CỰC TRỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI KHI CHO BẢNG BIẾN THIÊN
Câu 14 (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Đồ thị của hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị?
Do đồ thị y f x cắt trục Ox tại 1 điểm nên đồ thị y f x sẽ có 3 điểm cực trị
Câu 15 (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như sau
Số điểm cực trị của hàm số y f x ( ) là
Gọi đồ thị của hàm số y f x là C Đặt g x f x và gọi C là đồ thị của hàm số y g x Đồ thị C được suy ra từ đồ thị C như sau:
+) Giữ nguyên phần đồ thị của C phía trên Ox ta được phần I
+) Với phần đồ thị của C phía dưới Ox ta lấy đối xứng qua Ox, ta được phần II
Hợp của phần I và phần II ta được C
Từ cách suy ra đồ thị của C từ C , kết hợp với bảng biến thiên của hàm số y f x ta có bảng biến thiên của hàm số y g x f x như sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y f x ( ) có 5 điểm cực trị
Câu 16 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Ta có đồ thị hàm số có dạng như bên:
Dễ thấy đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị
Câu 17 (SỞ PHÚ THỌ LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số y f x( )có bảng biến thiên như hình vẽ
Xét hàm số y g x ( ) f x 4 2018 2019 Số điểm cực trị của hàm số g x( )bằng
Gọi ( )C là đồ thị của hàm số y f x( )
Khi đó hàm số y f x 4 có đồ thị ( ')C với ( ')C là ảnh của ( )C qua phép tịnh tiến sang phải
Từ bảng biến thiên của hàm y f x( ) suy ra bảng biến thiên của hàm số y f x 4 là :
Từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số y f x 4 là
Vậy hàm số y f x 4 cho có 9 cực trị
Do đó hàm số y g x ( ) f x 4 2018 2019 có 9 cực trị
Câu 18 Cho hàm số xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau ?
Hỏi đồ thị hàm số có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị ?
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung cho thấy đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương Điều này xác định rằng điểm cực tiểu của hàm số xuất hiện ở phía bên phải của trục tung, giúp xác định chính xác vị trí của các điểm cực trị trên đồ thị Khi đó, đồ thị hàm số sẽ có các điểm giao với trục hoành tại các giá trị hoành độ dương, thể hiện sự biến thiên của hàm số theo chiều dương của trục hoành.
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tối đa điểm
Hàm số có điểm cực trị
Suy ra hàm số sẽ có tối đa điểm cực trị
Câu 19 (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN V NĂM 2019) Cho hàm số y f x( ) là một hàm đa thức có bảng xét dấu của f x'( ) như sau
Số điểm cực trị của hàm số g x ( ) f x 2 x là
Vậy g x có 5 điểm cực trị
Hàm số \( y = g(x) = f(x^3) \) có số điểm cực trị phụ thuộc vào bảng xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \) Với các số thực \( c > b > a > 0 \), ta phân tích số điểm cực trị của hàm số dựa trên tính chất đạo hàm và đồ thị Việc xác định số điểm cực trị của hàm số \( y = g(x) \) dựa vào sự biến thiên của đạo hàm liên tục của hàm gắn liền với bảng xét dấu của đạo hàm của hàm số \( f \) Điều này giúp xác định vị trí các điểm cực trị và số lượng chúng của hàm số đã cho.
Dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm ta có:
Ta thấy, dấu của hàm số h x chính là dấu của hàm số f x 3 (vì x 2 0, x )
Mặt khác hàm số y x 3 là hàm đồng biến trên nên dấu của hàm số f x 3 trên mỗi khoảng
m n ; chính là dấu của hàm số f x trên mỗi khoảng m n 3 ; 3
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số h x :
Do đó từ bảng biến thiên của hàm số h x( ) ta suy ra được bảng biến thiên của hàm số g x( ) như sau:
Vậy số điểm cực trị của hàm số g x là 5
Câu 21 Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị khi
Vì hàm đã cho có điểm cực trị nên cũng luôn có điểm cực trị
Để xác định số giao điểm của đồ thị với trục hoành, ta cần tịnh tiến đồ thị xuống dưới một khoảng lớn hơn 1 nhưng nhỏ hơn 2 Điều này giúp dễ dàng xác định các điểm giao của đồ thị với trục hoành, từ đó tính toán chính xác số giao điểm mong muốn Yêu cầu bài toán là tìm số giao điểm của đồ thị với trục hoành dựa trên phép tịnh tiến này.
Câu 22 (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hàm số y f x xác định trên và có bảng biến thiên như hình vẽ:
Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m (với m;m 2019) để đồ thị hàm số y m f x có đúng 7 điểm cực trị?
+ Từ bảng biến thiên của hàm số y f x ta có đồ thị hàm số y f x và y f x như hình vẽ sau: Đồ thị y f x Đồ thị y f x
+ Từ đồ thị ta có y f x có 5 điểm cực trị
(Chú ý: Hàm số y f x có a2 điểm cực trị dương nên hàm số y f x có số điểm cực trị là 2a 1 5 Nên không cần vẽ đồ thị)
Hàm số y = f(x) có 5 điểm cực trị, do đó, hàm số y = + m f(x) cũng có 5 điểm cực trị Điều này xảy ra vì đồ thị của hàm số y = + m f(x) được suy ra từ đồ thị y = f(x) bằng cách tịnh tiến theo phương trục Oy, giữ nguyên số lượng điểm cực trị của hàm số ban đầu.
+ Số điểm cực trị của hàm số y m f x bằng số cực trị của hàm số y m f x và số nghiệm đơn hoặc bội lẻ của phương trình f x m 0
Vậy để y m f x có 7 điểm cực trị thì phương trình f x m 0 có hai nghiệm đơn hoặc bội lẻ
Từ đồ thị hàm số y f x ta có: 5 1 1 5
Vậy từ 1 , 2 và kết hợp điều kiện m ta có 2024 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán y = f(x) x y
CỰC TRỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI KHI CHO ĐỒ THỊ
Câu 23 (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho hàm số y f x liên tục trên có đồ thị như hình vẽ Số điểm cực trị của hàm số y f x là
Để xác định đồ thị hàm số y = f(x), ta giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục Ox, đồng thời lấy phần nằm dưới trục Ox đối xứng qua trục Ox Phương pháp này giúp dễ dàng hình thành hình ảnh của đồ thị hàm số dựa trên sự phản xạ đối xứng, đảm bảo tính đúng đắn trong việc vẽ và phân tích đồ thị hàm số y = f(x).
