Chuyên đề gtln gtnn hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI GV: Trần Minh Ngọc Nhóm giáo viên tiếp sức Chinh phục kỳ thi THPT 2020 Trong đề tham khảo của Bộ GD lần 1 và lần 2,

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI GV: Trần Minh Ngọc Nhóm giáo viên tiếp sức Chinh phục kỳ thi THPT 2020 Trong đề tham khảo của Bộ GD lần 1 và lần 2, cũng như đề thi thử của các sở giáo

dục, các trường phổ thông năm 2020 thường có bài toán liên quan đến GTLN-GTNN của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối Để giải quyết được các dạng toán này các em cần ghi nhớ

bài toán tổng quát sau:

Bài toán tổng quát: Cho hàm số y= f x( ) Tìm GTLN-GTNN của hàm số trên đoạn [ ]a b;

Phương pháp chung:

Bước 1: Tìm [ ] ( ) [ ] ( )

;

;

a b

a b f x = p f x =q

Bước 2: Xét các khả năng

;

;

a b

a b

f x

p q



≤ ⇒ 

=



• Nếu q>0 [ ] ( )

;

;

min max

a b

a b



⇒ 

=

• Nếu p<0 [ ] ( )

;

;

min

max

a b

a b



⇒ 

= = −



Chú ý công thức tính nhanh:

max ( )

2

a b

≤





=  + − −

>



;

0,nÕu 0 min ( )

,nÕu 0 2

a b

p q

Tùy theo từng bài toán cụ thể mà ta áp dụng cho hợp lý nhất Sau đây chúng ta sẽ áp dụng cho 3 dạng thường gặp nhất

Dạng 1: Tìm tham số để [ ] ( ) ( )

;

;

min max

a b

a b





Ví dụ mẫu 1: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ

nhất của hàm số 4 2

y= x − x −m trên đoạn [ 1; 2]− bằng 2 Tổng tất cả các phần tử của S

bằng

Lời giải Chọn B

Xét ( ) 4 2

2

f x =x − x −m trên đoạn [ 1; 2]− có ( ) [ ]

3

1 1; 2

1 1; 2

x

x

 = ∈ −



 = − ∈ −



Khi đó f ( )0 = −m f; ( )± = − −1 m 1; f ( )2 = − +m 8

Suy ra: [ ] ( )

1;2

− = − + và [ ] ( )

1;2

min f x m 1

• Nếu (− −1 m)(8−m)≤ ⇔ − ≤ ≤0 1 m 8 thì

[ ] ( )

1;2

min f x 0

− = , không thỏa mãn đề bài

• Nếu − − > ⇔ < −m 1 0 m 1 thì

[ 1;2 ]

− = − − = − − Khi đó − − = ⇔ = −m 1 2 m 3(t m/ )

Nếu− + < ⇔m 8 0 m>8 thì

[ 1;2 ]

miny m 8 m 8

− = − + = − ; khi đó m− = ⇔ =8 2 m 10(t m/ )

Vậy tổng tất cả các phần tử của bằng 7

2

2 2

y

x

=

− trên đoạn [−1;1] bằng 3 Tính tổng tất cả các phần tử của S

3

Lời giải Chọn D

Xét hàm số ( ) 2 2

2

f x

x

=

− trên [−1;1] có ( )

( )2

4 1

2

f x

x

− ;

( ) [ ]

0 0

x

f x

x

=



′ = ⇔  = ∉ −

3

f − = − −m f = −m f = − −m

Suy ra: [ ] ( )

1;1

− = − và [ ] ( )

1;1

min f x m 1

• Nếu −m(− − ≤ ⇔ − ≤ ≤m 1) 0 1 m 0; [ ] { } { }

1;1

⇒

• Nếu f ( )0 = − < ⇔ >m 0 m 0 Khi đó [ ]

1;1

max y m 1 m 1

( )

