chuẩn đoán vết nứt của dầm đàn hồi bằng phương pháp đo dao động – trần thanh hải

Là luận án tiến sỹ của tác giả Trần Thanh Hải về nghiên cứu chuẩn đoán vết nứt của dầm đàn hồi bằng phương pháp đo dao động

VIỆN CƠ HỌC -o0o -

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN CƠ HỌC -o0o -

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 GS.TSKH Nguyễn Tiến Khiêm

2 PGS.TS Nguyễn Việt Cường

HÀ NỘI, 2012

LỜI CÁM ƠN

Tôi xin chân thành cám ơn các thầy hướng dẫn khoa học đặc biệt là người thầy hướng dẫn chính GS.TSKH Nguyễn Tiến Khiêm đã tận tâm hướng dẫn khoa học, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận án này

học – Viện Cơ học và sự ủng hộ của bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình làm luận án

Cuối cùng tôi xin chân thành cám ơn đến gia đình đã động viên ủng hộ tôi trong thời gian làm luận án

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu,

kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất

kỳ công trình nào khác

Trần Thanh Hải

MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN iii

LỜI CAM ĐOAN iv

MỤC LỤC v

DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT vii

DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ ix

DANH MỤC BẢNG VÀ SƠ ĐỒ KHỐI xiii

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 5

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 11

2.1 Phương pháp điều chỉnh Tikhonov 11

2.1.1 Sơ lược về bài toán ngược 11

2.1.2 Phương pháp điều chỉnh Tikhonov 14

2.2 Biến đổi wavelet 18

2.2.1 Định nghĩa biến đổi wavelet 19

2.2.2 Một số ứng dụng của wavelet 22

2.3 Mô hình dầm có nhiều vết nứt 24

2.3.1 Mô hình vết nứt 24

2.3.2 Mô hình liên tục của dầm có vết nứt 27

2.3.3 Mô hình phần tử hữu hạn của dầm có vết nứt 28

Kết luận chương 2 30

CHƯƠNG 3 32

CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT BẰNG TẦN SỐ VÀ DẠNG RIÊNG 32

3.1 Biểu thức hiện của tần số và dạng riêng cho dầm có nhiều vết nứt 32

3.1.1 Công thức Rayleigh cho dầm có nhiều vết nứt 32

3.1.2 Biểu thức hiện của dạng riêng 39

3.2 Kết quả số phân tích dao động riêng 44

3.2.1 Tính tần số 44

3.2.2 Tính dạng riêng 46

3.3 Chẩn đoán đa vết nứt trong dầm bằng tần số và dạng riêng 56

3.3.1 Bài toán và lời giải 56

3.3.2 Thuật toán nhận dạng vết nứt 57

3.3.3 Kết quả số 58

Kết luận chương 3 63

CHƯƠNG 4 CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT BẰNG WAVELET 64

4.1 Dao động của dầm có vết nứt chịu tải trọng di động 64

4.1.1 Mô hình ¼ xe 64

4.1.2 Mô hình ½ xe 68

4.2 Kết quả số tính đáp ứng của xe di động trên dầm 70

4.3 Biến đổi wavelet đáp ứng của thân xe di động trên dầm có nhiều vết nứt 71

4.4 Kết quả chẩn đoán vết nứt bằng wavelet 72

Kết luận chương 4 76

KẾT LUẬN CHUNG 77

DANH SÁCH CÔNG TRÌNH ĐÃ ĐƯỢC CÔNG BỐ 78

TÀI LIỆU THAM KHẢO 79

PHỤ LỤC 86

DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

E mô đun đàn hồi (N/m2)

ρ mật độ khối (kg/m3)

ν hệ số Poisson

F diện tích mặt cắt ngang (m2)

a chiều cao vết nứt (m)

b, h tương ứng chiều rộng, chiều cao hình chữ nhật (m)

I mô men quán tính hình học mặt cắt ngang (m4)

E0xI0x độ cứng chống uốn của dầm không bị nứt

M, K và C lần lượt là ma trận khối lượng, độ cứng và cản tổng thể của

dầm theo công thức phần tử hữu hạn (n×n)

m1, m2 lần lượt là khối lượng thân xe và lốp xe (kg) (mô hình ¼ xe) k1, c1 lần lượt là độ cứng (N/m) và cản nhớt (Nm/s) của nhíp xe (mô

d1 chuyển vị quay của khối lượng m0 (mô hình ½ xe)

d2, d3, d4 lần lượt là chuyển dịch của khối lượng m0, m1 và m2 tương ứng

theo chiều thẳng đứng (mô hình ½ xe) m0 khối lượng thân xe (mô hình ½ xe)

I0 mô men quán tính khối lượng (mô hình ½ xe)

k1, c1 hệ giảm chấn bằng hệ lò xo và cản - nhíp trước (mô hình ½ xe)

k2, c2 hệ giảm chấn bằng hệ lò xo và cản - nhíp sau (mô hình ½ xe)

m1, k3, c3 lốp xe phía sau - hệ khối lượng, lò xo và cản (mô hình ½ xe)

m2, k4, c4 lốp xe phía trước - hệ khối lượng, lò xo và cản (mô hình ½ xe)

v vận tốc của xe (m/s)

w1, w2 độ dịch chuyển theo chiều thẳng đứng của lốp xe tại điểm tiếp

xúc với dầm tương ứng với bánh sau và trước (mô hình ½ xe)

α, β hệ số cản Rayleigh

EI độ cứng chống uốn

PTHH phương pháp phần tử hữu hạn

r

C hằng số chuẩn hóa được chọn cho từng dạng riêng

Φ01, Φ02, Φ03 lần lượt là dạng riêng thứ 1, 2, 3 của dầm không có vết nứt Φ1, Φ2, Φ3 lần lượt là dạng riêng thứ 1, 2, 3 của dầm có vết nứt

E p mức nhiễu

σ độ lệch chuẩn

) , ,

DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 2.1 Scale và tần số (frequency) 20

Hình 2.2 Sự xê dịch (shifting) của một wavelet 20

Hình 2.3 Một số họ wavelet 21

Hình 2.4 Giao diện đồ họa của wavemenu của toolbox có sẵn trong Matlab 22

Hình 2.5 Ba kiểu vết nứt cơ bản 24

Hình 2.6 Mô hình vết nứt a) dạng mô hình vết nứt cưa, b) dạng mô hình vết nứt chữ V, c) dạng mô hình vết nứt bằng lò xo xoắn 25

Hình 2.7 Mô hình dầm có vết nứt 28

Hình 2.8 Mô hình một phần tử 29

Hình 3.1 Mô hình dầm có nhiều vết nứt 39

Hình 3.2 Tỉ số giữa tần số dao động riêng thứ nhất có vết nứt và không vết nứt của dầm hai đầu gối tựa giản đơn có một vết nứt đặt giữa dầm, với tỉ số độ sâu vết nứt (a/h) và mô hình độ mềm khác nhau 45

Hình 3.3 Sự thay đổi dạng riêng thứ nhất của dầm công-xôn có một vết nứt lần lượt tại các vị trí 0,1; 0,2;…0,9 có độ sâu khác nhau (từ 10 - 50%) 46

Hình 3.4 Sự thay đổi dạng riêng thứ hai của dầm công-xôn có một vết nứt lần lượt tại các vị trí 0,1; 0,2; …0,9 có độ sâu khác nhau (từ 10 - 50%) 47

Hình 3.5 Sự thay đổi dạng riêng thứ ba của dầm công-xôn có một vết nứt lần lượt tại các vị trí 0,1; 0,2; …0,9 có độ sâu khác nhau (từ 10 - 50%) 48

Hình 3.6 Sự thay đổi dạng riêng thứ nhất của dầm hai đầu gối tựa giản đơn có một vết nứt lần lượt tại các vị trí 0,1; 0,2; …0,9 có độ sâu khác nhau (từ 10 - 50%) 48

Hình 3.7 Sự thay đổi dạng riêng thứ hai của dầm hai đầu gối tựa giản đơn có một vết nứt lần lượt tại các vị trí 0,1; 0,2; …0,9 có độ sâu khác nhau (từ 10 - 50%) 49

Hình 3.8 Sự thay đổi dạng riêng thứ ba của dầm hai đầu gối tựa giản đơn có một vết nứt lần lượt tại các vị trí 0,1; 0,2; …0,9 có độ sâu khác nhau (từ 10 - 50%) 49

Hình 3.9 Sự thay đổi dạng riêng thứ nhất của dầm ngàm hai đầu có một vết 50

nứt lần lượt tại các vị trí 0,1; 0,2; …0,9 có độ sâu khác nhau (từ 10 - 50%) 50Hình 3.10 Sự thay đổi dạng riêng thứ hai của dầm ngàm hai đầu có một vết nứt lần lượt tại các vị trí 0,1; 0,2; …0,9 có độ sâu khác nhau (từ 10 - 50%) 51Hình 3.11 Sự thay đổi dạng riêng thứ ba của dầm ngàm hai đầu có một vết nứt lần lượt tại các vị trí 0,1; 0,2; …0,9 có độ sâu khác nhau (từ 10 - 50%) 51Hình 3.12 Sự thay đổi ba dạng riêng đầu tiên của dầm công-xôn có đồng thời 9 vết nứt tại các vị trí 0,1; 0,2;…0,9 cùng độ sâu a/h = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5 51Hình 3.13 Sự thay đổi ba dạng riêng đầu tiên của dầm ngàm hai đầu có đồng thời 9 vết nứt tại các vị trí 0,1; 0,2;…0,9 cùng độ sâu a/h = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5 52Hình 3.14 Sự thay đổi ba dạng riêng đầu tiên của dầm tựa đơn hai đầu có đồng thời 9 vết nứt tại các vị trí 0,1; 0,2;…0,9 cùng độ sâu a/h = 0,1; 0,2; ; 0,5 52Hình 3.15 Ảnh hưởng của số lượng vết nứt lần lượt là 1, 2,…, 9 52tại các vị trí lần lượt từ 0,1; 0,2; ; 0,9 có cùng độ sâu a/h = 0,5 lên độ lệch dạng riêng thứ nhất của dầm công-xôn 52Hình 3.16 Ảnh hưởng của số lượng vết nứt lần lượt là 1, 2,…, 9 52tại các vị trí lần lượt từ 0,1; 0,2; ; 0,9 có cùng độ sâu a/h = 0,5 lên độ lệch dạng riêng thứ hai của dầm công-xôn 52Hình 3.17 Ảnh hưởng của số lượng vết nứt lần lượt là 1, 2,…, 9 53tại các vị trí lần lượt từ 0,1; 0,2; ; 0,9 có cùng độ sâu a/h = 0,5 lên độ lệch dạng riêng thứ ba của dầm công-xôn 53Hình 3.18 Ảnh hưởng của số lượng vết nứt lần lượt là 1, 2,…, 9 53tại các vị trí lần lượt từ 0,1; 0,2; ; 0,9 có cùng độ sâu a/h = 0,5 lên độ lệch dạng riêng thứ nhất của dầm tựa đơn hai đầu 53Hình 3.19 Ảnh hưởng của số lượng vết nứt lần lượt là 1, 2,…, 9 53tại các vị trí lần lượt từ 0,1; 0,2; ; 0,9 có cùng độ sâu a/h = 0,5 lên độ lệch dạng riêng thứ hai của dầm tựa đơn hai đầu 53Hình 3.20 Ảnh hưởng của số lượng vết nứt lần lượt là 1, 2,…, 9 54tại các vị trí lần lượt từ 0,1; 0,2; ; 0,9 có cùng độ sâu a/h = 0,5 lên độ lệch dạng riêng thứ ba của dầm tựa đơn hai đầu 54