Từ đồ thị suy ra hàm số y f x có 5 điểm cực trị
Câu 24 Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
Dựa trên đồ thị, ta nhận thấy hàm số có điểm cực trị dương, cho thấy sự thay đổi về giá trị của hàm số tại các điểm này Các điểm cực trị này không bị ảnh hưởng bởi phép tịnh tiến, do đó, chúng vẫn giữ nguyên vị trí và đặc điểm ban đầu Hiểu rõ các điểm cực trị giúp phân tích và hình dung rõ hơn về đồ thị của hàm số, hỗ trợ trong việc xác định các giới hạn và xu hướng biến thiên của hàm số đó.
Câu 25 Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới Đồ thị hàm số có tổng tung độ của các điểm cực trị bằng ?
Lời giải Chọn C Đồ thị hàm số có được bằng cách
Tịnh tiến đề thị hàm số lên trên đơn vị ta được
Lấy đối xứng phần phía dưới của đồ thị hàm số qua ta được
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra tọa độ các điểm cực trị là tổng tung độ các điểm cực trị bằng
Câu 26 Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f x '
Hàm số g x f x 2018 có bao nhiêu điểm cực trị ?
Từ đồ thị hàm số f x ta thấy f x cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (và 1 điểm có hoành độ âm)
f x có 2 điểm cực trị dương
f x có 5 điểm cực trị với mọi m (vì tịnh tiến lên trên hay xuống dưới không ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số)
Câu 27 Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
Bảng biến thiên của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên suy ra
Đồ thị hàm số có điểm cực trị
Đồ thị hàm số cắt trục tại điểm phân biệt
Suy ra đồ thị hàm số có điểm cực trị
Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn đã cho và có đồ thị đặc trưng, giúp xác định chính xác số điểm cực trị Theo đề bài, cần kiểm tra các điểm cực trị của hàm số để hiểu rõ hơn về các điểm đạt cực trị trên đồ thị Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) phản ánh các điểm đạt cực đại hoặc cực tiểu, góp phần vào việc phân tích đặc điểm của đồ thị Căn cứ vào hình vẽ và tính chất liên tục của hàm số, ta xác định tổng số điểm cực trị của hàm số y = f(x) Việc biết số điểm cực trị là quan trọng trong việc phân tích chiều hướng của đồ thị và ứng dụng trong các bài toán liên quan.
Gọi các nghiệm của phương trình f x 0lần lượt là x x x 1 ; 2 ; 3 trong đó x 1 0x 2 1 x 3
Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số y f x như sau:
Nên hàm số có 7 cực trị
Hàm số y f x có một cực trị dương là x1 và phương trình f x 0có 2 nghiệm dương nên hàm số y f x có 3 cực trị và phương trình f x 0 có 4 nghiệm nên hàm số
Cách khác: Từ đồ thị của hàm số y f x
Ta có đồ thị hàm số y f x là:
Và đồ thị hàm số y f x là:
Từ đồ thị suy ra hàm số y f x có 7 điểm cực trị
Câu 29 Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
Để hiểu rõ về đồ thị hàm số, trước tiên cần biết rằng quá trình dựng đồ thị bắt đầu bằng việc tịnh tiến hình của hàm số sang phải một đơn vị, sau đó mới thực hiện phép đối xứng Điều này giúp xác định chính xác vị trí và hình dạng của đồ thị trên mặt phẳng toạ độ, từ đó dễ dàng phân tích và nhận diện các đặc điểm của hàm số.
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra hàm số có điểm cực trị
Câu 30 Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số như sau:
Bước 1: Lấy đối xứng qua nhưng vì đồ thị đã đối xứng sẵn nên bước này bỏ qua
Bước 2: Tịnh tiến đồ thị ở Bước 1 sang phải đơn vị
Bước 3: Tịnh tiến đồ thị ở Bước 2 lên trên đơn vị
Phép tịnh tiến không ảnh hưởng đến số cực trị của hàm số, do đó, chúng ta không cần quan tâm đến các bước 2 và 3 trong quá trình phân tích Từ nhận xét ở bước 1, ta có thể khẳng định rằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số, đồng thời những điểm này đều là điểm cực trị của hàm số.
Câu 31 (Thị Xã Quảng Trị) Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ Số điểm cực trị của hàm số
Xét f' x 0 dựa vào đồ thị có hai nghiệm x0; x2
Xét 2 5 0 ( ) 5 f x f x 2 dựa vào đồ thị có ba nghiệm x 1 , , x 2 x 3 thỏa mãn
Do đó hàm số y 2 f x 5 3 có 5 điểm cực trị
Câu 32 (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) Cho hàm số đa thức y f x có đạo hàm trên ,
0 0 f và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f x Hỏi hàm số g x f x 3 x có bao nhiêu điểm cực trị ?
Với x 2 là nghiệm kép vì qua nghiệm x 2 thì h x không đổi dấu
Dựa vào đồ thị hàm số của f x , ta có:
Bảng biến thiên của hàm h x f x 3 x :
Từ đó ta suy ra bảng biến thiên của hàm số g x f x 3 x h x :
Hàm số g x f x 3 x h x có 5 điểm cực trị
Câu 33 (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Cho hàm số đa thức f x mx 5 nx 4 px 3 qx 2 hx r
, m n p q h r , , , , , Đồ thị hàm số y f x (như hình vẽ bên dưới) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ lần lượt là 1; 3
Số điểm cực trị của hàm số g x f x m n p q h r là
3 là nghiệm của phương trình f x 0 nên:
Đồng nhất hệ số, ta được 25 215 35 275
có bốn nghiệm phân biệt, nên h x có bốn cực trị
4 12 3 4 2 h x mx mx mx mx mx r m r
Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình h x 0 k x 0 có 3 nghiệm đơn phân biệt Vậy hàm số g x có 7 cực trị
Hàm số y = 2(f(x) - x - 1)² có tối đa bao nhiêu điểm cực trị dựa trên đồ thị của hàm số f(x) là câu hỏi quan trọng trong phân tích toán học Xác định số điểm cực trị của hàm này giúp hiểu rõ hơn về đặc điểm đồ thị và các điểm đổi chiều của hàm số liên quan đến hàm f(x) Việc phân tích các điểm cực trị giúp làm rõ tính chất hàm số, từ đó nâng cao khả năng ứng dụng trong các bài toán liên quan Để tìm số điểm cực trị tối đa, cần xem xét kỹ các điểm tới hạn của hàm số, đồng thời dựa vào đồ thị của f(x) đã cho Đây là một kỹ năng quan trọng trong biểu diễn và phân tích hàm số đa thức trong toán học nâng cao.
