Góp phần phát triển năng lực tư duy và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp trung học phổ thông trong dạy học đại số

Môn Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc sống; ...; rèn luyện kỹ năng vận dụng các k

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

1.1. Nghị quyết Hội nghị lần thứ 2 Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (Khoá VIII, 1997) khẳng định: “ Phải đổi mới phương pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo cho người học ”

Luật Giáo dục nước Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam (năm 1998) quy định: “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn ”

Dự thảo chương trình (năm 1989) quy định những nhiệm vụ của môn Toán trường phổ thông trung học: “ Góp phần phát triển năng lực trí tuệ, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian, tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, tư duy biện chứng, , đồng thời rèn luyện các phẩm chất của tư duy như linh hoạt, độc lập, sáng tạo ”

Chương trình môn Toán (Thí điểm) trường Trung học phổ thông (năm 2002) cũng đã chỉ rõ: “ Môn Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc sống; ; rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bài toán đơn giản của thực tiễn; phát triển khả năng suy luận

có lý, hợp lôgic trong những tình huống cụ thể, khả năng tiếp nhận và biểu đạt các vấn đề một cách chính xác ”

1.2. Nhận định về phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông trong giai đoạn hiện nay, các nhà toán học Hoàng Tụy và Nguyễn Cảnh Toàn viết:

“ Kiến thức, tư duy, tính cách con người chính là mục tiêu của giáo dục Thế nhưng, hiện nay trong nhà trường tư duy và tính cách bị chìm đi trong kiến thức ” [128, tr 7] “ Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đưa ra kiến thức

(khái niệm, định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức, các định lý để tính toán, để chứng minh ” [127, tr 4] “ Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp ích gì mấy để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản ” [138, tr 38]

1.3. Nhà giáo dục học Nga vĩ đại K Đ Usinxki [52, tr 53] và nhiều công trình nghiên cứu về Giáo dục học, Tâm lí học, Lôgic học, Triết học, Phương pháp dạy học bộ môn, đã khẳng định sự cần thiết phải phát triển tư duy

lôgic cho học sinh Tuy nhiên, trong số đó, không phải tài liệu nào cũng đưa

ra một cách hiểu tương đối cụ thể về khái niệm tư duy lôgic

Nhiều tài liệu về phương pháp giảng dạy Toán của các tác giả trong nước

và ngoài nước, bên cạnh việc nhấn mạnh yêu cầu phát triển tư duy lôgic cho học sinh (hoặc tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác - tuỳ theo quan điểm của từng tác giả) như một trong các nhiệm vụ quan trọng của dạy học Toán ở trường phổ thông, đã nêu lên những thành tố của loại hình tư duy này [18],

[21], [22], [48], [75], [80], [133], [156], [162], Tuy nhiên, chưa phải đã có một quan điểm thống nhất về những thành tố của nó Hơn nữa, do tính khái

quát trong cách trình bày, các tài liệu cũng chưa có dịp đi sâu để xem xét những hình thái của loại hình tư duy này trong từng cấp học và trong từng phân môn (của môn Toán)

Lời chỉ giáo của V I Lênin: “Không có chân lý trừu tượng, chân lý bao giờ cũng cụ thể” [90] là một tiền đề rất quan trọng để chúng ta có thể đi vào

việc nghiên cứu sâu hơn vấn đề phát triển năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp Trung học phổ thông trong dạy học Đại số

1.4. Đại số ở bậc Trung học phổ thông nói chung, Đại số 10 nói riêng là môn học có nhiều chủ đề thích hợp với việc phát triển năng lực tư duy lôgic và

sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh Chẳng hạn, chủ đề phương

trình, bất phương trình chứa trị tuyệt đối hoặc chứa tham số thích hợp với việc

rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân chia các trường hợp riêng; phương trình,

bất phương trình vô tỷ thích hợp với việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng biến

đổi tương đương; bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thích hợp với việc

rèn luyện cho học sinh kỹ năng phối hợp giữa suy đoán và suy diễn; các thuật

ngữ và ký hiệu của lôgic toán thích hợp với việc rèn luyện cho học sinh kỹ

năng biểu đạt vấn đề một cách ngắn gọn và chính xác; hệ bất phương trình

bậc nhất thích hợp với việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng toán học hoá tình

huống thực tiễn; Tuy nhiên - như thực tiễn sư phạm đã cho thấy - năng lực

tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh trong Đại

số nhìn chung chưa đạt tới mức độ mà nó có thể đạt tới (điều này sẽ được

phân tích kỹ trong phần nội dung của Luận án) Nguyên nhân dẫn đến điều

này phải chăng vì giáo viên chưa ý thức được tầm quan trọng, hoặc chưa có

những biện pháp sư phạm thích hợp để phát triển năng lực tư duy lôgic và sử

dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh?

Đã có một số công trình nghiên cứu liên quan đến tư duy lôgic, chẳng hạn

luận án Tiến sĩ của Nguyễn Đinh Hùng (1996): “Bồi dưỡng tư duy lôgic cho

học sinh trường trung học cơ sở Việt Nam thông qua hệ thống câu hỏi và bài

tập Đại số lớp 7” [70], nhưng chưa có công trình nào nghiên cứu việc phát

triển năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học

sinh đầu cấp Trung học phổ thông trong dạy học Đại số

Vì những lí do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận án là:

“ Góp phần phát triển năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác

ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp Trung học phổ thông trong dạy học Đại số”

2 mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận án là nghiên cứu để xác định những thành tố đặc trưng

đối với năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh lớp 10 thể hiện trong Đại số, đồng thời nghiên cứu để xây dựng các biện

pháp nhằm góp phần phát triển năng lực này cho học sinh lớp 10 trong dạy học Đại số

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1. Tổng hợp quan điểm của một số nhà khoa học về tư duy toán học,

năng lực toán học, tư duy lôgic, ngôn ngữ toán học - nhằm hỗ trợ cho việc xác

định các thành tố đặc trưng đối với năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh lớp 10 thể hiện trong Đại số Phân tích, so

sánh, đối chiếu các quan điểm đó để rút ra những nhận định cần thiết;

qua việc làm rõ những thành tố đặc trưng của năng lực này;

3.4. Xác lập những định hướng cơ bản làm cơ sở cho việc xây dựng và thực hiện các biện pháp sư phạm;

3.5. Xây dựng và thực hiện các biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát

triển năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học

sinh lớp 10 trong dạy học Đại số;

3.6. Thực nghiệm sư phạm

4 Giả thuyết khoa học

Dựa vào những cơ sở lý luận và thực tiễn, có thể xác định các thành tố

đặc trưng đối với năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán

học của học sinh đầu cấp THPT thể hiện trong Đại số Trên cơ sở đó, trong

dạy học Đại số 10, nếu xây dựng được một số biện pháp thích hợp thì có thể phát triển cho học sinh năng lực này, góp phần quan trọng vào việc nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông

6.1.1. Đã xác định được (kèm theo những lý giải xác đáng) nội dung của

khái niệm năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh lớp 10 thể hiện trong Đại số thông qua việc làm rõ những thành tố

đặc trưng của năng lực này;

6.1.2. Đã nêu lên được một cách tương đối hệ thống và khái quát (kèm theo sự phân tích nguyên nhân) những khó khăn, những sai lầm phổ biến của học sinh khi đứng trước những vấn đề toán học - mà việc giải quyết những vấn

đề đó đòi hỏi một sự thể hiện về năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh;

6.1.3. Đã đưa ra được những định hướng và những biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh trong dạy học Đại số 10 Không chỉ dừng lại ở việc

đề xuất mà còn hiện thực hoá việc thực hiện các biện pháp (theo hướng tích cực hoá hoạt động của học sinh - phù hợp với định hướng đổi mới phương

pháp dạy học Toán trong giai đoạn hiện nay), nói cách khác, Luận án rất quan

tâm đến phương thức dẫn dắt, lôi cuốn một cách hợp lý để học sinh tham gia tích cực vào quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề

6.2 Về mặt thực tiễn

6.2.1. Có thể sử dụng Luận án để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên

Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường Trung

7 những luận điểm đưa ra bảo vệ

7.1. Cách quan niệm về những thành tố đặc trưng đối với năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh lớp 10 trong Đại

số như Luận án của chúng tôi, là một trong những cách quan niệm mang ý

nghĩa lý luận và thực tiễn Phát triển năng lực này vừa là một điều kiện, vừa là một kết quả của dạy học Đại số;