Hình 3.21 Ảnh hưởng của số lượng vết nứt lần lượt là 1, 2,…, 9 54

tại các vị trí lần lượt từ 0,1; 0,2; ; 0,9 có cùng độ sâu a/h = 0,5 lên độ lệch dạng riêng thứ nhất của dầm ngàm hai đầu 54

Hình 3.22 Ảnh hưởng của số lượng vết nứt lần lượt là 1, 2,…, 9 54

tại các vị trí lần lượt từ 0,1; 0,2; ; 0,9 có cùng độ sâu a/h = 0,5 lên độ lệch dạng riêng thứ hai của dầm ngàm hai đầu 54

Hình 3.23 Ảnh hưởng của số lượng vết nứt lần lượt là 1, 2,…, 9 55

tại các vị trí lần lượt từ 0,1; 0,2; ; 0,9 có cùng độ sâu a/h = 0,5 lên độ lệch dạng riêng thứ ba của dầm ngàm hai đầu 55

Hình 3.24 Dò tìm thấy vết nứt trong trường hợp nhiễu 3%, độ sâu vết nứt a/h = 0,5; với số lượng điểm đo khác nhau: 10, 20, 30, 40, 50, 60 60

Hình 3.25 Dò tìm thấy vị trí vết nứt đối với độ sâu vết nứt 50%, số điểm đo 40, ở các mức nhiễu khác nhau: 0%, 1%, 2%, 5%, 7%, 10% 61

Hình 3.26 Dò tìm thấy vị trí vết nứt đối với mức nhiễu 2%, 40 điểm đo, với các độ sâu vết nứt khác nhau: 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60% 61

Hình 4.1 Mô hình ¼ xe di động trên dầm hai đầu gối tựa giản đơn 64

Hình 4.2 Phần tử dầm Euler – Bernoulli hai nút và bậc tự do địa phương 65

Hình 4.3 Độ lớn của lực tương tác giữa xe và dầm 65

Hình 4.4 Lực nút phần tử dầm tương ứng với lực tập trung ở giữa các nút 66

Hình 4.5 Mô hình ½ xe di động trên dầm hai đầu gối tựa giản đơn 68

Hình 4.6 Đáp ứng động lực học của thân xe di động trên dầm có hai vết nứt với cùng tỉ số độ sâu a/h=0,5 không nứt, nứt với các vận tốc khác nhau 70

Hình 4.7 Đáp ứng động lực học của thân xe di động trên dầm có hai vết nứt với tỉ số độ sâu vết nứt và vận tốc khác nhau 70

Hình 4.8 Đáp ứng động lực học của thân xe di động trên dầm với cùng tỉ số độ sâu vết nứt và vận tốc khác nhau Không có vết nứt , có vết nứt 71

Hình 4.9 Biến đổi wavelet của y(t) với a/h = 0 và vận tốc v =1 m/s 72

Hình 4.10 Biến đổi wavelet của y(t) với a/h = 0,1 và vận tốc v = 1 m/s 72

Hình 4.11 Biến đổi wavelet của y(t) với a/h = 0,3 và vận tốc v = 1 m/s 73

Hình 4.12 Biến đổi wavelet của y(t) với a/h = 0,5 và vận tốc v = 1 m/s 73

Hình 4.13 Ảnh hưởng của mức nhiễu lên biến đổi wavelet của đáp ứng xe y(t) với a/h=0,5 và vận tốc v = 0,5 m/s mức nhiễu Ep= 0%, mức nhiễu Ep= 5%

73

Hình 4.14 Biến đổi wavelet d 2(t) với a/h = 0,0; vận tốc v = 2m/s 73

Hình 4.15 Biến đổi wavelet d 2(t) với a/h = 0,1; vận tốc v = 2m/s 74

Hình 4.16 Biến đổi wavelet d 2(t) với a/h = 0,3; vận tốc v = 2m/s 74

Hình 4.17 Biến đổi wavelet d 2(t) với a/h = 0,5; vận tốc v = 2m/s 74

Hình 4.18 Biến đổi wavelet d 2(t) với a/h = 0,5; vận tốc v = 30m/s 74

Hình 4.19 Biến đổi wavelet đáp ứng động lực học của thân xe, vận tốc v=2m/s mức nhiễu 0%, mức nhiễu 6% 74

DANH MỤC BẢNG VÀ SƠ ĐỒ KHỐI

Bảng 3.1 Hàm dạng cho các điều kiện biên khác nhau 41Bảng 3.2 Giá trị của các tham số trong một số điều kiện biên lý tưởng 42Bảng 3.3 So sánh ba tỉ số tần số dao động riêng với kết quả thí nghiệm 44Bảng 3.4 So sánh kết quả tính toán tần số dao động riêng thứ nhất theo độ sâu vết nứt của dầm hai đầu gối tựa giản đơn đặt tại vị trí giữa dầm 45Bảng 3.5 So sánh kết quả tính toán tần số dao động riêng của dầm hai đầu gối tựa giản đơn không có vết nứt và hai vết nứt tại vị trí và tỉ số độ sâu tương ứng

là (0,25; 0,07971), (0,45; 0,0986) với Patil và Maiti [45] 45Bảng 3.6 Kết quả chẩn đoán Hình 3.24 (sai số đo đạc 3%) 59Bảng 3.7 Kết quả chẩn đoán Hình 3.25 (số lượng điểm đo 40 điểm ở các mức nhiễu khác nhau) 60Bảng 3.8 Kết quả chẩn đoán Hình 3.26 (40 điểm đo với sai số đo đạc 2%) 62

MỞ ĐẦU

Trên thế giới đã xảy ra rất nhiều tai nạn khủng khiếp đối với các công trình

do sự xuất hiện các vết nứt ở các phần tử chịu lực chính Chính vì vậy, việc phát hiện kịp thời các vết nứt trong kết cấu là giải pháp hữu hiệu nhất để tránh các tai nạn có thể xảy ra Do đó, thời gian gần đây trên các tạp chí về kỹ thuật công trình, dao động, cơ học phá hủy, công bố nhiều công trình nghiên cứu về kết cấu

có vết nứt

Nội dung chính của việc nghiên cứu kết cấu có vết nứt bao gồm hai bài toán: Bài toán phân tích dao động hay còn gọi là bài toán thuận, nhằm nghiên cứu ứng xử của kết cấu khi xuất hiện (đã biết) vết nứt; Bài toán chẩn đoán, thực chất là một bài toán ngược, nhằm mục đích phát hiện vết nứt (vị trí, kích thước

và số lượng vết nứt) trong kết cấu dựa trên các số liệu đo đạc về ứng xử của nó Nội dung của Bài toán thuận là khảo sát sự ảnh hưởng của các vết nứt lên ứng xử của công trình Chính vì vậy, vấn đề đầu tiên của bài toán phân tích là xây dựng mô hình vết nứt trong kết cấu và mô hình kết cấu có vết nứt Sau đó là tính toán phân tích kết cấu có vết nứt dựa trên mô hình đã xây dựng sử dụng các phương pháp đã biết như: phương pháp giải tích kết hợp với phương pháp mô phỏng số Cụ thể là các phương pháp Fourier, Bubnov-Galerkin; phương pháp biến đổi tích phân; phương pháp PTHH và phương pháp tích phân trực tiếp Newmark

Trong việc tính toán phân tích kết cấu có vết nứt, có hai vấn đề quan trọng

là nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt đến đặc trưng dao động như tần số riêng, dạng dao động riêng của kết cấu (dao động riêng) và đáp ứng động lực học của kết cấu có vết nứt dưới tác động của tải trọng (dao động cưỡng bức) Tất cả những nghiên cứu Bài toán thuận nêu trên là cơ sở quan trọng trong việc giải Bài toán chẩn đoán vết nứt

Nội dung của Bài toán chẩn đoán vết nứt chính là việc xác định vị trí, kích thước và số lượng của vết nứt dựa trên các số liệu đo đạc về ứng xử của kết cấu Chẩn đoán vết nứt có thể tiến hành bằng hai cách Một là xử lý trực tiếp các số liệu thu thập được trong việc khảo sát, đo đạc trên kết cấu thực (bao gồm cả những hình ảnh thu thập được) để phát hiện những thay đổi bất thường trong kết

cấu dạng vết nứt dựa trên các hiểu biết về ảnh hưởng của các vết nứt lên ứng xử của kết cấu (kết quả bài toán thuận) Cách tiếp cận này gọi là phương pháp trực tiếp hay chẩn đoán theo triệu chứng đã và đang được phát triển theo hướng kết hợp chặt chẽ với công cụ kiểm tra không phá huỷ Cách tiếp cận thứ hai dựa trên

mô hình kết cấu có vết nứt giả định và số liệu đo đạc được về ứng xử của kết cấu Kết quả cho ta một mô hình kết cấu có vết nứt cụ thể tương ứng với số liệu