Tìm số điểm cực trị của g x
Kẻ đường thẳng y x 1cắt đồ thị f x tại bốn điểm phân biệt có hoành độ 0; 1; 2; 3
Hàm số g(x) có hai điểm cực trị tại x = 0 và x = 1 Tại các điểm x = 2 và x = 3, hàm số tiếp xúc, dẫn đến đạo hàm g'(x) đổi dấu khi qua các điểm x = 0 và x = 1 Điều này cho thấy sự biến thiên của hàm g(x), giúp xác định các điểm cực trị và đặc điểm hình học của đồ thị hàm số. -Cần tóm tắt chuẩn SEO và cô đọng về hàm số cực trị? Khám phá dịch vụ viết lại bài chuẩn chuyên sâu chỉ với vài câu ngắn gọn!
Ta tìm số nghiệm của phương trình g x 0.
Suy ra phương trình có tối đa ba nghiệm phân biệt
Vậy hàm số y g x( ) có tối đa 2 + 3 = 5 điểm cực trị
Câu 35 (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x xác định trên có f 3 8 ;
4 9 f 2 ; 2 1 f 2 Biết rằng hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số
2 1 y f x x có bao nhiêu điểm cực trị?
Số cực trị của hàm số y = f(x) bằng tổng số cực trị của hàm số y = f(x) và số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành Đặt g(x) = 2f(x) (−x−1)² và h(x) = 2f(x) (−x−1), giúp phân tích và xác định các điểm cực trị cũng như các giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành dễ dàng hơn.
Dự vào đồ thị, nghiệm của phương trình (*) là hoành độ giao điểm của đồ thị y f x và đường thẳng y x 1, ta có:
Ta có bảng biến thiên của hàm số h x như sau:
4 2 4 4 1 2 0 h f vì 4 9 f 2 Suy ra h x 0 có đúng hai nghiệm phân biệt x 1 3; 1 và x 23; 4
Suy ra g x h x có đúng 5 điểm cực trị
Câu 36 Cho hàm số y f x và đồ thị hình bên là đồ thị của đạo hàm f x ' Hỏi đồ thị của hàm số
2 1 2 g x f x x có tối đa bao nhiêu điểm cực trị ?
Lời giải Chọn B Đặt h x 2 f x x 1 2 h x ' 2 ' f x 2 x 1 Ta vẽ thêm đường thẳng y x 1
Lập bảng biến thiên của hàm số \( h(x) \) giúp xác định các điểm cực trị của hàm số \( g(x) \) Đồ thị của \( g(x) \) có nhiều điểm cực trị nhất khi \( h(x) \) có nhiều giao điểm với trục hoành nhất Vì thế, nếu đồ thị của \( h(x) \) cắt trục hoành tại tối đa 6 điểm, thì đồ thị của \( g(x) \) sẽ có tối đa 11 điểm cực trị Điều này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa số lần cắt trục hoành của \( h(x) \) và số điểm cực trị của \( g(x) \).
Hàm số \( y = f(x) + 2x - f \) có thể có nhiều điểm cực trị nhất trong khoảng \((-2; 3)\) Dựa vào đồ thị của hàm số \( y = f'(x) \), ta xác định số điểm cực trị của hàm số này dựa trên các điểm nghịch biến của hàm số đạo hàm Nếu \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm hoặc ngược lại trong khoảng \((-2; 3)\), thì hàm số sẽ có điểm cực trị tại các điểm đó Tối đa, hàm số này có thể có nhiều nhất là ba điểm cực trị trong đoạn đã cho, tùy thuộc vào số lần \( f'(x) \) đổi dấu.
(Nhận xét:x2 là nghiệm bội lẻ, x0 có thể nghiệm bội lẻ hoặc nghiệm bội chẳn tuy nhiên không ảnh hưởng đáp số bài toán)
Suy ra hàm số y g x có nhiều nhất 3 điểm cực trị trong khoảng 2 ; 3
Câu 38 (Đặng Thành Nam Đề 17) Cho hàm số y f x( ) là một hàm đa thức có đồ thị như hình vẽ
Số điểm cực trị của hàm số y f x 2 2 x là
Dựa theo đồ thị hàm số f x( ), ta thấy f x( ) có 2 cực trị tại x 1; x1 Do đó
+ Với 1 2x 1 2 thì 0 x 1 2 2 1 x 2 2x 1 Khi đó, f ' x 2 2 x 0 (theo đồ thị hàm số f x( ))
+ Với x 1 2 hay x 1 2 thì x 1 2 2 x 2 2x 1 Khi đó, f ' x 2 2 x 0 (theo đồ thị hàm số f x( ))
Từ đó, ta có bảng xét dấu của f x 2 2 x '
Bảng biến thiên của y f x 2 2 x như sau
Vậy hàm số y f x 2 2 x có 5 cực trị
Câu 39 Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên và có f 2 0 và đồ thị hàm số f x như hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A Hàm số y f 1 x 2018 nghịch biến trên khoảng ; 2
B Hàm số y f 1 x 2018 có hai cực tiểu
C Hàm số y f 1 x 2018 có hai cực đại và một cực tiểu
D Hàm số y f 1 x 2018 đồng biến trên khoảng 2;
Lời giải Chọn C ừ đồ thị của f x ta có bảng biến thiên sau:
Từ giả thiết f 2 0 và 1 x 2018 1 f 1 x 2018 0 với mọi x Đặt t 1 x 2018 , ta có
Do đó, ta có bảng biến thiên của y g x như sau:
Câu 40 Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình bên
Tất cả các giá trị của tham số để hàm số có ba điểm cực trị là
Nhận xét: Đồ thị hàm số gồm hai phần:
Phần 1 là phần đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành;
Phần 2 là phần đối xứng của đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành
Dựa vào đồ thị của hàm số đã cho hình bên ta suy ra dạng đồ thị của hàm số
Khi đó hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số và trục hoành tại nhiều nhất hai điểm chung
Câu 41 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới Tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số có 5 điểm cực trị là
Vì hàm f x đã cho có 2 điểm cực trị nên f x m cũng luôn có 2 điểm cực trị
Để bài toán có đúng 3 giao điểm của đồ thị \( f(x) + m \) với trục hoành, ta cần xác định giá trị của tham số \( m \) sao cho phương trình có đúng ba nghiệm thực Điều kiện để đảm bảo số giao điểm là \( f(x) + m \) cắt trục hoành tại ba điểm khác nhau, đòi hỏi phải phân tích đặc điểm của hàm số \( f(x) \) và tìm các giá trị của \( m \) phù hợp Thông qua việc xét nghiệm cực trị và nghiệm của phương trình, ta có thể xác định chính xác các giá trị của \( m \) để đảm bảo đồ thị của hàm số có đúng 3 điểm cắt trục hoành.
