Chuyên đề tìm nghiệm của hàm hợp đặng việt đông

TÌM SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM HỢP I... 21 Dễ thấy các nghiệm không trùng nhau nên phương trình đã cho có 5 nghiệm... Hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Tập nghiệm của phương trì

TÌM SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM HỢP

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

 f x   m là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y  f x , y  m Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị y  f x, y  m.

 f x  g x là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y  f x, y  g x Số nghiệm của

phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị y  f x, y  g x

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Sử dụng BBT hoặc đồ thị của hàm số f x  để tìm số nghiệm thuộc đoạn a b;  của phương trình

 

c f g x d m, với g(x) là hàm số lượng giác

 Sử dụng BBT hoặc đồ thị của hàm số f x  để tìm số nghiệm thuộc đoạn a b;  của phương trình

 

c f g x d m, với g(x) là hàm số căn thức, đa thức, …

 Sử dụng BBT hoặc đồ thị của hàm số f x  để tìm số nghiệm thuộc đoạn a b;  của phương trình

c f g x d m, với g(x) là hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2 - BDG 2019 - 2020) Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn 0;5

  của phương trình f sinx  1là 2 3  nghiệm 5

Câu 1 Cho hàm số y f x  liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ

Phương trình f 2 f x   có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?1

Lời giải Chọn A

Vậy phương trình f 2 f x   có ba nghiệm phân biệt.1

Câu 2 Cho hàm số f x  liên tục trên  và có đồ thị như hình bên

Số nghiệm phân biệt của phương trình f f x   2 là

Lời giải Chọn D

Dựa vào hình vẽ của đồ thị hàm số y f x , ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm

Dựa vào hình vễ trên, ta thấy đồ thị hàm số y f x  cắt đường thẳng y   tại 3 điểm phân 1biệt có hoành độ lần lượt là xx3x1 x3 1, xx4, và xx5

Vậy phương trình f x    1 có 3 nghiệm phân biệt 1

Vậy phương trình f x   2 có 2 nghiệm phân biệt 2

Từ  1 và  2 , suy ra số nghiệm phân biệt của phương trình f f x   2 là 5

Câu 3 Cho hàm số y f x  liên tục trên  và có đồ thị như hình dưới đây

Số nghiệm phân biệt của phương trình f f x     là1 0

Lời giải Chọn A

Câu 4 Cho hàm số y f x  liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ sau

Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình   2 1 0

m

  có hai nghiệm dương phân biệt

21

Dễ thấy các nghiệm không trùng nhau nên phương trình đã cho có 5 nghiệm

Câu 6 Cho y f x là hàm số bậc 3 và có đồ thị như hình vẽ bên. 

Số nghiệm thuộc nửa khoảng ;29

- Phương trình  1 có 5 nghiệm phân biệt

- Phương trình  2 có 5 nghiệm phân biệt khác 5 nghiệm ở trên

- Phương trình  3 có 6 nghiệm phân biệt khác 10 nghiệm ở trên

Vậy phương trình đã cho có 16 nghiệm trên nửa khoảng ;29

A. 2. B. 1 C. 3. D. 4.

Lời giải Chọn C

+) Sau đó lấy đối xứng phần đồ thị  C ở bên phải trục tung 1

qua trục tung thì được đồ thị của hàm số y f x 1

Khi đó, để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì

ta phải có   3 m 1

Suy ra, có 3 số nguyên thỏa mãn bài toán

Câu 8 Cho hàm số y f x  liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của n để phương trình  2     

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số y f x  đồng biến trên 

Câu 9 Cho hàm số y f x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ

Gọi m là số nghiệm của phương trình f f x    Khẳng định nào sau đây là đúng?1

Lời giải Chọn B

Đặt f x  khi đó phương trình u f f x    trở thành 1 f u   1 1 

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f u  và đường thẳng y  1

Dựa vào đồ thị ta có 3 nghiệm giả sử u  1  1; 0, u 2 0;1, 3 5;3

2

u   

  Xét số giao điểm của đồ thị hàm số f x với từng đường thẳng   yu1, yu2, yu3

Dựa vào đồ thị ta có:

Phương trình f x u1, với u  1  1; 0cho 3 nghiệm phân biệt

Phương trình f x u2, với u 2 0;1cho 3 nghiệm phân biệt

Phương trình f x u3, với 3 5;3

2

u   

 cho 1 nghiệm duy nhất

Suy ra phương trình ban đầu f f x    có 7 nghiệm.1

Câu 10 Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình bên Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm của phương trìnhf f cos 2x  0?