7.2. Các biện pháp góp phần phát triển năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh lớp 10 trong dạy học Đại số (đề xuất trong Luận án) là khả thi và hiệu quả;

7.3. Trong khi thực hiện các biện pháp, đã quan tâm hợp lý đến việc tăng cường hoạt động, bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh;

7.4. Có thể trình bày khái niệm Hai phương trình tương đương trên D một

cách hợp lý hơn so với sách giáo khoa hiện hành, nhằm đáp ứng các yêu cầu: tính lôgic, tính chính xác, tính sư phạm

8 Cấu trúc của luận án

Luận án, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, có 3 chương:

2.1 Định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp

2.2 Một số biện pháp nhằm góp phần phát triển năng lực tư duy lôgic

và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh lớp 10 trong dạy học

Đại số

2.3 Kết luận

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.4 Kết luận

Chương 1 cơ sở lý luận và thực tiễn 1.1 Quá trình tư duy

1.1.1 Khái niệm về tư duy

Nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lý của con người, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lý cao hơn Tuy nhiên, thực

tế cuộc sống luôn đặt ra những vấn đề mà bằng cảm tính, con người không thể nhận thức và giải quyết được Muốn cải tạo thế giới, con người phải đạt tới mức độ nhận thức cao hơn, đó là nhận thức lý tính (hay còn gọi là tư duy) Trong Tâm lý học, một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về tư duy đã

được trình bày trong các công trình của X L Rubinstêin Những công trình này đã thúc đẩy mạnh mẽ việc giải quyết hàng loạt vấn đề cơ bản liên quan

đến việc nghiên cứu hình thức hoạt động tâm lý phức tạp Theo cách hiểu của

X L Rubinstêin: “Tư duy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” (dẫn theo [43, tr 246])

Có thể chỉ ra một số cách định nghĩa khác về tư duy, chẳng hạn: “Tư duy

là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan

hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan” [57,

tr 117], hoặc: “Tư duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi và sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó” [163, tr 290]

Tư duy con người mang bản chất xã hội, sáng tạo và có cá tính ngôn ngữ Trong quá trình phát triển, tư duy con người không dừng lại ở trình độ tư duy bằng thao tác tay chân, bằng hình tượng mà con người còn đạt tới trình độ tư duy bằng ngôn ngữ, tư duy trừu tượng, tư duy khái quát - hình thức tư duy đặc

biệt của con người [57, tr 119] Trong quá trình tư duy, con người sử dụng phương tiện ngôn ngữ, sản phẩm có tính xã hội cao để nhận thức tình huống

có vấn đề, để tiến hành các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá nhằm đi đến những khái niệm, phán đoán, suy lý, những quy luật - những sản phẩm khái quát của tư duy

1.1.2 Đặc điểm của tư duy

Thuộc bậc thang nhận thức cao - nhận thức lý tính - tư duy có những đặc

điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác Tư duy có những đặc điểm cơ bản sau [57, tr 119-125]:

* Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề;

* Tư duy có tính khái quát;

* Tư duy có tính gián tiếp;

* Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: tư duy và ngôn ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau nhưng cũng không đồng nhất với nhau Sự thống nhất giữa tư duy và ngôn ngữ thể hiện rõ

ở khâu biểu đạt kết quả của quá trình tư duy

“Đặc điểm điển hình của tư duy của con người là mối liên hệ không thể chia cắt được giữa tư duy và ngôn ngữ Nhận thức, tư duy của con người chỉ có thể thực hiện thông qua ngôn ngữ, điều đó chứng tỏ tính chất xã hội của tư duy của con người khác với tính chất thuần tuý sinh vật của sự hoạt động tâm

lý của động vật” [115, tr 874-875]

* Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: tư duy thường bắt

đầu từ nhận thức cảm tính, dù tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì nội dung của tư duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, hình tượng trực quan, …) X L Rubinstêin khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư duy” (dẫn theo [57, tr 122])

* Tư duy là một quá trình: tư duy được xét như một quá trình, nghĩa là tư duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai

đoạn kế tiếp nhau được minh hoạ bởi sơ đồ (do K K Plantônôv đưa ra):

đ̉

Nhận thức vấn

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyƠt

Kiểm tra giả thuyƠt

ChƠnh xác hoá Khẳng nh đ˜ Phủ nh đ˜

Giải quy t vấn Hoạt động tư duy mới

Hình 1.1

* Quá trình tư duy là một hành động trí tuệ: quá trình tư duy được diễn ra

bằng cách chủ thể tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định Có rất nhiều thao tác trí tuệ tham gia vào một quá trình tư duy cụ thể với tư cách một hành động trí tuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá,

1.1.3 Tác dụng của tư duy

“Tư duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội Người ta dựa vào tư duy

để nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng những quy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình” [115, tr 876]

1.1.4 Về sự phân loại tư duy

Có nhiều cách phân loại tư duy

Theo [57], [117], [143] có ba loại tư duy:

a) Tư duy trực quan, hành động: đó là loại tư duy bằng các thao tác cụ thể

tay chân hướng vào việc giải quyết một số tình huống cụ thể, trực quan

b) Tư duy trực quan hình tượng: là loại tư duy phát triển ở mức độ cao

hơn, ra đời muộn hơn so với loại tư duy trực quan hành động, chỉ có ở người,

đó là loại tư duy mà việc giải quyết vấn đề dựa vào các hình ảnh của sự vật, hiện tượng

c) Tư duy trừu tượng (tư duy ngôn ngữ, lôgic): là loại tư duy phát triển ở

mức độ cao nhất, chỉ có ở người, đó là loại tư duy mà việc giải quyết vấn đề dựa trên các khái niệm, các mối quan hệ lôgic và gắn bó chặt chẽ với ngôn ngữ, lấy ngôn ngữ làm phương tiện

Theo A V Pêtrôvxki và L B Itenxơn, có 4 loại tư duy: tư duy hình tượng, tư duy thực hành, tư duy khoa học và tư duy lôgic

Trong đó, tư duy lôgíc được hiểu là: “Tư duy thay thế các hành động với các sự vật có thực bằng sự vận dụng các khái niệm theo quy tắc của Lôgic học” [105, tr 126-130]

Trong một số công trình của V A Cruchetxki, ông có nói đến: tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, tư duy lý luận [30, tr 112-117] Các thuật ngữ tư duy lý luận, tư duy kinh nghiệm đã được V V Đavưđôv

sử dụng trong cuốn Các dạng khái quát hoá trong dạy học [43, tr 247]

J Piaget thường nói đến 2 loại tư duy: tư duy cụ thể, tư duy hình thức

Trên đây là một số cách phân loại tư duy, qua đó có thể nhận thấy rằng:

cách phân loại tư duy là hết sức đa dạng

1.2 Một số quan điểm về những thành phần của tư duy toán học

và năng lực toán học

Phần này không nhằm mục đích đi sâu nghiên cứu về năng lực toán học

hay tư duy toán học, mà chỉ nhằm hỗ trợ cho việc xác định các thành tố đặc trưng của năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của

HS trong Đại số (sẽ được trình bày trong những phần về sau) mà thôi

Qua phần này chúng ta sẽ thấy rằng:

- Chưa có sự thống nhất hoàn toàn giữa các quan điểm của các nhà khoa học;

- Chỉ có sự độc lập tương đối giữa các thành phần được tách ra từ năng

lực toán học hoặc tư duy toán học;

- Cách sử dụng thuật ngữ để đặt tên cho các loại hình tư duy là chưa

thống nhất, một loại hình tư duy nào đó theo cách hiểu của tác giả này có thể

không đồng nhất với loại hình tư duy ấy theo cách hiểu của tác giả kia, và

cũng không nhất thiết phân biệt hoàn toàn với loại hình tư duy có tên gọi khác;

Việc tham khảo quan điểm của các nhà khoa học về những thành phần

của tư duy toán học hay năng lực toán học như là một trong những điểm tựa

hỗ trợ cho việc xác định các thành tố đặc trưng của năng lực tư duy lôgic và sử

dụng chính xác ngôn ngữ toán học, sẽ góp phần khẳng định tính giá trị của

việc phát triển năng lực này trong giáo dục Toán học, bởi: dẫu có khác nhau

về quan điểm cũng như cách sử dụng thuật ngữ, nhưng tựu trung lại, những

thành tố có mặt trong các quan điểm ấy đều cần thiết và tác động đến chất

lượng học tập môn Toán của HS Hơn nữa, nó thể hiện Quan điểm tiếp cận hệ

thống trong nghiên cứu Khoa học Giáo dục (đã được các tác giả Trần Thúc

Trình, Nguyễn Bá Kim trình bày trong [56, tr 92-95] và [77, tr 24-26])