Tịnh tiến đồ thị f x xuống dưới nhỏ hơn 1 đơn vị => m 1
Tịnh tiến đồ thị f x lên trên nhỏ hơn 3 đơn vị => m3
Câu 42 Cho hàm số xác định trên R và hàm số có đồ thị như hình bên dưới Đặt
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có 5 điểm cực trị?
Dựa trên đồ thị hàm số, ta có thể nhận thấy các điểm cắt trục hoành đều nằm trên các vị trí có hoành độ dương hoặc âm, thể hiện mối liên hệ rõ ràng giữa đồ thị và trục hoành Những điểm cực trị của hàm số luôn xuất hiện tại các vị trí xác định, mang ý nghĩa quan trọng trong việc phân tích đặc điểm của hàm số Đặc biệt, sự dịch chuyển của đồ thị theo chiều trái hoặc phải không ảnh hưởng đến số lượng các điểm cực trị của hàm số, chỉ thay đổi vị trí của chúng trên trục hoành Các tính chất này giúp hiểu rõ hơn về cách hàm số hoạt động và có thể ứng dụng trong các bài toán tối ưu hoặc mô hình toán học.
Đồ thị hàm số có thể được tạo thành bằng cách thực hiện các phép biến đổi hình học theo thứ tự nhất định Để có được đồ thị hàm số chính xác, bạn cần lưu ý rằng việc lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến sẽ cho ra kết quả khác so với việc tịnh tiến trước rồi mới lấy đối xứng Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của thứ tự các phép biến đổi trong quá trình dựng đồ thị hàm số Chọn đúng thứ tự phép biến đổi đảm bảo đồ thị phản ánh chính xác đặc điểm của hàm số cần phân tích, giúp học sinh dễ dàng hình dung và hiểu rõ hơn về đồ thị hàm số.
Câu 43 Cho hàm số xác định trên R và hàm số có đồ thị như hình bên dưới Đặt
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có đúng 5 điểm cực trị?
Từ đồ thị ta có Suy ra bảng biến thiên của
Yêu cầu bài toán hàm số có điểm cực trị dương (vì khi đó lấy đối xứng qua ta được đồ thị hàm số có đúng điểm cực trị)
Từ bảng biến thiên của suy ra luôn có điểm cực trị dương tịnh tiến (sang trái hoặc sang phải) phải thỏa mãn
Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn đơn vị
Tịnh tiến sang phải không vượt quá đơn vị
Câu 44 (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG)Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số có điểm cực trị ?
+ Đồ thị của hàm số được suy ra từ đồ thị ban đầu như sau:
-Tịnh tiến sang phải một đơn vị, sau đó tịnh tiến lên trên (hay xuống dưới) đơn vị Ta được đồ thị
-Phần đồ thị nằm dưới trục hoành, lấy đối xứng qua trục ta được đồ thị của hàm số
Để hàm số có điểm cực trị, đồ thị của hàm số phải cắt trục tại các điểm đặc biệt hoặc có các điểm giao nhau với trục Ox hoặc Oy Bảng biến thiên của hàm số giúp xác định các điểm cực trị dựa trên sự thay đổi của dấu đạo hàm Khi đồ thị chạm hoặc cắt trục tại những điểm này, chúng ta có thể xác định vị trí của các điểm cực trị của hàm số Việc phân tích bảng biến thiên là bước quan trọng để hiểu rõ hơn về đặc điểm của đồ thị hàm số.
+ TH1: Tịnh tiến đồ thị lên trên Khi đó
+ TH2: Tịnh tiến đồ thị xuống dưới Khi đó
Vậy có 3 giá trị nguyên dương
Câu 45 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc đoạn để hàm số có 5 điểm cực trị ?
Vì hàm đã cho có điểm cực trị nên cũng luôn có điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị)
Do đó yêu cầu bài toán số giao điểm của đồ thị với trục hoành là Để số giao điểm của đồ thị với trục hoành là ta cần
Tịnh tiến đồ thị xuống dưới tối thiểu đơn vị
Hoặc tịnh tiến đồ thị lên trên tối thiểu đơn vị nhưng phải nhỏ hơn đơn vị
Câu 46 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Với thì hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
Lời giải chọn C, vì đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hà số ban đầu bằng cách lấy đối xứng trước, sau đó mới thực hiện phép tịnh tiến Quá trình lấy đối xứng trước giúp xác định vị trí mới của đồ thị, từ đó dễ dàng áp dụng các phép biến đổi tiếp theo để có đồ thị hàm số chính xác.
CỰC TRỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA HÀM ĐA THỨC CHỨA THAM SỐ
3 3 2 2 y mx mx m x m có 5 điểm cực trị
Yêu cầu đề bài tương đương phương trình
3 3 2 2 0 1 2 2 0 mx mx m x m x mx mxm có ba nghiệm phân biệt
có tất cả 10 giá trị
Câu 2 Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số
Câu 3 Cho hàm số f x mx 3 3 mx 2 3 m 2 x 2 m với m là tham số thực Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 10;10 để hàm số g x f x có đúng 5 điểm cực trị ?
Cách 1: Để g x f x có 5 điểm cực trị f x 0 có 3 nghiệm phân biệt. *
Do đó * phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác
Cách 2: Hàm số y mx 3 3 mx 2 3 m 2 x 2 m có 5 điểm cực trị
đồ thị hàm số y mx 3 3 mx 2 3 m 2 x 2 m cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
phương trình mx 3 3 mx 2 3 m 2 x 2 m 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt
Ta có (1) x 1 mx 2 2 mx m 2 0 f x x 1 mx 2 2 mx m 2 0(2)
Yêu cầu bài toán phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt khác 1
m Vì m nguyên và m 10;10 , nên m1, 2,3, ,10 Vậy có 10 giá trị của mthỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 4 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x 3 3x 2 m có 5 điểm cực trị
Yêu cầu đề bài tương đương với y 0 y 2 0 m m 4 0 0 m 4
Câu 5 (Nguyễn Đình Chiểu Tiền Giang) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
Lời giải Chọn A Đặt f x( )x 3 3x 2 m Ta có 2 0
Hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị Vì vậy, hàm số này có thể có tới 5 điểm cực trị nếu và chỉ khi đồ thị của nó cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Điều này cho thấy mối liên hệ giữa số điểm cực trị của hàm số và số điểm giao cắt với trục hoành, góp phần hiểu rõ hơn về đặc điểm hình học của đồ thị hàm số y = f(x).