⇒ + = ⇔ =

• Nếu − − >m 1 0 ⇔ < −m 1 Khi đó

[ ] ( ) ( ) 1;1

3 max f x f 0

−

Vậy có hai giá trị thỏa mãn là m1 = −3,m2 =2 Do đó tổng tất cả các phần tử của S là −1

y= x −x − +x m với m∈ Có tất cả bao nhiêu số nguyên m

để

[1;3]

miny< ?3

Lời giải Chọn A

; 1;3

f x =x −x − +x m x∈

Ta có ( ) 2

[ ]

1 1;3 1 1;3 3

x x

 = ∈



⇔  = − ∉



Ta có f ( )1 = −m 1,f ( )3 = +m 15

Suy ra

[ ] ( ) [ ] ( )

min f x = −m 1; max f x = +m 15

• Nếu (m−1)(m+15)≤ ⇔ − ≤ ≤0 15 m 1;

[ ] 1;3

miny= <0 3 Trường hợp này có 17 số nguyên thỏa mãn

• Nếu m− > ⇔ >1 0 m 1; [ ]

1;3

miny= − < ⇒ < <m 1 3 1 m 4 Trường hợp này có 2 số nguyên thỏa mãn

• Nếu m+15< ⇔ < −0 m 15; [ ]

1;3

miny= m+15 < ⇒ − −3 m 15< ⇒ − < < −3 18 m 15 Trường hợp này có 2 số nguyên thỏa mãn

Vậy có tất cả 21 số nguyên thỏa mãn

Bài tập tự luyện:

4

f x = x + x −m trên đoạn [− −4; 2] bằng 2020 ?

2

3 3

y

x

=

+ trên đoạn [−2; 2] bằng 5 Gọi T là tổng tất cả các phần tử của S Tính T

Lời giải Chọn D

Xét hàm số ( ) 2 3

3

f x

x

=

+ , hàm số luôn xác định trên tập đang xét

( )

( )

2

2

6 0 3

x

+

+

6

x

x

=



Ta có: f ( )− = +2 m 4 ; f ( )0 =m ; ( ) 4

5

f = +m

3

x

+ Ta có

[ 2;2] ( ) { ( ) ( ) }

maxg x max f 2 ; f 0

Xét m m( +4)≤ ⇔ − ≤ ≤0 4 m 0 thì 5 5

⇔

Xét với m>0 Ta có

[ ] ( ) ( ) 2;2

Xét với m< −4, ta có

[ ] ( ) ( ) 2;2

Vậy S= −{ 5;1} nên tổng T = − + = −( )5 1 4

Câu 3 Cho S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của

hàm số ( ) 4 2

f x = − +x x +m + trên đoạn [ ]0; 2 bằng 6 Tổng tất cả các phần tử của S

bằng

Lời giải Chọn A

Xét hàm số ( ) 4 2

2

g x = − +x x +m trên [ ]0; 2

[ ] [ ]

3

0 0; 2

1 0; 2

x

x

 = ∈



 = − ∉



[ ] ( )

0;2

0;2





+) Nếu

m

 + + =



+) Nếu

[ ] ( )

0;2

8 1 6

m

 − + =



Vậy tổng các giá trị của m bằng 7

y= x − x+ +m thỏa mãn

[min2; 2 ]y 5

− = Tổng tất cả các phần tử của S bằng

4

4

4

Lời giải Chọn A

Xét hàm số ( ) 2

g x =x − x+ +m trên đoạn [−2; 2], có: ( ) 3

2

g x′ = ⇔ x− = ⇔ =x

( )

2;2

3

2

−

 

( )

2;2

−

 

4

m− ≥ hay 1

4

m≥ thì [ ]

2; 2

Nếu m+12≤0 hay m≤ −12 thì

[min2; 2 ]y m 12 5 m 17

− = − − = ⇔ = − (thỏa mãn)

4

m

− < < thì

[min2; 2 ]y 0

− = (không thỏa mãn)

