.5 Nghiên cứu phương pháp phân dạng, phát triển bài toán mới
Các bài tập về hàm đặc trưng thường xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi thử và đề thi học sinh giỏi, nhưng lại ít được đề cập trong sách giáo khoa Khi gặp các dạng bài tập này, học sinh thường gặp khó khăn và bỡ ngỡ trong việc tìm ra phương pháp giải đúng đắn Việc nắm vững kiến thức về hàm đặc trưng đóng vai trò quan trọng giúp học sinh tự tin hơn khi làm các đề thi, đồng thời nâng cao khả năng phân tích và giải quyết các bài toán phức tạp trong quá trình học tập.
Bài toán hàm đặc trưng
Cơ sở thực tiễn
Trong các đề thi THPT Quốc gia những năm gần đây, đề minh họa của Bộ Giáo dục và Đào tạo qua các năm cũng như đề thi thử của nhiều trường trên toàn quốc đều tập trung vào các bài toán vận dụng và vận dụng cao Những dạng bài toán này chiếm tỷ lệ lớn, phản ánh xu hướng ra đề thi tập trung kiểm tra khả năng vận dụng kiến thức thực tế của học sinh Việc nắm vững các dạng bài toán vận dụng cao là chìa khóa giúp thí sinh đạt điểm cao trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2023 Các bài tập này không chỉ giúp nâng cao kỹ năng giải quyết vấn đề mà còn đòi hỏi tư duy logic và sáng tạo trong quá trình làm bài.
Trong rất nhiều đề thi học sinh giỏi khối 12 của nhiều sở giáo dục trong những năm gần đây
Trong nhiều đề thi ĐGNL của nhiều trường những năm gần đây
Thực trạng của việc tổ chức dạy học chủ đề gắn với việc giáo dục ý thức học sinh
Dạy học giáo dục theo phương pháp đổi mới nhằm phát huy các phẩm chất , năng lực cho học sinh
Tạo hứng thú học tập cho học sinh, kích thích sự tìm tòi, sáng tạo, khám phá bài tập mới
Số liệu điều tra thực trạng về học sinh thông qua hoạt động học tập phần ứng dụng của hàm số
Thứ nhất: Áp dụng sáng kiến làm tăng độ hứng thú tích cực trong học tập
Khảo sát mức độ hứng thú các tiết học với nhóm thực nghiệm là 44 HS ( lớp 12C1) và lớp đối chứng là 40 HS (Lớp 12C2) như sau: Đối tượng
Lớp SL Rất hứng thú
Dạng phương trình, bất phương trình chứa f 3 ( ) x và
Dạng phương trình, bất phương trình chứa f g x ( ( )) và x
Dạng phương trình, bất phương trình chứa
Dạng phương trình, bất phương trình chứa a x và
Dạng phương trình, bất phương trình chứa và
phương trình, bất phương trình chứa và log a x
Thứ hai, áp dụng sáng kiến nhằm nâng cao khả năng lĩnh hội, vận dụng kiến thức và độ bền kiến thức cho học sinh lớp 12C1 Việc đánh giá dựa trên kết quả sản phẩm của bài tập giúp đo lường mức độ tiếp thu và áp dụng kiến thức một cách hiệu quả Nhóm 1, gồm các học sinh lớp 12C1, đều ghi nhận điểm chung là đạt 8 điểm, thể hiện sự tiến bộ và nỗ lực trong quá trình học tập.
Nhóm 2: Điểm chung của nhóm 9 điểm Nhóm 3: Điểm chung của nhóm 9 điểm Nhóm 4: Điểm chung của nhóm 10 điểm Điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Giải pháp hình thành, khai thác, phát triển các bài toán hàm đặc trưng
2.3.1 Định hướng xây dựng bài toán tư duy hàm đặc trưng
Bài toán hàm đặc trưng
Cho hàm số liên tục trên tập + Nếu hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến) trên thì với mọi thuộc ta có: khi và chỉ khi
Hàm số đồng biến trên khoảng cần thiết khi và chỉ khi đạo hàm của nó không âm, nghĩa là, với mọi thuộc tập xác định, đạo hàm luôn lớn hơn hoặc bằng không Ngược lại, hàm số nghịch biến trên khoảng xác định khi và chỉ khi đạo hàm của nó không dương, tức là luôn nhỏ hơn hoặc bằng không Điều này giúp xác định rõ các khoảng vùng biến thiên của hàm số dựa trên ký của đạo hàm.
Các biểu thức chứa x như u v, căn thức, logarit, mũ hoặc biểu thức lượng giác đều đóng vai trò quan trọng trong lập kế hoạch khai thác và phát triển các bài toán mới trong lĩnh vực toán học Việc thiết kế các hoạt động phù hợp giúp nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo và ứng dụng kiến thức toán học vào thực tiễn Phát triển các bài toán mới dựa trên các biểu thức chứa tham số m và x góp phần mở rộng phạm vi hiểu biết và kỹ năng giải quyết vấn đề trong học tập.