Từ bảng biến thiên ta có điều kiện cần tìm là m 4 0 m 4 m0
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu
Câu 6 Có bao nhiêu số nguyên m10để hàm số y x 3 mx1 có 5điểm cực trị
yêu cầu bài tóan tương đương hàm số f x x 3 mx 1có hai điểm cực trị và phương trình
0 f x có ba nghiệm thực phân biệt ta có
khi đó điều kiện để có 3 nghiệm phân biệt là
Chọn D chú ý các em có thể đưa về xét hàm số 2 1
x cho kết quả tương tự
Câu 7 `Tìm tất cả các giá trị của mđể hàm số f x( ) x 3 3x 2 3 m có ba điểm cực trị
Phân tích đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng phép biến đổi đồ thị giúp dễ dàng hình dung và hiểu rõ đặc điểm của hàm Sử dụng bảng biến thiên để nhận xét hình dạng của đồ thị là bước quan trọng, giúp xác định các điểm cực trị của hàm số một cách chính xác Nhờ đó, ta có thể kết luận chính xác về các cực trị của hàm số dựa trên phân tích đồ thị và bảng biến thiên, nâng cao hiệu quả trong việc nghiên cứu và ứng dụng hàm số trong toán học.
Phân tích: Xét hàm số y g x( )x 3 3x 2 3 m trên Hệ số a 1 0.
Hàm sốy g x( ) luôn có hai cực trị
Nếu g x( ) 0 có 3 nghiệm hay trục hoành giao với đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt thì hàm số y g x( ) có năm cực trị
Nếu g x( ) 0 có một hoặc hai nghiệm thì hàm số y g x( ) sẽ có ba cực trị Điều kiện: g x( cd ) (g x ct ) 0 g(0) ( 2) 0g hay 3
Câu 8 Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn 2017; 2017 để hàm số y x 3 3 x 2 m có 3 điểm cực trị?
Yêu cầu đề bài tương đương với 0 2 0 4 0 4
Do đó m 2017, , 2017có 2018 2014 4032số nguyên thỏa mãn
Câu 9 Cho hàm số yx 3 3x 2 9 Tìm m để đồ thị hàm số y f x m có ba điểm cực tiểu
Lời giải Chọn B Đặt F x f x m Đặt d
F x khi F x Để hàm số có 3 điểm cực tiểu d 0
m m m (Minh họa đồ thị bên dưới)
Vậy khoản g cách lớn nhất là 10
Câu 10 (Hải Hậu Lần 1) Gọi S là tập giá trị nguyên m 0 100 ; để hàm số
3 4 12 8 y x mx m m có 5 cực trị Tính tổng các phần tử của S
Lời giải Chọn D Để hàm số y x 3 3mx 2 4m 3 12m8 có 5 cực trị khi và chỉ khi hàm số
3 4 12 8 yx mx m m có 2 cực trị nằm về hai phía đối với trục Ox
Hai cực trị của hàm số y f x là: A 0 4 ; m 3 12 m 8 ,B 2 m; 12 m 8 Để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục Ox khi và chỉ khi 4 m 3 12 m 8 12 m 8 0 m ; 1 1 ; 2 3 2 ;
Vậy tổng các giá trị của m là: 3 100 98
Câu 11 [THPT Hoàng Hoa Thám, Hưng Yên, lần 1, năm 2018]
Tổng các giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3 3 2 9 5
2 y x x x m có 5 điểm cực trị là
Xét đồ thị hàm số yx 3 3x 2 9x5 Đồ thị hàm số 3 3 2 9 5
2 yx x x m có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số
2 m đơn vị nếu m0 hoặc tịnh tiến xuống dưới
TH1 m0, ta có đồ thị như sau
2 y x x x m có ba cực trị Không thỏa yêu cầu bài toán
m , ta có đồ thị như sau
2 y x x x m có năm cực trị Thỏa yêu cầu bài toán
2 m , ta có đồ thị như sau
2 y x x x m có ba cực trị Không thỏa yêu cầu bài toán
Vậy tất cả các giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là
Vậy tổng các giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là 2016
Phương trình dạng ax³ + bx² + cx + d = 0 (với a ≠ 0) có đúng hai nghiệm thực khi đạo hàm của hàm số y = ax³ + bx² + cx + d có hai nghiệm phân biệt Điều này đồng nghĩa với việc đồ thị hàm số có hai điểm cực trị, thể hiện rõ nét qua sự thay đổi của chiều của đồ thị tại các điểm này Số điểm cực trị của hàm số này luôn là hai, phản ánh sự tồn tại của một điểm cực đại và một điểm cực tiểu trên đồ thị Do đó, hàm số bậc ba có đúng hai điểm cực trị khi phương trình đạo hàm của nó có hai nghiệm phân biệt, đảm bảo sự cân bằng và đối xứng trong hình dạng của đồ thị.
Phương trình ax 3 bx 2 cxd 0, a 0 là sự tương giao của đồ thị hàm số
0 ax bx cxd , a 0 và trục hoành
Do phương trình ax 3 bx 2 cxd 0, a 0có đúng hai nghiệm thực nên phương trình
0 ax bx cxd có thể viết dưới dạng a x x 1 2 xx 2 0 với x 1 , x 2 là hai nghiệm thực của phương trình (giả sử x 1 x 2 ) Khi đó đồ thị hàm số y ax 3 bx 2 cx d a 0 tiếp xúc trục hoành tại điểm có hoành độ x 1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x 2 Đồ thị hàm số y ax 3 bx 2 cx d a 0 ứng với từng trường hợp a0 và a0: Đồ thị hàm số y ax 3 bx 2 cx d a 0 tương ứng là
Vậy đồ thị hàm số y ax 3 bx 2 cx d a 0 có tất cả 3 điểm cực trị
Câu 13 Có bao nhiêu số nguyên m 10;10 để hàm số y x 3 3 mx 2 3 m 2 4 | | 1 x có đúng 5 điểm cực trị
Ta có ycbt y x 3 3 mx 2 3 m 2 4 x 1 có hai điểm cực trị dương
Câu 14 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x 3 2 m 1 x 2 3 m x 5 có 5 điểm cực trị
Lời giải yêu cầu bài toán tương đương hàm số y x 3 2 m 1 x 2 3 mx 5có 2 điểm cực trị dương, tức 3 x 2 2 2 m 1 x 3 m 0có 2 nghiệm dương phân biệt, tức
Câu 15 Cho hàm số f x x 3 2 m 1 x 2 2 m x 2.Tìm tập hợp giá trị thực của tham số mđể hàm số y f x có năm điểm cực trị
Ta có 52a 1 a2là số điểm cực trị dương của hàm số y f x
Câu 16 (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Các giá trị của m để đồ thị hàm số 1 3 2 6 2019 y3 x mx m x có 5 điểm cực trị là
Xét hàm số: 1 3 2 6 2019 y3x mx m x TXĐ: D
Ta có: y x 2 2 mx m 6 Để đồ thị hàm số 1 3 2 6 2019 y3 x mx m x có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số
1 6 2019 y3x mx m x có 2 điểm cực trị nằm bên phải trục tung
phương trình y x 2 2 mx m 6 0 có hai nghiệm dương phân biệt
Câu 17 Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y x 3 3 mx 2 3 m 2 4 | | 1 x có đúng 3 điểm cực trị
Ta có ycbt y x 3 3 mx 2 3 m 2 4 x 1 có đúng một điểm cực trị dương
có đúng một nghiệm dương
Câu 18 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể hàm số y x 3 2 m 1 x 2 3 m x 5 có 3 điểm cực trị
Hàm số \(f(x) = x^3 - (2m + 1)x^2 + 3mx - 5\) có điểm cực trị được xác định dựa trên đạo hàm Nếu điểm cực trị là dương, thì phương trình \(f'(x) = 0\) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(x_1 \leq 0 < x_2\), điều này tương ứng với \(m \leq 0\).