đo đạc thực tế Cách tiếp cận sau gọi là phương pháp mô hình hay phương pháp nhận dạng hệ thống đang được nghiên cứu hiện nay Ưu thế của phương pháp

mô hình là tận dụng được các công cụ toán học hiện đại, đặc biệt là công nghệ phần mềm để phát hiện không chỉ vị trí vết nứt mà còn dự báo cả kích thước của vết nứt

Trong việc giải bài toán chẩn đoán vết nứt bằng phương pháp mô hình, người ta có thể sử dụng các thông tin khác nhau về ứng xử của kết cấu làm đầu vào cho bài toán Thông tin này bao gồm hai loại chính: các đặc trưng dao động của kết cấu như các tần số và dạng dao động riêng hoặc đáp ứng của kết cấu chịu tải trọng Các đặc trưng dao động của kết cấu gắn liền với các tính chất cơ học của nó như khối lượng; độ cứng; kích thước hình học và các liên kết Vì vậy, sử dụng các đặc trưng dao động để chẩn đoán vết nứt có ưu điểm là không phụ thuộc vào tác động bên ngoài, nhưng lại có nhược điểm là mắc sai số trong việc xác định chúng từ số liệu đo Có hai dạng đáp ứng chính có thể sử dụng làm đầu vào cho bài toán chẩn đoán vết nứt: đáp ứng tĩnh và đáp ứng động Do đáp ứng động chứa nhiều thông tin hơn, nên người ta hay sử dụng đáp ứng động Việc sử dụng trực tiếp số liệu đo về đáp ứng của kết cấu tránh được sai số xử lý

số liệu đo, nhưng lại cần phải biết hoặc đo được tải trọng bên ngoài Sử dụng các

số liệu đo đạc các đặc trưng dao động hay đáp ứng động của kết cấu để giải bài toán chẩn đoán vết nứt được gọi là Phương pháp dao động trong chẩn đoán vết nứt Những kết quả chính trong việc phát triển phương pháp dao động trong chẩn đoán hư hỏng kết cấu được tổng quan trong [5], [12]

Những khó khăn chủ yếu trong việc chẩn đoán vết nứt bằng phương pháp

mô hình cho đến nay vẫn còn đang được giải quyết bao gồm: Một là sự sai khác giữa mô hình kết cấu có vết nứt so với thực tế (sai số mô hình); Hai là số liệu đo

đạc thực tế luôn chứa đựng sai số (sai số đo đạc) ngay cả với những thiết bị hiện đại; Ba là khối lượng thông tin thu được từ số liệu đo luôn bị hạn chế so với yêu cầu (thiếu thông tin) Tất cả những khó khăn này đều dẫn đến kết quả chẩn đoán vết nứt không chính xác và không ổn định đối với các số liệu đầu vào

Phương hướng chung để giải quyết những khó khăn nêu trên là: a) Xây dựng mô hình kết cấu có vết nứt sát với thực tế hơn đồng thời với việc tìm lời giải chính xác cho các mô hình mới được xây dựng (giảm thiểu sai số mô hình)

và bổ sung số liệu tính toán để giải quyết vấn đề thiếu thông tin từ số liệu đo; b) Phát triển các phương pháp toán học hiện đại có thể loại trừ được các sai số đo đạc hoặc giải quyết bài toán chẩn đoán vết nứt một cách ổn định khi các số liệu

đo đạc có sai số lớn; c) Sử dụng các thiết bị đo đạc hiện đại, các đặc trưng kết cấu chứa nhiều thông tin hơn hay kể cả các phương pháp toán học ngoại suy số liệu để có thêm nguồn thông tin phục vụ chẩn đoán hư hỏng

Mục tiêu của luận án này là xây dựng quy trình chẩn đoán vết nứt trong kết cấu dựa trên mô hình đã được chính xác hóa cùng với các phương pháp xử lý số liệu hiện đại, có khả năng phát hiện các vết nứt nhỏ trong điều kiện sai số đo đạc phù hợp với thực tế Cụ thể là phát triển quy trình chẩn đoán vết nứt bằng dạng riêng kết hợp với phương pháp điều chỉnh bài toán ngược Tikhonov và áp dụng phép biến đổi wavelet để chẩn đoán vết nứt của dầm đàn hồi bằng đáp ứng đo được trên xe di động trên dầm Phương pháp điều chỉnh Tikhonov cho phép ta tìm lời giải bài toán ngược một cách ổn định đối với sai số đo đạc Việc sử dụng đáp ứng của xe di động trên dầm thực chất là tăng đáng kể số điểm đo không gian dọc theo dầm

Đối tượng nghiên cứu trong luận án là kết cấu đơn giản dạng dầm đàn hồi Euler-Bernoulli vì hai lý do sau đây Một là, trong thực tế kỹ thuật người ta sử dụng nhiều các cấu kiện dạng thanh dầm một chiều Hai là, dạng kết cấu này cho phép ta áp dụng nhiều phương pháp giải tích có độ chính xác cao

Trong luận án đặt ra và giải quyết hai vấn đề sau:

Một là, xây dựng các biểu thức hiện chính xác cho tần số và dạng riêng của dầm đàn hồi có nhiều vết nứt qua các tham số vết nứt làm cơ sở thiết lập bài toán chẩn đoán vết nứt ở dạng hiện Sau đó áp dụng thuật toán điều chỉnh

Tikhonov để giải bài toán chẩn đoán vết nứt nhằm mục đích giải quyết cả hai vấn đề thiếu thông tin và nhiễu đo đạc

Hai là, xây dựng hệ mô hình bao gồm dầm đàn hồi có nhiều vết nứt và xe

di động trên dầm nhằm giải quyết bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm bằng việc phân tích đáp ứng động của xe di động trên dầm Để phát hiện được vết nứt trong dầm đàn hồi bằng số liệu đáp ứng động đã áp dụng phép biến đổi wavelet, một công cụ mạnh và hiện đại trong xử lý số liệu hiện nay

Nội dung của luận án bao gồm mở đầu và các chương sau:

Chương 1: trình bày tổng quan về bài toán chẩn đoán hư hỏng kết cấu nói

chung, các vết nứt nói riêng và các phương pháp chẩn đoán vết nứt Ở đây tập trung giới thiệu những kết quả chính về phương pháp dao động ứng dụng trong chẩn đoán hư hỏng kết cấu

Chương 2: trình bày cơ sở lý thuyết phương pháp điều chỉnh Tikhonov,

phép biến đổi wavelet, mô hình vết nứt, mô hình liên tục và mô hình phương pháp phần tử hữu hạn của dầm có vết nứt

Chương 3: đưa ra lời giải cho bài toán dao động riêng của dầm đàn hồi có

nhiều vết nứt, bao gồm các bài toán xác định tần số, dạng riêng của dầm đàn hồi

có nhiều vết nứt Cụ thể là đã xây dựng công thức Rayleigh mở rộng cho dầm đàn hồi có nhiều vết nứt và thiết lập biểu thức tổng quát của dạng dao động riêng thông qua các tham số vết nứt Dựa trên lời giải bài toán thuận nêu trên, thiết lập bài toán chẩn đoán vết nứt từ dạng riêng ở dạng hệ phương trình đại số tuyến tính Sau đó áp dụng phương pháp điều chỉnh Tikhonov để giải hệ phương trình đại số nhận được để tìm lời giải bài toán chẩn đoán vết nứt một cách ổn định đối với sai số đo đạc dựa trên biểu thức hiện của dạng riêng thông qua các tham số (vị trí và độ lớn) vết nứt

Chương 4: trình bày hai mô hình xe (mô hình ¼ và mô hình ½ xe) di động

trên dầm có vết nứt Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp tích phân trực tiếp Newmark để tính toán đáp ứng động lực học của thân xe di động trên dầm có nhiều vết nứt Đồng thời, áp dụng phép biến đổi wavelet cho đáp ứng động của xe đã nhận được ở trên để phát hiện vị trí các vết nứt trong dầm

Kết luận chung: trình bày những kết quả chính đã nhận được trong luận án

và những vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN

Hư hỏng của kết cấu được hiểu là sự thay đổi các tính chất vật lý (vật liệu, liên kết,…) và hình học (kích thước, hình dáng,…) của kết cấu so với trạng thái ban đầu được gọi là kết cấu nguyên vẹn Hư hỏng kết cấu nói chung được mô tả bởi hai tham số: vị trí và mức độ hư hỏng Ví dụ, vết nứt là dạng hư hỏng điển hình của kết cấu, được đặc trưng bởi hai tham số là vị trí và kích thước của nó Bài toán cơ bản đầu tiên về vấn đề này được nghiên cứu bởi Adams và các cộng sự [1], ở đó ông đã nghiên cứu trường hợp một thanh đàn hồi có khuyêt tật (suy giảm độ cứng cục bộ) được mô tả bằng một lò xo dọc trục và xây dựng được phương trình để xác định vị trí hư hỏng từ số liệu đo tần số riêng Liang cùng với cộng sự [28] đã phỏng đoán dạng tổng quát của phương trình tần số cho dầm đàn hồi có vết nứt được mô tả bằng một lò xo xoắn với độ cứng tính được từ độ sâu vết nứt Morassi [39] thiết lập được phương trình nhiễu cho tần

số riêng của dầm có một vết nứt có độ cứng thay đổi Narkis [40] tìm được nghiệm giải tích đối với vị trí vết nứt từ số liệu đo hai tần số riêng trong trường hợp điều kiện biên gối tựa đơn Nguyen Tien Khiem và Dao Nhu Mai [41] đã nghiên cứu chi tiết sự thay đổi của tần số phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt trong các trường hợp điều kiện biên khác nhau Nói chung trong trường hợp dầm

có một vết nứt, việc chẩn đoán vết nứt được tiến hành chủ yếu sử dụng số liệu

đo của tần số riêng và bài toán đã được nghiên cứu giải quyết trên nhiều phương diện khác nhau Salawu [52] có bài tổng quan về việc chẩn đoán hư hỏng nói chung bằng tần số riêng