I Dạng 1 Phương trình, bất phương trình chứa f 3 ( ) x và 3 g x ( )
Nhận xét: Phép toán luỹ thừa và khai căn là hai phép toán ngược nhau nên ta định hướng:
Dạng phương trình, bất phương trình chứa f 3 ( ) x và
Dạng phương trình, bất phương trình chứa f g x ( ( )) và x
Dạng phương trình, bất phương trình chứa
Dạng phương trình,bấtphương trình chứa phương trình chứa a x và log a x
- Đưa phương trình, bất phương trình về dạng chỉ chứa ẩn f x ( )và t cùng bậc
- Biến đổi phương trình, bất phương trình để xuất hiện dạng hàm đặc trưng
- Chọn hàm đặc trưng thích hợp
Bài 1.1: Cho hàm số y = f x ( )có đồ thị như hình vẽ a Tìm số nghiệm của phương trình:
3 ( ) ( ) 2 3 ( ) f x + f x = f x b Tìm số nghiệm của phương trình:
Cộng chéo ta được: f 3 ( ) x + 2 ( ) f x = + t 3 2 t (1) Xét hàm số h u ( ) = u 3 + 2 u có h u '( ) = 3 u 2 + 2 0, u R
Hàm số h u ( ) = u 3 + 2 u luôn đồng biến, từ phương trình (1) ta có:
Với f x ( ) = 0, từ đồ thị phương trình có 3 nghiệm
Với f x ( ) 1 = , từ đồ thị phương trình có 3 nghiệm
Với f x ( ) = − 1, từ đồ thị phương trình có 2 nghiệm
Vậy phương trình có 8 nghiệm b Đặt t = 3 3 ( ) 1 f x +
Cộng chéo ta được: t 3 + = 3 t f 3 ( ) 3 ( ) x + f x (1) Xét hàm số h u ( ) = u 3 + 3 u có h u '( ) = 3 u 2 + 3 0, u R
Hàm số h u ( ) = u 3 + 3 u luôn đồng biến, từ phương trình (1) ta có:
Bảng biến thiên hàm số h u ( ) u − − 1 1 +
Từ đồ thị ta có:
Vậy phương trình có 7 nghiệm
Bài 1.2: Cho hàm số y = f x ( )có đồ thị như hình vẽ Tìm m nguyên để phương trình trình 3 f x ( ) + = m f 3 ( ) x − m có nghiệm
suy ra t 3 + = t f 3 ( ) x + f x ( )(1) Xét hàm số h u ( ) = u 3 + u ,
Hàm số h u ( ) = u 3 + u luôn đồng biến, từ phương trình (1) ta có t = f x ( ) suy ra
( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1; 2 ( ) 1;3 f x = f x + m f x = f x + m f x − f x = m x f x ( Từ đồ thị) Xét hàm số g a ( ) = a 3 − a a , = f x ( ) a 1;3 g a ( ) 0; 24 m 0; 24 suy ra có 25 giá trị m nguyên
Bài 1.3: (Đề tham khảo 2018).Tìm m để phương trình: 3 m + 3 3 m + 3sin x = sin x có nghiệm
Lập phương hai vế + m 3 3 m + 3sin x = sin 3 x Đặt t = 3 m + 3sin x
Xét hàm đặc trưng h u ( ) = u 3 + 3 u Có h u '( ) = 3 u 2 + 3 0, u R
Hàm số h u ( ) = u 3 + 3 u luôn đồng biến, từ phương trình (1) ta có t = sin x suy ra sin x = 3 m + 3sin x sin 3 x = + m 3sin x = m sin 3 x − 3sin x , Đặt a = sin x − 1;1
Cách khác: Đặt ta có:
Do đó hàm số nghịch biến trên
Vậy do đó phương trình có nghiệm
Kết hợp có 5 giá trị nguyên thoả mãn
Nhận xét: Cách này không dùng phương pháp hàm đặc trưng, nhưng có những trường hợp xử lý biểu thức còn lại khó hơn
Bài 1.4: (Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Nghệ An năm 2022).Có bao nhiêu số nguyên bé hơn 2022 để bất phương trình nghiệm đúng
3 0 3sin sin sin 3sin 3 ( ) b + ba + a + = + b a m x = x = m x − x = b − b = f b
= Để bất phương trình (2) có nghiệm đúng thì
Vì m nguyên nhỏ hơn 2022 nên Có 2021 giá trị m thoả mãn bài toán
Nhận xét: - Ở bài toán trên nếu học sinh lập phương để làm mất căn bậc 3 thì sẽ phức tạp hơn rất nhiều, có khi không giải được
- Để dễ nhìn ta có thể đặt a = 3 x 3 − 3 x 2 Bài toán gốc 4 Gọi S là tập hợp các giá trị m để phương trình:
5 2 2 3 3 x − x + x + x + + = m m có 3 nghiệm Tính tổng các phần tử thuộc S
Xét hàm đặc trưng h u ( ) = u 3 + 2 u Có h u '( ) = 3 u 2 + 2 0, u R
Hàm số h u ( ) = u 3 + 2 u luôn đồng biến, từ phương trình (1) ta có t = + x 1 suy ra
Khảo sát hàm số , để phương trình có 3 nghiệm phâm biệt suy ra
Bài 1.5: Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt
Từ (1) suy ra x 0 Xét hàm số trên , ta có:
, suy ra đồng biến trên
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biết không âm, điều này tương đương với
Vậy, có 4 giá trị nguyên của tham số thoả mãn yêu cầu bài toán
Bài 1.6: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm là đoạn khi đó Tính giá trị
Xét hàm số nên hàm số đồng biến
II Dạng 2 Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa và
Nhận xét: Phương trình chứa và biểu thức chứa là hai hàm ngược nhau thì định hướng đặt t = g x ( )
Bài 2.1: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ Tìm số nghiệm của phương trình
Dựa trên nội dung đề cập, ta nhận thấy hàm số luôn đồng biến trên khoảng đã cho, suy ra rằng phương trình có ít nhất một nghiệm Từ công thức (1), ta dễ dàng xác định mối quan hệ giữa các biến số, đồng thời, dựa vào hình vẽ, đường thẳng y = f(x) cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt, điều này xác nhận phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt.
Bài 2.2: Cho hàm số Tìm để phương trình có nghiệm
Giải Đặt Suy ra (1) Xét hàm số
Suy ra suy ra hàm luôn đồng biến trên
Xét hàm số , có Từ bảng biến thiên suy ra
Bài 2.3: ( Đề Chuyên Thái Bình 2019): Cho hàm số , có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm
Từ giả thiết ta có hệ phương trình
Mặt khác nên Xét hàm số trên ta có đồng biến trên Do nên x = u
Với ta có phương trình
Xét hàm số trên ta có
Vậy phương trình có nghiệm
Do nên có giá trị nguyên của
Bài 2.4: Gọi S là tập hợp tất cả cá giá trị của m để phương trình có ba nghiệm thực, tính tổng các phần tử của S Đáp án:
Phương trình đã cho tương đương với
Xét hàm số Hàm số đã cho đồng biến trên và ta thu được
Khảo sát hàm số , phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi
Suy ra tổng của các giá trị nghuyên của là:
Bài 2.5: Cho hàm số Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm thuộc Đáp án:
Xét hàm số Do đó đồng biến trên
Xét phương trình: Đặt Ta có:
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (*) có nghiệm thuộc đoạn khi và chỉ khi
Vì nên có giá trị nguyên thoả mãn
Bài 2.6: (Đề Sở GD-ĐT Gia Lai 2019) Cho hàm số Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm Đáp án:
Giải Đặt là hàm lẻ, đồng biến trên
Suy ra đồng biến trên và YCBT
Vì nên Vây có 1750 giá trị của thoả mãn yêu cầu bài toán
Bài 2.7: Cho hàm số Tìm các giá trị nguyên để phương trình có nghiệm Đáp án:
Xét hàm số Hàm số đồng biến trên nên (1) suy ra
Xét hàm số Bảng biến thiên của
Bài 2.8: Cho hàm số , tìm nguyên để phương trình: có nghiệm
B 29 Đặt thay vào phương trình ta được:
Do đó phương trình (1) suy ra
Bài 2.9: Cho hàm số Có bao nhiêu giá trị nguyên của để bất phương trình đúng với mọi thuộc ?