Lời giải Chọn C

Ta luôn có:  1 cos 2x nên từ đồ thị suy ra: 1 0 fcos 2x1

Trên đoạn  0;1: f f cos 2x   0 fcos 2x0

Trên đoạn 1;1: cos 2  0 cos 2 0 2

f x 5x46x2 5 0   x  f x  đồng biến trên 

Khi đó, bất phương trình f sin2 x2sinx3 f  0 sin2x2sinx 3 0

sinsin

x x

x x x

f x x  x , ta có bảng biến thiên của f x như sau: 

Xét phương trình ff x  0 1  ta ước lượng được

 

 

 

1,8791,532

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f x ta có: 

+ Với f x    1,879 phương trình  1 có 1 nghiệm

+ Với f x   1,532 phương trình  1 có 3 nghiệm

+ Với f x   0,347phương trình  1 có 3 nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm

Câu 13 Cho hàm số y f x ax3 bx2 cxd có đồ thị như hình bên dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f2  x  m5  f x 4m40

có 7 nghiệm phân biệt?

140

445

2

m x f

x f m

x f m x f

Từ đồ thị hàm số y  f x suy ra phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

Vậy để phương trình đã cho có 7 nghiệm phân biệt thì (2) có 4 nghiệm phân biệt và khác với các nghiệm của (1) 0m141m3 Do đó có 3 giá trị nguyên của m

Câu 14 Cho hàm số f xác định trên  và cũng nhận giá trị trên tập  thỏa mãn:

2f x  f x x 12x 4với mọi x, y thuộc R Tính giá trị f  1

A. f  1  1 B. f  1 1 C. f  1 9 D. f  1  9

Lời giải Chọn B

Cho x 1ta được     4  3

2f 1  f 1 1 12 1   4 7Cho x  1ta được 2f   1 f    1  1 412 1 3 4 17

Câu 15 Cho hàm số , (với ) Hàm số có

đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Tập nghiệm của phương trình có số phần tử là

Lời giải Chọn B

Vậy tập nghiệm của phương trình là

Câu 16 Cho hàm số f xác định trên tập số nguyên và nhận giá trị cũng trong tập số nguyên, thỏa mãn

x x x

Từ đồ thị ta thấy điều kiện bài toán tương đương   1 2m  1 1 0m 1

Câu 18 Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên sau

Tìm tất cả các giái trị của tham số m để phương trình f(2 tan )x 2m có nghiệm thuộc 1khoảng (0; )

Xét tính đơn điệu của hàm số g x( )2 ( )f x x22xta được

A. Hàm số g x( )nghịch biến trên  ; 2 ; 1;1 ; 2;   ; đồng biến trên   2; 1 ; 1; 2  

B. Hàm số g x( )đồng biến trên  ; 2 ; 1;1 ; 2;   ; nghịch biến trên   2; 1 ; 1; 2  

C. Hàm số g x( )đồng biến trên ; 2 ; 1;   ; nghịch biến trên  2;1

Ta có

21'( ) 2 '( ) 2 2; '( ) 0 '( ) 1

12

x x

x x

Hàm số đồng biến trên  ; 2 ; 1;1 ; 2;   ; nghịch biến trên   2; 1 ; 1; 2  

Câu 21 Cho hàm số f x xác định và liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình  2 

2.f 3 3 9x 30x21 m2019có nghiệm

A. 15 B. 14 C. 10 D. 13

Lời giải Chọn D

Vậy số giá trị nguyên của m là: 2021 2009 1 13  

Câu 22 Cho hàm số y f x( ) xác định và liên tục trên trên R có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 7f 5 2 1 3  cosx3m7

có hai nghiệm phân biệt thuộc ;

Lời giải Chọn C

+Với cosx   nên khi 1 t 1 t  phương trình (1) chỉ có một nghiệm thuộc 1 ;

Câu 24 Cho hàm số ( ) có bảng biến thiên của ′( ) như hình sau:

Đặt ( )= ( ) − + 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. (1) < (0) < (−1) B. (−1) < (0) < (1)

C. (−1) = (1) > (0) D. (−1) = (1) < (0)

Lời giải Chọn B

Đồ thị hàm số = |2cos | trên khoảng 0; như hình vẽ bên

Suy ra phương trình (∗) có 5 nghiệm thực phân biệt trên khoảng 0;

Câu 26 Cho hàm số = ( ) có đồ thị như hình vẽ sau

Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số = ( ) và trục hoành

Lời giải Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số = ( ) và trục hoành là: ( ) =

Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số = ( ) và trục hoành là 5

Câu 28 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ sau:

Số nghiệm của phương trình [ (f x2 1)]2  f x( 2 1) 2  là0

Lời giải Chọn B

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm

Câu 29 ##Cho hàm số f x xác định trên   \ 0  và có bảng biến thiên như hình vẽ

Số nghiệm của phương trình 3 f 2x 1 100 là

Lời giải Chọn C

Đặt t2x1, ta có phương trình trở thành   10

3

f t  Với mỗi nghiệm t thì có một nghiệm

12

f t  có 4 nghiệm phân biệt nên phương trình 3 f 2x 1100

có 4 nghiệm phân biệt

Câu 30 Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x trên \ 0  và có bảng biến thiên như hình dưới Hỏi phương trình f x   2 có bao nhiêu nghiệm?

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D. 4 nghiệm

Lời giải Chọn C

Bảng biến thiên cho hàm số y f x  như sau:

+

x y' y

Dựa vào BBT suy ra: phương trình f x   2 có 3 nghiệm phân biệt

Câu 31 Cho hàm số f x x33x21 Số nghiệm của phương trình f f x 24 f x 1 là

Lời giải Chọn B

t t

Ta thấy đồ thị y f x  cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt nên phương trình f x   0 có 4nghiệm phân biệt: x  1  1,5; 1 , x   2  1; 0,5, x 3 0;0,5, x 4 1,5;2

Kẻ đường thẳng ym, khi đó:

Với mx1  1,5; 1  có 2 giao điểm nên phương trình f x x1 có 2 nghiệm

Với mx2   1; 0,5 có 4 giao điểm nên phương trình f x x2 có 4 nghiệm

Với mx30;0,5 có 4 giao điểm nên phương trình f x x3 có 4 nghiệm

Với mx41,5; 2 có 2 giao điểm nên phương trình f x x4 có 2 nghiệm

Vậy phương trình (*) có 12 nghiệm

Câu 33 Cho hàm số f :thỏa mãn điều kiện

Ta cần thay xbởi đại lượng nào đó để bảo toàn được sự xuất hiện của

Câu 34 Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn 0;9

- Phương trình cos x b có 8 nghiệm phân biệt.

- Phương trình cos x c có 9 nghiệm phân biệt khác 8 nghiệm ở trên.

Vậy phương trình fco sx2có 17 nghiệm trên đoạn 0;9

Câu 35 Cho hàm số f x liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn 0; 2020 của phương trình  f cosx2là

Dựa vào đường tròn lượng giác, trên đoạn 0; 2020 thì: 

- Phương trình co sx  có 1011 nghiệm phân biệt.1

- Phương trình co s 1

2

x   có 2020 nghiệm phân biệt khác 1011 nghiệm ở trên

Vậy phương trình fcosx2có 3031 nghiệm trên đoạn 0; 2020 

Từ đồ thị ta có  

 

; 00;12

Lời giải Chọn D

f t   có 3 nghiệm thực phận biệt nên hàm g t có 3 cực trị  

Số nghiệm lớn nhất của phương trình g t  là 4 Suy ra phương trình   0   có tối đa 4 nghiệm

Đồ thị hàm số   3

3 1

y f x x  x có dạng:

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f x  có 3 nghiệm   0 x1   2; 1 , x20;1 , x31; 2Nếu phương trình f x 33f x  1 0 có nghiệm x thì 0 f x  0  x x x1, 2, 3

Dựa vào đồ thị ta có:

+ f x x x1, 1   2; 1 có 1 nghiệm duy nhất

+ f x x x2, 20;1 có 3 nghiệm phân biệt

+ f x( )x x3, 31; 2 có 3 nghiệm phân biệt

Vậy phương trình f x 33f x  1 0 có 7 nghiệm phân biệt

Câu 40 Cho hàm số ( )= + + + + có đồ thị như hình bên Phương trình

( ) + 2 = ( ) + 1 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt

Lời giải Chọn C

( ) + 2 = + 1 ⇔ − 2 + 2 = + 1 ⇔ − 2 + 2 = ( + 1) ⇔ 4 = 1

⇔ = 1

2( ≥ 0)

Vậy ( ) = ⇔ ( ) = phương trình này có 2 nghiệm

Câu 41 Cho hàm số y f x  liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình 2f sinxcosxm1

có hai nghiệm phân biệt trên khoảng 3

Mà mm  6; 5; ;5;6  có 13 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 42 ##Cho hàm số y f x liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ

Số nghiệm thuộc đoạn  ; 2  của phương trình 2f 2 sinx   1 0 là

Lời giải Chọn D

Đặt t 2 sinx Xét hàm t g x 2 sinx trên đoạn  ; 2 

Ta có bảng biến thiên của hàm số y g x 2 sinx trên đoạn  ; 2 

f t   có 2 nghiệm t phân biệt thuộc khoảng

0, 2nên phương trình ban đầu có 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn  ; 2 

Câu 43 Cho hàm số y f x( ) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ

Gọi m là số nghiệm của phương trình ff x( )0 Khẳng định nào sau đây đúng

Lời giải Chọn D

Từ đồ thị ta có   1

2

( )( ) 0 ( ) 1

Trường hợp 1: f x( ) có 3 nghiệm phân biệt x1

Trường hợp 2: f x ( ) 1 có 3 nghiệm phân biệt

Trường hợp 3: f x( )x2 có 1 nghiệm

Vậy phương trình ff x( )0 có 7 nghiệm hay m 7

Câu 44 Cho hàm số y  f ( )x liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ Gọi S là tập hợp tất cả các

giá trị nguyên của m để phương trình f(sin )x  2 sinxmcó nghiệm thuộc khoảng (0; ) Tông các phần tử của S bằng

Lời giải Chọn C

Đặt tsinx t 0;1 f sinx2sinx m m f t 2t t 0;1 

Số nghiệm thực của phương trình f 4 f  2x  là2

Lời giải Chọn B

Vì t  nên 4 log2t log 42 2 1 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

Câu 46 Cho hàm số y f x( ) xác định và liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình  2 

2f 3 3 9x 30x21 m2019 có nghiệm

Lời giải Chọn D

Đặt t 3 3 9x230x21 thì t   3;3 Ta cần tìm số các giá trị nguyên của m để phươngtrình   2019

Câu 47 Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ sau

Số nghiệm của phương trình f  e x  2 f  e x  2 0

Lời giải Chọn B

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

Câu 48 Cho hàm số y f x liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ Phương trìnhf1 f x  0có tất

cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Lời giải

Dựa vào đồ thị ta thấy 7 nghiệm này phân biệt

Vậy phương trình đã cho có đúng 7 nghiệm phân biệt

Câu 49 Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f  f co sx2 f m có nghiệm trên nửa khoảng 0;?

Câu 50 Cho hàm số y  f x  có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình f f x 1 mcó 4nghiệmphân biệt thuộc đoạn 2;2 Số phần tử của S là

Lời giải Chọn D

Gọi  P là đồ thị hàm số y f x 

Vẽ đồ thị  P1 của đồ thị hàm số y f x 1bằng cách: Tịnh tiến đồ thị  P của hàm số

 

y f x theo phương của trục hoành sang trái 1đơn vị

Vẽ đồ thị  P2 của hàm số y f  x 1bằng cách: Giữ nguyên đồ thị  P1 nằm bên phải trục tung rồi lấy đối xứng phần đó chính phần đồ thị đó qua trục tung, ta được đồ thị  P2 của hàm

Nếu t   cho ta hai nghiệm phân biệt 1 x  2;2.

Nếu t   1;0thì mỗi giá trị của t cho ta bốn nghiệm phân biệt x  2;2

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ phương trình  1 có đúng 1nghiệm t   1;0 f  0 m f  1  3 m 8

Vậy S có tất cả 4phần tử

NHẬN XÉT : Cách giải 2 : Chọn hàm f x( )(x1)(x3)

Câu 51 Cho hai hàm số f x và   3 2

g x x  x  x Trong đó hàm số f x liên tục trên  và có 

đồ thị như hình vẽ dưới đây

Số nghiệm của phương trình g f x    là0

Lời giải Chọn C

a b c

a b c

a b c d d

a b c d

x x x

Bản biến thiên:

Vậy F x m có ba nghiệm thực phân bit thì m 0; 4

Câu 53 Cho hai hàm số f x và g x đều có đạo hàm trên và thỏa mãn:

Với f  2 0, thế vào  4 ta được 36 (vô lí) 0

Với f  2 2, thế vào  4 ta được 36.f  2 360  f  2 1

Vậy A3f  2 4f  2 3.2 4.1 10

Câu 54 ##Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới Số nghiệm thực của bất phương trình

 3 2  2 3 2 

1 f x 3x 1  2f x 3x 1 2 là