Vấn đề trở nên phức tạp hơn khi số lượng vết nứt tăng lên, đặc biệt với số lượng vết nứt chưa biết Bằng phương pháp cổ điển Ostachowicz và Krawczuk [43] thiết lập được phương trình tần số của dầm có hai vết nứt ở dạng định thức cấp 12×12 và sử dụng để nghiên cứu ảnh hưởng của các vết nứt khác nhau đến tần số của dầm Nếu vẫn sử dụng phương pháp truyền thống nêu trên, phương

trình tần số của dầm có n vết nứt đòi hỏi phải tính định thức cấp 4(n+1), một

công việc tốn rất nhiều thời gian và tích lũy sai số tính toán lớn Shifrin và Ruotolo [55], biểu diễn vết nứt như sự thay đổi cục bộ độ cứng của dầm được

mô tả bằng hàm Delta Dirac và nhận được phương trình tần số của dầm có n vết nứt ở dạng định thức cấp n+4 (nghĩa là nếu dầm có 2 vết nứt thì chỉ cần tính

định thức cấp 6×6) Khiem và Lien [21] sử dụng phương pháp ma trận truyền để

thiết lập phương trình tần số của dầm có n vết nứt ở dạng định thức cấp 4×4

Điều này giảm đáng kể khối lượng tính toán khi phân tích tần số riêng của dầm

có nhiều vết nứt Zhang và cộng sự [61] sử dụng phương trình tần số thiết lập bởi Khiem và Lien [21] để chẩn đoán đa vết nứt của dầm bằng tần số riêng Phát triển ý tưởng của Liang [28], Patil và Maiti [45] cũng đã thiết lập được phương trình nhiễu cho tần riêng của dầm có nhiều vết nứt dựa trên quan điểm năng lượng Cần phải nhắc đến kết quả mới nhận được của Lee [24] trong việc phát triển phương pháp độ nhạy cảm trong việc chẩn đoán vết nứt bằng tần số riêng

Sử dụng các phương trình tần số để chẩn đoán vết nứt có những hạn chế cơ bản như sau: a) Số lượng tần số đo được rất ít so với số lượng các tham số vết nứt, đặc biệt trong trường hợp không biết số lượng vết nứt; b) Phương trình tần

số có dạng rất phức tạp đối với các tham số vết nứt cả trên phương diện giải tích cũng như tính toán số Chính vì vậy, những hạn chế nêu trên có thể được giải quyết một bước quan trọng nếu sử dụng thêm số liệu đo về dạng riêng cùng với tần số và tốt hơn nữa nếu có thể thiết lập được các biểu thức hiện của phương trình tần số hay chính các tần số hoặc dạng riêng theo các tham số vết nứt Các biểu thức hiện này cho phép giải quyết những khó khăn đã nêu ở trên của bài toán chẩn đoán vết nứt

Fernández-Sáez cùng với cộng sự [14] sử dụng công thức Rayleigh đã xây dựng được một công thức gần đúng của tần số riêng thứ nhất qua hai tham số vị trí và kích thước vết nứt rất gần với tần số chính xác Tuy nhiên chỉ một công thức này chưa đủ để xác định hai tham số của một vết nứt Vì vậy, phát triển công thức Rayleigh cho các tần số cao hơn đối với dầm có nhiều vết nứt cũng là một hướng phát triển tiếp theo của việc chẩn đoán đa vết nứt trong dầm đàn hồi Việc chẩn đoán hư hỏng nói chung và vết nứt nói riêng bằng dạng riêng cũng đã được quan tâm từ rất sớm, như Rizos và cộng sự [51], Yuen [60], West [65]… Tuy nhiên, lúc đầu dạng riêng mới chỉ được sử dụng để tính các chỉ số định tính như MAC (Modal Assurance Criteria), biểu diễn sự thay đổi dạng

riêng nói chung khi có hư hỏng Chỉ số này tốt nhất thì cũng chỉ cho phép trả lời

câu hỏi trong kết cấu có hư hỏng hay không, mà chưa thể xác định được vị trí

cũng như kích thước của hư hỏng Sau đó, Kim và cộng sự [20] đã phát triển rất

mạnh chỉ số hư hỏng này để xác định vị trí hư hỏng, nhưng các chỉ số MAC đã

được phát triển như PMAC hay COMAC chưa cho phép nhận dạng chính xác

hư hỏng Một số tác giả như Ho và Ewins [16], Parloo và cộng sự [46] đã đưa ra

các chỉ số hư hỏng trực tiếp từ dạng riêng và độ nhạy cảm của dạng riêng để

chẩn đoán hư hỏng nói chung Nhưng Pandey và các cộng sự [44] đã phát hiện

ra rằng, bản thân dạng riêng không nhạy cảm với hư hỏng bằng độ cong

(curvature) của nó, đặc biệt là hư hỏng dạng vết nứt Sau đó trong các công bố

bởi Ratcliffe [49], Wahab và De Roeck [63] đã phát triển ý tưởng này để chẩn

đoán hư hỏng bằng độ cong dạng riêng Tuy nhiên độ cong dạng riêng không thể

đo được và thậm chí không thể tính toán được một cách chính xác Do đó cả sai

số tính toán và đo đạc đều ảnh hưởng rất nhiều đến kết quả chẩn đoán bằng độ

cong dạng riêng Như vậy, có thể khẳng định rằng dạng riêng và các đặc trưng

liên quan chứa nhiều thông tin hơn về hư hỏng, nhưng việc tính toán chính xác

và đo đạc dạng riêng còn khó khăn nên việc chẩn đoán bằng dạng riêng vẫn

chưa được giải quyết về cơ bản Do đó, việc tìm biểu thức hiện và chính xác của

dạng riêng đối với các tham số hư hỏng sẽ mở ra một lối thoát quan trọng

Li [27], khi nghiên cứu dao động của dầm có nhiều vết nứt tại (e1, ,e n) đã

phát hiện ra một biểu thức truy hồi của dạng riêng

n i

e x H e x S e x

trong đó Φi (x) là dạng riêng của dầm trong đoạn (e i,e i+1),e0= 0 ,e n+1=L, H (x) là

hàm bước nhảy Heaviside và hàm S(x) = ( 1 / 2λ)[sinhλx+ sinλx] Chính biểu thức

này cho phép ta nhận được phương trình tần số ở dạng định thức cấp 4×4 giống

như phương pháp ma trận truyền Tuy nhiên, biểu thức (1.1) chưa phải lời giải

khép kín của dạng riêng nên chưa thể sử dụng để chẩn đoán vết nứt bằng dạng

riêng và phương trình tần số nhận được cũng chưa có dạng tường minh Năm

2009, Caddemi và Caliò [4] đã công bố một kết quả, trong đó đưa ra biểu thức

tường minh của dạng dao động riêng cho dầm đàn hồi có n vết nứt như sau

− +

i i

i i

i

n i

i i

i i

i

n

n i

i i

i i

i

x e

x H e x e

x C

x e

x H e x e

x C

x e

x H e x e

x C

x e

x H e x e

x C

x

1 4

1 3

1 2

1 1

cosh ) ( )]

( sinh ) ( [sin )

2 / 1 (

sinh ) ( )]

( sinh ) ( [sin )

2 / 1 (

cos ) ( )]

( sinh ) ( [sin )

2 / 1 (

sin ) ( )]

( sinh ) ( [sin )

2 / 1 ( )

(

λλ

ληγλ

λλ

λζγλ

λλ

λυγλ

λλ

λμγλ

(1.2)

với C1, C2, C3, C4 là hằng số được xác định bởi các điều kiện biên và các tham

số μj,υj,ζ j,ηj, j = 1 , ,n được xác định bằng các biểu thức truy hồi

sin )

( sinh ) (

i j i

j i

i

1 1

0 0 0

0 ) sinh ( ) cos (

i j i

j i

i

1 1

0 0 0

0 ) sinh ( ) sinh (

i j i

j i

i

1 1

0 0 0

0 ) sinh ( ) cosh (

Đây là nghiệm khép kín của dạng riêng của dầm có n vết nứt, nhưng biểu

thức này còn phức tạp do chứa 4 tham số xác định bằng các biểu thức truy hồi

(1.3) Do đó chưa thể áp dụng để chẩn đoán vết nứt Như vậy, việc tìm một biểu

thức hiện tường minh, đơn giản hơn các biểu thức (1.2), (1.3) của dạng riêng để

có thể thiết lập bài toán chẩn đoán vết nứt một cách đơn giản từ số liệu đo của

dạng riêng là một vấn đề cần thiết

Tuy nhiên, ngay cả khi có được biểu thức hiện tường minh và chính xác

của tần số và dạng riêng thì những khó khăn như thiếu thông tin và sai số đo đạc

vẫn chưa được giải quyết Đã có ý tưởng sử dụng hàm đáp ứng tần số mà thường

đo đạc được trực tiếp hơn tần số và dạng riêng, làm số liệu đầu vào cho việc

chẩn đoán hư hỏng Rõ ràng, sử dụng hàm đáp ứng tần số sẽ tránh được sai số

của việc xử lý số liệu đo để tách tần số và dạng riêng từ số liệu đo đạc Hơn nữa,

hàm đáp ứng tần số còn có khả năng cung cấp thêm thông tin về đáp ứng của kết

cấu ở những tần số xa cộng hưởng Vì vậy, một lối thoát để giảm bớt sai số đo

đạc và có thêm thông tin là sử dụng hàm đáp ứng tần số làm số liệu đầu vào cho

việc chẩn đoán Ngoài ra, hàm đáp ứng tần số còn chứa đựng cả thông tin về

điểm đo và điểm đặt lực tác dụng Vì vậy, khả năng khai thác thêm thông tin từ

hàm đáp ứng tần số cho bài toán chẩn đoán là rộng mở

Việc sử dụng hàm đáp ứng tần số trong bài toán chẩn đoán hư hỏng kết cấu

cũng được tiến hành theo hai cách: một là sử dụng trực tiếp số liệu đo hàm đáp

ứng tần số để phát hiện hư hỏng và hai là xây dựng các mô hình toán học cho

hàm đáp ứng tần số của kết cấu có hư hỏng Cách tiếp cận thứ nhất được nghiên

cứu nhiều bởi Maia và cộng sự [36], Sampaio và cộng sự [54] Trong các công

bố này, các tác giả đã sử dụng sự thay đổi tuyệt đối của hàm đáp ứng tần số theo

chuyển vị, góc xoay và độ cong (biến dạng) để phát hiện vị trí hư hỏng trong

dầm đàn hồi và đã đi đến kết luận rằng hàm đáp ứng tần số của độ cong là tốt

hơn cả Tuy nhiên, việc tính độ cong vẫn là gần đúng (sử dụng công thức sai

phân) và sai số của sự gần đúng này có thể khuyếch đại ảnh hưởng của nhiễu đo

đạc, giống như đối với độ cong dạng riêng Để cải thiện tình trạng này, Salehi và

cộng sự [53] đã áp dụng phương pháp Gapped Smoothing (độ trơn gấp khúc),

nhưng vẫn phụ thuộc nhiều vào lưới đo không gian Phổ biến hơn cả vẫn là cách

tiếp cận thứ hai, sử dụng biểu thức của hàm đáp ứng tần số ở dạng

, ) ( ) ( )

