một nghiên cứu didactic về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian

Ghi nh ận ban đầu và câu hỏi xuất phát Kinh nghiệm giảng dạy của tôi và đồng nghiệp thường gặp một số nhận định sai lầm của học sinh khi học HHKG lớp 11: - Hai đường thẳng song song là

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS ĐOÀN HỮU HẢI

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 THƯ

VIỆN

tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học và thời gian thực hiện luận văn Cảm ơn các bạn, các anh chị trong khóa Didactic 18, đã giúp đỡ, cùng nhau chia sẽ những khó khăn, kinh nghiệm trong

thời gian học ở trường

Luận văn không thể hoàn thành nếu không có sự giúp đỡ, góp ý kiến của Thầy Đậu Văn Duy trường Trưng Vương, Thầy Bùi Đức Tước Hoàn trường Lê Qúi Đôn thành phố Hồ Chí Minh và các

em học sinh lớp 11A1, 11A2, 11A3 của hai trường trong phần thực nghiệm luận văn

Cuối cùng, xin dành trọn tấm lòng của người con đối với ba mẹ, những người thân trong gia đình và anh Trần Anh Tuấn, người đã luôn bên cạnh động viên, khuyến khích, giúp đỡ tôi trong

suốt thời gian học tập ở thành phố

DANH M ỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

HHKG : Hình h ọc không gian HHP : Hình h ọc phẳng

SBT : Sách bài t ập VTTĐ : V ị trí tương đối

M Ở ĐẦU

1 Ghi nh ận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Kinh nghiệm giảng dạy của tôi và đồng nghiệp thường gặp một số nhận định sai lầm của học sinh khi học HHKG lớp 11:

- Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung

- Hai đư ờng thẳng không song song ho ặc có điểm chung trên hình vẽ thì cắt nhau

- Một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cũng cắt đường thẳng còn lại

- Hai đường thẳng không nằm trong cùng một mặt phẳng nhìn thấy trên hình thì không đồng

phẳng

- Hai mặt phẳng song song thì các đường thẳng chứa trong nó cũng song song…

Cuốn phương pháp dạy học môn toán có nhận định: “Do đã có một giai đoạn dài học hình học

ph ẳng nên việc quen tư duy theo kiểu hình học phẳng cũng là trở ngại, gây bỡ ngỡ khi học hình học không gian Hình h ọc không gian gắn liền với hình biểu diễn, nhưng các nguyên tắc vẽ phối cảnh không d ễ nắm được ngay và hình biểu diễn không hoàn toàn trực quan như hình học phẳng ” [10,

tr.115]

Cũng với tinh thần này, Sách Giáo viên hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục, 2009 viết: “Ở

l ớp 10 và đầu lớp 11, học sinh chỉ học hình học phẳng, nay học hình học không gian sẽ gặp rất nhi ều khó khăn” [17, tr 42]

Những quan sát có được đã gợi ra cho chúng tôi những câu các hỏi sau:

- Ngu ồn gốc những nhận định trên của học sinh cũng như khó khăn mà hai cuốn sách nói đến là gì?

- Li ệu chúng ta có thể giải thích được những hiện tượng đó không?

- Và n ếu có thì giải quyết bằng công cụ nào?

Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ, chúng tôi chỉ dám dừng lại ở việc nghiên

cứu đối tượng là VTTĐ giữa hai đường thẳng trong dạy học HHKG ở trường phổ thông bằng phương pháp tổng hợp Chọn đường thẳng để nghiên cứu mối quan hệ giữa chúng, xuất phát từ những lý do sau:

- Đây là một đối tượng HS đã nghiên cứu kỹ trong HHP và được tiếp xúc nhiều trong thực tế Trong HHKG, mối quan hệ hai đường thẳng lại phức tạp hơn nhiều

- Thêm nữa, việc xét mối quan hệ giữa hai đường thẳng liên quan đến một loạt các kiểu nhiệm

vụ khác như: chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, chứng minh hai mặt phẳng song song, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng,…

2 M ục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là đi tìm câu trả lời cho những câu hỏi trên bằng việc nghiên cứu chương trình HHKG mà giới hạn là VTTĐ giữa hai đường thẳng Cụ thể hơn những câu hỏi đó là:

1 VTTĐ giữa hai đường thẳng đã được các sách và chương trình toán phổ thông xây dựng như thế nào? Các thuộc tính đặc trưng của chúng là gì? Yêu cầu của nó đối với HS?

2 Việc dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian ở trường phổ thông đã xuất

hiện những kiểu nhiệm vụ nào? Đâu là kiểu nhiệm vụ trọng tâm?