Câu 19 Cho hàm số f x x 3 2 m 1 x 2 m 2 x 1 Có bao nhiêu số nguyên m 5;5 để hàm số y f x có đúng ba điểm cực trị
Hàm số y = f(x) có đúng 3 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số y = f(xc) có đúng một điểm cực trị dương Điều này tương đương với việc đạo hàm f’(x) bằng 0 tại điểm x, dẫn đến phương trình g(x) = 3x² – 2(m+1)x + m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ < x₂.
Vậy m 5, 4, 3 có 3 số nguyên thỏa mãn
Câu 20 Cho hàm số f x x 3 2 m 1 x 2 m 2 x 1 Có bao nhiêu số nguyên m 5;5 để hàm số y f x có năm điểm cực trị
Hàm số y = f(x) có đúng 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số y = f(c) có hai điểm cực trị dương Điều này tương đương với điều kiện f'(x) = 0 ⇔ g(x) = 3x² - 2(m + 1)x + (m + 2) = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ < x₂ Các nghiệm phân biệt này thỏa mãn điều kiện x₁ < x₂, phản ánh số lượng và vị trí các điểm cực trị của hàm số.
Vậy m 2,3, 4,5 có 4 số nguyên thỏa mãn
Câu 21 (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số f x m 1 x 3 5 x 2 m 3 x 3 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f x có đúng 3 điểm cực trị ?
Lúc đó f x 10 x 4 Ta có 0 2 f x x5 Suy ra hàm số y f x có một điểm cực trị dương Suy ra hàm số y f x có đúng 3 điểm cực trị
Hàm số y = f(x) là hàm bậc ba Hàm số này có đúng ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ thoả mãn điều kiện x₁ < 0 < x₂ Điều này đảm bảo rằng đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị phân biệt, phù hợp với đặc điểm của hàm bậc ba.
Phương trình f x 0 có hai nghiệm trái dấu m 1 m 3 0 3 m 1
Hệ phương trình này vô nghiệm
Kết hợp các trường hợp, ta có 3 m1 Vì m nên m 2; 1; 0;1
Vậy có 4 giá trị nguyên của m để hàm số y f x có đúng 3 điểm cực trị
Câu 22 (Lê Xoay lần 1) Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
Xét hàm số f x x 3 2 m 1 x 2 3 mx 5 , có f x 3 x 2 2 2 m 1 x 3 m
Hàm số y f x x 3 2 m 1 x 2 3 m x 5 có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số
y f x có hai điểm cực trị x x 1 , 2 thỏa mãn x 1 0 x 2 phương trình f x 0 có hai nghiệm x x 1 , 2 sao cho x 1 0 x 2
Ta có phương trình f x 0 có hai nghiệm x x 1 , 2 thoả mãn x 1 0 x 2 thì
Thử lại: +) với m0 thì phương trình f x 3 x 2 2 2 m 1 x 3 m có hai nghiệm
Vậy m ; 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 23 Cho hàm số y x 4 2 m 1 x 2 2 m 3 Có bao nhiêu số nguyên không âm mđể hàm số đã cho có ba điểm cực trị
1 0 1 1 m m f x x có 1 điểm cực trị x0và phương trình f x 0có hai nghiệm phân biệt do đó hàm số y f x có 3 điểm cực trị (thỏa mãn)
1 0 0 2 3 m m f x x x có 1 điểm cực trị x0và phương trình f x 0 có 2 nghiệm đơn phân biệt do đó hàm số y f x có 3 điểm cực trị (thỏa mãn)
Ta có m 1 0m1 khi đó f x có ba điểm cực trị Vậy yêu cầu bài tóan lúc này tương đương với f x 0vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức
Câu 24 Cho hàm số y x 4 2 m 1 x 2 2 m 3 Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số mđể hàm số đã cho có đúng 5điểm cực trị là
TH1: Nếu 2m 3 0Do vậy f x có 2 điểm đổi dấu x 1;x1 Hàm số y f x có 5 điểm cực trị y f x có ba điểm cực trị ab 0 2 m 1 0 m 1
Vậy trường hợp này có 3
Khi đó f x có bốn điểm đổi dấu
1; 2 3 x x m do đó số điểm cực trị của hàm số f x bằng 3 và hàm số y f x có 7 cực trị(loại)
TH3: nếu 2 m 3 1 m 2 f x x 2 1 2 khi đó y f x x 2 1 2 có 3 điểm cực trị (loại)
Câu 25 Có bao nhiêu số nguyên m 20; 20 để hàm số y x 4 m 1 x 2 m có 7 điểm cực trị
Xét x 4 m 1 x 2 m x 2 1; x 2 m 1 vậy để hàm số y x 4 m 1 x 2 m có 7 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình 1 có 4 nghiệm phân biệt 0 2, , 19
Câu 26 Có bao nhiêu số nguyên m 20; 20 để hàm số y x 2 2 x 2 m có đúng 5 điểm cực trị
Nếu m 0 x 4 m 2 x 2 2 m 0, x nên hàm số đã cho có tối đa ba điểm cực trị (loại)
Nếu m 0 x 4 m 2 x 2 2 m 0 x 2 m x m Vậy điều kiện là hàm số
4 2 2 2 yx m x m có ba điểm cực trị m 2 0 m 2 m 3, ,19 Có 17 số nguyên thoả mãn
Câu 27 Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x 4 mx 2 mcó 7 điểm cực trị
Hàm số y = x^4 - m x^2 + m có tối đa 3 điểm cực trị và phương trình f(x) = 0 có tối đa 4 nghiệm Điều này đồng nghĩa rằng hàm số y = f(x) có 7 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình f(x) = 0 có 4 nghiệm phân biệt và đạo hàm f'(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 28 Có bao nhiêu số nguyên mđể hàm số y x 4 4x 2 m có 7 điểm cực trị
Hàm số f x x 4 4 x 2 m có 3 điểm cực trị Vậy hàm số f x có 7 cực trị khi và chỉ khi phương trình f x 0có 4 nghiệm phân biệt, tức
có 3 số nguyên thỏa mãn
Câu 29 (Chuyên Lam Sơn Lần 2) Cho hàm số f x x 4 2 mx 2 4 2 m 2 Có tất cả bao nhiêu số nguyên m 10;10 để hàm số y f x có đúng 3 điểm cực trị?