r r jk

i

k j F

ωηωω

φφ

trong đó chỉ số j chỉ vị trí điểm đo, k - vị trí điểm đặt lực, r - số hiệu của dạng

dao động, ωr, ηr là tần số riêng và hệ số cản tương ứng với dạng riêng φr Biểu

thức (1.4) chính là biểu diễn của hàm đáp ứng tần số theo các đặc trưng dao

động của kết cấu như tần số, dạng riêng và hệ số cản Những nghiên cứu đầu

tiên theo hướng này chỉ ra rằng sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số ở xa tần số

cộng hưởng là không đáng kể và nó vẫn phụ thuộc nhiều vào dạng dao động

riêng Tức là kết quả chẩn đoán hư hỏng bằng hàm đáp ứng tần số, mặc dù có

thể mở rộng bằng việc khảo sát riêng biệt phần thực và ảo của hàm đáp ứng tần

số không cải thiện rõ rệt hơn việc chẩn đoán bằng dạng riêng đưa ra bởi Liu và

cộng sự [32] Nổi bật hơn cả là kết quả của Lee và Shin [25] Họ thiết lập được

hệ phương trình đại số để xác định các tham số hư hỏng của dầm đàn hồi dựa

trên mô hình và số liệu đo của hàm đáp ứng tần số Trong nghiên cứu này, các

tác giả đã khảo sát được ảnh hưởng của các dạng dao động bậc cao và cả sự tương tác giữa các dạng dao động (modes) trong biểu thức (1.4) Điều đó cho phép ta ngắt đuôi chuỗi (1.4) và tách riêng các dạng dao động Tuy nhiên, hai vấn đề là sai số đo đạc và số điểm đo trong không gian vẫn chưa được cải thiện đáng kể

Tóm lại, việc sử dụng các đặc trưng dao động của kết cấu đã đạt được nhiều thành quả như đã được trình bày tóm tắt ở trên, nhưng một phương pháp hữu hiệu, đa năng có thể giải quyết được triệt để vấn đề sai số đo đạc và thiếu thông tin của bài toán chẩn đoán vẫn còn đang được nghiên cứu phát triển

Định hướng nghiên cứu và đặt bài toán

Như đã trình bày ở trên, xây dựng các biểu thức tường minh cho tần số, dạng riêng và hàm đáp ứng theo các tham số hư hỏng; tìm cách tăng số lượng điểm đo trong không gian kết cấu và giải quyết vấn đề sai số đo đạc là những công việc quan trọng và cần thiết trong việc tìm kiếm một phương pháp hiệu quả

để giải bài toán chẩn đoán hư hỏng kết cấu

Vì vậy, bài toán đặt ra trong luận án này là: 1) Xây dựng công thức Rayleigh mở rộng cho dầm có nhiều vết nứt; 2) Cải tiến biểu thức tổng quát của dạng riêng được thiết lập bởi Caddemi và Caliò [4] nhằm đưa ra một biểu thức tường minh mới, đơn giản và thuận tiện hơn cho bài toán chẩn đoán hư hỏng bằng dạng riêng; 3) Áp dụng phương pháp điều chỉnh Tikhonov cho bài toán chẩn đoán đa vết nứt của dầm đàn hồi dựa trên dạng riêng đo đạc nhằm mục tiêu tìm được lời giải ổn định của bài toán chẩn đoán vết nứt đối với sai số đo đạc 4)

Áp dụng phương pháp biến đổi wavelet cho bài toán chẩn đoán vết nứt của dầm dựa trên số liệu đo đạc đáp ứng động của xe di động trên dầm, nhằm cải thiện đáng kể số lượng điểm đo dọc theo dầm (liên tục theo chiều dài dầm);

Bằng cách tiếp cận như vậy, chúng ta đồng thời giải quyết một bước các khó khăn đã nêu ở trên của bài toán chẩn đoán hư hỏng kết cấu (sai số mô hình; thiếu thông tin và sai số đo đạc)

Để tập trung vào phát triển phương pháp luận, đối tượng nghiên cứu được chọn là dầm đàn hồi Euler-Bernoulli Tuy nhiên phương pháp có thể mở rộng để

áp dụng cho kết cấu phức tạp hơn như tấm, khung, dàn,…

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Phương pháp điều chỉnh Tikhonov

2.1.1 Sơ lược về bài toán ngược

Bài toán ngược không chỉ được đặt ra trong khoa học, kỹ thuật mà nó còn thường gặp trong cuộc sống và tất cả các lĩnh vực hoạt động của xã hội Nội dung của nó có thể tóm lược ngắn gọn theo Tarantola [56] như sau: “Xác định

nguyên nhân, biết hệ quả của nó” Bài toán ngược trong khoa học và kỹ thuật đã

được đặt ra từ lâu, nhưng do sự phức tạp của nó, người ta buộc phải lý tưởng hóa các điều kiện để giải bài toán Ví dụ, trong tính toán thực tế người ta ít quan tâm đến tính duy nhất nghiệm bài toán mà thường giả thiết rằng điều kiện tồn tại

và duy nhất tự nó được thỏa mãn (do sự tồn tại và duy nhất của thực tế) Nhưng không phải ai cũng hiểu hằng chính bài toán mà chúng ta đặt ra và giải quyết không phải là thực tế, mà đó chỉ là một sự gần đúng rất thô của thực tế khách quan Bài toán ngược với những đặc tính “ngược” đã góp phần cảnh báo cho các nhà khoa học, kỹ thuật một triết lý đơn giản: nếu không tìm được nghiệm của bài toán thực tế thì cần xem lại việc đặt bài toán

Bài toán ngược trong cơ học đã tồn tại, được giải quyết và ứng dụng từ sớm Đó là bài toán xác định lực tác dụng khi biết quỹ đạo chuyển động của nó Nhưng do nhu cầu thực tế, trong khoa học kỹ thuật nói chung và cơ học nói riêng xuất hiện một bài toán mới: xây dựng mô hình cho một đối tượng đang tồn tại từ các số liệu đo đạc về trạng thái hiện tại của nó Bài toán này được gọi là bài toán nhận dạng hệ thống (một số tác giả gọi là bài toán đồng nhất hóa) Đây thực chất là một bài toán ngược đúng theo mọi nghĩa, nhưng chưa có phương pháp hữu hiệu nào có thể giải trọn vẹn bài toán phức tạp này Chúng ta chỉ có thể tìm được những lời giải gần đúng ở chừng mực nào đó mà thôi

Gần đây trong kỹ thuật, nhu cầu đánh giá trạng thái kỹ thuật của một đối tượng thực tế đang làm việc càng ngày càng trở nên cấp thiết Lý do là vì rất nhiều tai nạn xảy ra do không biết trước được diễn biến xấu trong trạng thái làm việc của các đối tượng quan trọng Bài toán đánh giá trạng thái kỹ thuật của một

đối tượng đang tồn tại, sau một thời gian nghiên cứu, được phát biểu ở dạng bài

toán nhận dạng hệ thống Do vậy, những phương pháp nghiên cứu bài toán

ngược nói chung và bài toán nhận dạng hệ thống nói riêng trở thành công cụ chủ

lực để giải bài toán đánh giá trạng thái kỹ thuật

Giả sử các tham số mô hình của một đối tượng thuộc một không gian M,

tức m∈M và tham số quan sát được d∈D, ánh xạ g:M⇒D được gọi là sự tiên

đoán (prediction) trạng thái quan sát được Việc xây dựng ánh xạ g thực chất là

cốt lõi của việc mô hình hóa Do mô hình tham số được xác định bằng véc tơ m,

chúng ta gọi tắt m là một mô hình

Bài toán cho trước g và m cần xác định d được gọi là bài toán phân tích

hay bài toán thuận

Khi đó, bài toán ngược được định nghĩa là cho trước g và d cần phải xác

định m Nói cách khác bài toán ngược là việc đi tìm một mô hình tham số của

một đối tượng từ số liệu đo đạc các tham số quan sát được Thực chất là việc

xây dựng ánh xạ ngược g− 1 :D⇒M.

Ví dụ 1.1: Giả sử từ một trung tâm truyền thông phát ra một tín hiệu u(t)

vào không gian và tại một địa điểm khác thu nhận được một tín hiệu v(t) Biết

rằng sự làm việc của các thiết bị thu phát được mô tả bằng ánh xạ

).

( )

( ) ( 0

t ds s s t

t

v u

R

Vấn đề đặt ra là phải khôi phục lại tín hiệu phát ra ban đầu

Ví dụ 1.2 Xác định khuyết tật trong một vật thể bằng sóng âm đo được tại

một số vị trí nào đó, biết rằng sự truyền sóng âm trong một môi trường được mô

tả bằng phương trình

}.

r , {s

\ Ω x x

x) + ( ) = 0 , ∈ 0 0

divgrad

Cơ sở toán học chặt chẽ nhất hiện nay để giải bài toán ngược nêu trên chính

là định lý về sự tồn tại ánh xạ ngược Hiển nhiên là không phải khi nào cũng tồn

tại ánh xạ ngược, đặc biệt là có sự sai khác giữa mô hình và thực tế, giữa đo đạc

và tính toán Vì vậy, bài toán ngược nêu trên, mặc dù có rất nhiều ứng dụng

trong thực tế, cho đến nay vẫn còn là vấn đề rất khó, ngay cả đối với các nhà

toán học

Trong cơ học, các bài toán được đặt ra như sau Bất kỳ một đối tượng nào

cũng có thể được biểu diễn qua sơ đồ dưới đây

Sơ đồ hệ thống của một đối tượng

Trong sơ đồ trên, X là tác động ngoài, đồng thời được hiểu là đầu vào

(input) của hệ thống, Y là ứng xử của đối tượng hay đầu ra của hệ thống (output)

và A là mô hình của hệ thống được mô tả bằng các tham số mô hình và mối liên

hệ giữa tác động và ứng xử của đối tượng

Bài toán phân tích hay còn gọi là bài toán thuận cơ bản của hệ thống nêu

trên được đặt ra là tính toán Y biết X và A Bài toán này nói chung được mô tả

bằng phương trình

P

trong đó A là một toán tử, U là ứng xử và P là tác động ngoài Bài toán này rất

thông dụng trong cơ học từ cổ xưa đến ngày nay Bài toán ngược cổ điển của cơ

học, được gọi là bài toán xác định lực tác lên hệ, là tìm X nếu biết A và Y Đây

là bài toán cơ bản của việc điều khiển một đối tượng theo một mục tiêu cho

trước Ví dụ, ta muốn đưa một vệ tinh lên quỹ đạo cho trước, cần phải xác định

các cơ cấu điều khiển tạo ra các lực tác dụng lên hệ để vệ tinh chuyển động theo

quỹ đạo mong muốn

Bài toán nhận dạng hệ thống được đặt ra như là việc xây dựng mô hình cho

một đối tượng đang tồn tại từ các số liệu đo đạc trên đối tượng: xác định A, biết