Xét hàm số Do đó đồng biến trên Khi đó m m − − − − − − 7, 6, 5, 4, 3, 2
Xét hàm số trên Có
Lập bảng biến thiên ta có: Vậy có giá trị của
III Dạng 3 Phương trình, bất phương trình chứa
Bài 3.1: Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt Định hướng: Biến đổi phương trình về một trong các dạng sau:
Viết lại phương trình ta được (1)
Khi đó: Nên ta có phương trình (1) Đặt suy ra
Xét hàm số , hàm số đồng biến trên
Từ bảng biến thiên để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
Bài 3.2: Cho 2 số thoả mãn: Tìm giá trị lớn nhất của
Phương trình tương đương , Đặt
Xét hàm số , suy ra hàm luôn đồng biến trên Từ Phương trình (1) ta có , khi đó
, Lập bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất của bằng 4
Bài 3.3: Cho 2 hàm số và có đồ thị là và Tìm để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Ta có phương trình hoành độ: Đặt , chia 2 vế cho ta được bằng phương pháp hàm số đặc trưng suy ra
Lập bảng biến thiên của , suy ra kết quả
Bài 3.4: Cho hàm số Tìm m sao cho bất phương trình nghiệm đúng với mọi
Xét hàm số có tập xác định Ta có
Với mọi và Suy ra là hàm lẻ
Mặt khác Suy ra hàm số là hàm đồng biến trên Bất phương trình đã cho tương đương f (4 x − mx + 37 ) m − f (( x m − − 37).2 ) x
Xét phương trình Nhận xét phương trình có một nghiệm
Xét hàm số , có suy ra là nghiệm đơn duy nhất.Suy ra đổi dấu từ âm sang dương khi qua nghiệm
Hàm số đồng biến trên một miền cho biết rằng, bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị trong miền đó Khi xét tới điểm định nghĩa, hàm số đổi dấu từ âm sang dương, điều này phản ánh tính chất tăng của hàm số trên khoảng đó Do đó, việc xác định điểm đổi dấu của hàm số là yếu tố quan trọng trong việc phân tích tính biến thiên và tìm ra các nghiệm của bất phương trình.
Bài 3.5: ( Đề thi chọn HSG Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu 2022)
Cho hàm số , với là tham số, Tìm để hàm số đồng biến trên
Hàm số đồng biến trên (1)
Xét hàm số Ta có: , suy ra hàm số đồng biến trên Do đó (2) Từ đó, (1)
Bài 3.6 : (Đề khảo sát đội tuyển HSG Trường THPT Anh Sơn 1 năm 2022)
Tìm để phương trình có nghiệm thực
Xét hàm số , có nên hàm số đồng biến trên
0 0 Vậy phương trình có nghiệm thực khi và chỉ khi
Bài 3.7: Có bao nhiêu giá trị của m trong để bất phương trình đúng với mọi
Bất phương trình đã cho tương đương với
Mà Khi đó hàm số đồng biến nên
Với thì Vậy ta được 2023 giá trị nguyên thoả mãn
Bài 3.8: Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn
Do hàm số đồng biến trên Nên (*)
Xét hàm số trên Ta có
2 Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có đúng hai nghiệm thực phân biệt thuộc khi và chỉ khi
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình trên có đúng 1 nghiệm
Viết lại phương trình ta được:
3 2 3 3 3 3 sin x + sin x + 2 sin x = ( 2 cos x + − m 2) + 2 cos x + − + m 2 2 2 cos x + − m 2(1)
Xét hàm số có , nên hàm đồng biến trên Bởi vậy (1) f (sin ) x = f ( 2 cos 3 x + − m 2) sin x = 2 cos 3 x + − m 2 (2)
Với [0; 2 ] x 3 thì (2) sin 2 x = 2 cos 3 x + − − m 2 2 cos 3 x − cos 2 x + = 3 m (3) Đặt t = cos x , phương trình (3) thở thành − 2 t 3 − + = t 3 m (4)
Ta thấy, với mỗi [- ;1] 1 t 2 thì phương trình cos x = t cho ta một nghiệm [0; 2 ] x 3
3 3 3 3 2 sin x + 2sin x + = 3 (2 cos x + m ) 2 cos x + − + m 2 2 cos x + cos x + m m 2
Xét hàm số g t ( ) = − 2 t 3 − + t 2 3 với [- ;1] 1 t 2 Ta có 2
Do đó, để phương trình có đúng một nghiệm [0; 2 ] x 3 điều kiện cần và đủ là phương trình (4) có đúng một nghiệm [- ;1] 1 t 2
Bài 3.10: Cho phương trình 3 x 3 + − + x 2 2 x m − 3 x 2 + + x 5 + x 3 − 3 x + − = m 5 0 Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có ba nghiệm phân biệt
Vì f t '( ) = 3 ln 3 1 t + 0, t nên f t ( ) là hàm đồng biến trên Do đó
(*) x + x − 2x + = m x + + x 5 = − + m x 3 3x + = 5 m g x ( )với g x ( ) = − + x 3 3x + 5Xét hàm g x ( ) với g x '( ) = − 3 x 2 + = = 3 0 x 1.Bảng biến thiên của g x ( ) x + − 1 1 +
Từ bảng biến thiên ta suy ra phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt
= có ba nghiệm phân biệt 3 m 7 Do m m 4;5;6
+ Có bao nhiêu số nguyên của tham số m − 2023; 2023 để phương trình có hai nghiệm trái dấu
Ta có PT log (2x 3 2 − + x m ) log − 3 ( x 2 + = − 1 ) (2x 2 − + x m ) 3( + x 2 + + 1) 1
Xét hàm số f t ( ) = log 3 t + t t , ( 0)ta có '( ) 1 1 0, 0 f t ln 3 t
Do đó hàm số f t ( ) đồng biến trên (0; + )
Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi P = ac = − 3 m 0 m 3
có 2020giá trị của tham số m
Bài 3.12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
− + có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1
Khi đó PT log (3x 2 2 + 3x + + − m 1) log (2x 2 2 − + = x 1) 2(2x 2 − + − x 1) (3x 2 + 3x + + + m 1) 1
Xét hàm số f t ( ) = log 2 t + t t ( 0) ta có '( ) 1 1 0, ( 0) f t 2 ln t
Xét hàm số g x ( ) = x 2 − 5x 1 + với x + (1; ) ta có '( ) 2x 5 0 5 g x = − = = x 2
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm lớn hơn 1 khi
Bài 3.13: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình
2 2 log ( mx ) = 2 x + + − x mx log ( x + x + 1) có nghiệm thuộc khoảng( 0; + )
Xét hàm số f t ( ) = 2 log t 2 t t ( 0)ta có '( ) 2 ln 2.log 2 2 1 2 (ln 1 ) ln 2 ln 2 t t t f t t t t t
Suy ra hàm số f t ( ) đồng biến trên khoảng (0; + )
Suy ra hàm số p x ( ) nghịch biến trên (0; + )
→ = + →+ = PT có nghiệm thuộc khoảng(0; + ) m (2; + ).
