nghiên cứu didactic việc dẫn nhập khái niệm phép biến hình ở trường phổ thông trong môi trường tích hợp phần mềm cabri

Trong khi đó các PBH cụ thể như phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay lại không được chú ý khai thác nhằm trang bị cho học sinh những biểu tượng ban đầu về phép dời

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Vũ Khánh Ly

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VIỆC DẪN NHẬP KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG TRONG MÔI TRƯỜNG TÍCH

vị - Didactic Toán

Tôi xin chân thành cảm ơn:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học, ban chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP TPHCM đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khoá học

- Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT chuyên Lê Hồng Phong đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt thời gian theo học cao học ở trường ĐHSP, đồng thời đã nhiệt tình hỗ trợ tôi tiến hành thực nghiệm 2

- Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Chí Thanh (TP.HCM) đã hỗ trợ giúp tôi tiến hành thực nghiệm 1

- Ths Trần Túy An, là đồng nghiệp và cũng là học viên khóa trước, đã động viên và chia sẻ cho tôi rất nhiều kinh nghiệm quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn chia sẻ cùng tôi những buồn vui và khó khăn trong quá trình học tập

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình, những người luôn là chỗ dựa vững chắc nhất cho tôi về mọi mặt

VŨ KHÁNH LY

MỞ ĐẦU

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

“Hàm” là một khái niệm cực kì quan trọng trong toán học hiện đại và trong nội dung dạy học Toán ở trường THPT Theo nhà toán học Khin-Sin: “Không có khái niệm nào khác có thể phản ánh những

hiện tượng của thực tại khách quan một cách trực tiếp và cụ thể như khái niệm tương quan hàm, không một khái niệm nào có thể thực hiện được ở trong nó những nét biện chứng của tư duy toán học hiện đại như khái niệm tương quan hàm”

Hơn nữa “trong hình học, quan điểm hàm thể hiện tường minh qua chủ đề PBH” [6, tr.167] Với các

PBH, HS được biết một quan hệ hàm không phải là hàm số

Đối với chủ đề PBH, chúng tôi có những ghi nhận sau:

- Thứ nhất, PBH trong CT cải cách giáo dục năm được tiến hành từ năm 1990 và CT chỉnh lí hợp nhất năm 2000 được trình bày theo quan điểm hàm Chúng tôi sẽ làm rõ thêm nhận xét này trong các phân tích ở chương sau Trong hai CT trên, PBH được phân bố ở cuối CT lớp 10 CT phân ban năm 2006 đặt PBH ở đầu lớp 11 Câu hỏi đặt ra: ngoài sự thay đổi trật tự CT, có hay không sự thay đổi quan điểm trình bày PBH?

- Thứ hai, PBH nghiên cứu hình học trong trạng thái vận động Do đó việc sử dụng các phần mềm hình học động để mô phỏng sự vận động là cần thiết Trong các phần mềm hình học, Cabri lôi cuốn chúng tôi nhiều nhất bởi nó có một giao diện thân thiện với các biểu tượng, câu lệnh dễ nhớ Cabri có thể tạo ra hình ảnh trực quan, và những hình ảnh này dễ dàng thay đổi hình dạng, vị trí bằng các thao tác “kéo-rê” chuột

- Thứ ba, một trong những yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy của Bộ giáo dục hiện nay là tích hợp CNTT trong giảng dạy Tuy nhiên, SGK chưa có các hoạt động với phần mềm dạy học Trong thực

tế giảng dạy ở nhiều trường phổ thông, các phần mềm dạy học bước đầu được nhiều GV quan tâm sử

dụng như Cabri, Geospace, Geometer’s Sketchpad, Maple Song “việc sử dụng của họ chỉ dừng ở mức

độ minh họa tính chất và mô phỏng các chuyển động của hình trong các bài giảng điện tử” [30] Vấn

đề tương tác giữa học sinh với các phần mềm hầu như không được tính đến

“Multimedia là một loại phương tiện tích hợp nhiều phương tiện như: chữ, hình ảnh, âm thanh, video, hoạt hình/mô phỏng Tuy nhiên, tính năng quan trọng nhất của multimedia là tương tác Thiếu tương tác thì đó chỉ là một giờ học với phương tiện đắt tiền 1 ”

Tại sao chúng ta phải quan tâm đến sự tương tác trong quá trình dạy và học? “Nói chưa phải là dạy và nghe chưa phải là học” (ngạn ngữ) HS chăm chú lắng nghe bài giảng của thầy giáo, nghe một bài trình bày toán mạch lạc, không đảm bảo là việc học sẽ xảy ra như mong đợi Nếu không có phản hồi mà chỉ

có tác động một chiều thì chưa chắc việc học tập đã diễn ra Không có phản hồi sẽ không có sự điều chỉnh về nội dung và phương thức hoạt động của người học Theo Bessot và Grenier (trích dẫn trong

Lê Văn Tiến [25]): “Tác động phản hồi là một thông tin đặc biệt có từ môi trường, nghĩa là một thông

1

Đỗ Mạnh Cường-Viện Nghiên Cứu Phát Triển Giáo Dục Chuyên Nghiệp, tham luận hội thảo “Các vấn đề dạy và học toán ở phổ

tin đến với HS như một xác nhận tích cực hay tiêu cực trên hành động của họ và cho phép họ điều chỉnh hành động này, cho phép họ chấp nhận hay loại bỏ giả thuyết, hay tiến hành một lực chọn giữa nhiều cách giải quyết”

Vậy, “môi trường” trong lí thuyết tình huống được hiểu như thế nào?

Theo G.Brousseau, [25]: “Trong tình huống didactic, môi trường là hệ thống đối kháng với HS, tức là

cái làm thay đổi tình trạng của kiến thức theo cách mà HS không kiểm soát được” Các yếu tố hình

thành nên môi trường có thể là vật chất hoặc phi vật chất [25]

Một trong những môi trường tạo sự tương tác hiệu quả đó là môi trường máy tính tích hợp các phần mềm dạy học tương tác

Theo Nguyễn Chí Thành [24], ý tưởng chủ đạo khi xây dựng các HĐ trong các tình huống là tạo ra một môi trường cho sự tương tác giữa Cabri và HS Sự tương tác đó có thể mô tả trong sơ đồ sau (theo C Laborde 1985):

Hình 1 Sự tương tác giữa HS và phần mềm

Theo sơ đồ trên, trong môi trường của Cabri, HS sẽ dịch chuyển hình vẽ hoặc các đối tượng, quan sát các phản hồi của môi trường, sử dụng kiến thức đã có để giải thích cho các thông tin phản hồi của môi trường, mặt khác qua các phản hồi HS có thể thay đổi các hành động của mình để tiến gần đến kết quả cần tìm (kiến thức cần lĩnh hội) theo dụng ý của GV Chính điều này gây nên sự hình thành kiến thức mới, trong đó HS đóng vai trò chủ động Các phản hồi cũng giúp GV điều khiển, hướng dẫn quá trình học tập của HS

Có thể nói, Cabri là phần mềm hình học động có tính năng tương tác cao Chính vì điều này mà các tác giả viết phần mềm này đã đặt tên cho nó là “Vở nháp tương tác” (Cahier de Brouillon Interactif)

Những ghi nhận trên đưa chúng tôi đến với những câu hỏi xuất phát:

Q’1: Quan điểm hàm của PBH được trình bày như thế nào trong CT hình học ở Việt Nam? Có sự thay đổi gì về nội dung PBH qua các lần cải cách gần đây nhất của chương trình phổ thông được thực hiện

từ những năm 1990, 2000 và 2006?

Q’2: Cách trình bày của các thể chế đã ảnh hưởng thế nào đến quan niệm của HS về khái niệm PBH? Q’3: Vai trò của phần mềm Cabri đối với việc dạy và học PBH? Có thể vận dụng chức năng tương tác của Cabri để xây dựng nội dung dạy học giúp HS tiếp cận với khái niệm PBH theo đặc trưng hàm hay không?

2 Trình bày vấn đề nghiên cứu

2.1 Khung lý thuyết tham chiếu

Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi vận dụng lí thuyết didactic toán, cụ

thông”, 09/2008

Kiến thức cần lĩnh hội Các phản hồi của môi trường

Dịch chuyển hình

Plus

thể là lí thuyết nhân chủng học và đồ án didactic (hay còn gọi là công nghệ didactic)

Tại sao lại là “Lí thuyết nhân chủng học”? Bởi vì hai trong số ba câu hỏi của chúng tôi đều liên quan đến khái niệm cơ bản của lý thuyết này: quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học

Chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt những khái niệm đó và cố gắng làm rõ tính thỏa đáng của sự lựa chọn phạm vi lý thuyết của mình

2.1.1 Quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức

Một đối tượng là một cái gì đó tồn tại, ít nhất đối với một cá nhân Quan hệ cá nhân của một cá nhân X đối với một đối tượng tri thức O, kí hiệu là R(X,O), là tập hợp những tác động qua lại mà X có đối với

O R(X,O) cho biết X nghĩ gì về O, X hiểu O như thế nào, thao tác O ra sao

Đối tượng O trong nghiên cứu của chúng tôi là “khái niệm PBH”

2.1.2 Quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức

Thế nhưng, một cá nhân không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn phải ở trong ít nhất một thể chế

Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X,O) phải được đặt trong thể chế I nào đó mà có sự tồn tại của X

Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, kí hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp các ràng

buộc mà thể chế I có với tri thức O

Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X,O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R(I,O)

Với những định nghĩa trên thì trả lời cho câu hỏi Q’1 và Q’2 chính là làm rõ quan hệ của các thể chế

mà chúng tôi quan tâm và mối quan hệ cá nhân của HS với đối tượng O

Thể chế dạy học mà chúng tôi quan tâm là:

- Thể chế dạy học theo CT cải cách giáo dục được tiến hành vào năm 1990 [I1]

- Thể chế dạy học theo CT chỉnh lý hợp nhất năm 2000 [I2]

- Thể chế dạy học theo CT phân ban được tiến hành đại trà năm học 2006-2007 [I3]

Vậy làm thế nào để làm rõ mối quan hệ R(I,O) và R(X,O)?

Theo Bosch và Chevallard.Y (1999), nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với tri thức O sẽ làm sáng tỏ mối quan hệ R(I,O) Ngoài ra, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho

phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của chủ thể X tồn tại trong O

Trong luận văn này, việc xác định các tổ chức toán học gắn liền với đối tượng O, liên quan đến các PBH, sẽ cho phép chúng tôi:

- Vạch rõ các quan hệ của thể chế R(I1,O), R(I2,O), R(I3,O)

- Xác định mối quan hệ các nhân HS duy trì với O trong từng thể chế I1, I2, I3

Vậy, “ một tổ chức toán học” là gì?

2.1.3 Tổ chức toán học

Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội Do đó cũng cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie

Theo Chevallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, , ], trong đó: T là một kiểu

nhiệm vụ, là kĩ thuật cho phép giải quyết T,  là công nghệ giải thích cho kĩ thuật ,  là lí thuyết giải thích cho  còn gọi là công nghệ của công nghệ 

Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học 2.1.4 Đồ án didactic

Theo Artigue M (1988) và Chevallard Y (1982), đồ án didactic là một tình huống dạy học được xây dựng bởi nhà nghiên cứu, là một hình thức công việc didactic tựa như công việc của người kỹ sư: nó dựa trên kiến thức khoa học thuộc lĩnh vực của mình để làm việc trên các đối tượng phức tạp hơn nhiều so với các đối tượng được sàng lọc của khoa học

Đồ án didactic cho phép thực hiện:

- Một hoạt động trên hệ thống giảng dạy, dựa trên các nghiên cứu didactic trước đó

- Một kiểm chứng về những xây dựng lí thuyết được thực hiện bằng việc nghiên cứu, bằng việc thực hiện chúng trong một hệ thống giảng dạy

Trong nghiên cứu của mình, để trả lời cho câu hỏi Q’3, chúng tôi xây dựng một đồ án nhằm giúp HS tiếp cận với tri thức O

2.2 Trình bày lại câu hỏi trong khung lí thuyết tham chiếu

Trong khuôn khổ lí thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là trọng tâm nghiên cứu của luận văn này:

Q1: Quan điểm hàm của PBH được trình bày như thế nào trong các thể chế I1(thể chế dạy học theo CT 1990), I2 (thể chế dạy học theo CT 2000), I3 (thể chế dạy học theo CT 2006)? Các tổ chức toán học nào liên quan đến khái niệm PBH được triển khai trong các thể chế này? Có sự thay đổi nào về mối quan hệ của các thể chế I1, I2, I3 với khái niệm PBH?

Q2:Sự lựa chọn của thể chế ảnh hưởng ra sao đến mối quan hệ cá nhân của HS trong mỗi thể chế đối với khái niệm PBH?