X và Y Nếu coi X và Y là các tham số quan sát được và hệ thống A được mô tả

bằng một tập các tham số mô hình m thì bài toán nhận dạng hệ thống chính là

bài toán ngược ban đầu đã định nghĩa ở trên Bài toán nhận dạng hệ thống hiện

đang được áp dụng rộng rãi trong thực nghiệm, điều khiển, cơ học và rất nhiều

ngành kỹ thuật

Một ví dụ quan trọng của bài toán ngược trong cơ học là bài toán xác định

ma trận biết các trị riêng của nó Gladwell [15], có nội dung như sau: Giả sử một

A

hệ cơ học được xác định bằng hai ma trận độ cứng và khối lượng K, M và các

giá trị riêng λ (tần số riêng), dạng riêng của hệ thỏa mãn phương trình

0 )

và trị riêng thỏa mãn phương trình đặc trưng

0 ) det(

) , ,

Rõ ràng ta chỉ có n phương trình đại số siêu việt để xác định 2n2 ẩn số là

các thành phần của hai ma trận độ cứng và khối lượng Để giải bài toán này

chúng ta cần thêm thông tin về các ma trận K, M, ví dụ như tính đối xứng, xác

định dương hay ma trận đường chéo Các điều kiện này cho phép ta giảm bớt ẩn

số cần tìm

Như vậy, có thể hiểu một cách tổng quát, bài toán ngược là việc xây dựng

mô hình cho một đối tượng từ các số liệu đo đạc Trong bài toán này có hai yếu

tố quan trọng, đó là mô hình và số liệu đo đạc Cả hai yếu tố này không thể xác

định một cách chính xác so với thực tế Do đó các bài toán ngược nêu trên đều

có những đặc tính sau đây:

Rất nhạy cảm với sai số mô hình và đo đạc Nghĩa là sự thay đổi nhỏ của

sai số cũng có thể dẫn đến thay đổi lớn trong kết quả giải bài toán (tính không

ổn định đối với sai số) Thêm vào đó là sai số tính toán, nhiều khi cũng tạo nên

sự khó khăn trong khi giải bài toán ngược

Nói chung các bài toán ngược không có hoặc không duy nhất nghiệm Điều

này xảy ra là do sai số nêu trên cộng với sự thiếu thông tin cho trước Các số

liệu thu thập được không bao giờ là đầy đủ so với thực tế tồn tại khách quan rất

phức tạp của một đối tượng

2.1.2 Phương pháp điều chỉnh Tikhonov

Trong nhiều trường hợp, bài toán ngược dẫn đến việc giải phương trình

Tikhonov và Arnesin [13]

,

b

trong đó ma trận A là bất kỳ (có thể không vuông hoặc suy biến) và b là véc tơ

chỉ được biết một cách gần đúng so với giá trị chính xác b.

Lời giải gần đúng đầu tiên của bài toán này chính là lời giải bình phương

tối thiểu xLS, được xác định bằng các định lý dưới đây:

Định lý 1 Nghiệm bình phương tối thiểu x = Ax−b

có nghiệm và đó chính là nghiệm bình phương tối thiểu cần tìm

Nói chung, nghiệm này được biểu diễn qua ma trận tựa nghịch đảo

Moore-Penrose, ký hiệu là A+= (ATA)−1AT, như sau

.

b A

xLS = + (2.8) Tuy nhiên, lời giải này cũng có khi không tồn tại do ma trận (ATA) − 1 vẫn có

thể suy biến hoặc gần suy biến (có trị riêng rất nhỏ) Khi đó nghiệm (2.8) rất

nhạy cảm với sai số của véc tơ vế phải b

Chính vì thế, A.N.Tikhonov [57], [58] đã đề xuất một giải pháp điều chỉnh

nghiệm gần đúng này bằng cách tìm nghiệm bình phương tối thiểu của bài toán

}, {

với α, xL, 0 lần lượt là tham số điều chỉnh dương, ma trận điều chỉnh và một tiên

đoán nào đó về nghiệm của phương trình ban đầu Trong đó tham số và ma trận

điều chỉnh sẽ được chọn để nghiệm đã cho luôn tồn tại duy nhất và ổn định đối

với sai số của vế phải (thay đổi nhỏ khi vế phải thay đổi nhỏ) Sự tồn tại và duy

nhất nghiệm của bài toán đã được điều chỉnh được khẳng định bằng định lý dưới

đây:

Định lý 2 với α f 0 nghiệm bình phương tối thiểu đã được điều chỉnh là nghiệm

của phương trình

)

(ATA+αLTL x=ATb+αLTLx0 (2.10)

Dễ dàng nhận thấy với α → 0 thì nghiệm đã được điều chỉnh xRLS →xLS.

Hơn nữa định lý 2 mới chỉ khẳng định được có thể chọn được các tham số

,

α để tồn tại và duy nhất nghiệm đã được điều chỉnh Sự ổn định của

nghiệm đã điều chỉnh theo sai số của vế phải được minh chứng bằng định lý sau:

Định lý 3 Nếu thoả mãn điều kiện b−b pδ= AxRLS−b p b , thì

Định lý 3 cho thấy nếu biết được mức độ nhiễu của vế phải là δ, thì có thể

chọn tham số điều chỉnh từ phương trình δ = AxRLS −b để nghiệm đã được điều

chỉnh sẽ tiến đến nghiệm chính xác khi nhiễu tiến đến 0 Như vậy, Định lý 3 đã

chỉ ra rằng có thể chọn tham số điều chỉnh α để nghiệm điều chỉnh ổn định đối

với nhiễu vế phải Hơn thế nữa, định lý này còn cho ta phương trình để chọn

tham số điều chỉnh mà trong các tài liệu được gọi là nguyên lý Morozov

(Morosov’s Discrepancy Principle) Vấn đề còn lại để đạt được một nghiệm ổn

định với nhiễu là giải phương trình

,

RLS α − b =δ

đối với α Định lý sau đây chứng minh rằng tham số điều chỉnh đó luôn tồn tại

và có thể tìm được bằng các thuật toán cổ điển

Định lý 4 Hàm số ϕ ( μ ) = AxRLS( α ) −b, μ = 1 / α, bằng ϕ(μ) =bT(μAAT +I)−2b là

2 2

Ngoài việc chứng minh tồn tại tham số điều chỉnh tối ưu, định lý này còn

cho phép ta xác định được phương trình hiện đối với tham số điều chỉnh có thể

giải được bằng phương pháp đơn giản nhất Tuy nhiên vấn đề lại là chọn τ như

thế nào Nếu biết sai số của vế phải ε = e = b−b thì ta có thể chọn ngay τ =η2ε2

với ηf 1 chọn từ điều kiện b0 p ηε p b. Nhưng nếu sai số này không biết thì ta

có thể chọn τ tuân thủ bất đẳng thức b0 2 pτ p b 2.

Trên đây là cơ sở lý thuyết của việc điều chỉnh Tikhonov Nhưng trong

thực tế, người ta không chỉ dừng lại ở lý thuyết tổng quát mà cần phải tìm được

biểu thức hiện của nghiệm đã điều chỉnh Dưới đây sẽ trình bày phương pháp

khai triển giá trị kỳ dị (Singular Value Decomposition – SVD) để xây dựng

nghiệm xRLS.

Đối với một ma trận hằng A có kích thước m×n, người ta đã chứng minh

được một khai triển của ma trận A ở dạng:

T

V Σ U

ma trận có cùng kích cỡ như A và chỉ có phần tử đường chéo là khác 0 và không

âm, ký hiệu là Σ(m×n) =diag{σ1, ,σq},q= min(m,n). Các số σ1, , σr được gọi là

là giá trị kỳ dị của ma trận A và biểu diễn (2.12) là khai triển kỳ dị của ma trận

A Ngoài ra còn có thể chứng minh được rằng

, , 1 , ,

,

k k k

T k k k

T k k

1

A v

u

k

T k k

=

Bây giờ ta ứng dụng khai triển giá trị kỳ dị (SVD) của ma trận A để tìm

biểu thức nghiệm của các phương trình (2.6), (2.7) và (2.10) Thật vậy, sử dụng

khai triển (2.13) ta có

, , 1 , / )

( )

(

1 1

r k

k

T k

T k k r

T k k r

k

T k k

1 1

k

T k k k

TA v v I v v

ta có

; )

( )