Bài 3.14: Cho phương trình (2x 2 − 2x 1).2 + 2x 3 + 2 x 2 − + − 4x 4 2 m = − + x 3 x 2 + − m 1 (1).Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình (1)có nghiệm x [1;2]?
Lại có f t '( ) = 2 2 t + 2 2 ln 2 t 2 t = 2 (1 2 ln 2) 2 t + t 0, t [1;5].Nên hàm số f t ( ) đồng biến trên [1;5].Khi đó :
Phương trình (1) có nghiệm x [1;2] phương trình (2)có nghiệm x [1;2]
Vậy có 9 giá trị nguyên của m
Bài 3.15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
3 2 2 log ( 3 x − 3x + + − 5) ( x 2) ( x + = 1) 3 m + 2 m − 1có nghiệm duy nhất trêm[1;5)?
Chọn C Đặt u = x 3 − 3x 2 + 5 với x [1;5) ta có bảng biến thiên: x 1 2 5 ' 3x 2 6x u = − − 0 + u
1 Xét với x [1;5) ta có biến đổi:
x − + = (do hàm f t ( ) = 2 log 3 t + t đồng biến trên (0; + ))
Từ đó dẫn đến điều kiện của m là 3 1 {0;2;3}.
Bài 3.16: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
Ta có 2 2 log ( 16 4 ) 1 2 1 log ( 2 4 ) 2 log ( 2 4 ) 4
4 4 x − = x + m + m x = x + m + m x = x + m + m Đặt t = log ( 2 x + 4 ) m khi đó phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình
= + cộng chéo ta có phương trình 2 x + = + x 2 t t (*)
Dễ thấy hàm số f x ( ) = 2 x + x đồng biến trên , nên từ (*) tao có
2 g x ( 0 ) Như vậy phương trình (*) có nghiệm phương trình (**) có nghiệm
Mà m nên m {1;2;3; ;253}, tức là có 253 giá trị m
Bài 3.17: Cho phương trình Tìm để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt thuộc
Giải: Đặt Khi đó phương trình trở thành Đặt , ta có (1)
Xét hàm số , từ phương trình (1) suy ra
Có Lập bảng biến thiên của hàm số , suy ra
IV Dạng 4 Phương trình, bất phương trình, chứa a x và log x a Nhận xét : Phép toán luỹ thừa và lấy logarit là hai phép toán ngược nhau nên để đưa phương trình, bất phương trình về chỉ chứa luỹ thừa ta đặt t = log a x
Bài 4.1: (Đề tham khảo 2020) Có bao nhiêu cặp số nguyên( ; ) x y thoả mãn:
Ta có log (3 3 x + + = 3) x 2 y + 9 y log (3 3 x + + = 3) x 2 y + 3 2 y Đặt t = log ( 3 x + + = 1) x 1 3 t , phương trình trở thành t + = 3 t 2 y + 3 2 y (1) Xét hàm số
( ) 3 u h u = + u , h u '( ) = + 1 3 ln 3 u 0, u Hàm số h u ( ) = + u 3 u luôn đồng biến trên nên phương trình suy ra t = 2 y log ( 3 x + = 1) 2 y
0 x 2020 + 1 x 1 2021 log 1 log ( x + 1) log 2021 Suy ra 0 1 log 2021 3 y 2
y nguyên nên y 0,1, 2,3, 4,5 Ứng với mỗi giá trị của y ta được một giá trị của x nên có 6 cặp số nguyên ( ; ) x y thoả mãn yêu cầu bài toán
Bài 4.2: (THPTQG 2018) Cho 5 x + = m log ( 5 x m − ), có bao nhiêu giá trị nguyên của
( 20; 20 ) m − để phương trình đã cho có nghiệm
Giải Đặt t = log ( 5 x m − ) − = x m 5 t Suy ra 5 5 5
Xét hàm số h u ( ) = + u 5 u , Hàm số luôn đồng biến trên nên phương trình suy ra , Xét hàm số
Bảng biến thiên của x + 0 - Để phương trình có nghiệm thì , suy ra
Bài 4.3: Tìm để phương trình: có nghiệm
Xét hàm số , Hàm số luôn đồng biến trên nên phương trình suy ra , Xét hàm số
- 0 + Để phương trình có nghiệm thì
Bài 4.4: Có bao nhiêu số nguyên thoả mãn: và
Xét hàm số , Hàm số luôn đồng biến trên nên phương trình suy ra ,
Suy ra , , nên có 4 giá trị
Bài 4.5: ( Đề sở GD-ĐT Quảng Nam 2019) Cho hai số dương thoả mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Xét hàm số: đồng biến trên Vậy:
Vậy giá trị nhỏ nhất của là
Bài 4.6: Biết điều kiện cần và đủ của tham số để phương trình có nghiệm là với là hai số nguyên dương và
Tính giá trị của biểu thức
Xét hàm số Ta có suy ra hàm số luôn đồng biến trên Đặt , khi đó phương trình trở thành Xét hàm
Vây để có nghiệm thì
Bài 4.7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm?
Xét hàm số suy ra hàm số đồng biến trên
Do đó Xét hàm số Bảng biến thiên x
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
Vây có giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm
Bài 4.8: Có bao cặp số nguyên thoả mãn và
(-2020;2020) m ln( 2 ) 2 e x = x + m + m ln( 2 ) ln( 2 ) 2 ln( 2 ) 2 ln( 2 ) (*) x x x x m e = x + m + m e + = x x + m + + x m e + = x e + + x + m
Xét hàm số suy ra hàm số luôn đồng biến trên Khi đó
Do nguyên nên Với một giá trị của cho ta một giá trị của tương ứng.Do đó có cặp số thoả mãn bài toán
Bài 4.9: Có bao cặp số nguyên thoả mãn và ?
Từ giả thiết ta có:
Xét hàm số do đó hàm số đồng biến trên
Vì suy ra Vây có cặp thoả mãn
Bài 4.10: Có bao số nguyên để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt?
