một số lớp ánh xạ lồi và lõm trong không gian có thứ tự

3 1.2 Nguyên lí Entropy và Định lí điểm bất động của ánh xạ tăng... lặp Picard là dãy tăng hoặc giảm hội tụ về nghiệm; chứng minh được tập giá trị riêng hệ thống hoàn chỉnh, chi tiết.. T

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

ĐINH CÔNG MINH

MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LỒI VÀ LÕM

TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

ĐINH CÔNG MINH

MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LỒI VÀ LÕM

TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS TRẦN ĐÌNH THANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 10

L ỜI CẢM ƠN

Tôi g ửi cảm ơn sâu sắc đến Thầy TS Trần Đình Thanh đã tận tình hướng

d ẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này

Tôi xin chân thành cám ơn quí Thầy, Cô khoa Toán trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh và trường ĐHKHTN TP Hồ Chí Minh đã trang bị cho tôi nhiều kiến

th ức quí báu trong Toán học cũng như trong cuộc sống

Tôi xin c ảm ơn bạn bè và người thân đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình h ọc tập và làm luận văn

Tp Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2011

Học viên Đinh Công Minh

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 0

MỤC LỤC 0

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài: 1

2 Nội dung luận văn 1

3 Phương pháp nghiên cứu 2

Chương 1: CÁC KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 3

1.1 Không gian banach có thứ tự 3

1.2 Nguyên lí Entropy và Định lí điểm bất động của ánh xạ tăng 8

1.2.1 Nguyên lí Entropy 8

1.2.2 Định lí điểm bất động của ánh xạ tăng 9

Chương 2: MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LỒI, LÕM 12

2.1 Ánh xạ u0 −lõm hoặc u0 −lồi 12

2.1.2 Sự duy nhất của điểm bất động 13

2.1.3 Xây dựng dãy lập đơn điệu hội tụ về điểm bất động 14

2.1.4 Tính chất của vectơ riêng, giá trị riêng 17

2.2 Một số ánh xạ lồi, lõm 20

2.2.1 Ánh xạ dưới tuyến tính 20

2.2.2 Ánh xạ u0 −đơn điệu 21

2.2.3 Ánh xạ α −lồi, α −lõm 22

2.3 Ánh xạ u o −lõm tổ hợp 30

2.3.1 Ánh xạ đơn điệu tổ hợp 30

2.3.2 Ánh xạ u o −lõm tổ hợp 32

2.3.3 Một số ứng dụng 34

Chương 3: MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LÕM ĐA TRỊ 37

3.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ uo −lõm đều đơn trị 37

3.2 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ lõm đều đa trị 39

KẾT LUẬN 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

được phát triển và hoàn thiện cho đến ngày nay Lý thuyết này tìm được những ứng

nhiên, Y học, Kinh tế học

lặp Picard là dãy tăng hoặc giảm hội tụ về nghiệm; chứng minh được tập giá trị riêng

hệ thống hoàn chỉnh, chi tiết

2 Nội dung luận văn

Nội dung luận văn gồm có ba chương:

Chương 1 Nhắc lại các khái niệm, các kết quả được sử dụng Trong đó gồm có

các khái niệm về không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón; Nguyên lí Entropy; Định lí điểm bất động của ánh xạ tăng.Các kết quả này được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo

Chương 2 Trình bày một số kết quả của một số lớp ánh xạ lồi, lõm Tính chất của

véctơ riêng, giá trị riêng Ánh xạ lõm tổ hợp

Chương 3 Khảo sát sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ lõm đa trị

3 Phương pháp nghiên cứu

2 Phương pháp lặp liên tiếp

Ch ương 1: CÁC KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 1.1 Không gian banach có thứ tự

Vậy " "≤ là một quan hệ thứ tự trên X

Mỗi x∈K \{ }θ gọi là dương

N

∃ > sao cho ∀x y, ∈X x, ≤ thì x y ≤N y

* Xét phiếm hàm Minkovski của tập A:

0

x A

λ ∈

Theo trên ta có:

2

x A

Ta thấy dãy (x1−x n n) đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên hội tụ

Vậy dãy (x n n) hội tụ

Mà K là nón chính qui nên ( )z n n hội tụ Dẫn đến ,

ii) S X: → −∞ +∞ [ ; ) là một hàm đơn điệu tăng (u≤ ⇒v S u( )≤S v( ) ) và bị chặn trên

Vì thế theo nguyên lí Entropy ta có:

Vậy định lí được chứng minh

Từ định lí trên ta có hai hệ quả sau

Hệ quả 1

i) u≤F u( ), F v( )≤ v

ii) F( u v, ) là tập compact tương đối, K là nón chuẩn

Chứng minh

Ta áp dụng định lí cho tập M = u v,

Từ giả thuyết i) ta có: F( u v, )⊂ u v,

Với { }x n ⊂ u v, là dãy tăng ta có:

{F x( )n } có dãy con hội tụ ( vì F( u v, ) là tập compact tương đối )

{F x( )n }

Theo định lí trên thì F có điểm bất động trong u v,

Với { }x n ⊂ u v, là dãy tăng ta có {F x( )n } là dãy tăng và bị chặn trên

Do K là nón chính qui nên {F x( )n } hội tụ

Theo định lí trên thì F có điểm bất động trong u v,

ii) Với mỗi x K∈ thoả α1 0u ≤ ≤x β1 0u (α1( )x >0,β1( )x > và 0)

mỗi 0< <t 1, tồn tại số η η= ( , )x t > sao cho 0

Nếu ta thay điều kiện ii) bởi ii’) như sau:

ii’) Với mỗi x K∈ thoả α1 0u ≤ ≤x β1 0u (α1( )x >0,β1( )x > và 0)

mỗi 0< <t 1, tồn tại số η η= ( , )x t > sao cho ( ) (10 A tx ≤ −η)tAx (2.1.3)

Khi đó ánh xạ A gọi là u0−lồi

2.1.2 Sự duy nhất của điểm bất động

Vậy định lí được chứng minh

2.1.3 Xây dựng dãy lập đơn điệu hội tụ về điểm bất động

Với K là nón trong không gian Banach thực X và u0 >θ Đặt

*Bước 1: Với mỗi 0< <t1 1

Mà điều này mâu thuẫn với (2.1.10)

Vậy lim n 1

→∞ =

* Bước 3 Trở lại chứng minh định lí

Với x0 >θ cho trước, ta xây dựng dãy :

Do (2.1.1) ta có: α0 0u ≤x*= Ax*≤β0 0u , α1 0u ≤ =x1 Ax0≤β1 0u ( 2.1.19) ( với α β α β0, 0, 1, 1 là các số dương)

Thật vậy, áp dụng định lí 1.5.1[2] ta suy ra ngay kết quả

2.1 4 Tính chất của vectơ riêng, giá trị riêng

Định lí 2.1.4

Giả sử :A K → K là ánh xạ u0 −lõm và tăng Khi đó:

1) Nếu x1 =λ1Ax x1, 2 =λ2Ax2 (x i∈K \ { })θ và λ λ1≤ 2 thì x1≤x2

khoảng trong các trường hợp sau:

Ta có: α2 <α1⇔λ λ1< 2 ⇒ ≤x1 x1 ( do 1)

* Ta chứng minh: ∀ ∈ α α α2; 1 đều là giá trị riêng của A

⇔ ∀ ∈ λ λ λ1; 2, Aλ có điểm bất động trong đoạn x x1, 2

Vì A tăng và λ> nên 0 λA: x x1, 2 → K là ánh xạ tăng

b) Do K là nón chuẩn, A compact suy ra λA x x( 1, 2 ) là tập compact tương đối Kết

Vậy định lí được chứng minh

i) Nếu A là dưới tuyến tính mạnh thì A là u0 −lõm

ii) Nếu A là trên tuyến tính mạnh thì A là u0 −lồi

Do đó tồn tại số dương α đủ nhỏ sao cho Ax−αu0∈K ( nghĩa là Ax≥αu0)

Tương tự, do u0∈K0 nên ta có thể chọn số β dương đủ lớn để Ax≤βu0

Vậy với x>θ, ∃ =α α( )x >0,β β= ( )x > sao cho 0 αu0 ≤Ax≤βu0

+ Với x >θ, 0< < Vì t 1 A tx( )tAx nên ta có thể chọn số dương η đủ nhỏ sao cho:

Do đó tồn tại số dương α0đủ nhỏ sao cho:

u ∈K nên ta có thể chọn số β0 dương đủ lớn sao cho Ax≤β0 0u

Vậy với x>θ, ∃α0 =α0( )x >0,β0 =β0( )x >0 sao cho α0 0u ≤Ax≤β0 0u

Với x>θ, 0< < Vì t 1 A tx( )tAx ( hay ( ) 0

Giả sử x1>θ, x2 >θ là hai điểm bất động dương của A mà chúng so sánh được

với nhau, ta có thể coi x1< x2

Do A là u0−tăng nên tồn tại số α >0 sao cho: x2 − =x1 Ax2− Ax1≥αu0

Ta dùng phản chứng Giả sử x∈K0 là điểm bất động khác của A

Do đó t1≥1 và x ≥ x*

x ≤x

TH2 Giả sử A là α −lồi và giảm

Với K là nón chuẩn, ánh xạ A: K0 →K0 là α −lõm và tăng, phương trình

Ax=λx có nghiệm duy nhất trong K0 là xλ Khi đó:

xλ giảm mạnh (nghĩa là 0< <λ λ1 2 ⇒xλ1 xλ2)

xλ liên tục (nghĩa là λ→λ0, (λ0 >0) ⇒ xλ −xλ0 → ) 0

Cuối cùng, ta chứng minh tính liên tục của xλ

Với λ0 >0 cho trước, từ (2.2.19) ta có

0, 0

λ λγ

Với x0∈K0 thỏa 0< x0 < , ta 1 định nghĩa K x( 0)={x∈K: x≥ x x0}

Ta có định lí sau:

Định lí 2.2.5

a) Nếu A:K0 →K0 là α −lõm và tăng thì ∃ > > sao cho: R r 0

b) Nếu A:K0 →K0 là α −lồi và giảm, khi đó

Với x0∈K0 mà 0< x0 < thì 1 ∃ > > sao cho R r 0

0

Với cách đặt trên thì số r thỏa: Ax x≤ , ∀ ∈x K0 , 0< x < r

Thật vậy, nếu tồn tại x∈ thỏa 0 x rK0 < < mà Ax≤x thì do ( )* ta có:

Vậy a) được chứng minh

Ta nói họ { } { }P i , R i có tính chất liên tục nếu

1) Từ limx n =x, limy n = ta luôn có y

Giả sử họ { } { }P i , R i có tính chất liên tục, T: u v o, o → u v o, o là liên tục, đơn

Áp dụng hệ quả và định lí 2.3.1.1, ta có ( )4 Gọi t n là số lớn nhất thỏa n *

s

1 1

2.3.3.1 Trường hợp không gian hữu hạn chiều

Cho các hàm f i :m →, i∈ =I {1, m} ( ), f x i = f x i( 1, ,x m) đơn điệu (có thể không ngặt) theo từng biến

Đặt G i ={j∈I f: i tăng theo biến x j}, H i =I G\ i

Do đó J( {R F Px i ( i '+Q y i ') } )=J( {R F Px i ( i +Q y i ) } ) Vậy F là đơn điệu tổ hợp

2.3.3.2 Toán tử tích phân Urysohn

Xét ánh xạ A L: p( ) L p( ), Ax t( ) K t s x s ds( , , ( ) )

Ω

trong đó Ω ⊂  là tập đo được, bị chặn, m K t s u( , , )> ∀ ∈Ω ∀ > 0 t s, , u 0

Hàm K t s u ( , , ) gọi là đơn điệu suy rộng nếu đối với hầu hết ( )s t, ∈Ω × Ω thì hàm

( )t s, ∈Ω × Ω thì hàm ( )t s, K t s u( , , ) liên tục Khi đó ánh xạ Urysohn là đơn điệu

tổ hợp trên nón các hàm không âm

2) Giả sử K t s u ( , , ) thỏa mãn các điều kiện trong 1) và

Chương 3: MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LÕM ĐA TRỊ

Trong chương này chúng ta khảo sát sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đa trị

0

Đặt P=[ ]u v, ={x∈X u: ≤ ≤ x v}

3.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ uo −lõm đều đơn trị

Định nghĩa 3.1.1

Cho u0 ≥θ Ánh xạ :A P→ P gọi là u0 −lõm đều trên P nếu:

i) A đơn điệu trên P

Do đó: Tồn tại số dương N sao cho ∀x y, ∈K x; ≤ thì x y ≤N y

Tồn tại số dương M sao cho ∀ ∈x P thì x ≤M

Ta xét hai dãy lập sau: x n+1 = Ax n; y n+1 = Ay n với x0 =u y; 0 =v

Do A đơn điệu và x0 ≤ y0 nên

Suy ra { }x n n là dãy tăng, { }y n n là dãy giảm và x n ≤ y n,∀n

Ta chứng minh dãy { }x n n và dãy { }y n nhội tụ Vì X là không gian Banach nên ta chỉ

cần chứng minh { }x n n, { }y n nlà dãy Cauchy

MN MN

Vậy { }x n n, { }y n nlà các dãy Cauchy nên hội tụ

Cho u0 ≥θ Ánh xạ :A P→2P gọi là u0 −lõm đều trên P nếu

i) A đơn điệu trên P

iv) sup Ax tồn tại và thuộc Ax x P∀ ∈

Chứng minh

Xét ánh xạ đơn trị :f P→ P định bởi ( ) supf x = Ax Rõ ràng f được định nghĩa tốt

x là điểm bất động của f thì nó cũng là điểm bất động của A Ta kiểm tra f

thỏa các điều kiện của định lí 3.1.1

Do A là tăng nên ta có f cũng tăng

Trong định lí 3.2.1 ta có thể giảm bớt giả thuyết sup Ax tồn tại và thuộc

Định nghĩa 3.2.3

Với ,A B⊂ X ta định nghĩa A B⇔ ∀ ∈ ∀ ∈a A, b B a: ≤b

Ánh xạ :F X →2X gọi là tăng nếu x y≤ thì Fx Fy

Định nghĩa 3.2.4

Cho u0 ≥θ Ánh xạ :A P→2P gọi là u0 − lõm đều trên P nếu

Tồn tại số dương M sao cho x ∀ ∈ thì x P ≤M

Ta xét hai dãy lập sau: x n+1 = Ax n; y n+1 = Ay n với x0 =u y; 0 =v

Do A đơn điệu và x0 ≤ nên y0 x0 ≤ ≤ ≤x1 x n ≤ ≤ y n ≤ ≤ y1≤ y0

Suy ra { }x n n là dãy tăng, { }y n n là dãy giảm và x n ≤ y n,∀n

Ta chứng minh dãy { }x n n và dãy { }y n nhội tụ Vì X là không gian Banach nên ta chỉ

cần chứng minh { }x n n, { }y n nlà dãy Cauchy

Chọn λ∈( )0;1 sao cho x0 ≥λy0 Chọn ε đủ nhỏ sao cho 1

MN MN

Vậy { }x n n, { }y n nlà các dãy Cauchy nên hội tụ

KẾT LUẬN

động của ánh xạ lõm đa trị tăng Tuy nhiên chúng tôi chưa có điều kiện trình bày các ứng dụng của kết quả trên vào các lớp phương trình cụ thể

2) Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ lồi đa trị

TÀI LIỆU THAM KHẢO