Q3: Chức năng của Cabri đối với việc dạy-học PBH? Có những kiểu nhiệm vụ nào với Cabri trong việc dạy-học PBH? Các kĩ thuật nào và công nghệ toán học nào sẽ được đưa vào khi đưa ra các kiểu nhiệm vụ đó? Trong các kĩ thuật thực hiện, kĩ thuật nào thể hiện đặc trưng hàm của PBH?

Q4: Có thể xây dựng một tình huống sử dụng chức năng tương tác của Cabri giúp học sinh tiếp cận với khái niệm PBH với đặc trưng hàm của nó hay không?

3 Phương pháp nghiên cứu

+ Biết được cách trình bày các vấn đề về PBH của các CT?

+ Thấy được sự giống và khác nhau về tổ chức toán học của các CT

 Từ kết quả phân tích trên, chúng tôi đưa ra mối quan hệ thể chế đối với khái niệm PBH, đồng thời rút ra giả thuyết nghiên cứu

 Tiến hành thực nghiệm kiểm chứng các giả thuyết nghiên cứu đã đặt ra

 Xây dựng thực nghiệm có sử dụng Cabri để tiếp cận với khái niệm PBH với các đặc trưng của nó

4 Cấu trúc của luận văn

Nghiên cứu Chương 1 nhằm trả lời cho câu hỏi Q1 Muốn thế, chúng tôi tiến hành phân tích CT, SGV,

tài liệu hướng dẫn giảng dạy, SGK, SBT toán qua các thời kì Chúng tôi sẽ cố gắng chỉ rõ các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm PBH Từ những nghiên cứu trên chúng tôi xác định được mối quan

hệ của từng thể chế với khái niệm PBH, đồng thời rút ra giả thuyết nghiên cứu liên quan đến câu hỏi Q3 về mối quan hệ cá nhân của HS với khái niệm PBH dưới ràng buộc của thể chế

Chương 2 dành để kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết trên bằng một thực nghiệm (được tiến

hành trong môi trường giấy-bút truyền thống) với HS, chúng tôi gọi đây là thực nghiệm thứ nhất

Trong Chương 3, chúng tôi trình bày thực nghiệm thứ hai dưới dạng một đồ án Thực nghiệm này

được tiến hành trong môi trường tương tác của phần mềm hình học động Cabri II plus nhằm mục đích điều chỉnh mối quan hệ cá nhân của HS với khái niệm PBH đã được phân tích trong chương 1 và chương 2

CHƯƠNG 1 QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH

Nghiên cứu chương này với mục đích tìm kiếm những yếu tố trả lời cho câu hỏi Q1 và Q2 Muốn thế, nghiên cứu đó phải làm rõ mối quan hệ mà các thể chế I1, I2, I3 đối với khái niệm PBH Việc này sẽ được tiến hành thông qua phân tích CT và SGK của từng thể chế

 Đối với thể chế I1:

Trong thời kì này, ba bộ SGK được sử dụng trong các trường phổ thông Các trường PT ở miền Nam

đã lựa chọn sử dụng bộ sách do tác giả Trần Văn Hạo chủ biên Do đó chúng tôi cũng sử dụng bộ sách giáo khoa này để phân tích

Tài liệu phân tích:

+ Hình học 10, Trần Văn Hạo, Vũ Thiện Căn, Cam Duy Lễ,1992, NXBGD [M1];

+ Sách giáo viên Toán 10, Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, 1990, NXBGD [P1];

+ Bài tập hình học 10, Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ,Vũ Thiện Căn,1993, NXBGD [E1];

 Đối với thể chế I2:

Năm 2000, cùng với sự chỉnh lý chương trình, các trường PT của cả nước sử dụng chung một bộ sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất do tác giả Văn Như Cương chủ biên

Tài liệu phân tích:

+ Hình học 10, Văn như Cương, Phan Văn Viện, 2000, NXBGD [M2];

+ Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 10, Văn Như Cương, Trần Văn Hạo, 2001 [P2];

+ Bài tập hình học 10, Văn như Cương, Phan Văn Viện, 2000, NXBGD [E2];

 Đối với thể chế I3:

Năm học 2006-2007, toàn bộ khối 10 trong cả nước thực hiện chương trình mới: chương trình phân ban Chương trình toán khối 10 phân thành hai chương trình: chương trình nâng cao và chương trình

cơ bản Đến năm học 2007-2008, toàn bộ khối 11 tiếp tục thực hiện chương trình phân ban với sự phân chia ban giống như khối 10 Nội dung PBH được trình bày trong SGK lớp 11

Chúng tôi chọn phân tích bộ SGK lớp 11 theo CT cơ bản Chúng tôi chọn CT này vì đối với chủ đề PBH, hệ thống bài tập của các trường triển khai giảng dạy giống với hệ thống bài tập ban cơ bản, cho

dù đa số các trường chọn học toán theo ban nâng cao Tài liệu phân tích:

+ Hình học 11, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), 2007, NXBGD [M3]; + Sách giáo viên Toán 11, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), 2007, NXBGD [P3];

+ Bài tập hình học 11, Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), 2007, NXBGD [E3];

Do tính kế thừa giữa các bậc học của hệ thống dạy học, trong một số trường hợp, để làm sáng tỏ vấn đề đang nghiên cứu, chúng tôi sẽ tham khảo các CT liên quan ở bậc THCS

CT 1990 và 2000 ở bậc THPT kế thừa cùng CT bậc THCS được tiến hành cải cách “cuốn chiếu” bắt đầu từ năm 1986, chúng tôi quy ước gọi là CT THCS 1986

CT 2006 ở bậc THPT kế thừa CT bậc THCS được tiến hành đại trà bắt đầu từ năm 2002, chúng tôi quy ước gọi là CT THCS 2002

Các tài liệu tham khảo ở bậc THCS là:

- Đối với CT THCS 1986:

+SGK hình học 8, Nguyễn Văn Bàng, 1999, NXBGD;

+SGV hình học 8, Nguyễn Văn Bàng, 1999, NXBGD;

- Đối với CT THCS 2002:

+SGK Toán 8, tập 1, Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), 2004, NXBGD;

+SGV Toán 8, Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), 2004, NXBGD;

1.1 KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH QUA CÁC CHƯƠNG TRÌNH

1.1.1 Khái niệm PBH trong chương trình THPT năm 1990

Đây là lần đầu tiên nội dung PBH được trình bày tập trung ở CT PT Việt nam trong chương 3 của lớp

10 với tên gọi Phép dời hình và phép đồng dạng Đối với CT trước đó2, theo Lê Thị Hoài Châu (2004), PBH được nghiên cứu rải rác từ cấp II đến cấp III với tư cách là một bộ phận của hình học tổng hợp

Ví dụ: CT cấp II nghiên cứu phép đối xứng qua đường thẳng và phép đối xứng tâm; Đối với CT cấp

III, lớp 9 nghiên cứu phép tịnh tiến trong bài Đường thẳng và mặt phẳng song song, lớp 10 nghiên cứu

phép vị tự và và phép đồng dạng

Theo Dự thảo chương trình của Viện khoa học giáo dục (1989), chương III chỉ có 11 tiết với các nội dung:

Khái niệm về phép dời hình, tính chất phép dời hìn,; khái niệm về hai hình bằng nhau (5 tiết) Phép vị

tự Khái niệm về phép đồng dạng, tính chất phép đồng dạng, khái niệm về hai hình đồng dạng (6 tiết)[P1, tr.54]

Các Noospherien cho rằng: “Ở các lớp 8, 9 trường PTCS, học sinh đã học phép đối xứng trục, đối

xứng tâm, tịnh tiến, quay và đã được chứng minh rằng trong các phép biến hình đó X’Y’=XY Ở lớp 10, những phép biến hình ấy được tổng kết lại và được xem như là những thí dụ của phép dời hình” [P1,

tr.56]

Bài “Đối xứng trục”, “Đối xứng tâm” được đưa vào giảng dạy ở lớp 8 Bài “Tịnh tiến theo vectơ” chỉ

là bài đọc thêm “Phép quay” được dạy ở lớp 9

“Đối xứng trục” được nói đến sau khi nghiên cứu hình thang Những nội dung được xem xét là khái

niệm điểm đối xứng qua một đường thẳng, hình đối xứng qua một đường thẳng, vài tính chất của hình

đối xứng, cách dựng hình đối xứng của một hình, hình có trục đối xứng Hình thang cân được xem là

một ví dụ về hình có trục đối xứng

Như vậy, “tư tưởng về sự tương ứng giữa các điểm chưa được xây dựng ở đây” [5, tr.164]

Thật vậy, SGV hình học 8 viết: “Sách giáo khoa không xây dựng vấn đề đối xứng trục theo tư tưởng

phép biến hình mà hạn chế trong việc tìm hiểu khái niệm hai hình đối xứng nhau với nhau qua một đường thẳng”

Có thể thấy đối với bậc THCS, PBH chỉ xuất hiện ngầm ẩn gắn liền với tính chất của một số hình cụ thể như hình thang cân, hình chữ nhật, hình bình hành

Chính vì thế mà các tác giả của sách M1 đã đề nghị: “dành vài tiết để: -giới thiệu về ánh xạ và phép

biến hình; -ôn lại các phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến và quay” [P1, tr.57]

Chương Phép dời hình và phép đồng dạng được dạy trong 12 tiết với 4 bài, bao gồm:

1 Đại cương về phép biến hình: 3 tiết 3 Phép vị tự: 3 tiết

2 Phép dời hình: 3 tiết 4 Phép đồng dạng: 3 tiết

Trong bài Đại cương về phép biến hình , các nội dung chính là: khái niệm ánh xạ trong mặt phẳng;

khái niệm PBH; phép biến hình đồng nhất; ảnh của một hình qua một PBH; tích của hai PBH Các phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến, phép quay được nhắc đến như các ví dụ về PBH (không nhắc lại định nghĩa)

Giải thích cho việc đưa nội dung ánh xạ vào CT, [P1, tr.66] viết:“PBH là một song ánh trong mặt

phẳng Ta cần phải giới thiệu khái niệm ánh xạ trong mặt phẳng, vì đây là thực chất của PBH”

Vì thế sách M1 đưa vào khái niệm ánh xạ trước khi xây dựng khái niệm PBH:

Ánh xạ f từ tập hợp P vào tập hợp P được gọi là phép biến hình của mặt phẳng nếu hai điểm khác nhau thì có hai ảnh khác nhau và mỗi điểm thuộc P đều có tạo ảnh thuộc P

Theo cách tiếp cận này, thực chất của PBH trong mặt phẳng chính là ánh xạ biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành một điểm trong mặt phẳng đó Chúng tôi sử dụng thuật ngữ “quan niệm điểm” để diễn tả việc hiểu khái niệm PBH theo quan điểm này

Bài Phép dời hình gồm các nội dung: định nghĩa phép dời hình; ảnh của đoạn thẳng, đường thẳng, ảnh

của đường tròn; tích của hai phép dời hình; định nghĩa hai hình bằng nhau Các phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến, phép quay cũng chỉ được nhắc đến như các ví dụ về phép dời hình

Ở đây xuất hiện một mâu thuẫn Các phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay chưa

thực sự được nghiên cứu ở bậc THCS Ở đó, PBH chỉ xuất hiện ngầm ẩn gắn liền với tính chất của một

số hình cụ thể như: hình thang cân, hình chữ nhật, hình bình hành Trong khi đó ở bậc THPT, PBH lại

được hiểu theo “quan niệm điểm” Vậy câu hỏi đặt ra là, liệu HS có hiểu được các phép phép đối xứng

trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay dưới góc độ ánh xạ điểm hay không?

Lê Thị Hoài Châu nhận xét: "Như thế, một định nghĩa khá trừu tượng về phép biến hình, phép dời hình

được đưa ra trong khi bước chuẩn bị những biểu tượng về nó chưa được làm kĩ càng từ trước Thành

ra cái tổng quát thì nắm lơ mơ, cái cụ thể thì hiểu không đến nơi đến chốn, vận dụng nó vào giải toán không thể có hiệu quả" [5 tr.165]

Thật ra nhóm tác giả biên soạn SGK cũng đã ý thức được điều này nên đã đề nghị: “các phép đối xứng

trục, đối xứng tâm, tịnh tiến và quay nên được giới thiệu lại (phần định nghĩa) như là thí dụ về ánh xạ trong mặt phẳng và chúng được sử dụng để minh hoạ các tính chất của phép biến hình” [P1, tr.66]

Do đó các tác giả này đã đề nghị 5 ví dụ (bao gồm phần nhắc lại định nghĩa các phép: phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến, phép quay và phép chiếu vuông góc) ngay sau phần định nghĩa ánh xạ Tuy nhiên các ví dụ này lại không có mặt trong SGK

Phép vị tự là PBH duy nhất trong CT được trình bày chi tiết từ: định nghĩa, định lý, cách xác định ảnh của đường thẳng, đường tròn, bởi lẽ đây là PBH mới đối với HS

Nội dung bài Phép vị tự nhằm chuẩn bị cho HS kiến thực về một phép đồng dạng Kết thúc của chương

là bài Phép đồng dạng với các nội dung: định nghĩa phép đồng dạng; tính chất phép đồng dạng (tính

chất bảo toàn hình dạng của các hình); liên hệ giữa phép dời hình, phép vị tự và phép đồng dạng; định nghĩa hình đồng dạng

Tiểu kết

2

CT trước cải cách giáo dục (theo hệ thống giáo dục 10 năm)

- Để định nghĩa PBH tổng quát, CT đưa vào khái niệm ánh xạ Do đó khái niệm PBH ở bậc THPT được trình bày theo “quan niệm điểm”

- Trong các PBH: phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay, phép vị tự, chỉ duy nhất phép vị tự được trình bày định nghĩa cũng như các tính chất Các phép biến hình còn lại chỉ được nhắc qua như các ví dụ về phép biến hình, phép dời hình Như vậy, HS chưa nắm rõ được từng PBH cụ thể mà đã nghiên cứu các PBH khái quát như phép dời hình

1.1.2 Khái niệm PBH trong chương trình THPT năm 2000

Dường như nhận thấy được sự mâu thuẫn trong CT 1990, các Noospherien của thể chế I2 đã thay đổi

về nội dung cũng như bố cục trình bày chủ đề PBH Cụ thể, chủ đề PBH được dạy ở chương 3 của lớp

10 với tên gọi “Các phép dời hình và đồng dạng”, bao gồm 6 bài, được dạy trong 19 tiết:

1 Phép đối xứng trục (4 tiết) 4 Phép dời hình (2 tiết)

2 Phép đối xứng tâm (4 tiết) 5 Phép vị tự (4 tiết)

3 Phép tịnh tiến (2 tiết) 6 Phép đồng dạng (1 tiết) Ôn tập-kiểm tra(2 tiết)

Theo tinh thần “giảm tải” của Bộ giáo dục và Đào tạo, chương này được viết “nhẹ nhàng” hơn Cụ

thể:“không trình bày những vấn đề có tính chất nặng về lí thuyết Chúng ta không nêu ra các khái niệm

như: ánh xạ, biến hình, tích các phép biến hình, phép biến hình đảo ngược, sự xác định một phép dời hình hoặc đồng dạng”

Như vậy, tuy không đưa vào thuật ngữ Phép biến hình nhưng khái niệm các PBH cụ thể vẫn thể hiện

“quan niệm điểm” qua cụm từ “phép đặt tương ứng”

Bài Phép đối xứng trục bao gồm các nội dung: định nghĩa phép đối xứng trục; các tính chất của phép

đối xứng trục (bảo toàn khoảng cách; ảnh của đoạn thẳng, đường thẳng, đường tròn qua phép đối xứng

trục); hình có trục đối xứng Các bài phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép vị tự cũng viết theo tinh

thần trên

Bài Phép dời hình bao gồm các nội dung: định nghĩa phép dời hình; tính chất phép dời hình (bảo toàn

khoảng cách, bảo toàn tính thẳng hàng; ảnh của đoạn thẳng, đường thẳng, đường tròn); phép quay; phép đối xứng trượt; dạng chính tắc của phép dời hình; khái niệm hình bằng nhau

So với CT 1990, bài Phép dời hình của CT 2000 giới thiệu thêm một phép dời hình nữa là phép đối xứng trượt Việc đưa thêm phép dời hình trên nhằm trả lời cho câu hỏi “ngoài ba phép dời hình trên

còn có phép dời hình nào khác không?” [P2, tr.77]

Bố cục bài Phép đồng dạng cũng không thay đổi nhiều so với CT 1990

Tiểu kết

- CT 2000 không đưa vào thuật ngữ và khái niệm PBH mà định nghĩa từng PBH cụ thể Tuy nhiên, việc định nghĩa từng PBH cụ thể vẫn thể hiện “quan niệm điểm” qua cách dùng từ “phép đặt tương ứng”

- Các PBH cụ thể: đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến được nghiên cứu một cách có hệ thống trước khi đưa vào khái niệm phép dời hình Việc này làm điểm tựa để HS nghiên cứu định nghĩa cũng như các bất biến của phép dời hình Như thế, HS được làm quen với từng phép dời hình cụ thể trước

khi đến với khái niệm phép dời hình tổng quát

1.1.3 Khái niệm PBH trong chương trình THPT năm 2006

Khác với các CT trước, PBH được dạy ngay chương đầu tiên của lớp 11 Điều này làm chúng tôi tự hỏi: do đâu có sự thay đổi trên? SGV không đề cập đến vấn đề này, tài liệu bồi dưỡng giáo viên, trang

83, năm 2007 thì viết: “Trước đây nội dung của phần này được đưa vào cuối chương lớp 10 (theo sách

cải cách và sách chỉnh lí) nhưng xét chưa thật hợp nên đã được đưa lên phần đầu của chương chương trình lớp 11 Nhìn chung phần biến hình trong mặt phẳng này vẫn còn khá khó đối với trình độ chung của học sinh lớp 11” Chưa thật hợp như thế nào thì sách không nói rõ Trong diễn đàn Dạy học toán

của báo Tuổi trẻ (2006), Nguyễn Mộng Hy- một trong những nhà biên soạn SGK 2006 -nói: “Phép dời

hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng là phần tương đối khó đối với trình độ chung của học sinh lớp 10 Thực tế trong những năm gần đây nhiều trường phổ thông trung học đã bỏ qua không dạy phần này và trong các đề thi vào các trường đại học cũng không có nội dung này Theo chương trình mới thì nội dung các phép biến hình phẳng được đưa vào nội dung chương trình Hình học 11.”

Để tìm thêm lí do của việc chuyển đổi vị trí đặt chủ đề PBH trong CT THPT, chúng tôi xem xét mối liên hệ của nội dung dạy học chủ đề này và các nội dung khác trong CT lớp 11 Nội dung hình học 11 được trình bày gồm hai phần Phần thứ nhất là nội dung PBH trong mặt phẳng, phần thứ hai là nội dung hình học không gian Trong phần thứ hai, vấn đề PBH trong không gian hầu như không được đề

cập đến, chỉ duy nhất phép chiếu song song được nói đến ở cuối chương “Quan hệ song song” Theo cùng cách trình bày khái niệm PBH trong mặt phẳng, phép chiếu song song cũng được định nghĩa như

một ánh xạ:

Với mỗi điểm M trong không gian, vẽ đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với

 sẽ cắt mặt phẳng (  ) tại một điểm M’ xác định [ ]Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’của nó trên mặt phẳng ( ) được gọi là phép chiếu song song lên ( ) theo phương [M3, tr.72]

Tuy nhiên, phép chiếu song song được đưa vào với mục đích tạo cơ sở để biểu diễn hình không gian

lên mặt phẳng hơn là mở rộng kiến thức về các PBH trong không gian

Như vây, có thể nói, nội dung PBH nằm “đơn độc” với các nội dung hình học khác của CT lớp 11

Từ những nhận xét trên, chúng tôi đoán lí do của sự thay đổi trên chỉ đơn thuần là do: HS lớp 10 phải tiếp cận khá nhiều nội dung mới như: vectơ, góc lượng giác, hình học giải tích Việc tiếp thu thêm PBH- một nội dung mới và “tương đối khó” (theo nhận định của Noospherien) dường như quá tải, và

do đó nó được chuyển vào CT lớp 11

Chương PBH gồm 8 bài, được dạy trong 11 tiết:

1 Phép biến hình 6.Khái niệm về phép dời hình

2 Phép tịnh tiến (2 tiết) và hai hình bằng nhau (1 tiết)

3 Phép đối xứng trục (1 tiết) 7.Phép vị tự (2 tiết)

4 Phép đối xứng tâm (1 tiết) 8.Phép đồng dạng (1 tiết) Ôn chương (2 tiết)

về cái tổng quát

Mặt khác, thời gian dành cho mỗi PBH cụ thể rút ngắn nhiều so với CT 2000, thay vì hai tiết một bài, giờ thì mỗi bài chỉ dạy trong một tiết Điều này cho thấy CT 2006 cũng không muốn đầu tư nhiều thời gian cho nội dung PBH

- Thứ hai, CT 2006 đưa vào thuật ngữ và khái niệm PBH Đây lại là điểm tương đồng so với CT 1990 Tuy nhiên CT 2006 không sử dụng thuật ngữ “ánh xạ” để định nghĩa PBH mà thay bằng “phép đặt

tương ứng” Ví dụ: “PBH (trong mặt phẳng) là một qui tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác

định được một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy”[M3, tr.4].

Như vậy, PBH trong CT 2006 vẫn thể hiện “quan niệm điểm”

- Thứ ba, điểm thay đổi đáng chú ý nhất và cũng chưa từng được áp dụng trong thể chế dạy học ở Việt Nam từ trước đến nay, đó là sự xuất hiện của các biểu thức tọa độ trong PBH CT 2006 giới thiệu biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm với tâm là gốc tọa độ, phép đối xứng qua trục

Ox, Oy

Giải thích cho việc đưa nội dung trên vào PBH, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên lớp 11, trang 87 năm

2007 viết: “việc làm này bổ sung thêm cho học sinh về các khái niệm biến hình đã học, tiếp cận với

các khái niệm này bằng các công cụ và bằng các phương pháp khác nhau”

Tuy nhiên, CT chỉ đưa biểu thức tọa độ của một số PBH vì “các phép khác thì vì biểu thức tọa độ khá

phức tạp nên không trình bày” [5, tr.162]

§8 Phép đồng dạng:1 tiết

Ôn chương:2 tiết

Tổng cộng: 12 tiết Tổng cộng: 19 tiết Tổng cộng: 11 tiết

Bảng 1.1 So sánh các CT qua từng thời kì

- CT 1990 giới thiệu khá nhiều nội dung như: khái niệm ánh xạ, khái niệm PBH, tích hai PBH Trong khi đó các PBH cụ thể như phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay lại không được chú ý khai thác nhằm trang bị cho học sinh những biểu tượng ban đầu về phép dời hình trước khi tiếp cận với khái niệm phép dời hình một cách tổng quát

- PBH trong cả ba CT đều được hiểu theo quan “quan niệm điểm”

- CT 2000 thay đổi về bố cục cũng như nội dung giảng dạy Khái niệm PBH tổng quát không được giới thiệu CT dành nhiều thời gian (10 tiết) cho các PBH cụ thể như đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến Sau đó phép dời hình tổng quát được trình bày

- CT 2006 không có thay đổi nhiều so với CT 2000 Điểm khác nhau là thời gian dành cho chương này bị cắt giảm rất nhiều so với CT 2000, từ 19 tiết nay chỉ còn 11 tiết, gần như mỗi bài chỉ học trong một tiết Số tiết như thế cũng phù hợp với yêu cầu của CT đặt ra đối với chương này, chỉ yêu cầu HS nắm được các khái niệm cũng như các tính chất của các PBH khác nhau

Một nét mới đáng chú ý là với CT 2006, lần đầu tiên biểu thức tọa độ được đưa vào nội dung PBH Sự xuất hiện này có làm thay đổi mối quan hệ thể chế I3 đối với khái niệm PBH hay không? Việc tìm kiếm các yếu tố để có thể trả lời cho câu hỏi này, cũng là một phần của câu hỏi Q1, sẽ được tiến hành trong phần phân tích SGK

1.2 KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH TRONG SÁCH GIÁO KHOA

Việc nghiên cứu các PBH ở THPT chỉ dừng ở phép dời hình và phép đồng dạng Mặt khác, các tính

chất của các phép dời hình cụ thể tương đối giống nhau Chúng tôi chọn phân tích SGK bài phép đối

xứng trục vì ở cấp THCS, HS đã được học khái niệm đối xứng trục Do đó chúng tôi muốn xem xét

những điều kiện và ràng buộc của các thể chế I1, I2, I3 đã làm thay đổi mối quan hệ của HS với khái niệm PBH, cụ thể đối với phép đối xứng trục như thế nào

1.2.1 Khái niệm PBH trong SGK 1990:

Do CT 1990 không trình bày cụ thể từng PBH cụ thể nên chúng tôi chọn phân tích bài Đại cương về phép biến hình

Mở đầu, SGK đưa định nghĩa ánh xạ trong mặt phẳng Sau đó, khái niệm PBH theo quan điểm ánh xạ được trình bày:

Ánh xạ f từ tập hợp P vào tập hợp P được gọi là phép biến hình của mặt phẳng nếu hai điểm khác nhau thì có hai ảnh khác nhau và mỗi điểm thuộc P đều có tạo ảnh thuộc P

SGK đưa ví dụ: “Phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay là một phép biến

hình” mà không có sự giải thích nào

M A N

d'

M' A N'

Khái niệm ảnh của một hình qua phép biến hình cũng được định nghĩa, đó là Tập hợp tất cả các ảnh

của các điểm của hình H tạo thành hình H' Như vậy để hiểu được khái niệm PBH, HS phải quan niệm

các hình hình học là tập hợp điểm

Chúng tôi xin nhắc lại một số quan điểm về một hình hình học đã được hình thành trong lịch sử

“Trong hình học của Euclide, một hình được xác định bởi ba yếu tố: vị trí, hình dạng và số đo Sự thay đổi vị trí không ảnh hưởng gì đến hai yếu tố kia Các hình là những đối tượng cứng, được xem xét trong tổng thể hình dạng và kích thước.” [6, tr.134]

Như vậy, từ thời Euclide, một hình được quan niệm là một khối tổng thể không phân rã Tác phẩm

Phương pháp giải tích của Descartes và Fermat ra đời đã đem lại một sự thay đổi rất lớn trong quan

niệm về hình, nó giúp chuyển từ quan niệm “hình là một khối tổng thể” sang quan niệm “hình là một tập hợp điểm”

Đồng thời theo Đào Tam, "giáo trình hình học phẳng biên soạn theo quan điểm coi hình hình học là

một tập hợp điểm Mặt phẳng là tập hợp điểm cho trước Các hình hình học phẳng khác là những tập hợp con của mặt phẳng” [22, tr.36]

Vậy, việc học khái niệm PBH theo “quan niệm điểm” gắn liền với quan niệm hình là một tập hợp điểm Khái niệm PBH đồng nhất và tích hai PBH cũng được trình bày Những nội dung này không được chú

trọng trong CT Các tác giả chú thích “có thể bỏ qua phần này” [P1, tr.69] khi nói đến phép đồng nhất

và “không nghiên cứu chủ đề tích của hai phép biến hình Chỉ cần giới thiệu sơ lược cho học sinh có

khái niệm về tích của hai phép biến hình” [P1, tr.69]

Trong mục Cách giải các dạng toán thường gặp của SGK, hai tổ chức toán học liên quan đến khái niệm PBH được xây dựng

 Kiểu nhiệm vụ T1: Xác định ảnh của hình H qua PBH

Ví dụ [M1, tr.75]:

Tìm ảnh của đường thẳng d (cho trước) trong phép tịnh tiến theo vectơ v

(d không cùng phương với v

) Giải

Gọi M là điểm tùy ý trên d, M’ là ảnh của M qua T v

, tức là: MM 'v

Ta tìm tập hợp các điểm M’ khi M chạy trên d

Gọi A là điểm cố định trên d, A’ là ảnh của A qua T v

Suy ra: A’M’//AM

Do đó, điểm M’ thuộc đường thẳng d’ qua A’ và song song với d Đường

biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ song song với d

Kĩ thuật : Giả sử điểm M’ là ảnh của điểm M qua PBH

- Nếu MH thì M' H', H’ là một hình nào đó

- Ngược lại, mọi điểm M' H' phải có tạo ảnh MH

Công nghệ : định nghĩa PBH, định nghĩa ảnh của hình qua một PBH

Có thể thấy, kiểu nhiệm vụ T1 bao gồm kiểu nhiệm vụ con “Tìm quĩ tích của một điểm” được đưa vào lớp 9

Phân tích các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T1 trong M1 và E1 cho thấy ràng buộc ngầm ẩn của thể chế đối với kiểu nhiệm vụ này là các PBH gặp trong các bài toán đều là các PBH quen thuộc như: phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay, đồng thời hình muốn tìm ảnh là đường thẳng, đường tròn Lí giải cho điều này, bởi vì CT lớp 9 chỉ nghiên cứu quĩ tích là đường thẳng, đường tròn và cũng chỉ có nhóm các phép dời hình, đồng dạng mới giữ nguyên hình dạng của hình

 Kiểu nhiêm vụ T’1: Chứng minh hình H’ là ảnh của hình H qua PBH

T’1 là kiểu nhiệm vụ suy biến từ T1

Theo Noospherien, mục đích thực hiện hai kiểu nhiệm vụ trên là: “biết phương pháp tìm ảnh của một

hình; hiểu kĩ hơn về phép tịnh tiến, phép đối xứng trục” Theo chúng tôi, ưu điểm lớn mà kiểu nhiệm

vụ trên đem lại là nó thể hiện rõ tư tưởng “ánh xạ điểm” của PBH

Để ý thấy, các PBH mà SGK đưa ra đều là các phép dời hình Do đó chúng luôn bảo toàn hình dạng của các hình (nghĩa là các PBH này biến một hình thành một hình bằng hoặc cùng dạng với nó, chúng tôi quy ước gọi đó là tính chất bảo toàn hình dạng), tuy nhiên SGK không thể chế hoá tính chất đó Dường như tác giả xem kiểu nhiệm vụ T1, T’1 chỉ mang tính chất lý thuyết, do đó trước bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này (trong sách E1), tác giả mở ngoặc viết: “bài tập bổ sung lý thuyết SGK” Hơn nữa, sau bài giải của nhiệm vụ “Tìm ảnh của đường thẳng , đường tròn (C) qua phép đối xứng trục (đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay R O)” có phần khẳng định:

“Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng […]Phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho”[E1, tr.109]

 Kiểu nhiệm vụ T2: Vẽ ảnh của một hình qua PBH

Hình ở đây chỉ gồm đường tròn, đường thẳng

 T2.1: Vẽ ảnh của đường tròn (I; R) qua PBH

Kĩ thuật : + Dựng I’ là ảnh của I qua PBH

+ Dựng (I’; R)

 T2.2: Vẽ ảnh của đường thẳng  qua PBH

Kĩ thuật : + Dựng ảnh M’ của điểm M bất kì trên  qua PBH

+Xác định phương của đường thẳng ảnh Dựng đường thẳng đi qua M’ và có phương đã được xác định

Đối với một vài PBH, điểm M có thể được chọn đặc biệt hơn một chút Ví dụ: đối với phép quay thì M

là hình chiếu vuông góc của tâm quay xuống đường thẳng ; hoặc đối với phép đối xứng trục thì M là giao điểm của  và trục đối xứng

Việc xác định phương của đường thẳng ảnh sẽ tùy thuộc vào từng PBH cụ thể Về vấn đề này, các tác giả cũng nói đến:

“Phép tịnh tiến theo vectơ v

biến đường thẳng d thành d’ song song với d” [M1, tr.76]

“Vậy, khi  d thì ảnh của qua S đ chính là  […] Nếu  cắt d tại I thì  'cũng qua I […]Nếu

// d

 thì '// d và d cách đều  và  '” [E1, tr.108-109]

Ngoài ra, chúng tôi còn tìm thấy lời đề nghị một kĩ thuật khác thực hiện kiểu nhiệm vụ T2.2 : “Sau đây

chúng ta xét những kĩ năng cơ bản cần rèn luyện cho học sinh :

Rèn luyện cho học sinh kĩ năng dựng ảnh của đường thẳng, tia, đoạn thẳng, góc, đường tròn – các hình đơn giản thường gặp khi giải các bài toán […] Cách tổng quát dựa vào bất biến thẳng hàng suy ra dựng ảnh của đường thẳng quy về dựng ảnh của hai điểm M, N thuộc đường thẳng

đó ; đường thẳng ảnh sẽ đi qua hai điểm M’, N’ ” [23, tr.145]

Kĩ thuật của hai kiểu nhiệm vụ T2.1 và T2.2 đều có chung công nghệ, đó là tính chất bảo toàn hình dạng của phép dời hình và định nghĩa ảnh của hình qua PBH

Qua kĩ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ T2 “vẽ ảnh của một hình qua PBH”, chúng tôi nhận thấy để vẽ (dựng) ảnh của một hình qua một PBH, HS chỉ lấy ảnh của một vài điểm thuộc hình đó, sau đó nối các điểm ảnh vừa tìm theo hình dạng giống với hình ban đầu

Điều này khác với “quan niệm điểm” của PBH, quan niệm mà muốn dựng ảnh của một hình qua một PBH, HS phải lấy ảnh theo từng điểm

Với quy tắc vẽ hình trên, PBH được hiểu là một phép biến đổi hình thành hình, trong đó hình với tư cách là một khối tổng thể không phân rã Trong phép biến đổi hình ở đây, ta thấy các tác giả có nói đến việc biến đổi một vài điểm thuộc hình (cụ thể: một điểm bất kì trên đường thẳng; tâm đường tròn )

Tuy thế hình vẫn không được quan niệm như một tập hợp điểm bởi vì:“Người ta có thể nói về “điểm

trên một đường” hay “điểm trên một hình”, nhưng không quan niệm rằng hình được tạo thành từ một tập hợp điểm, mà chỉ xem nó như cái giá và có thể đặt các điểm lên trên đó” [6, tr.134]

Chúng tôi sử dụng thuật ngữ “quan niệm hình” để nói về việc hiểu PBH theo nghĩa trên

Như vậy, tổ chức toán học thuộc kiểu nhiệm vụ T2 giúp hình thành nên “quan niệm hình” của PBH

So sánh kiểu nhiệm vụ T1 (T’1) và T2

Cả hai kiểu nhiệm vụ đều liên quan đến việc xác định ảnh của một hình qua một PBH Song T1 được yêu cầu trong tình huống chưa biết trước hình dạng ảnh của một hình qua PBH đó Do đó, để thực hiện kiểu nhiệm vụ này, HS phải lấy ảnh của từng điểm trên hình, điều này thể hiện qua việc tìm ảnh của một điểm bất kì trên hình, sau đó tìm quĩ tích điểm ảnh đó Chính vì thế kiểu nhiệm vụ T1 (T’1) thể hiện “quan niệm điểm”

Trong khi đó kiểu nhiệm vụ T2 được đặt trong ràng buộc phải biết trước hình dạng của ảnh Khi đó, để thực hiện kiểu nhiệm vụ này, HS không cần thiết phải tư duy theo từng điểm Việc trong kĩ thuật thực hiện có sử dụng thao tác lấy ảnh của một vài điểm trên hình chỉ nhằm xác định vị trí điểm đặt của hình-ảnh cần vẽ hơn là việc xem hình là một tập hợp điểm và lấy ảnh của mọi điểm thuộc tập đó Với kĩ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ T2, một hình vẫn chỉ là một khối thống nhất Chính vì thể kiểu nhiệm vụ T2 thể hiện “quan niệm hình”

Trong sách M1 và E1, không có bài tập nào dành riêng cho kiểu nhiệm vụ T2 Kiểu nhiệm vụ này chỉ được nhắc đến ngay sau lời giải của các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1 và T’1

Như vậy, sách E1 xây dựng tổ chức toán học của kiểu nhiệm vụ này để làm gì?

Để trả lời cho câu hỏi này, chúng ta xét tiếp hai tổ chức toán liên quan đến khái niệm PBH có mặt trong thể chế

 Kiểu nhiệm vụ T3: Tìm tập hợp điểm bằng PBH

Kĩ thuật : Việc dựng hình (H) đưa về dựng điểm MH thoả những tính chất nào đó

+ Xác định M=f(N) với điểm N thuộc một đường l 1 nào đó đã cho trong giả thiết Suy ra M thuộc đường l’ 1 =f(l 1 )

+ Vẽ đường l 1

+ Mặt khác M thuộc đường l 2 (giả thiết) Từ đó suy ra M=l 1l 2

Công nghệ : Định nghĩa ảnh của một hình qua PBH Tính chất bảo toàn hình dạng của phép dời hình

Trong kĩ thuật thực hiện hai kiểu nhiệm vụ T3, T4 đều có bước “vẽ hình”, với những hình cần vẽ là đường thẳng, đường tròn Do đó, kiểu nhiệm vụ T2 xuất hiện trong vai trò một kiểu nhiệm vụ con của T3 và T4

Tại sao SGK và SBT lại không ưu tiên cho kiểu nhiệm vụ T2 mà nó chỉ “ẩn mình” trong các kiểu nhiệm vụ khác?

Theo chúng tôi, có lẽ tác giả cho rằng kiểu nhiệm này đã được HS thực hiện ở bậc THCS SGK hình học 8 trang 16 (theo CT 1986) trình bày:

“-Muốn dựng đoạn thẳng A’B’ đối xứng của đoạn thẳng AB qua trục d, ta chỉ cần dựng hai điểm đầu mút A’, B’ là đối xứng qua trục d (hoặc qua tâm O) của hai điểm A, B

-Nếu các đỉnh của tam giác ABC lần lượt đối xứng qua trục d, với các đỉnh của tam giác A’B’C’ thì hai tam giác đó đối xứng với nhau

-Nếu hai điểm của đường thẳng này đối xứng qua trục d, với hai điểm của đường thẳng khác, thì hai đường thẳng đó đối xứng với nhau.”

Với kĩ thuật vẽ hình như trên, có thể nói “quan niệm hình” của PBH đã xuất hiện ở bậc THCS Đến bậc THPT, cụ thể là trong thể chế I1, PBH được yêu cầu giảng dạy theo “quan niệm điểm” Theo quan điểm này, vẽ ảnh của một hình phải là vẽ theo từng điểm Tuy nhiên, việc “vẽ ảnh theo từng điểm” trong môi trường giấy bút là chuyện “không tưởng” Chính vì thế mà các Noospherien né tránh quan niệm điểm bằng cách giới thiệu các tính chất bảo toàn của phép dời hình (chỉ ngầm ẩn qua kết quả các

bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1 và T’1)

Như vậy, mặc dù ý thức được “quan niệm điểm” của PBH, điều này thể hiện qua định nghĩa PBH, qua hai kiểu nhiệm vụ T1 và T’1 Song, do việc dạy và học PBH chỉ hạn chế trong môi trường “giấy bút”, cũng như yêu cầu đặt ra của chương chỉ dạy phép dời hình và đồng dạng, nên các PBH mà HS được học đều có tính chất bảo toàn hình dạng của hình Tính chất này đem đến một cái nhìn tổng quát cho nhóm các phép dời hình và đơn giản hóa kĩ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ T2 “Vẽ ảnh của một hình qua PBH” Nhưng cũng chính tính chất này mà “quan niệm hình” xuất hiện, bên cạnh “quan niệm điểm” của PBH

Quan niệm Kiểu nhiệm vụ Số lượng Tổng cộng Tỷ lệ

- Về định nghĩa PBH, sách M1 trình bày theo “quan niệm điểm”

- Sách M1 không nhắc lại chi tiết về phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay vì thể chế cho rằng các phép này đã được học ở cấp THCS Do đó các PBH trên chỉ được nhắc đến như một

ví dụ về một PBH cụ thể Đây chính là điểm bất cập của CT 1990 Ở THCS, “SGK không xây dựng

vấn đề đối xứng trục theo tư tưởng phép biến hình mà chỉ hạn chế trong việc tìm hiểu khái niệm hai hình đối xứng với nhau qua một đường thẳng” [2, tr.39], trong khi đó PBH ở thể chế I1 được xây dựng

theo “quan niệm điểm” Như vậy, từ THCS lên THPT diễn ra bước chuyển về quan niệm PBH, đó là

bước chuyển từ “quan niệm hình” sang “quan niệm điểm” Vậy, HS có hiểu được các phép phép đối

xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay dưới góc độ ánh xạ điểm hay không?

- Trong I1 xuất hiện hai nhóm kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm PBH Nhóm thứ nhất thể hiện

“quan niệm điểm” của PBH, bao gồm các kiểu nhiệm vụ T1 và T’1 Nhóm thứ hai thể hiện “quan niệm hình” của PBH, bao gồm các kiểu nhiệm vụ T3 và T4 Chúng tôi xếp các kiểu nhiệm vụ T3, T4 vào nhóm hai vì chúng chứa kiểu nhiệm vụ con T2, mà chính kiểu nhiệm vụ này làm nảy sinh “quan niệm hình” của PBH

Dựa vào bảng phân loại các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm PBH theo quan niệm, chúng tôi nhận thấy tỷ lệ các nhiệm vụ giữa hai nhóm quan niệm không chênh lệch nhau nhiều lắm

Từ đó cho thấy trong I1, tồn tại song song hai quan niệm của PBH, đó là “quan niệm điểm” và “quan niệm hình”

1.2.2.Khái niệm PBH trong SGK 2000

Không như CT 1990, CT 2000 không đưa vào thuật ngữ PBH mà định nghĩa trực tiếp từng PBH cụ thể

CT dành riêng từng bài để giới thiệu từng PBH Như đã giải thích ở trên, chúng tôi chọn phân tích bài Phép đối xứng trục để xem xét việc trình bày khái niệm PBH

Sách M2 định nghĩa phép đối xứng trục: Phép đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M' đối xứng với M

qua đường thẳng d gọi là phép đối xứng trục

Mặc dù M2 không sử dụng thuật ngữ “ánh xạ”, nhưng khái niệm phép đối xứng trục vẫn thể hiện

“quan niệm điểm”, điều đó thể hiện qua cụm từ “phép đặt tương ứng”

Khái niệm ảnh của một hình qua phép đối xứng trục cũng được trình bày Tương tự như thể chế I1, một hình ở đây được hiểu là một tập hợp điểm

Tiếp theo, sách M2 phát biểu và chứng minh một số tính chất của phép đối xứng trục Trong đó, đáng chú ý là nội dung hệ quả 2

Hệ quả 2 Phép đối xứng trục:

a Biến một đường thẳng thành đường thẳng,

b Biến một tia thành một tia,

c Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó,

d Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó,

e Biến một tam giác thành tam giác bằng nó, một đường tròn thành đường tròn bằng nó

Trong I1, nội dung trên chỉ được xem như kết quả của một bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1 Trong I2,

nó đã được thể chế hóa trong hệ quả 2

Tiếp theo, khái niệm trục đối xứng của một hình cùng với một số ví dụ về hình có trục đối xứng như tam giác cân, hình vuông, hình tròn cũng được trình bày

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng trục Đ d biến H thành chính nó

Sau đó, M2 còn giải thích thêm: Điều đó có nghĩa là với bất kì điểm M nào của ảnh H, ảnh M’ của nó

(qua phép Đ d ) cũng nằm trên H

Như vậy, khái niệm trục đối xứng của một hình dựa trên “quan niệm điểm” của PBH

Các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm phép đối xứng trục trong I2

Sự xuất hiện của hệ quả 2 trong sách M2 cung cấp cho HS kiến thức về ảnh của một hình (đường thẳng, tam giác, đường tròn) qua phép đối xứng trục Chính vì thế mà kiểu nhiệm vụ T1 “Xác định ảnh của hình H qua PBH” hoàn toàn biến mất trong I2

Kiểu nhiệm vụ T3 “Tìm tập hợp điểm bằng PBH” và T4 “Dựng hình bằng PBH” vẫn tiếp tục xuất hiện trong M2

Tương tự như thể chế I1, thể chế I2 cũng không có bài tập nào dành riêng cho kiểu nhiệm vụ T2.T2 cũng chỉ xuất hiện trong vai trò kiểu nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ T3 và T4 Điều này hoàn toàn dễ hiểu vì CT THPT 1990 và 2000 đều kế thừa cùng CT THCS năm 1986

Ngoài ra trong sách M2 và E2 xuất hiện thêm một số tổ chức toán học liên quan đến khái niệm phép đối xứng trục

 Kiểu nhiệm vụ T5: Tìm trục đối xứng của một hình

Các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ trên là: Tìm trục đối xứng của các hình sau: Hình chữ nhật ABCD;

Ngũ giác đều ABCDE; Lục giác đều ABCDEF; Hình thang cân ABCD; Hình gồm hai đường tròn không đồng tâm; Hình gồm một đường thẳng và một đường tròn; Các hình là các chữ cái in hoa từ A đến Z

Chúng tôi không tìm thấy lời đề nghị kĩ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ T5 trong I2 Lời giải trong E2

cho bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này chỉ đưa ra kết quả trục đối xứng của các hình tương ứng mà không kèm theo theo bất kì lời giải thích nào Dường như thể chế cho rằng nội dung đối xứng trục đã được dạy ở THCS, nên HS đã được trang bị các biểu tượng về các hình đối xứng qua trục

Quay trở lại SGK và SBT hình học 8, chúng tôi nhận thấy kiểu nhiệm vụ T5 đã tồn tại ở đó Tương tự như trong thể chế I2, kĩ thuật của kiểu nhiệm vụ này cũng không được đề nghị

Như vậy, kĩ thuật tìm trục đối xứng của hình là gì? Theo chúng tôi, đó chính là trực giác Bằng trực giác của mình, HS dự đoán một đường thẳng là trục đối xứng của hình Vấn đề đặt ra là: cơ sở nào hình

thành nên trực giác về trục đối xứng ở HS Theo Đoàn Hữu Hải (2007):“trẻ em có những kiến thức

không gian trước cả khi người ta định dạy những kiến thức hình học cho nó.”

Ngay từ khi biết nhận thức, con người đã tiếp xúc với rất nhiều hình có trục đối xứng trong cuộc sống, chỉ có tên gọi theo nghĩa toán học của các hình đó là chưa được biết đến (trong cuộc sống ta thường gọi những hình có trục đối xứng là “hình có tính cân đối”) Chính vì thế khi được tiếp cận với thuật ngữ toán học “hình có trục đối xứng” hay “trục đối xứng của một hình” cùng với định nghĩa của chúng, HS nhanh chóng áp dụng các kiến thức đã hình thành trong cuộc sống để thực hiện kiểu nhiệm

vụ T5 “Tìm trục đối xứng của một hình” Kiến thức hình học lúc bấy giờ chỉ đóng vai trò kiểm tra một đường thẳng được chọn ra có thoả đáng là trục đối xứng của hình hay không

Tiểu kết

Khác với thể chế I1, thể chế I2 không đưa khái niệm PBH tổng quát mà định nghĩa trực tiếp từng PBH

cụ thể, trong đó có phép đối xứng trục Định nghĩa phép đối xứng trục vẫn thể hiện rõ “quan niệm điểm” thông qua cách phát biểu “phép đặt tương ứng”

Tính chất bảo toàn khoảng cách của phép đối xứng trục được trình bày Từ đó kéo theo tính chất chất bảo toàn hình dạng của hình qua phép đối xứng trục (nội dung hệ quả 2)

Sự xuất hiện của hệ quả 2 dẫn đến sự biến mất của kiểu nhiệm vụ T1“Tìm ảnh của hình H qua PBH”

và T’1“Chứng minh H’ là ảnh của hình H qua PBH” Kiểu nhiệm vụ T2 vẫn tồn tại trong vai trò kiểu nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ T3 và T4, là hai kiểu nhiệm vụ tiếp tục xuất hiện trong thể chế I2 Như vậy trong I2, khái niệm PBH vẫn thể hiện rõ “quan niệm điểm” Tuy nhiên, đến khi triển khai các kiểu nhiệm vụ thì chúng tôi nhận thấy các kiểu nhiệm vụ liên quan đến quan niệm này hoàn toàn vắng bóng Thay vào đấy là sự vượt trội của các kiểu nhiệm vụ liên quan đến “quan niệm hình” Có thể thấy, trong I2, “quan niệm hình” lấn lướt “quan niệm điểm” của PBH

1.2.3 Khái niệm PBH trong SGK 2006

Trong phần này, chúng tôi phân tích bộ sách M3 trong đó có liên hệ với hai bộ sách M1 và M2

Khác với M2 nhưng lại tương đồng với M1, sách M3 đưa vào thuật ngữ và định nghĩa PBH tổng quát

Bảng 1.3 So sánh giữa M1 và M3 về khái niệm PBH

Về quan điểm trình bày khái niệm PBH, cả hai bộ sách đều theo “quan niệm điểm”

Bên cạnh phần trình bày định nghĩa, cả hai bộ sách đều nêu ví dụ về các PBH cụ thể Trong đó:

- Sách M1 đưa ví dụ về các PBH cụ thể: phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay Tuy nhiên phần ví dụ chỉ nêu tên các PBH trên chứ không nhắc lại định nghĩa từng phép theo quan điểm biến hình

- Trong khi đó trong phần mở bài, sách M3 đưa ra Hoạt động 1 nhằm giới thiệu một phép chiếu vuông góc (cả phần định nghĩa) theo quan điểm biến hình

Phần cuối bài, sách M3 còn đưa ra Hoạt động 2:

Cho trước số a dương, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M’ là điểm sao cho MM’=a Quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ nêu trên có phải là một phép biến hình không?

Với hoạt động trên, một lần nữa, SGK muốn học sinh ôn lại định nghĩa của PBH

Ngay trong việc cho ví dụ, chúng tôi thấy rằng sách M3 quan tâm hơn đến việc trình bày định nghĩa

PBH Thật vậy, cách xác định điểm M’ trong hoạt động 2 không phải là một PBH, điều này chỉ có thể

nhận ra nếu HS nắm vững định nghĩa PBH

So sánh bài Phép đối xứng trục trong M2 và M3

Phần lí thuyết

 Điểm giống nhau:

- Về định nghĩa phép đối xứng trục, M3 cũng trình bày theo “quan niệm điểm”: “Cho đường thẳng d

PBH biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d” [M3, tr.8]

- Về tính chất, sách M3 cũng trình bày tính chất bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì của phép đối xứng trục Do đó tính chất bảo toàn hình dạng của hình của phép đối xứng trục (nghĩa là phép đối xứng trục biến một hình thành một hình giống hình ban đầu) cũng được trình bày giống sách M2

- Khái niệm trục đối xứng của hình cũng được trình bày tương tự M2 Cả hai bộ sách đều đưa nhiều ví

dụ về các hình có trục đối xứng

 Điểm khác nhau

- Sau phần định nghĩa phép đối xứng trục, sách M3 đưa ra nhiều ví dụ và hoạt động (có kèm theo hình ảnh minh họa) giúp HS củng cố định nghĩa phép đối xứng trục, biết cách xác định ảnh của một điểm qua phép đối xứng trục mặc dù ở THCS, HS đã được làm quen với phép đối xứng trục Tuy nhiên, ở

THCS, “SGK không xây dựng đối xứng trục như một phép biến hình mà chỉ xét hai hình đối xứng với

-Định nghĩa ảnh của một hình qua PBH

- PBH đồng nhất -Không có

nhau qua một đường thẳng và hình có trục đối xứng” [2, tr.118] Như vậy, phép đối xứng trục ở THCS

không được trình bày theo quan điểm biến hình mà chỉ là một bộ phận của hình học tổng hợp, gắn liền

với tính chất của một số hình Do đó các tác giả của bộ sách M3 đề nghị: “khái niệm biến hình là một

khái niệm mới đối với HS lớp 11 Do đó khi thấy GV dạy một phép biến hình cụ thể nào đó thì việc quan trọng đầu tiên là cần làm cho HS nắm thật chắc định các nghĩa của từng phép biến hình đó” [6,

tr.86] Chính vì yêu cầu này mà nhiều ví dụ xuất hiện trong M3 liên quan đến khái niệm phép đối xứng trục

Ví dụ 1 Trên hình 1.11 ta có các điểm A’, B’, C’ tương ứng là ảnh của các điểm A, B, C qua phép đối xứng trục d và ngược lại [ ] Hoạt động 1 Cho hình thoi ABCD Tìm ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép đối xứng trục AC [M3, tr.9]

- Sách M3 đưa vào định nghĩa khác của phép đối xứng trục, định nghĩa thông qua biểu thức vectơ dưới dạng nhận xét:

1) Cho đường thẳng d Với mỗi điểm M, gọi M 0 là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d Khi đó: M’= Đ d (M)M M0 '  M M0

[M3, tr.9]

Sau khi được giới thiệu, biểu thức vectơ chỉ xuất hiện một lần trong CT để chứng minh cho tính chất:

M’= Đ d (M) M=Đ d (M) với mục đích“giúp học sinh hiểu rõ hơn về phép đối xứng trục qua biểu thức vectơ của nó” [P3, tr.32] Sau đó chúng tôi không tìm thấy dấu vết của nội dung này trong các nội

dung tiếp theo của phép đối xứng trục

- Sách M3 đưa vào biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Đây là điểm khác biệt đáng chú ý nhất của bộ sách M3 so với tất cả các bộ SGK trước đây ở Việt Nam Cùng với sự xuất hiện của biểu thức tọa độ, nhiều tổ chức toán học mới xoay quanh kiến thức này xuất hiện trong bộ sách M3

Tuy nhiên, SGK chỉ giới thiệu biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox và Oy chứ không đưa ra trục đối xứng bất kì SGV 2006 theo chương trình cơ bản không nói về vấn đề này nhưng trong Tài liệu bồi dưỡng giáo viên lớp 11 năm 2006 dành cho chương trình nâng cao có viết:

"Phép tịnh tiến hoặc phép đối xứng tâm có biểu thức tọa độ khá đơn giản nên có đưa vào sách giáo khoa, các phép khác thì vì biểu thức tọa độ khá phức tạp nên không trình bày, hoặc chỉ trình bày trong các trường hợp đặc biệt (đối xứng qua trục tọa độ)”

Theo chúng tôi, ngoài việc“bổ sung thêm cho học sinh về các khái niệm biến hình đã học” [6, tr 87] và

việc kéo theo rất nhiều bài tập liên quan đến phương pháp tọa độ (chiếm 50% tổng số bài tập của bài Phép đối xứng trục), việc đưa biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục (với trục Ox và Oy) vào CT hoặc chỉ đưa biểu thức tọa độ của một vài trong số các PBH được học là việc làm không triệt để Thật vậy, như chúng ta đã biết, trong nghiên cứu hình học, lợi thế của phương pháp tọa độ là lời giải mang tính khái quát cao vì nó không phụ thuộc vào hình vẽ Trong khi đó ngay việc chỉ giới thiệu biểu thức tọa độ đối xứng qua trục Ox, Oy cũng thiếu tính khái quát, nó để lại câu hỏi: trong tình huống phải đối mặt với trục đối xứng bất kì, ta phải làm thế nào? Hơn nữa, các bài tập liên quan đến biểu thức tọa độ trong CT chủ yếu đổi vỏ ngôn ngữ từ tổng hợp sang tọa độ Thay vì trước đây yêu cầu vẽ ảnh của đường thẳng, đường tròn qua phép đối xứng trục thì bây giờ yêu cầu viết phương trình ảnh của đường thẳng, đường tròn qua phép đối xứng trục HS chỉ thấy được sự đa dạng của các dạng bài tập mà không thấy được ưu điểm của phương pháp tọa độ trong PBH

Như vậy, so với sách M2, M3 giới thiệu thêm hai cách xây dựng khái niệm phép đối xứng trục, đó là: biểu thức vectơ và biểu thức tọa độ Song chỉ có biểu thức tọa độ tiếp tục được khai thác trong phần bài tập, biểu thức vectơ hoàn toàn biến mất sau phần định nghĩa của nó

- Về các ví dụ hình có trục đối xứng: M2 cho ví dụ là tam giác cân, tam giác đều, hình vuông, đường tròn M3 cho ví dụ là hình thang cân, hình bát giác, hình ngôi sao, hình con bướm, hình lôgô Ngoài ra, M3 còn đưa ví dụ về một số hình không có trục đối xứng và xây dựng hoạt động yêu cầu HS tìm ra các hình có trục đối xứng trong các hình đã cho, tìm những tứ giác có trục đối xứng

Như thế, ví dụ của M3 đa dạng hơn về hình dạng của các hình, nó vượt ra khỏi các hình hình học thông thường để đến với những hình trong thực tế Điều này giúp học sinh kết nối được kiến thức hình học với kiến thức không gian về trục đối xứng mà HS thường gặp trong cuộc sống

Phần bài tập

 Điểm giống nhau:

Tuy bố cục bài đối xứng trục của hai bộ sách M2 và M3 tương đối giống nhau nhưng do yêu cầu của mỗi chương trình dành cho chủ đề PBH là khác nhau nên sự có mặt của các kiểu nhiệm vụ của hai bộ sách không giống nhau nhiều lắm

Các kiểu nhiệm vụ giống nhau là T2“Vẽ ảnh của một hình qua PBH”, T3 “Tìm tập hợp điểm bằng PBH”, T4 “Dựng hình bằng PBH”, T5 “Tìm trục đối xứng của một hình”

 Điểm khác nhau:

- Không như sách M2, các kiểu nhiệm vụ của kiểu nhiệm vụ T2 đã xuất hiện tường minh trong M3 Bên cạnh hai kiểu nhiệm vụ con T2.1 “Vẽ ảnh của đường tròn qua PBH” và T2.2 “Vẽ ảnh của đường thẳng qua PBH”, trong M3 còn xuất hiện thêm một kiểu nhiệm vụ con khác, đó là:

 Kiểu nhiệm vụ T2.3: Vẽ ảnh của tam giác qua phép đối xứng trục

Kĩ thuật : +Xác định ảnh của ba đỉnh của tam giác qua phép đối xứng trục

+Vẽ tam giác nhận 3 điểm ảnh làm đỉnh

Công nghệ : Tính chất bảo toàn hình dạng của phép đối xứng trục

Như vậy, “quan niệm hình” của PBH càng được thể hiện rõ nét trong bộ sách M3

- Do sách M3 đưa vào biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục qua trục Ox, Oy nên trong M3 và E3 xuất hiện một số tổ chức toán học liên quan đến biểu thức tọa độ

 Kiểu nhiệm vụ T6:Viết phương trình ảnh của một hình qua phép đối xứng trục

 Kiểu nhiệm vụ T6.1:Tìm tọa độ ảnh M’ của điểm M(x;y) qua phép đối xứng trục

 Kiểu nhiệm vụ T6.1.1: Tìm tọa độ ảnh M’ của điểm M(x;y) qua phép đối xứng trục Ox hoặc trục

Oy

Kĩ thuật .1.1: Gọi M’(x’;y’)=ĐOx(M) hay M’(x’;y’)=ĐOy(M)

Sử dụng công thức:

''

 Kiểu nhiệm vụ T6.1.2: Tìm tọa độ ảnh M’ của điểm M(x;y) qua phép đối xứng trục d có phương trình ax+by+c=0

Kĩ thuật .1.2: Viết phương trình đường thẳng d’ qua M và vuông góc với d

Tìm tọa độ giao điểm H của d và d’ Dùng công thức

'

'

22

 Kiểu nhiệm vụ T6.2:Viết phương trình ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng trục

 Kiểu nhiệm vụ T6.2.1: Viết phương trình ảnh của đường thẳng d có phương trình ax+by+c=0 qua phép đối xứng trục Ox hoặc Oy

+ Kĩ thuật .2.1a: Tìm tọa độ hai điểm A, B tùy ý thuộc đường thẳng d

Tìm tọa độ A’, B’ là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục Ox (Oy)

Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A’ và B’ ta được phương trình ảnh của đường thẳng d

Công nghệ .2.1a: Tính chất bảo toàn hình dạng của phép đối xứng trục

+Kĩ thuật .2.1b: Gọi M’(x’; y’) là ảnh của M(x;y) qua phép đối xứng trục Ox (Oy)

(nếu đối xứng qua Ox) (nếu đối xứng qua Oy)

Thay x, y vào phương trình đường thẳng d để suy ra phương trình chứa x’, y’ Đó chính là phương trình ảnh của d

Công nghệ .2.1: định nghĩa ảnh của một hình qua PBH; biểu thức tọa độ

của phép đối xứng trục

 Kiểu nhiệm vụ T6.2.2: Viết phương trình ảnh của đường thẳng d có phương trình ax+by+c=0 qua phép đối xứng trục là đường thẳng a có phương trình a’x+b’y+c’=0 (d và a cắt nhau)

Kĩ thuật : Tìm tọa độ giao điểm A của a và d

Xác định tọa độ điểm B thuộc đường thẳng d Tìm tọa độ ảnh B’ của B qua phép đối xứng trục a

Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B’ ta được đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục a

Công nghệ : Tính chất bảo toàn hình dạng của phép đối xứng trục

 Kiểu nhiệm vụ T6.3: Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox hoặc

Oy

+Kĩ thuật a: Xác định tâm I của đường tròn (C)

Tìm tọa độ I’ là ảnh của I qua phép đối xứng trục Ox hoặc Oy

Ảnh của (C) là đường tròn (C’) có tâm là I’, bán kính bằng bán kính đường tròn (C) Công nghệ a: Tính chất bảo toàn hình dạng của phép đối xứng trục

+Kĩ thuật b: Gọi M’(x’; y’) là ảnh của M(x;y) qua phép đối xứng trục Ox (Oy)

(nếu đối xứng qua Ox) (nếu đối xứng qua Oy)

Thay x, y vào phương trình đường tròn (C) để suy ra phương trình chứa x’, y’ Đó chính là phương trình ảnh của (C)

Công nghệ b: định nghĩa ảnh của một hình qua PBH; biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục

Như vậy, đối với kiểu nhiệm vụ T6, luôn tồn tại song song hai nhóm kĩ thuật thực hiện Nhóm thứ nhất bao gồm các kĩ thuật a, , a Thao tác chung của các kĩ thuật thuộc nhóm này là: Trước tiên, xác định ảnh của hình phải cùng loại với hình đó (nghĩa là ảnh của đường thẳng là đường thẳng, đường tròn là đường tròn cùng bán kính); sau đó tìm tọa độ ảnh của một vài điểm thuộc hình (tùy theo hình dạng của hình mà có những điểm đặt biệt khác nhau); dùng kiến thức viết phương trình đường thẳng, đường tròn đã được học ở lớp 10 để viết phương trình ảnh cần tìm Kĩ thuật trên thể hiện

“quan niệm hình” của PBH

Nhóm thứ hai bao gồm các kĩ thuật b, b Với nhóm kĩ thuật này, HS không cần biết trước hình dạng của ảnh HS chỉ cần lấy điểm bất kì thuộc hình ban đầu, tìm tọa độ của điểm tạo ảnh; sau đó thiết lập phương trình chứa tọa độ điểm ảnh để được phương trình ảnh của hình ban đầu Kĩ thuật trên thể hiện “quan niệm điểm” của PBH

Đến đây, chúng tôi có thể nhận thấy được vai trò của biểu thức tọa độ trong việc tiếp cận với PBH

“quan niệm điểm”

Tuy nhiên, khi quan sát các lời giải của các bài thuộc kiểu nhiệm vụ T6, chúng tôi thấy bài nào tác giả cũng đưa ra hai kĩ thuật thuộc hai nhóm kĩ thuật nói trên Điều này cho thấy sự xuất hiện của biểu thức tọa độ trong sách M3 vẫn không giúp HS thoát khỏi “quan niệm hình” Kĩ thuật thực hiện kiểu nhiệm

vụ T6 cho thấy: trong M3 vẫn tồn tại song song hai quan niệm: “quan niệm điểm” và “quan niệm hình”

- Đối với kiểu nhiệm vụ T5 “Tìm trục đối xứng của một hình”, tuy nó có mặt trong cả hai bộ sách M2

và M3, nhưng như chúng tôi đã phân tích, bộ M2 không đưa ra kĩ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ này Trong khi đó bộ M3 đưa ra kĩ thuật tìm trục đối xứng, nhưng chỉ dành cho hình đa giác

Kĩ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ T5.1“Tìm trục đối xứng của đa giác A1A2 An”:

+Phép đối xứng trục biến đỉnhA i i(  1; )n thành một trong các đỉnh A i i(  1; )n của đa giác

+Dùng lập luận để loại suy các trường hợp vô lí, từ đó tìm ra trục đối xứng của đa giác

Công nghệ: Nếu một đa giác có trục đối xứng d thì qua phép đối xứng trục d mỗi đỉnh của nó phải

biến thành một đỉnh của đa giác, mỗi cạnh của nó phải biến thành một cạnh của đa giác

Công nghệ này không được trình bày trong SGK mà chỉ được thể chế hóa trong SBT thông qua mục

Phương pháp giải

- Trong M3 xuất hiện kiểu nhiệm vụ T’5 “Tìm hình có trục đối xứng”

Bài tập 3 (M3, tr.11)

Trong các chữ cái sau, chữ nào là hình có trục đối xứng? W, V, I, E, T, N, A, M, O

Trong bộ sách M3, không có kĩ thuật nào được đề nghị để giải quyết kiểu nhiệm vụ trên Mặc dầu các

tác giả nói rằng“Hoạt động 6 cùng với ví dụ 2 giúp học sinh biết cách nhận biết hình có trục đối xứng”

(P3, tr.33), nhưng làm thế nào để nhận biết thì các tác giả không đề cập đến

Tiểu kết

Tương tự thể chế I1, thể chế I3 đưa vào thuật ngữ PBH và định nghĩa nó theo “quan niệm điểm” Tương tự thể chế I2, thể chế I3 dành một bài nghiên cứu Phép đối xứng trục Các tính chất bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì, tính chất bảo toàn hình dạng của phép đối xứng trục vẫn được giới thiệu trong M3 Sự có mặt của tính chất bảo toàn hình dạng của phép đối xứng trục kéo theo sự có mặt của một số tổ chức toán học làm hình thành nên “quan niệm hình”của PBH Đó là các tổ chức toán học liên quan đến các kiểu nhiệm vụ T2, T3, T4, T5, T’5

Lần đầu tiên biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục có mặt trong trường THPT Việt Nam, cụ thể có

mặt trong thể chế I3 Sự có mặt của biểu thức tọa độ, bên cạnh mục tiêu “bổ sung thêm cho học sinh về

các khái niệm biến hình đã học, tiếp cận với các khái niệm này bằng các công cụ và bằng các phương pháp khác nhau” [6, tr.87], theo chúng tôi nó còn giúp thể chể thể hiện rõ “quan niệm điểm” của PBH

Tuy nhiên, qua các tổ chức toán học liên quan đến biểu thức tọa độ (kiểu nhiệm vụ T6) đã được triển khai, chúng tôi nhận thấy thể chế I3 đã không tận dụng tối đa các kĩ thuật thể hiện “quan niệm điểm” của biểu thức tọa độ Do đó “quan niệm hình” vẫn tồn tại trong các tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ T6

Tóm lại, trong thể chế I3, “quan niệm hình” và “quan niệm điểm” cùng tồn tại, song “quan niệm hình”

có phần lấn lướt hơn

1.3 KẾT LUẬN CHUNG

Qua phần phân tích CT và SGK các thể chế I1, I2, I3 chúng tôi rút ra được một số nhận xét sau :

- Thể chế I1 và I3 xây dựng khái niệm PBH tổng quát, thể chế I2 thì không Tuy nhiên, cả ba thể chế

đều định nghĩa PBH (cụ thể hay tổng quát) theo “quan niệm điểm”

- Trong I1 tồn tại song song hai quan niệm: “quan niệm hình” và “quan niệm điểm” của PBH “Quan niệm điểm” thể hiện qua định nghĩa PBH và các tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T1 “Xác định ảnh của một hình H qua PBH” và T’1“Chứng minh H’ là ảnh của hình H qua PBH” “Quan niệm hình” thể hiện qua tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T2 “Vẽ ảnh của một hình qua PBH” và hai kiểu nhiệm vụ nhận T2 làm kiểu nhiệm vụ con, đó là T3 “Tìm tập hợp điểm bằng PBH” và T4 “Dựng hình bằng PBH”

- I2 dành một bài để nghiên cứu Phép đối xứng trục và đưa vào tính chất bảo toàn hình dạng của phép đối xứng trục Sự có mặt của tính chất này dẫn đến sự vắng mặt của kiểu nhiệm vụ T1 và T’1 trong I2 Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm PBH tồn tại trong I2 đều thể hiện “quan niệm hình”, đó là T2, T3, T4 và T5

Vì vậy, trong I2, “quan niệm hình” lấn lướt “quan niệm điểm”

- Bố cục bài Phép đối xứng trục trong I3 không khác nhiều so với I2 Điểm khác biệt đáng chú nhất là

sự xuất hiện của biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Sự xuất hiện này bên cạnh mục tiêu “bổ sung

thêm cho học sinh về các khái niệm biến hình đã học, tiếp cận với các khái niệm này bằng các công cụ

và bằng các phương pháp khác nhau” [5, tr.87], theo chúng tôi nó còn giúp thể chể thể hiện rõ “quan

niệm điểm” của PBH Song, do sự chi phối mạnh mẽ của tính chất bảo toàn hình dạng của phép đối xứng trục dẫn đến các tổ chức toán học liên quan đến biểu thức tọa độ (kiểu nhiệm vụ T6) vẫn tồn tại song song hai quan niệm: “quan niệm điểm” và “quan niệm hình”

Bên cạnh đó, các kiểu nhiệm vụ thể hiện “quan niệm hình” trong I2 vẫn tiếp tục tồn trong I3, đó là T2, T3, T4, T5

Do đó trong I3, “quan niệm hình” vẫn tồn tại và nổi trội so với “quan niệm điểm”

Từ đó chúng tôi rút ra kết luận: Hai bộ sách M2 và M3 tại điều kiện thuận lợi cho “quan niệm hình” của PBH “Quan niệm điểm” chỉ xuất hiện trong phần định nghĩa PBH tổng quát và PBH cụ thể Ngoài Phép đối xứng trục, các PBH cụ thể thuộc nhóm phép dời hình và đồng dạng cũng được nghiên cứu chi tiết trong M2 và M3 Như thế, HS liên tục tiếp cận với “quan niệm hình” trong khi nghiên cứu các PBH đó (bởi vì các PBH này đều có chung tính chất bảo toàn hình dạng) Sự tiếp cận trên cứ được lặp đi lặp lại nhiều lần sẽ tác động đến việc hình thành quan niệm của HS về khái niệm PBH Chúng tôi rút ra giả thuyết nghiên cứu sau :

Mối quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm PBH chỉ đặt trên “quan niệm hình”

Để kiểm chứng tính thích đáng của giả thuyết này, chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm trên đối tượng

HS lớp 11 sau khi đã học xong chương Phép dời hình và phép dồng dạng Thực nghiệm này sẽ được

trình bày trong chương tiếp theo của luận văn

CHƯƠNG 2 THỰC NGHIỆM THỨ NHẤT

2.1 Mục đích của thực nghiệm thứ nhất

Mặc dù thể chế I3 mong muốn trình bày chủ để PBH theo “quan niệm điểm”, song do các PBH trong

CT chỉ gồm phép dời hình và phép đồng dạng nên trong cách trình bày của SGK, “quan điểm hình”- một quan điểm đã tồn tại ở bậc THCS-vẫn tiếp tục tồn tại và lấn lướt “quan niệm điểm” Điều này dẫn chúng tôi đến giả thuyết:

H: Mối quan hệ cá nhân của học sinh THPT với khái niệm PBH chỉ đặt trên “quan niệm hình” Mục đích của thực nghiệm này là kiểm chứng tính hợp thức của giả thuyết trên

2.2 Bài toán thực nghiệm

Bài toán này dựa trên ý tưởng của Pascal N và Hebert E (Maths en Seconde: Enoncé et Scénario, Bulletin Inter-Irem 1993)

Cho trước một đường tròn (O) Với mỗi điểm M nằm ngoài hoặc nằm trên đường tròn (O), nối điểm

O với điểm M và dựng điểm M’ sao cho giao điểm của đoạn thẳng OM với đường tròn (O) là trung điểm của đoạn MM’

Ví dụ minh họa cách dựng điểm M’ theo điểm M:

Ta gọi phép biến hình biến M thành M’ như trên là Phép biến hình T

K

Hình 2 M' hay

Vẽ ảnh của tam giác ABC qua phép biến hình T

 Em hãy nêu các bước dựng ảnh của em

2) Vẽ ảnh của đường tròn tâm I qua phép biến hình T

 Em hãy nêu các bước dựng ảnh của em

3) Vẽ ảnh của hình (H) qua phép biến hình T

 Em hãy nêu các bước dựng ảnh của em

2.2.1 Phân tích a priori thực nghiệm 1

Chúng tôi chia thực nghiệm thành hai phần

Phần A với mục đích tạo cơ hội cho HS đọc kĩ cách xây dựng Phép biến hình T (Phụ lục 1)

Phần B với mục đích kiểm chứng giả thuyết H

Phần A không phải là mục đích chính của thực nghiệm, song nó ảnh hưởng rất lớn đến các chiến lược

O I

O A

O (H)

sẽ sử dụng để thực hiện phần B Thậy vậy, các PBH: đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến, phép quay, phép vị tự được giới thiệu chính thức trong SGK nên dễ có cảm tưởng nói đến PBH là chỉ nói đến một trong các phép trên

a Biến tình huống và biến didactic và các lựa chọn các giá trị của chúng

 Biến tình huống

 V1: Tính chất của PBH

Biến này nhận hai giá trị:

- V1a: PBH là phép dời hình-phép đồng dạng được giới thiệu trong CT

- V1b: PBH không được giới thiệu trong CT

Để kiểm chứng được giả thuyết H, chúng tôi lựa chọn giá trị V1b, khi đó chúng tôi đặt HS vào tình huống không quen thuộc Chúng tôi cho HS tiếp cận một PBH “lạ”, nó không thuộc nhóm phép dời hình cũng như phép đồng dạng, do đó nó không chứa những cái bất biến của nhóm dời hình và đồng dạng Cụ thể, PBH được chúng tôi xây dựng biến một đường thẳng d thành một đường cong, hình dạng của đường cong này thay đổi phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d đối với đường tròn (O) cũng như phụ thuộc vào bán kính của đường tròn (O); biến đường tròn tâm I thành một đường cong khép kín

Sự lựa chọn giá trị biến nói trên tạo cơ hội nảy sinh các chiến lược theo “quan niệm điểm”, bởi vì khi

O I

M

M' K

M

M'

K

O A

M

M' K

đối diện với một PBH “lạ”, sẽ khó xác định những cái gì bất biến qua PBH Song chúng tôi hi vọng các

chiến lược theo “quan niệm hình” xuất hiện nhiều hơn Điều sẽ kiểm chứng giả thuyết mà chúng tôi đặt

ra

 V2: Vị trí điểm M đối với đường tròn (O): Điểm M nằm ngoài và trên đường tròn (O), điểm M

nằm bất kì

Nếu điểm M nằm bất kì, khi đó việc mô tả cách xây dựng PBH T sẽ phức tạp Do đó nó gây khó khăn

rất nhiều trong việc xác định ảnh của một điểm qua PBH này, trong khi đây không phải là mục đích

cần kiểm chứng của thực nghiệm

Do đó chúng tôi chọn chỉ giới hạn những điểm M nằm ngoài hoặc trên đường tròn (O) để giảm độ

phức tạp của việc xây dựng PBH mới

 Biến didactic

 Biến V3: Hình dạng của hình cần tìm ảnh

Biến này nhận hai giá trị

- V3a: hình cần tìm ảnh là tam giác, đa giác, đường thẳng, đường tròn

- V3b: hình cần tìm ảnh không là tam giác, đa giác, đường thẳng, đường tròn

Tam giác, đa giác, đường thẳng, đường tròn là những hình xuất hiện trong CT Do đó kĩ thuật vẽ ảnh

của chúng đã được giới thiệu Vì thế giá trị V3a tạo cơ hội xuất hiện các chiến lược theo “quan niệm

hình”

Ngược lại, CT không yêu cầu vẽ ảnh của một đường cong bất kì , do đó không có kĩ thuật vẽ ảnh của

nó Giá trị V3b tạo thuận lợi nảy sinh các chiến lược theo “quan niệm điểm”

 V4:Vị trí đường tròn (I) đối với đường tròn (O):I trùng hoặc không trùng với O

Nếu I trùng với O, ảnh của đường tròn (I) qua PBH T là chính nó Tình huống này nằm trong phạm vi

hợp thức của các chiến lược theo “quan niệm hình”, vì thế không thể kiểm chứng được giả thuyết mà

chúng tôi đặt ra

Chúng tôi chọn điểm I không trùng với điểm O, khi đó ảnh của (I) không phải là một đường tròn

b Các chiến lược có thể

 Nhóm chiến lược theo “quan niệm điểm”

 Chiến lược Sđịnhnghĩa: tìm ảnh của tất cả các điểm trên tạo ảnh

Mặc dù về mặt lí thuyết đây là chiến lược tối ưu, nhưng nó không khả thi bởi vì việc xây dựng ảnh của

từng điểm trong môi trường giấy bút là việc không thể

Cái có thể quan sát được là câu trả lời: “không thể vẽ được ảnh”; “ảnh là tập hợp các điểm ảnh”

 Chiến lược Sdựdoán: lấy ảnh của một số điểm trên hình để dự đoán hình dạng của ảnh

Cái có thể quan sát được là sản phẩm của HS: đó là ảnh tìm được của một số điểm rời rạc trên hình,

hoặc hình nối một số điểm ảnh theo hình dạng quen thuộc trong CT (ví dụ: elip, parabol)

 Nhóm chiến lược theo “quan niệm hình”

Câu 1

 Chiến lược S3 đỉnh: lần lượt tìm ảnh A', B',C' của ba điểm A, B, C Nối ba điểm A', B', C' để được

một tam giác A'B'C' là ảnh của tam giác ABC

Câu 2

 Chiến lược Stâm+bán kính: tìm ảnh I' của tâm I Kẻ đường tròn tâm I', bán kính bằng bán kính của đường tròn (I) để được đường tròn ảnh cần dựng

 Chiến lược Stâm+điểm: Tìm ảnh I' của tâm I; tìm ảnh M' của điểm M bất kì trên đường tròn Kẻ đường tròn (I'; I'M') để được đường tròn ảnh cần dựng

 Chiến lược S3 điểm: Lấy 3 điểm bất kì trên đường tròn (I), tìm ảnh của chúng rồi vẽ đường tròn đi qua 3 điểm ảnh

Những cái có thể quan sát được là các hình vẽ và các bước dựng ảnh:

 Chiến lược Sbánbảotoànhìnhdạng: tìm ảnh của hai điểm đầu mút và “điểm uốn” của

đường cong; tìm thêm ảnh của hai điểm thuộc hai nửa đường tròn (thường là điểm chính giữa hai nửa đường tròn) để xác định phần mặt phẳng chứa đường cong ảnh Sau đó nối các điểm ảnh lại theo hình dạng tương tự hình H

C A

D B

E (H)

D'

E' B' C'

Quan niệm Số câu

trả lời Tỉ lệ

Số câu trả lời Tỉ lệ

Số câu trả lời Tỉ lệ

Bảng 2.4 Thống kê chiến lược theo quan niệm

a Những ghi nhận ban đầu

Số liệu của bảng thống kê cho thấy tỷ lệ HS chọn các chiến lược thuộc nhóm chiến lược “quan niệm hình” chiếm ưu thế rất lớn

Cụ thể:

Câu 1: “quan niệm hình” chiếm ưu thế tuyệt đối 100%

Câu 2: “quan niệm hình” chiếm tỉ lệ 87.8%

Câu 3: “quan niệm hình” chiếm tỉ lệ 81.9%

Những con số trên cho thấy mặc dù HS phải đối mặt với một PBH mới nhưng HS vẫn áp dụng các tính

chất bảo toàn của phép dời hình và đồng dạng cho PBH mới này để thực hiện kiểu nhiệm vụ T2 “Vẽ

ảnh của một hình qua PBH”

b Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm

 Mặc dù trong bài thực nghiệm chúng tôi thiết kế phần A để giúp HS có thể đọc hiểu và nắm được

cách xây dựng Phép biến hình T, nhưng vẫn còn một số em hiểu sai về PBH này Nhiều HS đồng nhất

PBH này với một trong các PBH trong CT

Nối OI cắt (O) tại K I ; Vẽ I’=V (I,-2) (K I ); 2 2R '

Điều này cho thấy, đối với một bộ phận HS, PBH chỉ bao gồm những PBH mà các em được học Do

đó, mặc dầu đối mặt với một PBH mới, với một tên gọi mới, nhưng các em cũng cố gắng tìm ra nét chung nào đó với một trong các PBH quen thuộc, từ đó gán cho PBH mới các tính chất của PBH mà các em chọn

Lí giải cho hiện tượng trên, theo chúng tôi, vì các PBH HS được học chỉ bao gồm các phép thuộc nhóm dời hình và đồng dạng, chúng chứa cùng những cái bất biến, trong khi đó khái niệm PBH khái quát chỉ được giảng dạy trong một tiết, thậm chí ít hơn (bởi vì CT phân phối bài PBH và phép tịnh tiến dạy chung trong 2 tiết), do đó HS dễ lầm tưởng rằng PBH chỉ bao gồm các PBH mà các em được học

 Từ câu 1 đến câu 3, chúng tôi nhận thấy số lượng bài bỏ trống tăng lên (câu 1: 1 bài; câu 2: 6 bài; câu 3: 8 bài) Bên cạnh đó, tỉ lệ bài làm sử dụng chiếc lược theo “quan niệm điểm” cũng thay đổi (câu 1: 0%; câu 2: 10%; câu 3: 19.2%)

Nguyên nhân của sự thay đổi trên? Phải chăng đây là một ảnh hưởng của thể chế?

- Đối với câu 1, hơn 90% HS sử dụng chiến lược S3đỉnh Điều này hoàn toàn dễ hiểu vì kĩ thuật vẽ ảnh của tam giác qua PBH đã được giới thiệu cho HS

Ví dụ, câu trả lời của HS1:

- Nối AO, AO( )O tại D

- Vẽ AA’ sao cho D là trung điểm AA’

- Tương tự như vậy cho B, C

- Nối A’, B’, C’ ta được ảnh của tam ABC qua phép biến hình T

- Đối với câu 2, tương tự câu 1, kĩ thuật vẽ ảnh của đường tròn qua PBH cũng đã giới thiệu trong CT, tuy nhiên, tồn tại đến hai kĩ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ này Thứ nhất: vẽ ảnh I’ của tâm đường tròn

I, vẽ đường tròn (I’;R) (kĩ thuật này sử dụng cho nhóm các phép dời hình) Thứ hai: vẽ ảnh I’ của tâm đường tròn I, vẽ ảnh M’ của một điểm M bất kì trên (I;R), vẽ đường tròn (I’; I’M’) (kĩ thuật này được đưa vào khi học về phép vị tự) Chính vì thế mà ở câu 2, các chiến lược được HS huy động thực hiện cũng đa dạng hơn so với câu 1, bao gồm Stâm+bánkính, Stâm+điểm, Sđịnhnghĩa, Sdựđoán

HS sử dụng chiến lược Stâm+bánkính là do ảnh hưởng của nhóm các phép dời hình, HS sử dụng chiến lược Stâm+điểm là do ảnh hưởng của phép vị tự Mặc dù HS đã học phép vị tự, như thế HS cũng biết được rằng đường tròn ảnh có thể không cùng bán kính với đường tròn tạo ảnh, tuy nhiên vẫn có một số lượng lớn

HS sử dụng chiến lược Stâm+bánkính (chiếm 31.5%) Điều này nói lên rằng các tính chất của phép dời hình ảnh hưởng sâu sắc đến HS nhiều hơn so với phép đồng dạng Do đâu có sự ảnh hưởng trên? Theo chúng tôi, vì số lượng các phép dời hình HS được học khá nhiều (4 phép), trong khi đó phép đồng dạng chỉ có phép vị tự

Ví dụ, bài làm của HS theo chiến lược Stâm+bánkính:

Ví dụ, bài làm của HS theo chiến lược Stâm+điểm:

HS21: -Đoạn IO cắt (O) tại M

-Dựng I’ sao cho M là trung điểm của II’ T I: I'

-Lấy điểm A bất kì thuộc (I), đoạn OA cắt (O) tại K

-Dựng A’ sao cho K là trung điểm của AA’ T A:  A'

-Vẽ (I; R=I’A’)=T(I)

Theo chiến lược Stâm+điểm, chỉ cần lấy ảnh I’của tâm I và một điểm bất kì nào đó trên (I) Tuy nhiên do thói quen kiểm tra độ chính xác của phép dựng, nhiều HS lấy thêm ảnh của một điểm khác trên đường tròn (I) Dĩ nhiên tình huống mà chúng tôi xây dựng nằm ngoài phạm vi hợp thức của chiến lược Stâm+điểm, do đó khoảng cách giữa các điểm ảnh đến điểm I’ không bằng nhau Khi đó, tồn tại môi trường phản hồi đến HS (vật chất: hình vẽ; phi vật chất: định nghĩa ảnh của một hình qua PBH), giúp

HS nhận thấy sự mấu thuẫn trong “quan niệm hình” Song quan niệm về sự bảo toàn hình dạng của PBH chi phối HS mạnh đến mức một số HS không nhận được sự phản hồi do môi trường mang lại nên đưa ra lời giải:

HS40: “[ ] lấy thêm 3 điểm P, M, N bất kì thuộc (I), làm tương tự trên ta có M’, N’, P’ là ảnh của M,

N, P qua phép biến hình T Vậy ta lấy I’ làm tâm và vẽ đường tròn tâm I’, bán kính là IM’ hoặc IN’ hoặc IP’ đều được”

Hình vẽ quan sát được của HS này chỉ có ảnh của bốn điểm I, M, N, P; độ dài các đoạn I’M’, I’N’, I’P’ không bằng nhau; không có hình vẽ của các đường tròn (I’; I’M’), (I’; I’N’), (I’; I’P’)

HS23: “[ ] với mỗi điểm A bất kì trên đường tròn tâm I, ta có được 1 giao điểm của AO với (O)có

vô số đường tròn tâm I’, bán kính A’I’ là ảnh của đường tròn tâm I”

Có HS lại tìm đến chiến lược khác nhưng vẫn cho ảnh là đường tròn mà không cần sử dụng đến điểm I’, đó là chiến lược S3 điểm:

HS35: -Lấy A, B, C bất kì thuộc (I)

Một số cách dựng và hình vẽ của HS sử dụng chiến lược Sdựđoán:

HS9: Dựng N’, M’, L’, P’, I’ lần lượt là ảnh của N, M, L, P, I qua phép biến hình T

Đa số HS theo chiến lược Sdựđoán đều không trình bày cách dựng, nếu có thì cũng chỉ nêu cách dựng ảnh của một vài điểm trên (I) Theo chúng tôi, có lẽ các HS này không thể dự đoán được hình dạng của ảnh hoặc nếu có dự đoán được (hình elip) thì cũng cảm thấy không tự tin với kết quả tìm được của mình, do đó các em không trình bày các bước dựng của mình

Đối với nhóm HS sử dụng chiến lược Sdựđoán, tuy rằng các em chưa đưa ra được lời giải thỏa đáng, song chúng tôi đánh giá các HS này đã phần nào thoát khỏi sự ảnh hưởng của “quan niệm hình” Tuy nhiên, các em vẫn chưa thể tư duy theo “quan niệm điểm” để tìm ảnh (I) Điều này cũng dễ hiểu bởi vì thể chế không trao cho HS kĩ thuật vẽ ảnh của một hình qua một PBH bất kì

Có duy nhất một HS sử dụng chiến lượcSđịnhnghĩa Đó là HS11:

Lấy trên I n điểm T, H, M Qua PBH T ta được n điểm là ảnh của (I) Nối n điểm ta được hình ảnh (I)

Quan sát lúc HS làm bài và quan sát bài làm của HS, chúng tôi nhận thấy nhóm HS sử dụng chiến lược theo “quan niệm điểm” ngay từ đầu vẫn bị ảnh hưởng bởi “quan niệm hình” (sử dụng chiến lược Stâm+điểm) Song do cách chọn điểm trên đường tròn I là tùy ý nên các HS này mới có cơ hội nảy sinh các chiến lược theo “quan niệm điểm” Đó cũng chính là lí do mà câu 2 xuất hiện các chiến lược theo

“quan niệm điểm”, trong khi câu 1 thì không

- Đối với câu 3, tuy vẫn là kiểu nhiệm vụ vẽ ảnh của một hình qua PBH nhưng hình (H) trong câu 3