1.2.1 Vai trò của tư duy toán học và một số hướng nghiên cứu về tư

b) Rèn luyện cho HS những kỹ năng và kỹ xảo toán học;

c) Phát triển tư duy toán học của HS

“Có quan niệm cho rằng, việc giải quyết có kết quả vấn đề thứ nhất và vấn đề thứ hai trong số các vấn đề trên, sẽ tự nó kéo theo việc giải quyết vấn

đề thứ ba Có nghĩa là cho rằng, sự phát triển tư duy toán học diễn ra một cách

tự phát trong quá trình giảng dạy Toán Trong một chừng mực nào đó, điều này có thể đúng, nhưng chỉ trong một chừng mực nào đó mà thôi” [156, tr 131], [162, tr 105]

“Tư duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt

động toán học của HS, nó còn là thành phần mà, nếu thiếu sự phát triển một cách có phương hướng thì không thể đạt được hiệu quả trong việc truyền thụ cho HS hệ thống các kiến thức và kỹ năng toán học” [156, tr 131]

Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn nhận xét: “Làm khoa học gì thì cũng đụng chạm đến kiến thức, tư duy và tính cách con người một cách sâu đậm Kiến thức, tư duy, tính cách con người chính là mục tiêu của giáo dục” [128, tr 7]

Nhận xét đó được Ông nhắc lại trong bài “Văn hoá Toán học” (Tạp chí Giáo dục, số 38, tr 41)

Nhà tâm lý học A N Lêônchiev trong Hoạt động, ý thức, nhân cách có

nhận định tương tự [91, tr 350]

Tới nay, đã có nhiều tài liệu đề cập (theo các mức độ khác nhau) đến các khía cạnh xung quanh vấn đề tư duy toán học: [66], [75], [17], [137], [73], [128], [97], [94], [125], [16], [156], [157], [162], [171], [158],

1.2.2 Một số quan điểm về những thành phần của tư duy toán học và năng lực toán học

Trong số những công trình có đề cập về tư duy toán học, trước hết có thể

kể đến Phương pháp giảng dạy Toán ở trường phổ thông của nhóm tác giả:

Iu M Kôliagin, V A Ôganhexian, V Ia Xannhixki và G L Lukankin

Cuốn sách này được ấn hành lần đầu tiên vào năm 1975 [156] và được tái bản lần thứ nhất vào năm 1980 [162]

Trong các cuốn sách này, tác giả đã trình bày rất cụ thể về những thành

phần của tư duy toán học ít thấy tài liệu nào đề cập đến tư duy toán học một cách chi tiết như vậy

Khẳng định về sự đa dạng của những quan điểm về tư duy toán học, tác giả viết: “Tuỳ theo những quan điểm giáo học pháp khác nhau, việc phân chia các thành phần tư duy toán học có thể có và có thể còn hợp lý hơn nữa” [162,

tr 131]

Trước khi nêu ra các thành phần của tư duy toán học, tác giả lý giải: “Tư duy toán học có những nét, những đặc điểm đặc trưng của mình, mà những

đặc điểm này được quy định bởi tính đặc thù của các đối tượng nghiên cứu và

được quy định bởi tính đặc thù của các phương pháp nghiên cứu” [156]

Về cấu trúc tư duy toán học, theo [156, tr 136-151], các thành phần chủ yếu của tư duy toán học gồm:

7) Các phong cách toán học của tư duy

Đặc biệt, tư duy trừu tượng có thể được tách thành:

Trong [162], các tác giả quan niệm rằng, tư duy toán học bao gồm các thành phần chủ yếu sau đây:

Trong các bài báo của Viện sĩ B V Gơnhedencô viết về giáo dục Toán học (ở trường phổ thông), không thấy Ông nói đến những thành phần của tư duy toán học hay cấu trúc của năng lực toán học, mà chỉ thấy Ông sử dụng

cụm từ những yêu cầu đối với tư duy toán học của học sinh Những yêu cầu

đó là:

1) Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy được

sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh;

2) Sự cô đọng;

3) Sự chính xác của các ký hiệu;

4) Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận;

5) Thói quen lý lẽ đầy đủ về lôgic [152], [153], [154]

Nhà toán học nổi tiếng A Ia Khinshin, Giáo sư A I Marcusêvich, cũng không nói rõ rằng tư duy toán học; năng lực toán học bao gồm những thành phần nào mà có cách sử dụng khác về thuật ngữ

Theo A Ia Khinshin, những nét độc đáo của tư duy toán học là:

1) Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế;

2) Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích;

3) Phân chia rành mạch các bước suy luận;

4) Sử dụng chính xác các ký hiệu (mỗi ký hiệu toán học có một ý nghĩa xác định chặt chẽ);

5) Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận [176], [66, tr 127]

Theo A I Marcusêvich, những kỹ năng cần phải được bồi dưỡng cho HS trong dạy học Toán là:

1) Kỹ năng loại bỏ những chi tiết không căn bản để chỉ giữ lại những cái bản chất của vấn đề, chẳng hạn kỹ năng trừu tượng hoá;

2) Kỹ năng rút ra hệ quả lôgic từ những tiền đề đã cho;

3) Kỹ năng phân tích một vấn đề thành những trường hợp riêng, phân biệt khi nào đã bao quát được mọi khả năng, khi nào chỉ là ví dụ chứ chưa bao quát hết mọi khả năng;

4) Kỹ năng khái quát hoá các kết quả nhận được và đặt ra những vấn đề mới ở dạng khái quát;

5) Kỹ năng xây dựng sơ đồ của hiện tượng, sao cho, trong đó chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt Toán học;

6) Kỹ năng vận dụng các kết luận được rút ra từ các suy luận, biết đối chiếu các kết quả đó với các vấn đề đã dự kiến; kỹ năng đánh giá ảnh hưởng

của việc thay đổi các điều kiện đến độ tin cậy của các kết quả (dẫn theo [93]) Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn trong Phương pháp luận duy vật biện chứng

với việc học, dạy, nghiên cứu Toán học có đề cập bảy loại tư duy: tư duy lôgic

hình thức, tư duy biện chứng, tư duy quản lý, tư duy kỹ thuật, tư duy kinh tế, tư duy thuật toán, tư duy hình tượng [128, tr 146-149]

Một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về cấu trúc năng lực toán học là

công trình Tâm lý năng lực toán học của học sinh của V A Cruchetxki

Theo V A Cruchetxki: “Những năng lực toán học được hiểu là những

đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học tập Toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học” [158, tr 91]

Theo Ông, sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực toán học ở lứa tuổi học sinh là như sau:

1) Về mặt thu nhận những thông tin toán học:

Năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu toán học, năng lực nắm được cấu trúc hình thức của bài toán;

2) Về mặt chế biến thông tin toán học:

a) Năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và các quan

hệ không gian, các ký hiệu dấu và các ký hiệu số; năng lực suy nghĩ với các

f) Năng lực thay đổi nhanh chóng và dễ dàng hướng suy nghĩ, dạng tư duy thuận chuyển qua tư duy ngược

3) Về mặt lưu trữ thông tin toán học:

Trí nhớ toán học (tức là trí nhớ khái quát về các quan hệ toán học, về các

đặc điểm điển hình, về các sơ đồ suy luận và chứng minh)

4) Về thành phần tổng hợp khái quát:

Khuynh hướng toán học của trí tuệ [66, tr 129], [158, tr 385-386]

Theo Viện sĩ A N Kôlmôgôrôv, trong thành phần của năng lực toán học

có:

1) Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm con đường giải các phương trình không theo quy tắc chuẩn, hoặc như các nhà toán học quen gọi là năng lực tính toán hay năng lực “angôritmic”;

2) Trí tưởng tượng hình học hay là “trực giác hình học”;

3) Nghệ thuật suy luận lôgic theo các bước được phân chia một cách đúng

đắn Đặc biệt, có kỹ năng vận dụng đúng đắn nguyên lý quy nạp toán học

6) Năng lực thực hiện các phép biến đổi đại số đồng nhất;