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với phương trình sau:
2 2 log (2x ) log 4x 2 1 log log (2x ) 4x+2 1 log log (4x 2 ) 4x+2 (*) m x x m x x m m x x m m
Xét hàm số nên hàm số đồng biến trên
Yêu cầu của bài toán tương đương với phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
.Vậy có duy nhất số nguyên thoả mãn
Bài 4.11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có đúng hai nghiệm thực phân biệt?
Xét hàm số Suy ra hàm số đồng biến trên Do đó Suy ra
'( ) 2 2 ln 2 0 2 log ( ); lim ( ) ln 2 ln 2 x x x g x x g x
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có đúng hai nghiệm thực phân biệt
Do nguyên và nên Vây có giá trị của thoả mãn
Bài 4.12: Cho phương trình gọi là tổng tất cả các nghiệm của nó Khi đó, giá trị của là?
HD: Đk: khi đó phương trình đã cho tương đương với
Bài 4.13: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của nhỏ hơn để phương trình có nghiệm thực dương?
3 2.log log 0, 06 ln 2 ln 2 3 ln 2 3ln 2 m m
Với mọi ta có Đặt và
Khi đó phương trình trở thành
Với hàm số , tao có là hàm đồng biến trên Do đó
Xét hàm số Tao có
Từ bảng biến thiên ta thấy có nghiệm thực dương khi Kết hợp yêu cầu bài toán ta có
Bài 4.14: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình
Chọn A Điều kiện Phương trình đã cho tương đương với
Xét hàm số nên hàm số đồng biến trên
Nên có không quá nghiệm suy ra có không quá hai nghiệm trên
.Mà Vậy phương trình có hai nghiệm là 0 và 1 Do đó
Bài 4.15: Tổng tất cả các giá trị của tham số để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt là:
Xét hàm số với Ta có
Suy ra hàm số đồng biến trên
Trường hợp 1: chỉ có một nghiệm và có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của (3) (thoả mãn)
Trường hợp 2: chỉ có một nghiệm và có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của (thoả mãn)
Vậy tổng tất cả các giá trị của thoả mãn yêu cầu bài toán là
Bài 4.16: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt thoả mãn
Hàm số đồng biến trên nên
Xét hàm số trên có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
Bài 4.17: Cho phương trình: Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình có đung hai nghiệm
Số phần tử của S là:
Do x 2 + 2x + 3 0 nên điều kiện là x 3 + 3x 2 + 3x − 3 m + 8 0
Xét hàm số ( ) log 3 , 0 '( ) 1 1 0 f t t t t f t ln 3
Phương trình ( ) * có đúng hai nghiệm khi ( )
Vậy có hai giá trị của tham số m
Bài tập tự luyện Câu 1 Cho hàm số y = f x ( )có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 2 ( ) f x + + m 3 3 ( ) f x + m = f x ( )có nghiệm
A 3 B 4 C 5 D 6 Câu 2 Cho hàm số y = f x ( )có bảng biến thiên như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 5 ( ) x + = m 5 5 ( ) 5 f x − m có nghiệm 1;1 x − ? x − − 1 0 1
Câu 3 Tính tích tất cả các giá trị của m để phương trình( x + 1) 3 + − = 3 m 3 3 3 x m + có đúng hai nghiệm thực
Câu 4 Cho hàm số ( ) 2 5 y = f x = 5 x − x Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f f x ( ( ) + m ) = − x m có nghiệm 3 3 ; x − 2 2
Câu 5 Cho phương trình 2 x 3 6 x + 4 (3 m x + 2 m + = 2) 8 x 6 + 20 x 4 + 10 x 2 + 1 Biết a ; b
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình có hai nghiệm dương phân biệt được xác định dựa trên các số nguyên dương a và b, trong đó a và b là phân số tối giản Khi đó, tổng bình phương của a và b, tức là a² + b², giữ vai trò quan trọng trong việc xác định các nghiệm của phương trình Các điều kiện liên quan đảm bảo rằng phương trình có hai nghiệm dương phân biệt phù hợp với các giá trị của m, góp phần làm rõ mối liên hệ giữa các tham số và các nghiệm của hệ thống.
4 2 f x = − m x + x + − m x + x + Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m − ( 10;10 )để hàm số đồng biến trên khoảng( ) 2; 4 ?
Tập S gồm tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m sao cho bất phương trình x⁶ + 3x⁴ − m x³ + 4x² − m x + 2 ≥ 0 đúng với mọi x thuộc khoảng [1,3] Để xác định các giá trị của m, cần phân tích tính khả thi của bất phương trình trong phạm vi đã cho Việc tìm tổng các phần tử thuộc S giúp tổng hợp các giá trị thỏa mãn điều kiện đề bài, từ đó đưa ra lời giải chính xác cho bài toán này.
Câu 8 Cho hàm số f x ( ) = 8 x 3 − 36 x 2 + 55 x − 28 − − m 2 3 3 x − + 5 m với m là tham số Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn − 2020; 2020 soa cho f x ( ) 0, x 3;5 ?
Câu 9 Có bao nhiêu cặp số nguyên( ; ) x y thoả mãn 0 x 3000 và
Câu 10 Cho hàm số f x ( ) = 3 x 7 + − x 3 m Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f f x ( ( )) = x có nghiệm x 1;3 ?
Câu 11 Cho hàm số f x ( ) = e x + x 3 Có bao nhêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( 3 f x ( ) − m 3 ) = x 3 + m 3 có nghiệm x ( 0;10 ) ?
Câu 12 Cho hàm số f x ( ) = e x + x 3 + − x 2 m Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ln( ( ) f x + m = e x − m có nghiệm x ( ) 0;3 ?
Câu 13 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
2.3.3 Tổ chức thực hiện đề tài
+ Giáo viên xây dựng kế hoạch thực hiện
Chương trình học được tổ chức qua một số buổi chữa bài tập và các buổi học chuyên đề nhằm nâng cao kỹ năng cho học viên Ngoài ra, mỗi cá nhân và nhóm nhỏ cũng được giao nhiệm vụ học tập cụ thể để phát huy tính tự chủ và hiệu quả học tập.
Giáo viên xây dựng khung lý thuyết, phương pháp và phương thức thực hiện bài học một cách rõ ràng giúp học sinh hiểu nền tảng của kiến thức Việc đưa ra các ví dụ về cách xây dựng bài toán mới từ bài toán cơ bản giúp học sinh nâng cao khả năng tư duy và sáng tạo Sau đó, hướng dẫn học sinh thảo luận, tìm tòi và phát hiện các vấn đề xung quanh bài toán thúc đẩy khả năng phân tích và phản biện Cuối cùng, học sinh hoàn thành các nhiệm vụ được giao nhằm thực hành và áp dụng kiến thức hiệu quả, góp phần nâng cao kỹ năng giải quyết vấn đề và phát triển tư duy độc lập.