Lời giải Chọn C Để hàm số y f x có đúng ba điểm cực trị thì:
Vậy các số nguyên m thỏa mãn bài toán là 9 ; 8; 7 ; 6 ; 5; 4 ; 3; 2;1
Đề bài yêu cầu xác định tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x^4 - 2(m - 1)x^2 + 2m - 3 có đúng 5 điểm cực trị Để đảm bảo hàm số có đúng 5 điểm cực trị, cần phân tích đạo hàm và điều kiện nghiệm của phương trình đạo hàm Đây là bài toán về tìm tập giá trị m phù hợp dựa trên tính cực trị của hàm số bậc cao, giúp hiểu rõ mối liên hệ giữa tham số m và số điểm cực trị của hàm.
Vì hàm số f x( ) có a 1 0nên hàm số y f x có đúng 5 cực trị Hàm số f x( ) phải có 3 cực trị thỏa y cd 0
Câu 31 (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các số thực m thỏa mãn đồ thị hàm số
10 y x x m có đúng 7 điểm cực trị Số phần tử của tập hợp S là
Bảng biến thiên của hàm số f x x 4 10 x 2 m :
Điểm cực trị của hàm số y = f(x) được xác định bằng tổng số điểm cực trị của chính hàm và số nghiệm của phương trình f(x) = 0 (không trùng với các điểm cực trị) Để hàm số y = x^4 - 10x^2 + m có đúng 7 điểm cực trị, phương trình f(x) = 0 phải có 4 nghiệm phân biệt, tức là 0 < m < 25 Do đó, tập hợp các giá trị m thoả mãn điều kiện này là S ∩ = {1; 2; ; 24}.
Câu 32 Cho hàm số đa thức bậc bốn y f x có ba điểm cực trị x1;x2;x3.Có bao nhiêu số nguyên m 10; 10 để hàm số y f x m có 7 điểm cực trị
Hàm số y f x m có 7 cực trị f x m có 3 điểm cực trị lớn hơn m
Các điểm cực trị của hàm số y f x m là
Vậy ta có điều kiện là
Câu 33 (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Có bao nhiêu số nguyên
7;7 m để đồ thị hàm số y x 4 3mx 2 4 có đúng ba điểm cực trị A B C, , và diện tích tam giác ABC lớn hơn 4
Hàm số yx 4 3mx 2 4 có 3 cực trị:
Suy ra y x 4 3mx 2 4 có 5 cực trị
2 m m (1) suy ra hàm số y x 4 3mx 2 4 có 1 cực tiểu là:
Suy ra hàm số y x 4 3mx 2 4 có 3 điểm cực trị là: A 0; 4 , B x 1;0 , C x 1;0, trong đó x 1 là nghiệm của phương trình x 4 3mx 2 40 x 1 0 (do ac 4 nên phương trình
Diện tích tam giác ABC bằng: 1 1
Do S 4 x 1 1 Từ phương trình (2) suy ra
x kết hợp với (1) suy ra 1 m0 suy ra chỉ có 0 m thỏa mãn đề bài
Câu 34 Cho hàm số f x m 4 1 x 4 2 m 1 m 2 4 x 2 4 m 16 với m là tham số thực Số cực trị của đồ thị hàm số g x f x 1 là
0 f x có 3 nghiệm đơn phân biệt vì m 4 1 2 m 1 m 2 4 0 với mọi m
Vậy hàm số đã cho có 3cực trị
Cách 2 Hàm số f x có 3 điểm cực trị (do hệ số a và b trái dấu) f x 1 cũng có 3 điểm cực trị
Phương trình f x 1 0 vô nghiệm (đã giải thích ở trên)
Vậy hàm số g x f x 1 có 3cực trị
Cách 3: Đặc biệt hóa ta cho m0, khi đó ta được hàm f x 1 x 4 4 x 2 16 Đặt g x f x 1 x 4 4 x 2 16 g x 4 x 3 8 x ;
Đồ thị hàm số y = g(x) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, cho thấy giá trị của hàm số luôn dương Điều này đồng nghĩa với việc đồ thị của y = g(x) chính là đồ thị của hàm số y = g(x) Khi đó, số điểm cực trị của hàm số sẽ phụ thuộc vào các điểm có đạo hàm bằng không hoặc không xác định trên miền xác định của hàm số Các điểm cực trị này đóng vai trò quan trọng trong việc xác định cực đại hoặc cực tiểu của hàm số và ảnh hưởng đến hình dạng của đồ thị.