Ta có: 17;21

4

S = − 

  Vậy tổng các phần tử của S bằng 47

4

−

y= x − x − x +m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [−3; 2] bằng 10

Hướng dẫn giải Chọn C

Suy ra ( )

32;243

min f t min 32 m; 243 m

−

Nếu (243+m)(− +32 m)≤0 suy ra a

[ ]

32;243 32;243

miny min f t 0

− = − = , không thỏa mãn

Yêu cầu bài toán

[ 32;243 ]

miny 10

− = suy ra điều kiện cần là (243+m)(− +32 m)>0

TH1:

[ 32;243 ]

−

TH2:

[ 32;243 ]

−

Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa yêu cầu

2

f x

x

=

− Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m

để

[ 1;1 ]

max ( )f x 5

− ≤ Tổng tất cả các phần tử của S là

Lời giải Chọn C

Xét hàm số ( ) 2 2

2

g x

x

=

( )

2

2

0 4

0

4 2

x

g x

x x

=



−

′

Khi x= ⇒0 g( )0 = −m

g − = − m− = − −m ; ( ) 1

1

m

g = + = − −m

3

− − < − − < −

Suy ra

1;1

1

3

−

Trường hợp 1: 1 12 {0;1; 2;3; 4}

1 5

m m

m



+ ≤

Trường hợp 2: 1 12 { 5; 4; 3; 2; 1}

5

m m

m



 + < < −

≤

Suy ra tổng các phần tử của S bằng −5

Dạng 2: Tìm tham số để

a b f x a b f x k k

3

y=x − x m+ Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số

thực m sao cho

[ 0;2 ] [ 0;2 ]

min y + x y =6 Số phần tử của S là

Lời giải Chọn D

y=x − x+m x∈

1( )

x

=



= − = ⇔  = −



Ta có: y( )0 =m y; ( )1 = −m 2;y( )2 = +m 2

Suy ra: [ ] [ ]

miny= −m 2; maxy= +m 2

TH 1: (m+2)(m−2)≤ ⇒ − ≤ ≤0 2 m 2

[ 0;2 ]

min y 0

[ 0;2 ]

2

max y = m−2;m+

[ 0;2 ] [ 0;2 ]

2 6

m

+ − =



TH 2: m− > ⇔ >2 0 m 2

[ 0;2 ]

min y m 2 m 2

[ 0;2 ]

2 max y = +2 m = +m

[ 0;2 ] [ 0;2 ]

min y max y 6 m 2 m 2 6 m 3( /t m)

TH 3: 2+ < ⇔ < −m 0 m 2

[ 0;2 ]

[ 0;2 ]

m xa y = − +m = − − +m = −2 m

[ 0;2 ] [ 0;2 ]

min y max y 6 2 m 2 m 6 m 3( /t m)

Vậy có 2 số nguyên thỏa mãn

2

f x =x − x +m ( m là tham số thực) Gọi

S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn [−20; 20] sao cho [ ] ( ) [ ]0;2 ( )

0;2

max f x <3 min f x Tổng các phần tử của S bằng

Lời giải Chọn A

Xét hàm số ( ) 4 2

2

f x =x − x +m trên đoạn [ ]0; 2

Ta có: ( ) 3

1

x

x

=





( )1 1; ( )2 8; ( )0

f = −m f = +m f =m

[ ] ( )

[ ] ( )

0;2 0;2

max f x = +m 8; min f x = −m 1

+) Nếu m− ≥ ⇔ ≥1 0 m 1 thì

[ ] ( ) 0;2

max f x = +m 8,

[ ] ( ) 0;2

min f x = −m 1 Khi đó:

0;2 0;2

11

2

f x < f x ⇔ + <m m− ⇔ >m +) Nếu m+ ≤ ⇔ ≤ −8 0 m 8 thì

[ ] ( ) 0;2

max f x = −1 m,

[ ] ( ) 0;2

min f x = − −m 8 Khi đó: [ ]0;2 ( ) [ ]0;2 ( ) ( ) 25

2

f x < f x ⇔ − < − − ⇔ < −m m m +) Nếu (m−1)(m+ < ⇔ − < <8) 0 8 m 1 thì

0;2 0;2

max f x =max m+8 ,m−1 =max m+8,1−m >0; min f x =0

Khi đó, không thỏa điều kiện

[ ] ( ) [ ] ( )

0;2 0;2

max f x <3 min f x

Do đó:

25 2 11 2

m

m

 < −





 >



kết hợp với m∈ −[ 20; 20] ta có 20; 25 11; 20

m∈ − −  ∪ 

 

Mà m∈ ⇒ = −z S { 20; 19; 18; ; 13; 6; 7; , 20− − − }

Tổng các phần tử của S bằng 6 7 8 9 10 11 12+ + + + + + =63

1

+

−

x m

y f x

x Tính tổng các giá trị của tham số mđể

2;3 2;3

max f x −min f x =2

Lời giải Chọn A

Hàm số ( ) 2

1

+

−

x m

y f x

x xác định và liên tục trên đoạn [ ]2;3 Với m= −2, hàm số trở thành [ ] ( ) [ ] ( )

2;3 2;3

Với m≠ −2, ta có

( )2

2 1

m y

x

− −

′ =

− Khi đó hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên [ ]2;3

Suy ra [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )

2;3 2;3

2;3 2;3







2;3 2;3

Theo giả thiết [ ] ( ) [ ] ( )

2;3 2;3

2 2

6 2

m m

m

=

 +



Vậy tổng các giá trị của tham số mthỏa mãn yêu cầu bài toán là: −4

Bài tập tự luyện

f x x  x m (m là tham số thực) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên m∈ −[ 10;10] sao cho [ ] ( ) [ ] ( )

1;2 1;2

max f x +min f x ≥10 Số phần S là

Lời giải

Xét hàm số   4 2

2

f x x  x m, hàm số liên tục trên đoạn  1; 2

f x  x  x  x  hàm số f x  đồng biến trên đoạn  1; 2 ,

do đó [ ] ( ) [ ] ( )

1;2 1;2

max f x = +m 8; min f x = −m 1

TH 1: m− ≥ ⇒ ≤ ≤1 0 1 m 10 thì [ ] ( ) [ ] ( )

1;2 1;2

max f x = +m 8; min f x = −m 1

Khi đó:

1;2 1;2

3

2

⇒ trường hợp này có 9 số nguyên

TH 2: m+ ≤ ⇒ − ≤ ≤ −8 0 10 m 8 thì [ ] ( ) [ ] ( )

1;2 1;2

max f x = − +m 1; min f x = − −m 8

Khi đó:

2

f x + f x ≥ ⇔ − + − − ≥m m ⇒ − ≤ ≤m − ⇒ ∈ −m −

⇒ trường hợp này có 2 số nguyên

TH 3: − < <8 m 1, thì [ ]1;2 ( ) [ ]1;2 ( )

7

2

7

2

−

− + − < ≤



 + < <



Do m là số nguyên nên:

[ ] ( ) [ ] ( )

1;2 1;2

− + ≥ − < ≤ −



⇒ không tồn tại m thỏa mãn

Vậy số phần tử của tập S là 11

f x x  x m (m là tham số thực) Biết [ ] ( ) [ ]1;2 ( )

1;2

max f x = p; min f x =q và S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên m∈ −[ 10;10] sao cho

bộ ba sốp q, ,19 là độ dài ba cạnh của một tam giác Số phần tử của tập S bằng

Lời giải

Xét hàm số   4 2

2

f x x  x m, hàm số liên tục trên đoạn  1; 2

Ta có:   3  

f x  x  x  x  hàm số f x  đồng biến trên đoạn  1; 2 ,

do đó [ ] ( ) [ ] ( )