+ Giáo viên thu sản phẩm của học sinh, cho các em báo cáo, nhận xét trong nhóm, nhận xét chéo
+ Giáo viên đánh giá cho các sản phẩm của học sinh Rút ra phương pháp, kinh nghiệm học tập
+ Biểu dương các cá nhân, tập thể tích cực và có sản phẩm tốt
Các bước thực hiện cụ thể Hoạt động 1: Hình thành và chuyển giao nhiệm vụ (Thời lượng 3 tiết) Hình thức thực hiện tại lớp
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Trong quá trình giảng dạy, cần xác định rõ mục tiêu và ý tưởng của đề tài, chú ý quan sát và lắng nghe phản hồi từ học sinh để điều chỉnh phù hợp Đưa ra bài toán gốc cùng với một số ví dụ đã được phát triển để giúp học sinh dễ hiểu và hình thành tư duy logic Cuối cùng, khuyến khích học sinh giải các bài toán mở rộng nhằm nâng cao khả năng sáng tạo và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt.
Phân dạng các bài toán đó Đánh giá và nhận xét
Quan sát thảo luận Thực hiện nhiệm vụ Trình bày báo cáo
Cho học sinh phát triển và giải các bài toán này trên lớp bài toán gốc đã được đưa ra
Thực hiện nhiệm vụ Trình bày báo cáo Nhận xét báo cáo của các bạn
Phân công nhiệm vụ về nhà:
Chia lớp thành 4 nhóm và cử các em Trang, Kiên, Bách, Khánh lần lượt làm nhóm trưởng của các nhóm 1,2,3,4
Giáo nhiệm vụ cho các nhóm:
Nhiệm vụ 1: Hoàn thành lời giải các bài tập được giao
Nhiệm vụ 2: Khai thác và phát triển các bài toán tương tự Phân dạng các bài toán đó
Nhóm 1: Dạng phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa và
Nhóm 2: Dạng phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa và
Nhóm 3: Dạng phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa
Nhóm 4: Dạng phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa a x và log a x
Phân chia các nhóm theo sự phân công của giáo viên
Các thành viên của mỗi nhóm phân công tìm và phát triển các bài toán ở mức độ vận dụng
Các nhóm trưởng mỗi nhóm tổng hợp bài các thành viên tổ mình và của thành viên báo cáo
Hoạt động 2: Cho học sinh thực hiện nhiệm vụ ở nhà ( các sản phẩm cụ thể của các em tạo ra ở phần phụ lục)
Hoạt động 3: Tổ chức cho học sinh báo cáo nhiệm vụ học tập ( Thời lượng
3 tiêt) Hình thức trực tiếp tại lớp
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Tổ chức cho đại diện các nhóm báo cáo
Cho các thành viên trong mỗi nhóm tự nhận xét nhóm của mình( Nội dung, mức đọ hợp tác, khối lượng hoàn thành của các thành viên)
Cho các nhóm nhận xét chéo
Giáo viên tổng hợp đánh giá, nhận xét cho mỗi nhóm
Chú ý, quan sát và thực hiện nhiệm vụ được giao
2.3.4 Kết quả sản phẩm của học sinh
Nhóm 1: Điểm chung của nhóm 8 điểm Nhóm 2: Điểm chung của nhóm 9 điểm Nhóm 3: Điểm chung của nhóm 9 điểm
Nhóm 4: Điểm chung của nhóm 10 điểm Điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1 Đánh giá phẩm chất năng lực
Số lượng học sinh được khảo sát: 44 học sinh lớp 12C1
Tôi đã học được kiến thức gì?
Hiểu biết về nội dung kiến thức có liên quan đến dự án: 44 HS
2 Tôi đã phát triển được những kĩ năng gì?
Làm việc và học tập theo nhóm: 44 HS Làm việc tư duy độc lập, hoạt động cá nhân: 40
HS Thuyết trình: 4 HS Học các lắng nghe, tôn trọng ý kiến người khác: 6
HS Giao tiếp tốt: 8 HS Bình tĩnh giải quyết vấn đề: 10 HS Tìm kiếm chọn lọc dữ liệu, xử lí thông tin: 30 Hs
3 Tôi đã xây dựng được thái độ tích cực nào?
Vui vẻ, hoà đồng, hăng say tích cực làm việc: 40
HS Cẩn thận: 42 HS Kiên nhẫn: 25 HS Làm việc nghiêm túc: 39 HS Đoàn kết: 44 HS
Tôn trọng ý kiến người khác: 30 HS Biết bảo vệ ý kiến cá nhân: 14 HS
Tự tin: 20 HS Tích cực học hỏi: 37 HS Tinh thần đóng góp, phối hợp: 40 HS
Tự giác hoàn thành công việc: 36 HS Chia sẻ ý kiến và thảo luận: 35 HS
Tôi có hài lòng với kết quả nghiên cứu của dự án không? Vì sao?
Hài lòng, vì các em làm việc cố gắng và hết mình:
Hài lòng, vì cả nhóm đoàn kết làm việc: 38 HS Hài lòng, do kết quả sản phẩm dự án tốt, tăng vốn kiến thức: 12 HS
Tương đối hài lòng vì vẫn còn một số sai sót không như ý: 17 HS
5 Thu thập và chọn lọc thông tin khó khăn: 20 HS
Tôi đã gặp những khó khăn nào khi thức hiện dự án?
Phân công làm việc: 8 HS nhận nhiệm vụ chính là nhóm trưởng và thư kí
Tôi đã giải quyết những khó khăn khi thực hiện dự án?
Giải quyết vấn đề: Cả nhóm Tìm trên mạng: 30 HS
Hỏi phụ huynh: 3 HS Hỏi giáo viên: 25 HS
Quan hệ của tôi với các thành viên trong nhóm như thế nào?