7) Năng lực biểu diễn bằng đồ thị sự phụ thuộc hàm của hai đại luợng (dẫn theo V A Cruchetxki trong [158, tr 47])

Các tác giả: A A Stôliar [171]; E L Gingulixơ [151]; X B Xuvôrôva [173]; A S Krưgôvxcaia [159]; X I Xvacxbua [177]; cũng đề cập đến một

số khía cạnh liên quan đến vấn đề tư duy toán học; năng lực toán học hoặc hoạt động toán học

Bên cạnh các tác giả nước ngoài, một số loại hình của tư duy toán học đã

được các tác giả Việt Nam nghiên cứu

Trong [66, tr 60-61], tác giả cho rằng: “Để nhận thức mặt nội dung của hiện thực cần có tư duy biện chứng, để nhận thức mặt hình thức của hiện thực cần có tư duy lôgic, nên tư duy toán học cũng phải là sự thống nhất biện chứng giữa tư duy lôgic và tư duy biện chứng”

Trong [75], tác giả đã chỉ rõ những thành phần của tư duy thuật toán (thuật giải) [75, tr 201-202]; tác giả cũng đề xuất một số hướng có thể thực hiện để rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, phát triển khả năng suy

đoán và tưởng tượng, rèn luyện những thao tác tư duy cho học sinh qua môn

Toán [75, tr 30-33]

Những đặc trưng của tư duy hàm và bốn Tư tưởng chủ đạo để phát triển tư duy hàm đã được tác giả Nguyễn Bá Kim trình bày trong [76, tr 122-149] Theo đó, tư duy hàm được đặc trưng bởi các hoạt động:

- Phát hiện hoặc thiết lập những sự tương ứng;

* Giữa các thành phần có sự giao thoa Xin dẫn chứng bởi nhận xét của

V A Cruchetxki: “Các thành phần của cấu trúc năng lực toán học liên quan

mật thiết với nhau tạo thành một hệ thống duy nhất, một tổ chức toàn vẹn Sự

liên quan chặt chẽ giữa chúng trong quá trình giải toán đã được thấy qua rất

nhiều ví dụ Chẳng hạn thành phần năng lực rút gọn quá trình suy luận là hệ quả của thành phần năng lực khái quát hoá” [158, tr 385-388], và Iu M Kô-

liagin: “Biểu đồ những thành phần tư duy của toán học ở trên chỉ là gần đúng

và đương nhiên, không là đầy đủ và bao quát mọi khía cạnh Trong thực tế của

quá trình tư duy toán học, tất cả những thành phần tư duy ở trên tác động qua lại một cách hữu cơ với nhau, kết cấu chặt chẽ với nhau trong những thao tác

tư duy này hay khác Sự phân chia diễn ra ở trên cho một quá trình phức tạp như tư duy toán học, bằng cách xét các thành phần riêng rẽ của nó, chẳng qua

là do muốn nghiên cứu các biểu hiện riêng biệt của tư duy toán học trong quá

trình giảng dạy Toán mà thôi Chỉ có như vậy người giáo viên mới có điều

kiện thúc đẩy sự phát triển nếu không được toàn diện thì cũng là sự phát triển từng phần tư duy toán học cho học sinh” [156, tr 136]

Xin nêu thêm một dẫn chứng nữa, đó là nhận xét: “Chúng tôi quan niệm rằng, tư duy hàm thể hiện một phần của tư duy lôgic hình thức và tư duy biện chứng” của tác giả Trần Thúc Trình trong bài báo “Trao đổi thêm về tư duy

hàm trong dạy học Toán ở trường phổ thông” (Thông tin khoa học giáo dục,

số 77, năm 2000)

ở Mục 1.5 của Luận án, khi chúng tôi đưa ra những thành tố đặc trưng

của năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học, cũng không thể tránh khỏi sự giao thoa giữa các thành tố với nhau

* Vẫn một nhóm tác giả, nhưng trong hai thời điểm, có thể có quan điểm không đồng nhất về các thành phần của tư duy toán học (chẳng hạn trường

hợp của [156] và [162]);

* Không dễ so sánh tính hợp lý giữa các cách quan niệm Có thể quan

niệm này hợp lý hơn quan niệm kia nếu xét ở khía cạnh HS Trung học phổ thông, nhưng không hợp lý bằng nếu xét ở khía cạnh HS Trung học cơ sở

Tương tự như vậy nếu xem xét trên khía cạnh chất liệu kiến thức (Đại số, Số học, Hình học, Giải tích, )

Như vậy, để đánh giá đúng mức vai trò của một loại hình tư duy hay năng lực, cũng như tìm kiếm các biện pháp phát triển chúng, không nên chỉ đơn thuần dựa vào tên gọi một cách chung chung, mà trước hết phải có quan niệm

cụ thể về loại hình tư duy hoặc năng lực này Hợp lý hơn cả là nên làm rõ những thành tố đặc trưng của nó

đều chịu sự chi phối của các quy luật ngữ âm, cấu tạo từ và ngữ pháp của ngôn ngữ nói chung Mặt khác trong giảng dạy Toán, không thể không quan tâm

đến việc nâng cao trình độ sử dụng tiếng mẹ đẻ một cách chính xác [73,

tr 3, 4], [21, tr 59], [80, tr 387] Do đó, cần sơ lược vài nét cơ bản nhất về ngôn ngữ tự nhiên

1.3.1 Chức năng của ngôn ngữ

* Ngôn ngữ là phương tiện giao tiếp trọng yếu nhất của con người

* Ngôn ngữ là phương tiện của tư duy

1.3.2 Về một số hiện tượng trong tiếng Việt

Trong tiếng Việt, ta thường gặp một số “hiện tượng” Trước hết là hiện

tượng đồng âm khác nghĩa

Từ đồng âm là những từ giống nhau về âm thanh, nhưng có những ý nghĩa hoàn toàn khác nhau, chúng trùng nhau về cả âm thanh lẫn chữ viết trong tất cả (hoặc hàng loạt) hình thái ngữ pháp vốn có của chúng [54]

Chẳng hạn, theo Từ điển tiếng Việt thì từ đường có thể hiểu theo 9 nghĩa

khác nhau

Hiện tượng đồng âm trong tiếng Việt càng được thấy rõ hơn khi ta đọc

các câu sau đây:

Ba ngày trước khi đi Hạ Long tôi có gặp bạn Nam

Cái xe đạp nhẹ lắm

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau?

Thứ hai là hiện tượng phi lôgíc Chẳng hạn các câu:

Cấm không được hút thuốc lá

Con ông cháu cha

Cao chạy xa bay

Thứ ba, trong nhiều trường hợp, phép hội không có tính giao hoán Chẳng

hạn, hai câu sau đây là không đồng nghĩa:

Anh Ba lúng búng nói và mọi người cười ầm lên

Mọi người cười ầm lên và anh Ba lúng búng nói

1.3.3. Thuật ngữ khoa học là bộ phận từ vựng đặc biệt của ngôn ngữ, nó bao gồm những từ và cụm từ là tên gọi chính xác của những khái niệm và những đối tượng thuộc các lĩnh vực chuyên môn Thuật ngữ là bộ phận từ vựng rất quan trọng của ngôn ngữ Đối với các ngôn ngữ có trình độ phát triển cao, thuật ngữ chiếm tỷ lệ rất lớn So với các bộ phận khác trong hệ thống từ vựng thì thuật ngữ là bộ phận phát triển nhất Theo K Xôkhôra, nhà ngôn ngữ học người Cộng hũa Czech, 90% từ mới trong ngôn ngữ là các thuật ngữ khoa học, kỹ thuật

Thuật ngữ khoa học có các đặc điểm sau [54, tr 118-121]:

Trước hết, thuật ngữ khoa học có tính xác định về nghĩa

Đặc điểm thứ hai là tính hệ thống: mỗi lĩnh vực khoa học đều có một hệ

thống các khái niệm chặt chẽ được thể hiện ra bằng hệ thống các thuật ngữ của mình