(

1 1

2 v v x v v x x

I A

k k n r k

T k k r

k k

=

0 1

x b

A +α =∑σ +α

=

r k

k

T k k T

Do đó

, , 1 ,

2 0

k k

k k

x v

σα

σσ

αα

, , , 1 ,

r

T k k k

′ +

+

x

σα

k r

T k

=

σα

được xác định ngay cả khi giá trị kỳ dị rất nhỏ Khi tham số điều chỉnh α bằng 0

thì từ nghiệm (2.16) ta nhận được nghiệm (2.14) Điều này cho thấy nghiệm

bình phương tối thiểu chưa điều chỉnh là một nghiệm riêng chính xác của

phương trình đã cho Từ công thức tổng quát (2.16), ta thấy rằng nếu tham số

điều chỉnh α chọn quá lớn, nghiệm điều chỉnh tiến đến tiên nghiệm x0 ,lúc này

vế phải đóng vai trò rất nhỏ Ngược lại nếu tham số điều chỉnh α chọn quá nhỏ

so với giá trị kỳ dị bé nhất thì ta sẽ nhận được nghiệm chưa điều chỉnh x′. Vấn

đề chọn tham số điều chỉnh làm sao để cân bằng giữa hai trường hợp tới hạn

này, nghĩa là không quá lớn nhưng cũng không quá nhỏ Mức độ lớn của tham

số điều chỉnh sẽ được quyết định bởi sai số của đầu vào b

Như vậy, phương pháp điều chỉnh Tikhonov là giải pháp hữu hiệu để giải

quyết vấn đề nhiễu đo đạc trong bài toán chẩn đoán vết nứt nêu trên Nó cho

phép ta tìm được nghiệm bài toán ngược của việc chẩn đoán hư hỏng kết cấu

một cách ổn định đối với sai số đo đạc

2.2 Biến đổi wavelet

Trong lịch sử phát triển các công cụ xử lý số liệu, phân tích wavelet là một

phương pháp mới, dựa trên nền tảng toán học của Jopeph Fourier thế kỷ 19,

người đã đặt ra nền móng lý thuyết phân tích tần số Sự tập trung của các nhà nghiên cứu chuyển hướng dần từ phân tích dựa trên tần số sang phân tích dựa trên tỉ lệ (scale - analysis) khi nó bắt đầu trở nên rõ ràng từ một cách tiếp cận đo đạc trung bình sự thay đổi tại các scale khác nhau tỏ ra ít nhậy cảm với nhiễu Bản viết đầu tiên đề cập đến tên gọi bây giờ “wavelet” là năm 1909 trong luận án của Alfred Haar Khái niệm wavelet trong lý thuyết hiện đại được đề xuất bởi Jean Morlert và các đồng nghiệp tại “Marseille Theoretical Physics Center” tại pháp với sự tham gia của Alex Grossman Sau đó đã được phát triển tiếp theo bởi Y Meyer và đồng nghiệp Thuật toán chính dựa trên các công việc của Stephane Mallat năm 1988 Từ đó đến nay, nghiên cứu trong lĩnh vực wavelet được mở rộng Những nghiên cứu chính thực hiện tại Mỹ, nơi làm việc của các nhà khoa học đầu ngành như Ingrid Daubechies, Ronald Coifman [66]

Sự phát triển trong phân tích wavelet đã nhanh chóng giải tỏa sự hạn chế

của biến đổi Fourier truyền thống (không thể phân tích chính xác và biểu diễn

một tín hiệu có các thành phần không điều hòa, chẳng hạn tín hiệu (transient) (chuyển tiếp), phân tích phổ truyền thống không thể cung cấp bất kỳ thông tin về

sự phụ thuộc thời gian vào tần số) Công cụ wavelet cho phép có thể phân tích

tín hiệu không dừng và nó chỉ ra không chỉ tần số nào có trong tín hiệu, mà còn thời gian nó xuất hiện Khác hẳn với biến đổi Fourier – ánh xạ từ miền thời gian vào miền tần số - biến đổi wavelet rất nhậy cảm với sự thay đổi bất thường (singularities) trong tín hiệu đo đạc Do đó, chúng có thể được sử dụng để phát hiện ra sự thay đổi đột ngột trong một tín hiệu đo đạc theo thời gian Hạn chế của kết quả biến đổi trực tiếp wavelet trong chẩn đoán hư hỏng là không dễ dàng

để hiểu ý nghĩa vật lý của các hệ số wavelet so với biến đổi FFT

2.2.1 Định nghĩa biến đổi wavelet

Biến đổi wavelet dựa trên ý tưởng là một tín hiệu bất kỳ có thể phân tích (broken down into) thành một chuỗi các hàm cơ bản địa phương được gọi là các sóng nhỏ (wavelet) Bất kỳ tính chất cục bộ nào của tín hiệu có thể được phân tích dựa trên các đặc trưng co giãn (scale) và dịch chuyển (translation) của

wavelet Khi scale thấp (low scale) ⇒ wavelet bị nén ⇒ tín hiệu (signal) thay

đổi nhanh ⇒ tần số ω cao (Hình 2.1)

Hình 2.1 Scale và tần số (frequency)

Khi scale cao (high scale) ⇒ wavelet bị giãn ⇒ tín hiệu (signal) thay đổi

chậm ⇒ tần số ω thấp (Hình 2.2)

Hình 2.2 Sự xê dịch (shifting) của một wavelet

Biến đổi wavelet liên tục được xác định bằng công thức

trong đó a là một số thực được gọi tỷ lệ co giãn (scale hoặc dilation), b là số

thực được gọi là hệ số dịch chuyển (transfer), ứng với mỗi giá trị của a và b là

hệ số wavelet liên tục W(a,b) của tín hiệu đầu vào f(t), ⎟

ψ Để đơn giản, đưa vào kí hiệu

), ( ) /

a

da db b

a W C

t

trong đó

)

( 2

ξψ

Về mặt toán học, biến đổi wavelet là tích chập của hàm wavelet với tín

hiệu, cho phép ta có thể co giãn, đặc biệt nén một tín hiệu

Một số họ wavelet thông thường được sử dụng và định nghĩa sẵn trong

ngôn ngữ lập trình Matlab như (Hình 2.3):

Hình 2.3 Một số họ wavelet

Hộp công cụ wavelet (Wavelet Toolbox™) là một tập hợp các hàm đã được

xây dựng trong môi trường tính toán MATLAB® Nó cung cấp các công cụ

(tool) để phân tích và tổng hợp các tín hiệu và hình ảnh (images), xử lý thống kê

và các ứng dụng khác của wavelet

Các hàm trong Wavelet Toolbox được chia làm hai loại:

• Các hàm thực hiện bằng dòng lệnh (Command-line functions)

• Các công cụ tương tác bằng đồ họa (Graphical interactive tools)

− Loại công cụ thứ nhất được tập hợp của các hàm mà ta có thể gọi trực

tiếp từ màn hình lệnh của MATLAB (command line) hoặc từ các ứng dụng riêng

của mình Hầu hết các hàm này được lưu trong các file riêng biệt có phần mở

rộng “.m”, và là một chuỗi các câu lệnh thực hiện phân tích wavelet riêng biệt

hoặc các thuật toán tổng hợp

Symlets

Daubechies

Coiflets Biorthogonal

− Loại công cụ thứ hai là một tập hợp các công cụ giao tiếp đồ họa cho phép truy nhập vào vào các phần mở rộng Để truy nhập vào những công cụ này

từ cửa sổ lệnh bằng cách gõ: wavemenu và giao diện đồ họa hiện thị (Hình 2.4)

Hình 2.4 Giao diện đồ họa của wavemenu của toolbox có sẵn trong Matlab

2.2.2 Một số ứng dụng của wavelet

Nói chung, wavelet ứng dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu như: Phát hiện điểm không liên tục và điểm gián đoạn trong tín hiệu (Detecting Discontinuities and Breakdown Points); Phát hiện xu hướng của tín hiệu (Detecting Long-Term Evolution); Phát hiện sự giống nhau trong tín hiệu (Detecting Self-Similarity); Phân tích tần số (identifying pure frequencies); Phân rã tín hiệu (Suppressing Signals); Lọc nhiễu (De-Noising Signals, De-Noising Images) và Nén ảnh (Compressing Signals)

Hư hỏng (vết nứt) xuất hiện trong kết cấu làm thay đổi đáp ứng của kết cấu khi chịu tải tác dụng Tuy nhiên, theo những tính toán lý thuyết, ảnh hưởng của

hư hỏng cục bộ dạng vết nứt làm thay đổi rất nhỏ đáp ứng của kết cấu Sự thay đổi rất nhỏ này hầu như không thể phát hiện được trên biểu đồ đáp ứng trong cả miền thời gian (time history) và miền tần số (frequency domain) Biến đổi wavelet cho phép phát hiện những thay đổi rất nhỏ của một tín hiệu trong cả miền thời gian lẫn miền tần số Mỗi thay đổi cục bộ nhỏ gây ra bởi hư hỏng có thể gây ra sự thay đổi đáng kể của các hệ số wavelet tại các vị trí hư hỏng Do

đó, việc ứng dụng phép đổi wavelet trong chẩn đoán hư hỏng cục bộ dạng vết nứt trong kết cấu mở ra một hướng đi mới trong chẩn đoán hư hỏng kết cấu nói chung

Lu và Hsu [35] giới thiệu phương pháp dựa trên một phân tích wavelet để

dò tìm hư hỏng kết cấu Hou và cộng sự [18], Liew và Wang [30] đã nghiên cứu

và sử dụng hệ số scale trong việc nhận dạng hư hỏng Hong và cộng sự [17] khảo sát hiệu quả của biến đổi wavelet liên tục để đánh giá số mũ Lipschitz Trong nghiên cứu này, độ lớn của số mũ Lipschitz được sử dụng như là một chỉ

số mức độ hư hỏng của vết nứt khi nghiên cứu dạng dao động uốn của dầm bị nứt Dầm có hai vết nứt được nghiên cứu bởi Loutridis và cộng sự [34] và các vị trí vết nứt được phát hiện thông qua các hệ số wavelet của phản ứng động của kết cấu Poudel và cộng sự [46] giới thiệu phương pháp wavelet để xác định vị trí hư hỏng của dầm công xôn và dầm gối tựa đơn giản bằng các chuyển vị tĩnh Trong thí nghiệm của họ, các chuyển vị tĩnh nhận được bằng xử lý ảnh kỹ thuật

số của dầm (processing digital photographs) Gần đây, Castro và cộng sự [6], [7]

đã ứng dụng phương pháp wavelet để nhận dạng khuyết tật trong thanh dao động tự do và dao động cưỡng bức Sự tồn tại và vị trí của hư hỏng gây ra bởi sự thay đổi cục bộ trong mật độ khối hoặc độ cứng của thanh, được tìm thấy bằng cách áp dụng biến đổi wavelet K.V Nguyen và Olatunbosun [23] đã phát triển một phương pháp giám sát kết cấu bị nứt từ xa sử dụng hiện tượng vết nứt thở

và biến đổi wavelet Trong nghiên cứu này, vết nứt được tìm thấy bằng phân tích

sự không liên tục của đáp ứng động lực học nhận được từ một điểm đo Đáng chú ý đến công trình của Zhu và Law [62], trong đó phép biến đổi wavelet đã được áp dụng để phân tích đáp ứng trong miền thời gian của dầm tại một điểm

cố định dưới tác dụng của tải trọng di động Đây là sự cải tiến mới so với phương pháp chẩn đoán hư hỏng bằng hàm đáp ứng tần số nêu trên bằng cách sử dụng điểm đặt lực tác dụng di động (chứ không phải cố định) trên dầm Tuy nhiên, sự thay đổi theo thời gian của điểm đặt lực làm phức tạp đáng kể việc nghiên cứu tính toán đáp ứng của dầm chịu tải trọng di động, đặc biệt là đối với dầm có hư hỏng Một mô hình thí nghiệm dầm có vết nứt chịu tải trọng di động