1;2 1;2

max f x = +m 8; min f x = −m 1, suy ra q< <p 19;∀ ∈ −m [ 10;10]

p q

+ >



⇔  >

TH 1: m− > ⇒ < ≤1 0 1 m 10, thì p= +m 8; q= −m 1

Yêu cầu của bài toán ⇔ + >p q 19⇔ + + − >m 8 m 1 19⇒ > ⇒ ∈m 6 m {7;8;9;10},

⇒ trường hợp này có 4 số nguyên

TH 2: m+ < ⇒ − ≤ < −8 0 10 m 8 thì p= − +m 1;q= − −m 8

Yêu cầu của bài toán ⇔ + >p q 19⇔ − + − − >m 1 m 8 19⇒m< −13

⇒ trường hợp này không tồn tại m∈ −[ 10;10] thỏa mãn

TH 3: − < <8 m 1, thì q=0; ⇒ không thỏa mãn YCBT

Vậy số phần tử của tập S là 4

2

f x =x −x + − −x m ( m là tham số thực) Gọi 𝑆𝑆 là tập hợp tất cả các

giá trị của 𝑚𝑚 sao cho [ ] ( ) [ ]0;3 ( )

0;3

max f x +min f x =16 Tổng các phần tử của 𝑆𝑆 là

Lời giải Chọn B

Xét hàm số ( ) 3 2

2

f x =x −x + − −x m , trên đoạn [ ]0;3

ta có ( ) 2

3 2 1 0,

f′ x = x − x+ > ∀ ∈ x

Ta có f ( )0 = − −m 2; f ( )3 = − +m 19

0;3

0;3

min ( ) 0

f x



[ ]

[ ]

0;3

0;3

17

2

17 max ( ) 19 , khi -2 m<

2



⇒ 



Vậy

[ ] ( ) [ ] ( )

0;3 0;3

max f x +min f x =16

17

2

17

19 16, khi 0 m<

2

m



⇒ 



14 3

m m

=



⇒  =

Trường hợp 2: (m+2)(m−19)>0 19

2

m m

>



⇔  < −

Suy ra [ ] [ ]

1

2

33

2

 =



 =



Vậy S={3; 14}

2

y= x − x +x +m Tổng tất cả các giá trị của tham số m để

[ 1; 2 ] [ 1; 2 ]

miny maxy 20

Lời giải

Chọn B

f x =x − x +x +m trênđoạn [−1; 2]

2

f =m f =m f  = +m f − = f = +m

 

Suy ra [ ] ( )

1; 2

1; 2

−

−





4 20

m

m

m m

≥



⇔ =

 + + =

TH2 : Nếu m≤ − ⇒4 ( 4) 12

m

m

≤ −



⇔ = −

− + − =

TH3 : Nếu

1; 2 1; 2

4 m 0 miny 0; maxy max m 4 , m max m 4, m

Suy ra

[ 1; 2 ] [ 1; 2 ]

miny maxy 4 0 20 20

− + − < < + = không thỏa mãn

Vậy tổng các giá trị của m là −4

2

x m

f x

x

−

= + ( m là tham số thực ) Gọi Slà tập hợp tất cả các giá trị

của m sao cho

[ ] ( ) [ ] ( )

0;2 0;2

max f x +2 min f x ≥4 Hỏi trong đoạn [−30;30] tập S có bao nhiêu số nguyên?

Lời giải Chọn A

Ta có: ( )

( )2

4 '

2

m

f x

x

+

= +

+ Nếu m= −4 thì f x( )=2 thỏa mãn

[ ] ( ) [ ] ( )

0;2 0;2

max f x +2 min f x ≥4

+ Xét m≠ −4 Ta có ( ) ( ) 4

m

−  −  ≤ ⇔ ≤ ≤

Khi đó

[ ] ( ) 0;2

min f x =0 và

[ ] ( ) 0;2

4 max

4

m

f x = − hoặc

[ ] ( ) 0;2

max

2

m

f x =

Theo giả thiết ta phải có

4

4

12 4

8 4

2

m

m

−

⇔

≥





( loại)

• TH2:

+ Xét − < <4 m 0: hàm số f x( ) đồng biến, hơn nữa ( ) ( ) 4

f = − > f = − >

nên

[ ] ( ) [ ] ( )

0;2 0;2

Vậy 4 12 3.