Đặc điểm thứ ba của thuật ngữ là xu hướng một nghĩa: nếu như ở những

từ thông thường, hiện tượng nhiều nghĩa rất tự nhiên và phổ biến, thì đối với thuật ngữ, do tính xác định về nghĩa, cũng như do nó nằm trong hệ thống thuật ngữ nhất định, nên mỗi thuật ngữ thường chỉ có một nghĩa Tất nhiên, một thuật ngữ cụ thể nào đó có thể tham gia vào nhiều hệ thống thuật ngữ khác nhau, nhưng trong cùng một hệ thống, mỗi thuật ngữ thường chỉ có một nghĩa

mà thôi

Đặc điểm thứ tư của thuật ngữ là tính quốc tế

Đặc điểm thứ năm của thuật ngữ thể hiện ở chỗ nú không mang sắc thái

tu từ biểu cảm

1.3.4. Việc sử dụng ngôn ngữ, nói riêng trong giới học sinh, còn có những

điều đáng bàn “Chúng ta có thể tổ chức dạy và học đạt tới trình độ ngôn ngữ hay Đó là công việc ở các trường dạy viết Văn chẳng hạn Nhưng khi nói đến rèn luyện ngôn ngữ thì người ta chủ yếu nhìn vào mục tiêu là ngôn ngữ đúng, ngôn ngữ chuẩn mực Việc xây dựng kỹ năng sử dụng ngôn ngữ đúng, về nguyên tắc phải được hoàn thành ở bậc học phổ thông Nhưng trên thực tế, ở nước ta, học sinh tốt nghiệp 12 năm phổ thông nói, viết tiếng mẹ đẻ chưa tốt lắm Cho nên, muốn giữ gìn sự trong sáng của tiếng Việt, chúng ta phải tốn nhiều công sức cho việc rèn luyện ngôn ngữ, trước hết, tập trung vào luyện kỹ năng sử dụng ngôn ngữ đúng, chuẩn xác” [126, tr 20]

N G Trernưsepxki cho rằng: “Cái gì anh hình dung không rõ thì diễn đạt không sáng, diễn đạt thiếu chính xác và lộn xộn thì chứng tỏ ý nghĩ của mình rối rắm, phức tạp mà thôi” (dẫn theo [1]) Vì vậy, “rèn luyện kỹ năng dùng ngôn ngữ chính xác chính là rèn luyện tư duy chính xác Khi học sinh học hoặc làm bài mà chú ý đến từng câu, chữ, các dấu chấm, dấu phẩy, dấu chấm

phẩy thì chính là họ đương tư duy Trong các bài tập ra cho học sinh, nên có các bài tập yêu cầu diễn tả các công thức sang ngôn ngữ thông thường để chống bệnh hình thức và rèn luyện dùng ngôn ngữ cho chính xác” [130,

tr 141]

1.4 Ngôn ngữ toán học

1.4.1. Một số tác giả quan niệm rằng: “Toán học hiểu theo nghĩa nào đó

là một thứ ngôn ngữ để mô tả những tình huống cụ thể nảy sinh trong nghiên cứu khoa học, hoặc trong hoạt động thực tiễn của loài người” [66, tr 96], [171, tr 229] Bởi vậy: “Dạy học Toán, xét về mặt nào đó là dạy học một ngôn ngữ, một ngôn ngữ đặc biệt, có tác dụng to lớn trong việc diễn tả các sự kiện, các phương pháp trong các lĩnh vực rất khác nhau của khoa học và hoạt

động thực tiễn” [19, tr 7]

Ngôn ngữ toán học là kết quả của sự cải tiến ngôn ngữ tự nhiên theo những khuynh hướng sau [171, tr 226]:

- Khắc phục sự cồng kềnh của ngôn ngữ tự nhiên;

- Mở rộng các khả năng biểu diễn của nó;

- Loại bỏ sự đa nghĩa của ngôn ngữ tự nhiên

Nhà Vật lý học Niels Bohr coi ngôn ngữ toán học là “sự cải tiến ngôn ngữ chung, sự trang bị cho nó những công cụ thuận tiện để phản ánh những mối phụ thuộc, mà nếu biểu đạt bằng ngôn ngữ thông thường thì sẽ không chính xác hoặc phức tạp” (trích theo [116, tr 230])

Theo các tác giả A A Stôliar; Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình, ngôn ngữ toán học khác với ngôn ngữ tự nhiên ở chỗ:

Thứ nhất, trong ngôn ngữ toán học một dấu, chữ số, chữ cái, dấu phép tính, hay dấu quan hệ biểu thị điều mà ngôn ngữ tự nhiên phải dùng đến từ

hay một kết hợp từ mới biểu thị được, điều đó làm cho ngôn ngữ toán học gọn gàng hơn so với ngôn ngữ tự nhiên

Thứ hai, mỗi ký hiệu toán học hoặc một kết hợp các ký hiệu đều có một nghĩa duy nhất, điều đó làm cho ngôn ngữ toán học có khả năng diễn đạt chính xác tư tưởng toán học hơn hẳn ngôn ngữ tự nhiên (đôi khi ta gặp những

từ hoặc cụm từ có nhiều nghĩa)

Thứ ba, trong ngôn ngữ toán học có dùng đến ngôn ngữ biến (biểu thị

nhiều đối tượng trong một quan hệ nào đó) điều đó cho phép ngôn ngữ toán học rất thích hợp để diễn đạt khái quát các quy luật chung [66, tr 95], [171,

ngôn ngữ tự nhiên

Hệ thống các ký hiệu toán học có thể coi là một ngôn ngữ riêng, ngôn ngữ ký hiệu Để làm sáng tỏ lợi ích của các ký hiệu toán học, G Pôlya dẫn ra

ví dụ: chúng ta thử cộng nhiều số khá lớn với giả thiết là không được dùng chữ

số ảrập mà chỉ được dùng chữ số La Mã, như vậy thì phải mất bao lâu để làm phép tính: MMMXC + MDCXII + MDCCCLXXXVII? [110, tr 135]

G W Leibnitz ví ngôn ngữ ký hiệu như sợi chỉ đỏ của nàng Ariane, ông cho rằng: “Chúng ta sử dụng ký hiệu không phải chỉ để diễn đạt sự suy nghĩ của ta cho người khác, mà còn để đơn giản hoá quá trình suy nghĩ của chính chúng ta” (dẫn theo [51, tr 4])

Năng lực tư duy toán học và năng lực sử dụng ngôn ngữ ký hiệu có liên quan chặt chẽ với nhau, “nắm vững được ngôn ngữ các ký hiệu toán học cũng

có nghĩa là nắm vững được những đặc trưng của tư duy toán học” [173, tr 30]

Số và hình không phải là những đối tượng duy nhất của Toán học Về

nguyên tắc, Toán học không tách rời Lôgíc học [109, tr 39] Ngày nay, do sự

phát triển của của Toán học, luận đề của F Engels: “Đối tượng của Toán học (thuần tuý) là những hình dạng không gian và quan hệ số lượng của thế giới hiện thực” đã được hiểu một cách rất rộng: “Toán học là khoa học nghiên cứu

về các quan hệ số lượng, hình dạng và lôgíc trong thế giới khách quan” [80,

tr 40], [137, tr 4] Ngôn ngữ toán học được giảng dạy ở bậc Trung học phổ

thông bao hàm cả một số yếu tố cơ bản nhất của ngôn ngữ Lý thuyết tập hợp

và lôgíc toán [171, tr 239-240]

A A Stôliar trong các công trình: Các vấn đề lôgíc trong giảng dạy Toán [168]; ứng dụng ngôn ngữ toán học hiện đại trong giáo trình môn Toán [170]; Một số vấn đề về ứng dụng lôgíc học trong giáo dục Toán học [148]; giáo dục học môn Toán [171] hoặc X B Xuvôrôva trong Bài tập trong dạy học Đại số (Các lớp 6 - 8) [173] đã chứng minh sự cần thiết phải đưa vào giảng dạy cho

HS một số yếu tố cơ bản của ngôn ngữ lý thuyết tập hợp và lôgíc toán, đặc biệt

Điểm mới của Đại số 10 (Chỉnh lý hợp nhất) so với Đại số 10 (CCGD) là

đưa thêm nội dung Mệnh đề và suy luận toán học, và điều đó đã được lý giải

như sau: “Một trong những thiếu sót của Chương trình CCGD năm 1989 là thiếu khái niệm mệnh đề và các suy luận toán học Đến đầu cấp THPT,

chương trình môn Toán muốn chính xác hoá các khái niệm đó, cũng như trình bày một cách chặt chẽ các khái niệm phương trình, bất phương trình Muốn làm được điều này không thể không đưa vào chương trình các yếu tố sơ đẳng của Lôgíc toán, cụ thể là lôgíc mệnh đề và vị từ (mà ta gọi là mệnh đề chứa biến) Tất nhiên để học sinh diện đại trà có thể hiểu được thì các khái niệm này chỉ được mô tả thông qua các ví dụ chứ không trình bày một cách hình thức” [27, tr 14]

1.4.3. Nhiều thuật ngữ và ký hiệu toán học đã được mọi người thừa nhận

và sử dụng thống nhất Nhưng do quan niệm hoặc do thói quen, một số nhà toán học hoặc một số quốc gia có thể sử dụng những ký hiệu và thuật ngữ khác nhau ứng với cùng một khái niệm, hoặc sử dụng cùng một thuật ngữ và cùng một ký hiệu ứng với những khái niệm khác nhau Chẳng hạn, về ký hiệu

số thập phân, nước ta dùng dấu phẩy trong khi một số nước dùng dấu chấm

sau phần nguyên; về thuật ngữ “hình thang” có tác giả coi đó là “hình tứ giác

có hai cạnh song song”, lại có tác giả coi đó là “hình tứ giác có hai cạnh song

song, còn hai cạnh kia không song song”; có những SGK coi số dương là số lớn hơn hoặc bằng 0, số âm là số nhỏ hơn hoặc bằng 0 (chẳng hạn

Mathematiques Pythagore, 6e, 5e, 4e, 3e Hatier, 1990, 1992), SGK Việt Nam coi đường trung tuyến (đường phân giác, đường cao) là những đoạn thẳng trong khi một số sách coi đó là đường thẳng (chẳng hạn sách đã dẫn) Nếu coi

đường cao là một đoạn thẳng thì lẽ ra phải nói ba đường thẳng chứa ba đường cao đồng quy chứ không nên nói ba đường cao đồng quy như lâu nay

thường nói

Vài định nghĩa hoặc định lý của một số SGK cũng có thể phát biểu cho hợp lý hoặc chính xác hơn:

Ví dụ: Đại số 10 do Ngô Thúc Lanh chủ biên, có nêu Hệ quả: “Điều kiện

ắt có và đủ để tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a ≠0) có hai nghiệm phân biệt mà chỉ một trong hai nghiệm đó nằm giữa hai số α và β (α < β) là f(α).f(β) < 0” [83,

tr 132] có thể chỉnh lại một chút ít để được chính xác hơn: “Điều kiện ắt có

và đủ để tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt, một nghiệm nằm trong (α; β) còn nghiệm kia nằm ngoài [α; β] là f(α).f(β) < 0”

Về Định nghĩa của khái niệm Hai phương trình tương đương trên D được

trình bày trong [61], [62], chúng tôi sẽ phân tích kỹ ở Chương 2 của Luận án

1.4.4 Ngữ nghĩa và cú pháp

Trong dạy học Toán nói chung và ngôn ngữ toán học nói riêng, cần quan

tâm đúng mức đến hai phương diện: ngữ nghĩa và cú pháp

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: Trong Toán học, người ta phân biệt cái ký hiệu và cái được ký hiệu, cái biểu diễn và cái được biểu diễn Nếu xem xét phương diện những cái ký hiệu, những cái biểu diễn, đi vào cấu trúc hình thức

và những quy tắc hình thức để xác định và biến đổi chúng, thì đó là phương

diện cú pháp Nếu xem xét phương diện những cái được ký hiệu, những cái

được biểu diễn, tức là đi vào nội dung, nghĩa của những cái ký hiệu, những cái

biểu diễn thì đó là phương diện ngữ nghĩa [76, tr 80]

W Walsch đã nêu lên hai mặt ngữ nghĩa và cú pháp của một số đối tượng thường gặp trong Toán học: “Phương diện ngữ nghĩa của Toán học là mặt xem

xét nội dung của những mệnh đề toán học và nghĩa của những cách đặt vấn đề

toán học Phương diện cú pháp của Toán học là mặt xem xét cấu trúc hình

thức và sự biến đổi hình thức những biểu thức toán học, sự làm việc theo những quy tắc xác định và nói riêng là sự làm việc theo thuật giải” (trích theo [76, tr 80])

Theo A A Stôliar, không ít học sinh còn yếu trong việc nắm cú pháp của

ngôn ngữ toán học, chẳng hạn, học sinh cho rằng: (a + b)(x + y) = ax + by; từ

đẳng thức

R

1R

1R

1

2 1

=+ suy ra đẳng thức R1 + R2 = R [171, tr 230]

Qua thực tiễn sư phạm, chúng ta thấy nhiều HS viết: m n mn

aa

!n

n C

C ư = (2) bằng cách áp dụng trực tiếp công thức (1) Tuy nhiên

rất ít em có thể chứng minh được công thức (2) bằng cách lần lại nghĩa ban

Ví dụ 2: Học sinh biết sử dụng công thức:

∫ f(x)+g(x))dx =∫f(x)dx+∫g(x)dx, nhưng không phải em nào cũng hiểu

được bản chất của dấu “=” trong công thức này

Phải chăng vì điều này nên Giải tích 12 (Ban khoa học Tự nhiên) [10] đã

thay thế cách trình bày đó bởi cách trình bày sau đây?

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) còn G(x) là một nguyên hàm của g(x) trên (a; b) thì F(x) + G(x) là một nguyên hàm của f(x) + g(x) trên (a; b)

Ví dụ 3: Học hết chương Hàm số mũ (Đại số và Giải tích 11), việc nhớ

các công thức như: ax ay = ax+y; (ax)y = axy; x y

y

x

aa

a = ư đối với học sinh không

phải là điều khó khăn Thế nhưng, nếu đặt cho HS câu hỏi: Em hãy cho biết

2 có nghĩa là thế nào? thì chúng ta thường nhận được những câu trả lời rất

mơ hồ và thiếu chính xác

Ví dụ 4: Khi vừa học xong Định nghĩa giới hạn hàm số (mà chưa học đến

các định lý về giới hạn và hàm số liên tục), học sinh lớp 11 thường trả lời rất nhanh về kết quả của: lim(2x 3)

Hiện tượng sau đây không phải là hiếm: khi dạy Định nghĩa giới hạn hàm

số (theo ngôn ngữ ε-δ, Chương trình CCGD trước đây [85, tr 115]), có giáo

viên, ngay sau khi phát biểu Định nghĩa, đã lập tức thông báo với học sinh

rằng: Hiển nhiên ta có limx a

3xkhi1x

3xkhi1x

thì limf(x)

3 x→ = 4 (!?) (thực chất thì không

tồn tại limf(x)

3

x→ )

Nhiều công trình nghiên cứu đã khẳng định sự cần thiết phải quan tâm

một cách đúng mức đến các phương diện ngữ nghĩa và cú pháp trong dạy học

môn Toán

“Trong dạy học phương trình, ban đầu phải chú trọng chủ yếu đến phương diện ngữ nghĩa, càng về sau càng tăng cường thêm những yếu tố về phương diện cú pháp nhưng không bao giờ được lãng quên mặt ngữ nghĩa Chú trọng phương diện ngữ nghĩa sẽ làm cho học sinh hiểu về phương trình một cách sâu sắc, khắc phục được những hiểu biết hình thức và máy móc

Quan tâm tới phương diện cú pháp sẽ góp phần rèn luyện cho học sinh kỹ năng và kỹ xảo trong việc giải phương trình” [76, tr 81-87]

Về sự phối hợp giữa hai mặt ngữ nghĩa và cú pháp trong giảng dạy ngôn ngữ toán học, A A Stôliar cho rằng: “Mặt ngữ nghĩa nói chung phải trội hơn trong tất cả các giai đoạn của quá trình giảng dạy, mặt cú pháp nên áp dụng chỉ ở chỗ mà ở đó cần phải nắm vững các angôrit xác định” [171, tr 229]

1.4.5. Thực tiễn sư phạm cũng cho thấy rằng: học sinh còn có những biểu hiện mơ hồ, lẫn lộn, máy móc trong việc nắm, hiểu, sử dụng những thuật ngữ toán học

Những hiện tượng thường thấy là:

a) Một “từ” xuất hiện ở hai khái niệm Liên quan đến khái niệm thứ nhất

có tính chất gì, thì HS nghĩ rằng, liên quan đến khái niệm thứ hai cũng có tính chất ấy

Chẳng hạn, nhiều HS cho rằng: Tổng của hai hàm số lẻ là một hàm số chẵn (họ bắt chước tính chất: Tổng của hai số lẻ là một số chẵn Nhưng thực

ra, nếu hai hàm số f(x) và g(x) là lẻ trên tập xác định D thì f(x) + g(x) cũng là

một hàm lẻ trên tập xác định D); hoặc HS cho rằng tích của hai hàm số lẻ là một hàm số lẻ (thực ra không phải vậy)

b) Bị ám ảnh bởi nghĩa thông thường của các từ trong tiếng Việt

Chẳng hạn, có HS cho rằng: Giá trị cực đại của một hàm số thì luôn lớn

hơn giá trị cực tiểu (Thực ra, với hàm số

edx

cbxax

y

2

+

++

= thì điều đó không đúng!)

c) Lẫn lộn giữa đối tượng được định nghĩa và ký hiệu dùng để chỉ số đối tượng ấy

Ví dụ: HS thường hay nói rằng: Tổ hợp chập k của n là k

n

C , hoặc: Chỉnh hợp chập k của n là k

n

A

d) Lạm dụng thuật ngữ và ký hiệu toán học để thay thế cho một số từ của ngôn ngữ tự nhiên

Ví dụ: ∃ ngày như ∀ ngày (Một ngày như mọi ngày)

e) ảnh hưởng thói quen ngôn ngữ không đúng đắn

Ví dụ: Không cần để ý đến dấu của x, nhiều học sinh cho rằng 2

x = x, thậm chí còn có học sinh viết 9 = ± 3 Nguồn gốc của sai lầm đó là [19,

tr 23]: ở lớp 9, học sinh biết rằng, mỗi số dương a có hai căn bậc 2 đối nhau

nhưng chỉ có đúng một căn bậc 2 số học được ký hiệu là a Như vậy, nếu thật chuẩn a phải được đọc là căn bậc 2 số học của a

Tuy nhiên, trong dạy học, theo thói quen, thầy giáo thường đọc là căn a,

bởi vậy đã có hiện tượng học sinh viết 9 = ± 3

f) Những khó khăn và sai lầm xuất phát từ cách nhìn nặng về hình thức

Ví dụ: Học sinh cho rằng - x là số âm; học sinh giải được hệ phương trình

với 2 ẩn x, y nhưng không giải được hệ có dạng như thế với các ẩn a, b (ví dụ

này được dẫn theo A A Stôliar [171, tr 70-71])

Xét thêm các ví dụ sau đây:

* Trong một số phương trình ẩn x có chứa tham số a, nếu bậc của x khá lớn mà bậc của a chỉ là 2, việc xem phương trình đã cho như là phương trình

bậc 2 đối với ẩn a có thể làm cho học sinh khó chấp nhận

* Khi giải bài toán dấu của tam thức bậc 2 trên một miền, chẳng hạn có

thể dẫn đến tình huống: ∀ x ∈ (0; 3) thì x ∈ [x1; x2] (x1 và x2 là 2 nghiệm của tam thức) Khi đó ta suy ra rằng x1 ≤ 0 < 3 ≤ x2 Tuy nhiên, do giả thiết là

(0; 3) chứ không phải là [0; 3], nên có thể HS sẽ thắc mắc: Tại sao x 1 lại có thể bằng 0; x 2 lại có thể bằng 3?

Theo nhà toán học A Ia Khinshin, chủ nghĩa hình thức trong nhận thức

ở học sinh, thường bắt nguồn từ chỗ: “Trong ý thức của học sinh có sự phá vỡ

nào đó mối quan hệ tương hỗ, đúng đắn giữa nội dung bên trong của sự kiện toán học và cách diễn đạt bên ngoài của sự kiện ấy” (trích theo [66, tr 94-95]

và [173, tr 36])

Hiện tượng sau đây cũng cần phải lưu ý:

Việc ghi một biểu thức toán học (trong biểu thức này có sự tham gia của nhiều phép toán) thông qua lời thầy đọc hoặc đọc một biểu thức để người khác hiểu thường gặp rất nhiều lúng túng Chẳng hạn, nếu người nghe không tận

mắt thấy biểu thức, mà chỉ được nghe, sẽ rất khó hiểu cách đọc của HS về

c2

a,ba

1)ba(,b

1a

2 2

2

++

ư++

Theo ý kiến của X B Xuvôrôva, trong việc phát triển ngôn ngữ toán học cho học sinh, cũng cần lưu tâm đến những hiện tượng như thế [173, tr 31]

1.4.6. Trong dạy học Toán ở bậc THPT, nhiều giáo viên thường không quan tâm đến những bài toán có nội dung thực tiễn Các thầy, cô có thể luyện cho học sinh nhiều dạng toán, nhưng chỉ là những dạng mang màu sắc toán học một cách thuần tuý Do đặc điểm của chương trình, ở bậc THCS, thầy cô phần nào còn quan tâm đến những bài toán có nội dung thực tế, nhưng ở bậc THPT thì vấn đề ấy thường bị sao nhãng

Nhiều công trình nghiên cứu đã chỉ ra rằng: Giảng dạy Toán học không nên xa rời với thực tiễn “Loại bỏ ứng dụng ra khỏi Toán học cũng có nghĩa là

đi tìm một thực thể sống chỉ còn bộ xương, không có tí thịt, dây thần kinh hoặc mạch máu nào” [2]

Tăng cường và làm rõ mạch toán ứng dụng và ứng dụng Toán học là góp phần thực hiện lý luận liên hệ với thực tiễn, học đi đôi với hành, nhà trường gắn liền với đời sống [80, tr 95]

Trong [35], tác giả Ngô Hữu Dũng cho rằng: ứng dụng Toán học vào thực tế là một trong những năng lực toán học cơ bản, cần phải rèn luyện cho học sinh

Nói về những yêu cầu đối với Toán học nhà trường nhằm phát triển văn hoá toán học, tác giả Trần Kiều cho rằng: “Học Toán trong nhà trường phổ

thông không phải chỉ tiếp nhận hàng loạt các công thức, định lý, phương pháp thuần tuý mang tính lý thuyết , cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học Toán phải đạt tới là hiểu được nguồn gốc thực tiễn của Toán học và nâng cao khả năng ứng dụng, hình thành thói quen vận dụng Toán học vào cuộc sống” [73, tr 4]

Các tác giả: A Đ Alêcxanđrôv [144], A A Stôliar [171], G G Maxlôva [160], có ý kiến tương tự

V V Firsôv khẳng định: “Việc giảng dạy Toán ở trường phổ thông không thể không chú ý đến sự cần thiết phải phản ánh khía cạnh ứng dụng của khoa học Toán học, điều đó phải được thực hiện bằng việc dạy cho học sinh ứng dụng Toán học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tế” [174]

Việc giải một bài toán có nội dung thực tế thường được tiến hành qua

ba bước:

Bước 1: Chuyển bài toán thực tế về dạng ngôn ngữ thích hợp với lý thuyết

toán học dùng để giải (lập mô hình toán học của bài toán);

Bước 2: Giải bài toán trong khuôn khổ của lý thuyết toán học;

Bước 3: Chuyển kết quả lời giải toán học về ngôn ngữ của lĩnh vực thực tế

[66, tr 248]

Trong ba bước nêu trên, Bước 1 thường là bước quan trọng nhất Để tiến

hành được bước này, điều quan trọng là tập luyện cho học sinh biết xem xét những đại lượng trong những mối liên quan với nhau, phát hiện ra những mối liên quan về lượng giữa chúng để trên cơ sở đó có thể biểu thị được đại lượng này qua đại lượng khác và cũng trên cơ sở đó mà lập phương trình (bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình)

Mặt khác, cũng cần tập luyện cho học sinh biểu thị những tình huống thực tế bằng những biểu thức có chứa những biến đại diện cho những đại lượng chưa biết

ở bậc THCS, học sinh đã quen biết với giải bài toán bằng cách lập

phương trình hoặc hệ phương trình ở Đại số 10, học sinh được trang bị một

cách khá đầy đủ các kiến thức về phương trình, hệ phương trình, bất đẳng

thức, bất phương trình và hệ bất phương trình Do đó, Đại số 10 có nhiều tiềm năng để rèn luyện cho học sinh năng lực toán học hoá tình huống thực tiễn,

đặc biệt nên quan tâm đến các bài toán Quy hoạch tuyến tính và các bài toán tìm phương án tối ưu

Mệnh đề (*) sau đây là cơ sở lý thuyết cho việc giải các bài toán Quy hoạch tuyến tính:

Hệ bất phương trình bậc nhất (hệ các ràng buộc):

≤++

≤++

0cybxa

0cybxa

0cybxa

n n

n

2 2

2

1 1

1

xác định một miền lồi (có thể rỗng hoặc không giới nội) D Hàm số bậc nhất (hàm mục tiêu) F(x, y) = αx + βy nếu đạt cực đại (hoặc cực tiểu) trên D thì cực đại (hoặc cực tiểu) đó đạt được tại một đỉnh của D (nếu miền lồi D

có đỉnh)

Tuy nhiên, ở Đại số 10 chỉ nên đưa ra những bài toán thực tế mà khi

chuyển sang ngôn ngữ đại số thì số lượng bất phương trình không nhiều Mặt

khác, nên đa dạng hoá các bài toán trên cơ sở xem xét những ví dụ cụ thể mà trong tình huống đó các ẩn phải là số tự nhiên; tình huống mà các ẩn chỉ cần

là số dương,

Trong Đại số 10 của tác giả Ngô Thúc Lanh (chủ biên) [83], Tính

chất (**):

Đường thẳng (d) có phương trình f(x, y) = ax + by + c = 0 chia mặt phẳng toạ độ thành 2 miền Một miền gồm những điểm làm cho f(x, y) > 0, miền còn lại gồm những điểm làm cho f(x, y) < 0 có được phát biểu và chứng minh Trong Đại số 10 (Cải cách giáo dục) của tác giả Trần Văn Hạo (chủ biên) [59] Tính chất này được phát biểu nhưng thừa nhận Trong Đại số 10

của tác giả Phan Đức Chính (chủ biên) [11] không đề cập đến bất phương

trình bậc nhất 2 ẩn số Đại số 10 (Chỉnh lý hợp nhất) [61] phát biểu Tính chất

(**) và chứng minh trên một ví dụ cụ thể

Như vậy, qua Đại số 10 hiện hành, học sinh sẽ biết cách biểu diễn trên

mặt phẳng toạ độ tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn số

Học sinh lớp 10 vẫn có thể giải quyết được một số bài toán Quy hoạch tuyến tính thông qua sự áp dụng Tính chất (**) mà không cần phải sử dụng

đến Mệnh đề (*) (xin nói thêm rằng, hiện nay trong Chương trình Trung học

phổ thông thí điểm, trong số những cuốn SGK Đại số 10, có cuốn đã đưa vào Mệnh đề (*) ở phần Bài đọc thêm [63, tr 130-131])

Ví dụ: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm Mỗi kg sản phẩm loại I cần

2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng Mỗi kg sản phẩm loại II càn 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30000 đ Xưởng có 200

kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất?

Thực chất của bài toán này là phải tìm x ≥ 0, y ≥ 0 thoả mãn hệ:







≤+

≤+

1200y

15x

30

200y

≥

≥

80yx2

100y

2x

0y

0x

sao cho 4x + 3y đạt giá trị lớn nhất

Trên Hình 1.2 ta ký hiệu C(0; 50), D(40; 0), E(100; 0), F(0; 80); I là giao

điểm của CE và DF, dễ thấy I(20; 40) Miền nghiệm của hệ bất phương trình

là miền tứ giác OCID (kể cả biên)

Hình 1.2

Trong điều kiện HS chỉ được sử dụng Tính chất (**) mà không được sử dụng Mệnh đề (*), thầy giáo vẫn có thể làm cho HS hiểu rằng: cực đại chỉ có thể đạt tại một trong các đỉnh Để làm cho HS hiểu được điều đó, có thể diễn

đạt như sau:

Với mỗi số L xác định, ta nhận thấy có vô số điểm M(x; y) sao cho 4x + 3y = L, những điểm M như thế nằm trên đường thẳng AB với A(L/4; 0), B(L/3; 0) Hệ số góc của đường thẳng AB là - 4/3

Cho L lớn dần lên thì đường thẳng AB sẽ “tịnh tiến dần lên” phía trên Nhìn vào hình vẽ ta nhận thấy rằng: trong những đường thẳng có hệ số

góc - 4/3 thì đường thẳng đi qua I là đường thẳng ở vị trí “cao nhất” đang còn

có điểm chung với tứ giác OCID Chưa đạt đến vị trí này thì L chưa phải là lớn

nhất Vượt quá “ngưỡng” này thì toạ độ của mọi điểm trên đường thẳng sẽ không còn thoả mãn hệ điều kiện ràng buộc nữa Từ đó dễ dàng đi đến kết

luận là: khi x = 20, y = 40 thì L đạt giá trị lớn nhất

Để giải được những bài toán cùng loại, ngoài khả năng toán học hoá tình

huống, học sinh lớp 10 còn phải nắm chắc kiến thức về phương trình của

đường thẳng trong mặt phẳng, phải có kỹ năng tính toán, phải hiểu rõ đặc trưng về phương của những đường thẳng với hệ số góc dương hoặc âm, và phải

có trí tưởng tượng hình học (có thể thấy rằng, trong quá trình giải bài toán này, trực quan giữ một vai trò rất nổi bật Chương II, Luận án sẽ đề cập kỹ hơn về phương tiện trực quan)

Bên cạnh những bài toán Quy hoạch tuyến tính, trong Đại số 10, cần tận dụng những khả năng có thể để rèn luyện cho học sinh năng lực toán học hoá tình huống thực tiễn Một cơ hội rất tốt đó là trong khi dạy về Bất đẳng thức Cauchy Trong các cuốn SGK Đại số 10, sau khi phát biểu Bất đẳng thức

Cauchy cho hai số không âm, đã nhấn mạnh đến những ý nghĩa hình học có liên quan đến chu vi và diện tích của hình vuông và hình chữ nhật Mặt khác,

SGK Đại số 10 cũng phát biểu Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm Tận

dụng cơ hội này, có thể ra cho học sinh, chẳng hạn bài toán sau:

Bài toán: Ta có một miếng tôn phẳng hình vuông với kích thước a cm, ta

muốn cắt đi ở 4 góc 4 hình vuông để uốn thành một hình hộp không có nắp Phải cắt như thế nào để hình hộp có thể tích lớn nhất?

Hình 1.3

Trong hoàn cảnh chưa học đạo hàm, HS khá vẫn có thể suy nghĩ, liên hệ

việc tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (a - 2x).(a - 2x).x trên khoảng (0;

2

a ) với việc vận dụng Bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương Dĩ nhiên, các em phải biết nhân vào biểu thức một hằng số dương thích hợp nhằm tạo ra ba thừa

số có tổng không đổi (cần nhân 4 vào thừa số x để tạo ra 3 số: a - 2x; a - 2x; 4x có tổng không đổi)

Như vậy, khi dạy Đại số 10, nếu thầy giáo biết khai thác một cách hợp lý

qua các chủ đề như: hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn; bất đẳng thức và ứng dụng, thì có thể rèn luyện cho học sinh năng lực toán học hoá tình huống thực tiễn đồng thời góp phần rèn luyện cho HS khả năng linh hoạt, sáng tạo trong khi làm việc với các bất đẳng thức

1.5 Năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học

Trong Mục này chúng tôi sẽ đưa ra một cách quan niệm về năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học

Đồng tình với ý kiến của Iu M Kôliagin, V A Ôganhexian, về tính tương đối trong mọi cách phân loại tư duy toán học [156]; ý kiến của V A Cruchetxki về sự giao thoa giữa các thành phần của năng lực toán học [158,

tôi đề cập trong Luận án này được hiểu là năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của HS Trung học phổ thông trong Đại số và

Giải tích Đặc biệt hơn nữa, đó là năng lực t− duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của HS lớp 10 trong Đại số

1.5.1. Để dẫn đến một cách quan niệm, chúng tôi dựa vào những căn cứ

* Việc thể hiện cách quan niệm về những thành tố của một loại hình t−

duy toán học, cũng nh− của năng lực t− duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học nói riêng, không phải là một vấn đề có tính hình thức, mà nên cân nhắc đến hai tiêu chí sau đây:

- Các thành tố này thực sự có ý nghĩa đối với việc nâng cao hiệu quả học tập môn Toán hay không?

- Trong thực tế dạy học, có khả năng phát triển đ−ợc các thành tố đó hay không?

1.5.2. Quan điểm về các thành phần của năng lực toán học, hoặc t− duy toán học ở lứa tuổi học sinh của A N Kôlmôgôrôv; A Ia Khinshin; B V Gơnhêdencô; A I Marcusêvich; V A Cruchétxki; Iu M Kôliagin - V A