Chuyên đề cô lập đường thẳng trong biện luận đồ thị hàm số chứa tham số

CHUYÊN ĐỀ CÔ LẬP ĐƯỜNG THẲNG TRONG BIỆN LUẬN ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ CHỨA THAM SỐ A.. Các phép biến đổi đồ thị hàm số 1... có tung độ không âm và tập hợp những điểm đối xứng với C khi C có

CHUYÊN ĐỀ

CÔ LẬP ĐƯỜNG THẲNG TRONG BIỆN LUẬN ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ CHỨA THAM SỐ

A Cơ sở lý thuyết chung

I Các phép biến đổi đồ thị hàm số

1 Phép tịnh tiến theo véc tơ u = a;b( )

Bài toán: Cho đồ thị ( )C của hàm số y= f x( )

tìm đồ thị ( )'

C của hàm số y= F x( ) thu được khi tịnh tiến ( )C theo véc tơ u=( )a b;

Cách vẽ:

- Mỗi điểm A x y( 0; 0) thuộc đồ thị y= f x( )

cho ta một điểm A x'( ' ; ' )0 y 0 thuộc đồ thị y= F x( )

Áp dụng:

Ví dụ 1: Cho hàm số 2

y = f x =x − , vẽ đồ thị các hàm số a) y = f x( )+ 3

có tung độ không âm và tập hợp những điểm đối

xứng với ( )C khi ( )C có tung độ âm

y= f x , ta giữ nguyên phần đồ thị ( )C ở nửa trên trục Ox và lấy đối xứng

với đồ thị ( )C ở nửa dưới trục Ox

b) Vẽ đồ thị hàm số y= f x( − rồi 2)

lấy đối xứng đồ thị thu được

c) Vẽ đồ thị hàm số y = f x( ) 3− rồi lấy đối

xứng đồ thị thu được

d) Vẽ đồ thị hàm số y= f x( − − rồi 2) 3

lấy đối xứng đồ thị thu được

e) Vẽ đồ thị hàm số y= f x( − − , 2) 3

lấy đối xứng đồ thị thu được rồi dịch

chuyển lên trên 4 đơn vị

Tại những điểm A x y( 0; 0) trên ( )C qua phép đối

xứng qua trục Oy cho điểm A'(−x y0; 0) thuộc độ thị

y= f x , giữ nguyên phần đồ thị ( )C ở nửa bên phải trục Oy và lấy đối

xứng qua trục Oy sang bên trái

a) Vẽ đồ thị hàm số y= f x( ), giữ nguyên phần đồ

thị ( )C ở nửa bên phải trục Ox và lấy đối xứng qua

trục Oy

b) Vẽ đồ thị hàm số y= f x( − , giữ nguyên 2)

phần đồ thị ( )C ở nửa bên phải đường thẳng x = 2

và lấy đối xứng qua đường thẳng x = 2

đồ thị ( )C ở nửa bên phải đường thẳng x = , lấy đối 2

xứng qua đường thẳng x = rồi tịnh tiến lên trên 4 đơn 2

vị

II Các hàm số chứa tham số m áp dụng được phương pháp cô lập đường thẳng

Phương pháp này chỉ áp dụng được với tham số m xuất hiện một lần trong hàm số Với các hàm số có nhiều lần xuất hiện tham số m, ta sẽ rút gọn về dạng M =u m( ) là một biểu thức duy nhất chứa m

Ví dụ 4: Rút gọn các hàm số để thu được phương trình chỉ chứa 1 hạng tử có biểu

Những hàm số có tham số m tự do (không đi cùng biến) hoặc tham số m

xuất hiện ở duy nhất một hạng tử chứa biến hoặc tham số m xuất hiện ở

nhiều hạng tử nhưng đồng bậc, ta có thể đưa về một biểu thức M duy nhất chứa tham m

III Cô lập đường thẳng

Mọi hàm số y= f x( ) đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một hàm số y=g x( )

có đồ thị ( )C và một hàm số của đường thẳng : y=h x( )= : kx y= f x( )=g x( )+ kx

Khi ( )g x có nghiệm x0, g x( )0 = 0 g x( )0 +h x( )0 =h x( )0  f x( )0 =h x( )0

Nên phương trình ( )f x =h x( ) cũng có nghiệm x0

Do đó, ta luôn vẽ được đường thẳng  và đồ thị ( )C giao nhau tại điểm có hoành độ

là nghiệm của phương trình ( )g x = 0

Vì y= f x( )=g x( )+h x( ) chỉ chứa một tham số m nên sẽ xảy ra 2 trường hợp sau: + m nằm trong g x , ta cố định được ( ) 