Bình thường: 4 HS Tốt: 25 HS
Khá tốt: 8 HS Rất tốt: 10 HS Hoà đồng, thân thiện: cả lớp
Nhìn chung tôi thích dự án này vì …
Thích, vì hay và thiết thực, gắn liền với thực tiễn:
Thích, vì phát hiện được khả năng của mình/ thể hiện khả năng: 12 HS
Thích, vì có cơ hội học thêm kiến thức và kĩ năng làm việc nhóm: 13 HS
THích, vì được trải nghiệm khả năng làm việc thực sự: 30 HS
Thích, vì cá nhân yêu thích môn học: 35 HS Thích, vì được rèn luện khả năng tìm hiểu, sáng tạo: 15 HS
Thích, vì là cách học mới và thụ vị: 33 HS
9 Mức độ hứng thú của tôi với phương pháp dạy học theo dự án: (5 cấp độ)
2.4.2 Sản phẩm thực tiễn của học sinh (Ở phần phụ lục) 2.4.3 Khả năng ứng dụng và triển khai sáng kiến kinh nghiệm
Thống kế trên cho thấy việc định hướng cho các em phát triển bài toán mới dựa vào bài toán gốc thu được kết quả:
- Các nhóm và các em hoàn thành khá tốt nhiệm vụ, các em hứng thú, tham gia tích cực, chủ động sáng tạo trong công việc
Phương pháp định hướng phát triển bài toán hàm đặc trưng cho kết quả trung bình tương đối tốt, cho thấy khả năng cao để ứng dụng hiệu quả trong thực tế dạy học Đây là một phương pháp có tiềm năng lớn trong việc nâng cao kết quả học tập, góp phần tối ưu hóa quá trình giảng dạy và nâng cao hiệu quả giáo dục.
- Học sinh phát huy sao tính chủ động, sáng tạo cũng như giao tiếp và hợp tác trong việc giải quyết các vấn đề liên quan
Học sinh chủ động thu thập tài liệu, tích luỹ kiến thức và hợp tác trong các hoạt động nhóm để tạo ra sản phẩm sáng tạo, giúp ghi nhớ kiến thức hiệu quả Phương pháp này còn phát triển kỹ năng cộng tác, tư duy sáng tạo và khả năng vận dụng kỹ thuật số trong tìm kiếm, khai thác thông tin liên quan Từ đó, học sinh nâng cao năng lực tiếp cận thông tin, thúc đẩy phát triển toàn diện kỹ năng học tập và công nghệ số.
Tôi khẳng định đề tài này có khả năng ứng dụng và triển khai trong thực tế dạy học, không chỉ với chủ đề hàm đặc trưng mà còn phù hợp áp dụng cho nhiều chủ đề khác trong Toán học.
Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất
2.5.1 Mục đích của khảo sát
Khảo sát nhằm khẳng định tính cần thiết và khả thi của các giải pháp giúp phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua các dạng bài tập về hàm đặc trưng Các giải pháp này hướng tới hoàn thiện phương pháp dạy học phù hợp với thực tiễn, định hướng cho học sinh kỹ năng và phương pháp giải nhanh các dạng bài tập hàm đặc trưng Việc hệ thống hóa các dạng bài tập phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm giúp học sinh tự tin hơn trong quá trình tìm tòi và phát triển khả năng sáng tạo khi giải các bài toán về hàm đặc trưng, góp phần nâng cao năng lực học tập và tư duy sáng tạo.
Nhóm tác giả đã khảo sát ý kiến của 39 giáo viên Toán tại các trường THPT trên địa bàn Huyện Tân Kỳ Đối tượng khảo sát được chia thành 3 nhóm cụ thể, giúp đánh giá toàn diện về phương pháp dạy và học môn Toán trong các trường trung học phổ thông Nghiên cứu này mang lại những thông tin quý giá nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán tại địa phương.
Các nhóm đối tượng được khảo nghiệm
TT Đối tượng được khảo sát Số lượng
1 Giáo viên môn Toán trường THPT Tân Kỳ 17
2 Giáo viên môn Toán trường THPT Tân Kỳ 3 10
3 Giáo viên môn Toán trường THPT Lê Lợi 12
2.5.3 Nội dung và phương pháp khảo sát Để tiến hành khảo sát sự cần thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất, nhóm tác giả xây dựng phiếu trưng cầu ý kiến dạng bảng hỏi theo hai tiêu chí: Tính
Đánh giá tính cần thiết và khả thi của các giải pháp nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua các dạng bài tập về hàm đặc trưng là bước quan trọng Việc thực hiện phân tích các tiêu chí theo 4 mức độ từ cao đến thấp và sử dụng hệ thống điểm số để lượng hóa giúp đo lường chính xác hiệu quả của từng giải pháp Đây là phương pháp hiệu quả để nâng cao kỹ năng tư duy phản biện và sáng tạo cho học sinh trong quá trình học tập.
+ Tính cấp thiết: Rất cấp thiết (4 điểm); Cấp thiết (3 điểm); Ít cấp thiết (2 điểm); Không cấp thiết (1 điểm)
+ Tính khả thi: Rất khả thi (4 điểm); Khả thi (3 điểm); Ít khả thi (2điểm); Không khả thi (1 điểm)
Lưu ý: Điểm trung bình ( ) của bảng thông tin:
Dưới đây là các mức độ ưu tiên dựa trên điểm số: từ 1.00 đến 1.75 là không cấp thiết, 1.76 đến 2.51 là ít cấp thiết, 2.52 đến 3.27 là cấp thiết, và 3.28 đến 4.00 là rất cấp thiết Sau khi nhận kết quả, chúng tôi tiến hành phân tích và xử lý số liệu trên bảng thống kê bằng cách tính tổng điểm và điểm trung bình của các biện pháp đã khảo sát Tiếp đó, các biện pháp được xếp theo thứ tự bậc để nhận xét, đánh giá và rút ra các kết luận phù hợp.
Chúng tôi tiến hành khảo sát bằng Google form với link : https://forms.gle/6cWAYWBcFPFtRCsu7
Sau khi nhận kết quả, chúng tôi tiến hành phân tích và xử lý số liệu trên phần mềm Excel để tính tổng điểm (∑) và điểm trung bình của các biện pháp đã khảo sát Dữ liệu sau đó được xếp theo thứ tự bậc nhằm đánh giá và nhận xét một cách chính xác Qua quá trình này, chúng tôi đã đưa ra các kết luận dựa trên phân tích số liệu khách quan và có hệ thống.
Thời gian tiến hành khảo sát: Tháng 04/2023
2.5.4 Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất
2.5.4.1 Sự cấp thiết của các giải pháp đề xuất Đánh giá về sự cấp thiết của các giải pháp:
Kết quả khảo sát cho thấy tính cấp thiết của việc triển khai các biện pháp nâng cao năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua các dạng bài tập về hàm đặc trưng Các biện pháp này đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy logic, khả năng sáng tạo và kỹ năng phân tích của học sinh Việc áp dụng các dạng bài tập phù hợp giúp học sinh hiểu rõ hơn về đặc trưng của hàm, từ đó nâng cao hiệu quả học tập và tích lũy kiến thức thực tiễn Kết quả khảo sát đều phản ánh sự cần thiết phải tích cực đổi mới phương pháp dạy học nhằm phát huy tối đa năng lực học sinh trong lĩnh vực này.