đã được nghiên cứu bởi tác giả Mazurek và Dewolf [38] Các phương pháp chủ yếu để nghiên cứu đáp ứng của dầm chịu tải trọng di động vẫn là các phương pháp truyền thống: phương pháp Galerkin bởi Yoshimura và Hino [59] hay phương pháp phần tử hữu hạn của Rieker và cộng sự [50]

Một ý tưởng mới trong việc áp dụng biến đổi wavelet để phân tích đáp ứng động lực học của xe chạy trên dầm có vết nứt trong miền thời gian nhằm mục đích phát hiện những thay đổi bất thường nhỏ trong tín hiệu do vết nứt đã được triển khai ở Viện Cơ học Cách tiếp cận này cho phép ta không chỉ thay đổi điểm đặt lực mà còn thay đổi điểm đo, mà thực chất là biến lưới đo hữu hạn thành một điểm đo di động liên tục trên dầm Điều này chắc chắn cung cấp thêm nhiều thông tin của các số liệu đo đạc Phương pháp mô phỏng dầm có vết nứt được áp dụng ở đây là phương pháp PTHH

2.3 Mô hình dầm có nhiều vết nứt

2.3.1 Mô hình vết nứt

Vết nứt, nói chung được hiểu là một mặt phân cách trong một vật thể rắn làm cho trạng thái ứng suất biến dạng tại mặt phân cách đó bị gián đoạn Mặt phân cách đó được gọi là mặt (front) vết nứt và thông thường người ta coi mặt vết nứt là phẳng Nếu mặt vết nứt được bắt đầu từ mặt biên của vật rắn, người ta gọi đó là vết nứt cạnh (edge) hay vết nứt hở (trái với vết nứt kín) và khoảng cách

xa nhất trong mặt vết nứt hở đến biên gọi là độ sâu vết nứt Dưới tác động của tải trọng hay trong quá trình dao động của vật thể, mặt vết nứt có thể thay đổi tăng hoặc giảm kích thước Trường hợp tăng được gọi là vết nứt phát triển và trường hợp tăng và giảm thay phiên nhau được gọi là vết nứt thở (breathing) Nếu kích thước của mặt vết nứt không thay đổi trong quá trình biến dạng của vật rắn gọi là vết nứt dừng Trạng thái ứng suất biến dạng tại vết nứt thường tập trung ở ranh giới của vết nứt với phần vật rắn chưa bị nứt (được gọi là mũi hay đầu vết nứt) và được mô tả bằng hệ số tập trung ứng suất tại đầu vết nứt Theo lý thuyết cơ học phá hủy, một vết nứt hở có thể có ba dạng chính như trong (Hình 2.5) được gọi là các kiểu (mode) vết nứt (kiểu vết nứt mở – Mode I, kiểu vết nứt trượt – Mode II và kiểu rách – Mode III)

Hình 2.5 Ba kiểu vết nứt cơ bản

Đối với các kiểu vết nứt cơ bản này, người ta có thể tính được các hệ số tập

trung ứng suất tại các đầu vết nứt tương ứng kí hiệu (KI, KII, KIII) Do đó, có thể

nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng tại vết nứt

Đối với thanh đàn hồi, lúc đầu vết nứt được xét như sự thay đổi tiết diện

ngang trong một đoạn có chiều dài rất nhỏ b với độ sâu a (Hình 2.6a) và việc

tính toán chỉ được tiến hành bằng phương pháp phần tử hữu hạn Tuy nhiên,

trường hợp này dẫn đến số lượng phần tử chia quá lớn hoặc kích thước phần tử

quá nhỏ, đều cho ta kết quả không chính xác

Hình 2.6 Mô hình vết nứt a) dạng mô hình vết nứt cưa, b) dạng mô hình vết nứt

chữ V, c) dạng mô hình vết nứt bằng lò xo xoắn

Sau đó với mô hình vết nứt mở hình chữ V (Hình 2.6b) khái niệm độ sâu

vết nứt và đầu vết nứt được mô tả một cách rõ ràng Hơn nữa, người ta đã tính

được sự suy giảm độ cứng (hoặc tăng độ mềm) của thanh tại mặt cắt chứa vết

nứt Sử dụng quan hệ trong cơ học phá hủy giữa tốc giải phóng năng lượng biến

dạng và hệ số tập trung ứng suất cùng với định lý Castigliano, người ta đã tính

được độ mềm cục bộ c tại miền bị nứt (bằng không trong trường hợp không có

vết nứt) bằng:

), ( ) / 6 (

M

trong đó h là chiều cao, b là độ rộng của mặt cắt ngang hình chữ nhật, EI độ

cứng chống uốn, s = a/h là đại lượng không thứ nguyên, a là độ sâu vết nứt và

hàm

, 56 66 97 143 172

9 126 81

76 226 37 375 16 95 3 86

/

1 c bEI hF s

Chính điều này đã đưa đến ý tưởng có thể mô hình hóa vết nứt bằng một lò xo

tương đương với độ cứng K tại mặt cắt chứa vết nứt (Hình 2.6c) Như vậy,

b

người ta hoàn toàn có thể mô tả vết nứt trong dầm đàn hồi bằng một lò xo liên

kết hai phía của vết nứt với độ cứng được xác định bằng thực nghiệm và lý

thuyết cơ học phá hủy theo biểu thức (2.22)

Về mặt toán học, người ta đã sử dụng biểu thức mô tả sự thay đổi độ cứng

uốn của dầm tại mặt cắt vết nứt ở dạng

)]

( ˆ 1 [ )

( )

trong đó, E 0x I 0x là độ cứng chống uốn của dầm không bị nứt và γˆ là tham số biểu

diễn mức độ thay đổi độ cứng tại vị trí vết nứt Điều lý thú là sử dụng biểu thức

(2.23) người ta đã chứng minh được mối liên hệ giữa tham số γˆ và độ cứng lò

xo K nêu trên Như vậy, mô hình lò xo tương đương cũng có thể được mô tả một

cách toán học bằng công thức (2.23) Tuy nhiên, cách tính độ cứng của lò xo

tương đương đã được nhiều tác giả nghiên cứu và đưa ra các công thức thực

nghiệm khác nhau Biểu diễn độ cứng ở vị trí vết nứt dưới dạng chung theo

Caddemi, S and Caliò.I [4] là

) (

1

0

0 0 0

s C h

I E

trong đó, hàm C0(s) được xác định theo một số tác giả như sau:

Theo Liebowitz và cộng sự [29], [31], Okamura và cộng sự [42], Rizos

cùng cộng sự [51] là

).

56 66 97 143 172

9 126 81

76

226 37 375 16 95 3 86 1 ( 346 5 ) (

10 9

8 7

6

5 4

3 2

0

s s

s s

s

s s

s s

s C

+

− +

− +

− +

−

=

(2.24) Ostachowicz và Krawczuk [43] đã đưa ra công thức

).

4909 2 332 7 553 7

1773 5 7201 3 035 1 6384 0 ( 6 ) (

6 5

4

3 2

2 0

s s

s

s s

s s

s C

+

− +

− +

−

= π

(2.25) Ngoài ra, Bilello [3] đề nghị

) 1 ( 9 0

) 2 ( )

Chondros và cộng sự [8] đã đưa ra công thức tính độ mềm cục bộ như sau

).

6 19 7556 40 1063 47 0351 33 2948 20

9736 9 5948 4 04533 1 6272 0 )(

1 ( 6 ) (

10 9

8 7

6

5 4

3 2

2 0

s s

s s

s

s s

s s

s C

+

− +

− +

− +

−

−

= π ν

(2.27)

2.3.2 Mô hình liên tục của dầm có vết nứt

Cho đến nay, nhiều tác giả đã sử dụng mô hình lò xo tương đương để nghiên cứu dao động của dầm có vết nứt Trong trường hợp bài toán dao động riêng của dầm sử dụng mô hình vết nứt lò xo thì phương trình dao động của dầm

có vết nứt vẫn giữ nguyên và vết nứt được thay bằng các điều kiện tương thích tại vết nứt và được tiến hành một cách truyền thống là: chia dầm thành nhiều đoạn liên kết với nhau tại vết nứt bằng các lò xo và ngoài yêu cầu thỏa mãn hai điều kiện biên, cần phải thỏa mãn điều kiện tương thích tại các vết nứt đưa ra bởi Rizos và cộng sự [51]:

Chuyển vị bên trái vết nứt bằng chuyển vị bên phải vết nứt

c

x x

x

EI x

x x

Lực cắt bên trái vết nứt bằng lực cắt bên phải vết nứt

,

|

3 3

1 3

c

x x

x

EI x

x x

Chênh lệch góc xoay xác định như sau

.

| ) (

|

2 0 1

2

c c

x x

x s C h x

Đối với dầm có một vết nứt tại vị trí x c người ta chia dầm thành hai đoạn

dầm nguyên vẹn liên kết với nhau tại x c Độ võng của dầm cần thỏa mãn điều

kiện tương thích trên tại vị trí vết nứt x c và điều kiện biên ở hai đầu dầm (x = 0

và x = L) Như vậy, vết nứt không tham gia vào phương trình dao động của dầm

mà chỉ thêm vào các điều kiện tương thích tương tự như các điều kiện liên kết

đã biết

Đối với dầm có nhiều vết nứt người ta cũng chia dầm thành nhiều đoạn nguyên vẹn liên kết tại các vị trí vết nứt và dạng riêng của từng đoạn phải thỏa mãn các điều kiện liên kết tại vết nứt Đây là, mô hình vết nứt đơn giản và thuận tiện nhất cho đến nay Nó đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm Trong các phần tiếp theo của luận án sẽ sử dụng mô hình này để tính toán bài toán dao động riêng dầm