5

− < ≤ − ⇒ = −

+ Xét m< −4: hàm số f x( ) nghịch biến, hơn nữa ( ) ( ) 4

nên

[ ] ( ) [ ] ( )

0;2 0;2

4

  Vậy m< −4 + Xét m>4: hàm số f x( ) đồng biến, hơn nữa ( ) ( ) 4

f = − < f = − < nên

[ ] ( ) [ ] ( )

0;2 0;2

4

5

∈ −∞ ∪ +∞

  Nên trong [−30;30], tập Scó 53 số nguyên

Dạng 3: Tìm tham số để GTLN của hàm số y= f x( )+g m( ) trên đoạn [ ]a b; đạt giá trị nhỏ nhất

Ghi nhớ:

• max{ ; }

2

α β

α β ≥ + , dấu bằng xảy ra ⇔ =α β

• α + β ≥ +α β , dấu bằng xảy ra ⇔α β ≥0

Cụ thể

- Bước 1: Tìm

[ ] ( ) [ ] ( )

;

;

a b

- Bước 2: Gọi M là giá trị lớn nhất của y= f x( )+g m( )thì

+)

dấu bằng xảy ra ⇔α +g m( ) = β +g m( )

dấu bằng xảy ra ⇔α +g m( )  − −β g m( )≥0

- Bước 3: Kết luận min

2

2

g m = − −α β

y= x + x+ −m trên đoạn [−2;1] đạt

giá trị nhỏ nhất, giá trị của tham số m bằng

Lời giải

Chọn B

Đặt ( ) 2

2

f x =x + x

Ta có: f′( )x =2x+2; f′( )x = ⇔ = − ∈ −0 x 1 ( 2;1)

( )2 0; ( )1 3; ( )1 1

Do đó

[ ] ( ) [ ] ( )

2;1 2;1

max f x 3; min f x 1

−

Suy ra:

−

Dấu bằng xảy ra

3

m



y= x−x − m+ đạt giá trị nhỏ nhất thì

m bằng

2

3

3

2

m=

Lời giải Chọn A

Tập xác định: D=[ ]0; 2

f x = x−x x∈D, ta có

2

1

2

x

−

( )0 0; ( )2 0; ( )1 1

Suy ra: { } 3 4 3 5

2

D

Dấu bằng xảy ra





3 2

m= ( thỏa mãn)

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là nhỏ nhất khi 3

2

m=

Bài tập tương tự

y= x − x+ m− trên đoạn [ ]0; 2 là nhỏ nhất Giá trị của m thuộc khoảng?

3

 . D 3; 1

2

−

Lời giải Chọn B

Đặt ( ) 3

f x =x − x− + m trên đoạn [ ]0; 2

[ ]

1 0; 2

x

x

 = − ∉

= ∈

( )0 1 2 , ( )1 3 2 , ( )2 1 2

nên ta có max[ ]0;2 y=max 2{ m−3 ; 2m+1}

Ta có:

[ 3;1 ]

y

−

Dấu bằng khi m=2

f x = x − x+ +m trên đoạn [ ]1;3 đạt nhỏ nhất

Giá trị của m bằng

A 23

2

2

−

Lời giải

Chọn A

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số f x( ) trên [ ]1;3

+) Xét ( ) 3

g x =x − x+ +m trên [ ]1;3 ( ) 2

2 ( )

=



 +) Ta có:

( )1 10

f = m− ; f ( )2 = m−15; f ( )3 = m−8

∈

8 15



⇒ 



7 2

M

Dấu “=” xảy ra

2

m



2

m=