Bảng 1 trình bày kết quả khảo sát về tính cấp thiết của các biện pháp nhằm hình thành năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua các dạng bài tập về hàm đặc trưng Kết quả này cho thấy việc áp dụng các biện pháp này có vai trò quan trọng trong việc nâng cao khả năng tư duy và sáng tạo của học sinh, góp phần phát triển toàn diện năng lực học tập Các bài tập về hàm đặc trưng không chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về kiến thức toán học mà còn thúc đẩy khả năng phân tích và giải quyết các vấn đề phức tạp Việc khảo sát nhấn mạnh sự cần thiết của việc tích hợp các phương pháp giảng dạy sáng tạo để nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh, phù hợp với xu hướng giáo dục hiện đại.
Cấp thiết Ít cấp thiết
SL Điểm SL Điểm SL Điểm SL Điểm
1 Định hướng cho học sinh phương pháp, kỹ năng giải nhanh một số dạng bài tập về hàm đặc trưng
2 Hệ thống lại các dạng bài tập thường gặp về hàm đặc trưng phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm
Trong bài viết này, chúng tôi đề xuất một số cách khai thác các dạng bài tập về hàm đặc trưng nhằm đổi mới phương pháp dạy học, góp phần nâng cao năng lực giải quyết vấn đề và khả năng sáng tạo của học sinh Việc sử dụng đa dạng các dạng bài tập hàm đặc trưng giúp học sinh hình thành tư duy logic, phát triển kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn Áp dụng các phương pháp giảng dạy đổi mới với các dạng bài tập về hàm đặc trưng không chỉ kích thích sự tích cực học tập của học sinh mà còn thúc đẩy khả năng tư duy sáng tạo, giúp các em tiếp cận kiến thức một cách linh hoạt và hiệu quả.
Kết quả khảo sát cho thấy, các nhóm đối tượng đánh giá cao tính cấp thiết của các biện pháp nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh qua các dạng bài tập về hàm đặc trưng, với điểm trung bình chung 3,68 Trong đó, biện pháp "Định hướng cho học sinh phương pháp, kỹ năng giải nhanh một số dạng bài tập về hàm đặc trưng" được xếp hạng cao nhất với 3,72 điểm, thể hiện mức độ cấp thiết rất cao Biện pháp "Hệ thống lại các dạng bài tập về hàm đặc trưng phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm" đạt 3,67 điểm, cũng được xem là cấp thiết Ngoài ra, biện pháp "Đề xuất các cách khai thác dạng bài tập về hàm đặc trưng nhằm đổi mới phương pháp dạy học và hình thành năng lực sáng tạo cho học sinh" có mức điểm 3,64, đều cho thấy tính cấp thiết của các biện pháp này trong nâng cao chất lượng giáo dục về hàm đặc trưng. -Nâng cao năng lực giải vấn đề và sáng tạo với bộ bài tập hàm đặc trưng chuẩn thi trắc nghiệm, giúp học sinh thành công dễ dàng! [Tìm hiểu ngay](https://pollinations.ai/redirect/draftalpha)
Kết quả cho thấy mức độ cấp thiết của các biện pháp đề xuất tương đối đồng đều, với chênh lệch giữa điểm trung bình cao nhất và thấp nhất là 0,08, thể hiện sự thống nhất trong đánh giá Dữ liệu này có thể dễ dàng minh họa qua Biểu đồ 1 để dễ hiểu và trực quan hơn.
Biểu đồ 1 thể hiện mức độ cần thiết của các giải pháp nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua các dạng bài tập về hàm đặc trưng Các giải pháp này đóng vai trò quan trọng trong việc nâng cao khả năng tư duy logic, phân tích và sáng tạo của học sinh khi làm các bài tập liên quan đến hàm đặc trưng Việc lựa chọn các dạng bài phù hợp giúp hình thành và phát triển năng lực giải quyết các bài toán hàm, góp phần vào quá trình học tập hiệu quả và toàn diện Đây là minh chứng rõ ràng cho tầm quan trọng của các giải pháp trong việc thúc đẩy kỹ năng tư duy sáng tạo của học sinh qua các hoạt động học tập về hàm đặc trưng.
Biểu đồ 1 thể hiện thứ tự ưu tiên các biện pháp từ cao đến thấp là biện pháp 1, 2 và 3 dựa trên mức độ cần thiết Mặc dù điểm của biện pháp 2 và 3 thấp hơn mức trung bình chung, nhưng chúng vẫn được xem là những giải pháp cấp thiết.
2.5.4.2 Tính khả thi của các biện pháp đề xuất Đánh giá về tính khả thi của các giải pháp:
Kết quả khảo sát cho thấy các biện pháp góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua các dạng bài tập về hàm đặc trưng có tính khả thi cao Bảng 2 trình bày rõ các dạng bài tập đã được sử dụng để đánh giá hiệu quả của các biện pháp này Các kết quả này khẳng định rằng việc tích hợp các dạng bài tập liên quan đến hàm đặc trưng là một phương pháp hiệu quả giúp nâng cao khả năng tư duy sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề của học sinh.
Bảng 2 trình bày kết quả khảo sát về tính khả thi của các biện pháp nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh Các biện pháp này được đánh giá dựa trên việc áp dụng các dạng bài tập về hàm đặc trưng, góp phần nâng cao kỹ năng tư duy logic và khả năng sáng tạo của học sinh Kết quả cho thấy, việc sử dụng các dạng bài tập phù hợp có tác động tích cực trong việc hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề Đồng thời, nghiên cứu cũng nhấn mạnh vai trò của các biện pháp tích cực trong việc thúc đẩy tư duy sáng tạo qua việc vận dụng hàm đặc trưng trong các dạng bài tập đa dạng Kết quả khảo sát này là cơ sở quan trọng để đề xuất các hướng đi phù hợp nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy trong lĩnh vực toán học, đặc biệt là phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh.
Khả thi Ít khả thi Không khả thi
SL Điểm SL Điểm SL Điểm SL Điểm
1 Định hướng cho học sinh phương pháp, kỹ năng giải nhanh một số dạng bài tập về hàm đặc trưng
2 Hệ thống lại các dạng bài tập thường gặp về hàm đặc trưng phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm