ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình, bất phương trinh, hệ phương trinh . . .

Tuy nhiên trong số các bài tập đó có một lợng lớn bài tập mà ta không thể giải đợc bằng phơng pháp thông thờng trong phân phối chơng trình hoặc có thể giải đợcnhng gặp rất nhiều khó khăn

Phần 1: đặt vấn đề

I Lý do chọn đề tài:

Nh ta đã biết, chuyên đề về phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình và hệbất phơng trình (PT, BPT, HPT, HBPT) chiếm một lợng khá lớn trong chơng trình phổthông Tuy nhiên trong số các bài tập đó có một lợng lớn bài tập mà ta không thể giải

đợc bằng phơng pháp thông thờng (trong phân phối chơng trình) hoặc có thể giải đợcnhng gặp rất nhiều khó khăn và phức tạp

Giữa PT, BPT, HPT, HBPT và hàm số có mối liên quan rất chặt chẽ Khi địnhnghĩa PT, BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số, nếu ta biết sử dụng hàm số để giảicác bài tập đó thì bài toán sẽ đơn giản hơn Tuy nhiên không phải bài nào cũng có thể

sử dụng hàm số để giải nhng ứng dụng đạo hàm của hàm số để giải là rất lớn, chính vì

vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: "ứng dụng đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình và hệ bất phơng trình"

II Mục đích nghiên cứu:

- Trang bị cho học sinh về một phơng pháp giải PT, BPT, HPT, HBPT mang lại hiệuquả rõ nét

- Bồi dỡng cho học sinh về phơng pháp, kỹ năng giải toán Qua đó học sinh nâng caokhả năng t duy, sáng tạo

III Đối tợng nghiên cứu:

- Các dạng toán giải PT, BPT, HPT, HBPT nằm trong chơng trình toán phổ thông

- Phân loại các dạng toán thờng gặp và phơng pháp giải mỗi dạng

IV Phơng pháp nghiên cứu:

Phơng pháp chung của dạng bài tập này

- Với các PT, BPT, HPT, HBPT không chứa tham số, ta sử dụng các tính chất

về tính đơn điệu của hàm số để giải

- Với các PT, BPT, HPT, HBPT có chứa tham số, ta tìm cách cô lập tham số vềmột vế, đa phơng trình, bất phơng trình về dạng:

f(x) = m hoặc f(x) > m ( hoặc f(x) < m; f(x)  m; hoặc f(x)  m ).

Sau đó sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải

nghiệm đó là duy nhất.

Cho bất phơng trình: f(x) > m (hay f(x) < m )

i) Nếu f(x) là hàm đơn điệu tăng trên D và tồn tại x0  D sao có f(x0) = m thì tập nghiệm của bất PT là: T = D  (x0 ; + ) ( T = D  (- ; x0 ))

ii) Nếu f(x) là hàm đơn điệu giảm trên D và tồn tại x0  D sao có f(x0) = m thì tập nghiệm của bất PT là: T = D  (- ; x0 ) (T = D  (x0 ; +) )

y ,kết luận tính đơn điệu của hàm số y2 g x( ) trên D

* Kết luận hai hàm số y f x ( ); y g x ( ) đơn điệu ngợc nhau, hoặc một trong hai hàm số là hàm số hằng

* Tìm x sao cho 0 f x( )0 g x( )0 (hoặc tìm u sao cho 0 f u( )0 g u( )0 )Bớc 3: Kết luận:

* Phơng trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi x x (hoặc0 u u 0 rồi giải phơng trình u u )0

* Kết luận nghiệm của phơng trình đã cho

Dạng 2: PT đã cho biến đổi đợc về dạng f u( )f v( ) trong đó u u x ( ),v v x ( )

* Phơng trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi u v , giải PT : u v

* Kết luận nghiệm của phơng trình đã cho

2 ứng dụng hàm số để giải bất phơng trình

Phơng pháp :

Dạng 1: BPT biến đổi về dạng f x( )g x( ) (hoặc ( )f u g u( )) trong đó u u x ( )

Bớc 1: Biến đổi BPT đã cho về dạng f x( )g x( ) (hoặc ( )f u g u( ))

* Tìm x sao cho 0 f x( )0 g x( )0 (hoặc tìm u sao cho 0 f u( )0 g u( )0 )

* Nếu f(x) đơn điệu tăng, g(x) đơn điệu giảm (hoặc là hàm hằng) thì

f x( )g x( ) x x 0, x D (hoặc f u( )g u( ) u u 0, x D ) Nếu f(x) đơn điệu giảm, g(x) đơn điệu tăng (hoặc là hàm hằng) thì

f x( )g x( ) x x 0, x D (hoặc f u( )g u( ) u u 0, x D )

Bớc 3: Kết luận nghiệm của bất phơng trình đã cho

Dạng 2: BPT biến đổi đợc về dạng f u( )f v( ) trong đó u u x ( ),v v x ( )

Bớc 1: Biến đổi bất phơng trình về dạng f u( )f v( )

Bớc 2: Xét hàm số y f x ( ) trên D

* Tính y', xét dấu y' Kết luận hàm số y f x ( ) đơn điệu trên D

* Nếu f(x) đơn điệu tăng thì: f u( )f v( ) u v x D , 

Nếu f(x) đơn điệu giảm thì: f u( )f v( ) u v x D , 

Bớc 3: Kết luận nghiệm của bất phơng trình đã cho

Bài 1: Giải các phơng trình sau:

Từ đó, vế trái của phơng trình (2) là hàm nghịch biến  t > e; vế phải là hằng số

Do đó phơng trình (2) nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất

(8)8

f   Phơng trình (2) có nghiệm duy nhất t = 8

Với t = 8 ta có x2  x 5 8  x =

2

13 1 ; x =

Bài 2: Giải các bất phơng trình sau:

Lại có: f(3) = 3; do đó, bất phơng trình có nghiệm x thì x (3;) Vậy tập nghiệmlà: T = 2 ; 4  ( 3 ; +) = 3 ; 4

b 4 2x 1 (x2  x1)x3  6x2 15x 14 (1)

TXĐ: D =  , BPT (1)  2x 1 (2 x 1)2 3 (x 2)3 3x 6

 2x 13 3 2x 1 ( x 2)33(x 2) (2)Xét hàm số : f x( )x3 3x là hàm số đồng biến trên 

Vậy nghiệm của bất phơng trình là x = 1 và x  3

Bài 3: Giải các hệ phơng trình và hệ bất phơng trình sau:

a Điều kiện x0,y 0 Hệ đã cho trở thành:

t

t t

 suy ra hàm số đồng biến trên D.Vậy trên D, phơng trình (1) đợc viết dới dạng f x( )f y( ) x y

Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của PT (2), Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x=y=1

Nhận xét: Đối với hệ phơng trình, hệ bất phơng trình nhiều ẩn số ta tìm cách biến đổi

làm xuất hiện các phơng trình giải đợc bằng phơng pháp hàm số để đa về mối quan hệgiữa các ẩn số đơn giản hơn rồi tuỳ từng trờng hợp tìm ra cách giải tiếp

3

f x  f    f x  

Vậy nghiệm của hệ là 1 < x < 4

Nhận xét: Đối với giải hệ phơng trình, hệ bất phơng trình có 1 ẩn số ta có thể dùng

phơng pháp hàm số để giải từng phơng trình hay bất phơng trình của hệ rồi kết hợpcác tập nghiệm tìm đợc để đa ra kết luận về nghiệm cho hệ bất phơng trình

II Dạng 2: Sử dụng hàm số để biện luận phơng trình

Bài 4: Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình sau:

2

x 3 x

Nhận xét: Bài tập này ta có thể giải bằng phơng pháp thông thờng Tuy nhiên, nếu

giải bằng phơng pháp đó, ta phải kiểm tra điều kiện của ẩn số rất phức tạp Ta sẽ giảibài này bằng cách sử dụng hàm số

Giải: TXĐ: D =   ; 13 ;  

2

x 3 x 4

2 x

2 x

2 x



+ Giải và biện luận (I)

- Với m=1 thì (3) vô nghiệm nên (I) vô nghiệm

- Với m1 thì (3) có nghiệm 2

1

x m

- Với m = -1 thì (4) nghiệm đúng với mọi x, nên (II) nhận x  1 làm nghiệm

- Với m  -1 thì (4) có nghiệm x = 0, nhng không là nghiệm của (II)





Kết luận:

- Với m 2: phơng trình có nghiệm duy nhất 3

2

x m

Điều kiện: x2 - 3x + 2 > 0  x < 1 hoặc x > 2 TXĐ: D = (   ;1) (2;   )

Xét hàm số f t( ) log 2t t đồng biến trên khoảng (0;) Vậy trên D,

m m

0 3 x

2

Phơng trình (1) có nghiệm  phơng trình (2) có nghiệm thoả mãn x  3

ở bài này ta có thể sử dụng phơng pháp tam thức bậc hai để giải Tuy nhiên ta

sẽ sử dụng hàm số để giải bài này

Xét phơng trình (2) : Đặt f(x) =

5 x 2

1 x

8 x 10 x 2

1 x

Vậy phơng trình (1) có nghiệm  m  3.

Bài 6: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm:

4cosx - m.2cosx + m + 3  0 (3) (m - tham số)

Giải: Đặt 2cosx = t với

2

1  t  2 (vì -1  cosx  1)Khi đó bất phơng trình (3) trở thành:

t2 - mt + m + 3  0  m(t - 1)  t2 + 3 (4) + Nhận thấy: t = 1 không là nghiệm của bất phơng trình, nên:

t 3 t

m

1 t

2

) ( 1

t 3 t

m

2 t

Xét hàm số: f(t) =

1 t

3 t 2 t

; 2

Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phơng trình (4) có nghiệm  hệ (I) có

nghiệm hoặc hệ (II) có nghiệm 

2

13 m

Vậy bất phơng trình (3) có nghiệm 

2

13 m

Bài 7: Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x 

cos4x - 5cos3x - 36sin2x - 15cosx + 36 + 24m - 12m2  0 (5) (m - tham số)

Giải: TXĐ: D = 

Trên D, (5)  3cos4x - 20cos3x + 36cos2x+ 24m - 12m2  0

Đặt t = cosx với t    1 ; 1

++

+7+

+-

2 t

0 t

Khi đó ta có bảng biến thiên:

min

1;1 -  12m2 - 24m  0  0  m  2

Vậy với m   0 ; 2thì bất phơng trình (5) nghiệm đúng với mọi x 

Bài 8: Tìm m để hệ sau có nghiệm: 

) 1 ( 0

1 x 2 x 3

3 2

3

x

I x

1 3

x

II x

x 2

1  , f’(x) = 0 

2

3

x 3

x 2 1 = 0  x =

3 2 1

m m

Nhận xét: Trong một số bài tập giải bằng phơng pháp đặt ẩn phụ, ta phải tìm điều

kiện của ẩn phụ Tuy nhiên, việc tìm điều kiện đó gặp không ít khó khăn Nếu ta sửdụng hàm số thì việc tìm điều kiện sẽ đơn giản hơn Ta xét ví dụ sau:

Giải:

Đặt t = 2 x  x 2ở đây, điều kiện cần là t > 0 nhng nếu chỉ có điền kiện đó thì cha

đủ và ta cha giải đợc bài này Ta phải tìm điều kiện của t bằng cách xét hàm số

Xét hàm số y = 2x - x2 với x  

2

3

; 0

++

+

+0

+-

3

1

Từ đó suy ra tập giá trị của y là y 0 ; 1

1 3 x

(vì: x  D nên x - 1 > 0)

Đặt f(x) =

1 x

1 3 x

Ta có bảng biến thiên:

x - 3 7 - 2 3 7 +

-f(x)

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

a Bất phơng trình có nghiệm  m  max f ( x )

min

7 3;  m  21

Bài 11: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:

 , cosx =

2 2

1 1

t t

0

2 1 t

1 t

IV Dạng 4: Sử dụng hàm số để đoán và vét hết tất cả các nghiệm của phơng trình:

Dạng này thờng đợc sử dụng khi ta nhận thấy 2 vế của phơng trình là các hàm

đồng biến hoặc nghịch biến, đồng thời ta đã nhẩm đợc 1 hay 2 nghiệm Dạng bài tậpnày cho phép chúng ta dự đoán và chứng minh phơng trình chỉ chó các nghiệm mà ta

đã dự đoán Ta xét các ví dụ sau:

Bài 12: Giải các phơng trình sau:

Số nghiệm của phơng trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và trục hoành.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số nếu cắt trục hoành thì sẽ cắtnhiều nhất tại 2 điểm Do đó phơng trình (1) sẽ có nhiều nhất 2 nghiệm

Đặt log3(x+1) = t  x + 1 = 3t  2x + 1 = 2(3t - 1) + 1 = 2.3t - 1

Khi đó ta có phơng trình:

log5(2.3t - 1) = t  2.3t - 1 = 5t

 2.3t - 5t - 1 = 0Xét hàm số: f(t) = 2.3t - 5t - 1 với t  

Ta có: f’(t) = 2.3t.ln3 - 5tln5

f(x0)

f’(t) = 0  2.3t.ln3 - 5tln5 = 0  t = log (log95 )

5 3

f’(t) > 0  t < log (log9 5)

5

3 ; f’(t) < 0  t > log (log9 5)

5 3

Số nghiệm của PT là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(t) và trục hoành

Từ bảng biến thiên, ta thấy phơng trình f(t) = 0 nếu có nghiệm thì có nhiều nhất

Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm x = 0; x = 2

c 3x   1 x log (1 2 )3  x (1) Điều kiện 1

Xét hàm số f t( ) t log3t là hàm số đồng biến với t > 0

Khi đó (2) viết dới dạng f(3 )x f(1 2 ) x  3x  1 2x 3x  2x 1 0 (2)

Xét hàm số g x( ) 3 x  2x trên D = 1 1

; 2

Ta có: g(0) = g(1) = 0 Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm x = 0 và x = 1

-f()

Nhận xét: Đôi khi ta phải sử dụng phơng pháp hàm số nhiều lần trong giải một PT.

V Một số bài tập tự giải:

Bài 13: Giải các phơng trình sau:

a 2log5( x  3 )= x b 2log3(tgx) = log2(sinx)

c

x

1 2

1 2

2

x x 1 x

cos

x

3 m 3

1 x ) 3 x ( 4 ) 1 x )(

3 x

đó đều không thuộc tập xác định của hàm số: y = log ( x 3 1 ) logx 1x 2

- Đề tài đã nêu đợc phơng pháp chung cho mỗi dạng cũng nh minh họa bằng các bàitoán cụ thể, đồng thời cũng đa ra cho mỗi dạng một số bài tập với các mức độ khácnhau.

- Tuy vậy, do nhiều nguyên nhân khác nhau, chủ quan và khách quan nên đề tàikhông tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế nhất định Rất mong nhận đợc sự góp ý củaHội đồng khoa học nhà trờng Trung học phổ thông Phan Đình Giót, Hội đồng khoahọc Sở GD & ĐT Điện Biên

Ngời viết Xác nhận của tổ

(Ký, ghi rõ họ tên) (Ký, ghi rõ họ tên)

Xác nhận của Hội đồng khoa học Xác nhận của Hội đồng khoa học nhà trờng Sở GD & ĐT Điện Biên

(Hiệu trởng ký tên, đóng dấu)