+ m nằm trong ( )h x , ta cố định được ( ) C

Bước còn lại là vẽ 2 đồ thị trên cùng hệ trục Oxy rồi biện luận tương giao giữa 2 đồ

thị để tìm giá trị m Nếu chứa M ta giải tiếp phương trình M =u m( ) để tìm m

- Tìm trường hợp tương giao thỏa mãn đề bài

- Giải hệ điều kiện tìm tham số

Xét (1) đúng cả cho trường hợp a  vì 0 (−b)2 − −4( a).(− =c) b2 −4ac

Xét (2):

2 2

44

thuộc nửa trên mặt phẳng bờ  và không

chứa  , tương đương 1x0 3, nên

Để y= f x( ) có cực đại thì phải thỏa mãn đồng

thời cả 2 điều kiện:

+ ( )C cắt  tại 2 điểm phân biệt B x d x( 1; ( )1 )

và C x d x( 2; ( 2)) hay ( )g x = có 2 nghiệm phân 0

Vậy có 2021 giá trị m thỏa mãn bài toán

b) Trường hợp 2: g x =( ) 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 Đường thẳng y =dx

tiếp xúc dưới với đồ thị hàm số y =h x( ) tại 2 điểm B x d x( 1; ( )1 ); C(x d x2; ( )2 )

k x = −g x +d x = −ax + d −b x−c, cực trị A x k x( 0; ( )0 ) có

( )2 0

f x = ax +bx+ +c dx Theo kết quả mục B.I.1.:

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại khi

00

4

bd c

00

bd c

=



 

 , theo kết quả từ mục B.I.1 thì:

+ Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu khi

000

c bd c

0004

c bd c

- Nếu cả 2 điểm B, C đều nằm dưới trục Oy, suy ra bd  và 0 c  , khi đó: 0

+ A không cao hơn B hoặc C Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại, 2 điểm cực

tiểu:

00

c bd

+ A cao hơn cả B và C nhưng không cao hơn Ox Đồ thị hàm số có 2 điểm

cực đại, 3 điểm cực tiểu khi đó

04

44

04

c

c bd

04

44

04

c

c bd

abd ac

abd ac

c abd ac

ac abd

c abd ac

ac abd

ac abd

Nhận thấy nếu m  thì 0 y=g x( )= f x( ) như

hình trên nên có tối đa 3 cực trị

Vậy m  , khảo sát qua các trường hợp của 0

0

10 00

Đặt f t( )=2t +t f t, '( )=2 ln 2 1t + 0 đo đó y= f t( ) đồng biến trên , phương trình

đã cho tương đương: f x( )= f(log (2 x+2 ))m  =x log (2 x+2 )m

Xét hàm số y =g x( )=log2 x có tiếp tuyến ( ) tại x0song song với đường thẳng ( )d

y= thì phương trình trình tiếp tuyến là x

2 0

y=g x+ m , 2 đồ thị này có giao điểm khi

tiếp tuyến ( )m trùng với ( )d hoặc lệch về

bên trái so với ( )d , do đó giao điểm ( )m với

trục Ox có hoành độ không dương, hay:

Ví dụ 9: Cho ( )f x là hàm đa thức bậc hai có

đồ thị như hình vẽ Gọi S là tập hợp các giá trị

nguyên âm của tham số m để phương trình

5 ( )f x =mx− −m 10 có 4 nghiệm phân biệt Số

Để đường thẳng  và ( )C cắt nhau tại 4 điểm, và vì  có hệ số góc âm nên  bị

giới hạn khoảng giữa trục Ox và đường thẳng 0 Dễ tìm được tọa độ M(1;1) nên đường thẳng 0 qua M(1;1) và (0;0)O là y= −t

Dựa vào hệ số góc của  và 0, ta có: 1 0 5 0

5

m

m

−    −   Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn bài toán

III Biện luận về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1 Tìm điều kiện để giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = ax + bx + c + dx + e 2 đạt giá trị lớn nhất

Ghi nhớ

Ví dụ 10: Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f x( )= x2 −4x+ +3 mx đạt giá trị lớn nhất

Giải:

Xét hàm sốy=g x( )=x2 −4x+3 và đường

thẳng y=h x( )=mx như hình vẽ

Nhận thấy hàm số ( )f x luôn qua điểm (0;3) với

mọi m nên Minf x ( ) 3 Để Minf x = thì ( ) 3

tại lân cận 0, ( )g x  nên 0

Ví dụ 11: Cho hàm số f x( )= x2 +mx+ −1 2x Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )f x

Nhận thấy đồ thị hàm số g x luôn qua điểm ( )

(0; 1)− nên ( )g x cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành

g t d t  và dấu bằng có xảy ra nên t

 luôn tiếp xúc dưới với ( )C Trong các

trường hợp của  thì trường hợp 0 cho

k

m lớn nhất  là tiếp tuyến của ( )C tại

N và đi qua M − −( 3; 4) nên ta có phương trình : 3 7

Mọi thắc mắc, góp ý xin liên lạc:

o Chi nhánh: Hội sở chính – Hà Nội

▪ Momo, Viettel Pay: 0919469889

Tác giả xin chân thành cảm ơn!