Câu 35 Cho hàm số f x m 2018 1 x 4 (2 m 2018 2 m 2 3) x 2 m 2018 2020 Hàm số
2019 y f x có bao nhiêu điểm cực trị
Vì f x là hàm số trùng phương có ab m 8 1 2 m 2018 2 m 2 3 0, m nên hàm số
f x có 3 điểm cực trị và hàm số f x 2019cũng có 3 điểm cực trị
Phương trình này luôn có 4 nghiệm thực phân biệt vì
Do đó f x có 4 nghiệm đổi dấu vậy số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x 2019 bằng 3 4 7
Câu 36 Biết phương trình ax 4 bx 2 c 0 a 0 bốn nghiệm thực Hàm số y ax 4 bx 2 c có bao nhiêu điểm cực trị
Vì phương trình ax 4 bx 2 c 0 a 0 bốn nghiệm thực nên hàm số
do đó hàm số ax 4 bx 2 c 0có 3 điểm cực trị
Mặt khác ax 4 bx 2 cx d a x x 1 x x 2 x x 3 x x 4 nên phương trình
0 ax bx c có 4nghiệm đơn Vậy hàm số y ax 4 bx 2 c có 4 3 7 cực trị
Câu 37 (Tham khảo 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
Do hàm số f x có ba điểm cực trị nên hàm số y f x có 7 điểm cực trị khi
Vậy có 4 giá trị nguyên thỏa đề bài là m1;m2;m3;m4
Câu 38 Có bao nhiêu số nguyên mđể hàm số y 3x 5 15x 3 60xm có 5 điểm cực trị
Vậy hàm số y3x 5 15x 3 60xcó đúng 2 điểm cực trị x2;x 2
Vậy để hàm số có 5 điểm cực trị 3x 5 15x 3 60xm0 m3x 5 15x 3 60xcó tổng số nghiệm đơn và bội lẻ bằng 3, tức 144 m 144 144 m 144 m 143, ,143
Có 287 số nguyên thỏa mãn
Câu 39 Cho hàm số f x x 3 ax 2 bx c với , , a b c thỏa mãn 8 4 2 0
Số điểm cực trị của hàm số y f x bằng
Hàm số y f x (là hàm số bậc ba) liên tục trên
Ta có f 2 8 4 a 2 b c 0; f 2 8 4 a 2 b c 0 và lim ; lim x f x x f x
Phương trình \(f x = 0\) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi giới hạn của hàm số tại \(-\infty\) và \(+\infty\) được xác định như sau: \(\lim_{x \to -\infty} f x = -\infty\) và \(\lim_{x \to +\infty} f x = +\infty\) Điều này đồng nghĩa với việc đồ thị hàm số \(y = f x\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, cho thấy hàm số có đúng 5 điểm cực trị.
Câu 40 (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho hàm số f x x 3 ax 2 bx c thỏa mãn c2019, a b c 20180 Số điểm cực trị của hàm số y f x( )2019 là
Xét hàm số g x( ) f x( ) 2019 x 3 ax 2 bx c 2019
Hàm số g x liên tục trên
phương trình g x( )0có ít nhất 1 nghiệm thuộc 0;1
Đồ thị hàm số yg x( )có ít nhất một giao điểm với trục hoành có hoành độ nằm trong khoảng (0;1) (1)
phương trình g x( )0có ít nhất 1 nghiệm thuộc (;0).
Đồ thị hàm số yg x( )có ít nhất một giao điểm với trục hoành có hoành độ nằm trong khoảng (;0) (2)
phương trình g x( )0có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1;).
Đồ thị hàm số yg x( )có ít nhất một giao điểm với trục hoành có hoành độ nằm trong khoảng (1;) (3)
Và hàm số g x là hàm số bậc 3
Nên từ (1), (2), (3) đồ thị hàm số g x có dạng
Do đó đồ thị hàm số y f x( )2019 có dạng
Vậy hàm số y f x( )2019 có 5 điểm cực trị
Câu 41 Cho hàm số f x ax 3 bx 2 cx d , a b c d , , , thỏa mãn a 0 , d 2018 ,
2018 0 a b c d Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x 2018
- Xét hàm số g x f x 2018 ax 3 bx 2 cx d 2018
Theo giả thiết, ta được
g x có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ;
Hay hàm số y g x có đồ thị dạng
Khi đó đồ thị hàm số y g x có dạng
Vậy hàm số y f x 2018 có 5 điểm cực trị
Câu 42 Biết rằng phương trình 2x 3 bx 2 cx1 có đúng hai nghiệm thực dương phân biệt Hỏi đồ thị hàm số y 2 x 3 bx 2 c x 1 có bao nhiêu điểm cực trị?
Phương trình \(2x^3 + bx^2 = -cx + 1\) có đúng hai nghiệm thực dương phân biệt, điều này đồng nghĩa với việc đồ thị hàm số \(y = 2x^3 + bx^2 + cx - 1\) cắt trục Ox tại đúng hai điểm có hoành độ dương Trong đó, điểm cực đại của đồ thị là một trong hai điểm cắt này Do đó, đồ thị hàm số có dạng của hàm số này thể hiện rõ ràng các đặc điểm về nghiệm và cực trị, phù hợp với các quy luật của đồ thị hàm số bậc ba. -Tối ưu bài viết toán học của bạn với công cụ chuẩn SEO giúp tóm tắt ý chính, nâng cao chất lượng nội dung ngay hôm nay!
Bằng phép suy đồ thị ta có đồ thị hàm số y 2 x 3 bx 2 c x 1có dạng x y
Dựa vào đồ thị ta có đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị
Câu 43 Cho hàm số f x x 3 ax 2 bx 2 thỏa mãn 1
Số điểm cực trị của hàm số
Hàm số y f x (là hàm số bậc ba) liên tục trên
Do đó, phương trình f x 0 có đúng 3 nghiệm dương phân biệt trên
Hàm số y f x là hàm số chẵn Do đó, hàm số y f x có 5 điểm cực trị
Vậy hàm số y f x có 11 điểm cực trị
Câu 44 Cho hàm số bậc ba f x x 3 mx 2 nx 1 với m n , , biết m n 0 và
72 2mn 0 Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số g x f x là
Suy ra f x 0 có ba nghiệm phân biệt c 1 0;1 , c 2 1;2 và c 3 2; p . 1
Suy ra đồ thị hàm số f x có hai điểm cực trị x 1 c c 1 ; 2 và x 2 c c 2 ; 3 . 2
Từ 1 và 2 , suy ra đồ thị hàm số f x có dạng như hình bên dưới
Từ đó suy ra hàm số f x có 5 điểm cực trị hàm số f x có 11 điểm cực trị
Vì f 1 0 f 2 nên hàm số f x không thể đồng biến trên Vậy hàm số f x có hai điểm cực trị
sao cho f p 0 Suy ra phương trình f x 0 có ba nghiệm phân biệt c 10;1,
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị tại các điểm x₁ và x₂, nằm trong các khoảng từ c c₁ đến c c₂, c và c₁, c₂ thuộc tập hợp (2; p) Các điểm cực trị này đều là các số dương, với giá trị hàm số tại x₁ dương và tại x₂ âm, do hệ số đứng trước x cao nhất là 1 Do đó, đồ thị của hàm số f(x) sẽ có tổng cộng năm điểm cực trị, phản ánh sự biến đổi phức tạp của hàm số trong khoảng xác định.
Do f x có hai giá trị cực trị trái dấu và f 0 1 nên phương trình f x 0 có 6 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số f x có 5 6 11 điểm cực trị