3 Những khó khăn của HS khi tiếp xúc với đối tượng trên là gì? Có thể tìm ra nguyên nhân và

giải thích sai lầm được không?

3 Ph ạm vi lý thuyết tham chiếu

Những vấn đề gợi ra ở trên liên quan đến việc dạy học hình học không gian ở trường phổ thông Việt nam Do đó, chúng tôi chọn công cụ là lý thuyết nhân chủng học (quan hệ thể chế, quan

hệ cá nhân) để tham chiếu Tìm và giải thích những khó khăn bằng công cụ lý thuyết tình huống với khái niệm sai lầm và chướng ngại Cuối cùng, để thấy được những ứng xử của học sinh với một

dạng bài tập nào đó, chúng tôi sử dụng công cụ hợp đồng didactic Cụ thể:

3.1 Thuy ết nhân học

Công cụ cho chúng tôi biết đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng được trình bày như thế nào trong chương trình Mối quan hệ của nó với các đối tượng khác (điểm, mặt phẳng) và với việc tiếp thu kiến thức của HS

Khi xuất hiện quan hệ hai chéo nhau giữa hai đường thẳng và khái niệm hai đường thẳng song song đã thay đổi, buộc HS phải điều chỉnh mối quan hệ của mình với các đối tượng cho phù hợp Hơn

nữa, đường thẳng có thể sống trong hai thể chế khác nhau (dạy học hình học phẳng và hình học không gian) và do đó nó phải tuân theo sự ràng buộc của thể chế, phải biến đổi phù hợp với yêu cầu của thể

chế

Việc tiếp cận các hoạt động toán học theo mô hình tổ chức [T, , ,τ θ Θ] đã hình thành một hệ

thống các kiểu nhiệm vụ xác định Và chúng tôi muốn tìm hiểu có bao nhiêu kiểu nhiệm vụ liên quan, kiểu nhiệm vụ nào thường gặp,…

3.2 Sai l ầm và chướng ngại

Ngoài những sai lầm mang tính cá nhân, do thiếu kiến thức thì có những sai lầm của HS khiến chúng ta phải quan tâm vì nó không phải ngẫu nhiên được sinh ra Những sai lầm này thuộc về kiến

thức và là biểu hiện của kiến thức

Nghiên cứu lý thuyết tình huống đã cung cấp cho chúng tôi một công cụ để nghiên cứu sai

lầm, khó khăn của HS khi học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian, biết đâu là chướng

ngại tránh được và không tránh được

3.3 H ợp đồng didactic

Tìm và giải thích những quy tắc hợp đồng đã hình thành trong SGK Ứng với một tình huống

mới lạ về đường thẳng, HS có tìm cách phá vỡ hợp đồng đã hình thành trước hay không? Phản ứng

của các em như thế nào?

Trên khung lý thuyết này, các câu hỏi ban đầu được trình bày lại là:

'

1

'

2

'

3

như thế nào đến quan hệ cá nhân học sinh? Những qui tắc hợp đồng nào được hình thành từ cách trình bày này?

4 Phương pháp nghiên cứu

Với luận văn này, chúng tôi thực hiện đồng thời các nghiên cứu sau:

Để trả lời cho '

1

Q, chúng tôi nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến VTTĐ giữa hai đường

thẳng, các vấn đề về hình vẽ và qui tắc vẽ hình trong dạy học HHKG

Nghiên cứu thể chế dạy học HHKG ở Việt nam qua việc phân tích chương trình, bộ sách giảng

dạy hiện hành gồm SGK, SGV, SBT lớp 8 và lớp 11 để trả lời cho '

2

Q Việc nghiên cứu này thực hiện trên khung l ý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu được trình bày ở phần trước Trên cơ sở đó hình thành giả thuyết nghiên cứu Cuối cùng, giả thuyết được kiểm nghiệm bằng thực nghiệm xây dựng

ở chương 3

5 Ý ngh ĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Nghiên cứu những khó khăn, sai lầm của học sinh khi tiếp thu nội dung dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian là một đề tài thiết yếu Nó không chỉ cho phép chúng tôi hiểu một cách sâu sắc nội dung chương trình, giải thích cho các khái niệm didactic mà còn mang lại những kinh nghiệm bổ ích cho việc dạy học về sau

6 T ổ chức của luận văn

Luận văn gồm những phần sau:

M ở đầu: Trình bày những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu,

mục đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận văn và ý nghĩa khoa học của đề tài

Chương 1: Trình bày tóm t ắt những công trình nghiên cứu, các tài liệu liên quan

Chương 2: Phân tích quan hệ thể với đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian

ở trường phổ thông Việt nam Cụ thể:

VTTĐ giữa hai đường thẳng trong chương trình, SGK, SGV được trình bày ra sao, hệ thống

ký hiệu, quy ước, khái niệm, định nghĩa, các tính chất,…Phân tích các tổ chức toán học được xây

dựng, tổ chức nào chiếm vị trí quan trọng

Trên cơ sở này, chúng tôi sẽ tìm ra những khó khăn, sai lầm của HS có thể mắc phải Những sai lầm nào có thể giải thích bằng công cụ didactic Cuối cùng hình thành giả thuyết nghiên cứu

Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệ m trên đối tượng là HS P hân tích tiên nghiệm các tình

huống đã nêu, phân tích hậu nghiệm từ kết quả thu được nhằm kiểm chứng giả thuyết

K ết luận: Tóm tắt, đánh giá các kết quả thu được, hướng nghiên cứu mở ra

Tài li ệu tham khảo

Chương 1:

NH ỮNG VẤN ĐỀ VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG VÀ

HÌNH V Ẽ TRONG KHÔNG GIAN

1.1 M ục đích của chương

Mục đích của chương là tổng hợp các công trình nghiên cứu như: cách xây dựng VTTĐ giữa hai

đường thẳng, phép chiếu song song và hình biểu diễn của chúng trong một số giáo trình Từ đó tạo cơ

sở lý luận cho việc phân tích chương 2

Tài liệu mà chúng tôi sử dụng là:

- Giáo trình hình h ọc họa hình (1988), V O GÔCĐÔN, M, A XEMEXNÔP- OGHIEPXKI,

NXB Mir Maxcova (Nguyễn Đình Điện, Hoàng Văn Thân dịch)

- Elementary mathematics (1978), Translated from Russian by George Yankoisky, Mir

publishers Moscow

- Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông, Lê Thị Hoài Châu (2004),

Nxb Đại học quốc gia Tp Hồ Chí Minh

- Hình h ọc không gian, thực trạng về việc đọc hình vẽ của học sinh cuối cấp trung học cơ sở,

Hamid CHAACHOUA

- Các phép bi ến hình trong mặt phẳng (2004), Nguyễn Mộng Hy, Nxb giáo dục

1.2 M ột nghiên cứu về cách xây dựng VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian

Trong cuốn Elementary mathematics thì:

Hai đường thẳng trong không gian có các vị trí tương

đối khác nhau Chúng có thể có một điểm chung Vì thế chúng

hoàn toàn nằm trên cùng một mặt phẳng, để tạo thành một

mặt phẳng, có thể vẽ qua ba điểm: điểm A, giao điểm của hai

đường thẳng, điểm B và C được lấy tương ứng trên hai đường thẳng n, m Mặt phẳng sẽ chứa cả hai đường thẳng

vì nó có hai điểm chung với mỗi đường

Bây giờ giả sử các đường thẳng không có bất kỳ điểm chung nào Điều này không có nghĩa là

chúng song song, bởi vì sự xác định tính song song qui định rằng các đường thẳng phải cùng nằm

trên một mặt phẳng

Để giải quyết câu hỏi các đường thẳng xác định vị trí như thế nào, vẽ mặt phẳngλqua một

trong hai đường, m chẳng hạn, và qua một điểm A tùy ý trên đường thẳng còn lại Hai trường hợp

có thể xảy ra:

(1) Mặt phẳngλ tạo thành chứa toàn bộ đường thẳng thứ hai (hình 324) Khi ấy, các đường

thẳng m và n thuộc cùng một mặt phẳng và không giao nhau, vì vậy chúng song song

(2) Mặt phẳngλcắt đường thẳng tại điểm A Khi ấy, hai đường thẳng không nằm trên một mặt

phẳng Những đường thẳng như vậy gọi là những đường thẳng chéo nhau (hình 325)

Tóm lại: có ba trường hợp có thể có về VTTĐ của hai đường thẳng:

1 Chúng nằm trên một mặt phẳng và cắt nhau

2 Chúng nằm trên một mặt phẳng và song song

3 Chúng chéo nhau, nghĩa là chúng không nằm trên cùng một mặt phẳng

Như vậy, khái niệm được trình bày thông qua tình huống xây dựng mặt phẳng chứa đường

thẳng để khái quát các VTTĐ giữa hai đường thẳng mà không nêu định nghĩa của chúng Liệu chương trình, SGK phổ thông Việt Nam có đi theo con đường này hay chỉ nêu định nghĩa bằng cách

chỉ ra đặc trưng của khái niệm

1.3 Phép chi ếu song song và vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Phần này được viết theo Giáo trình hình học họa hình (1988)

Lấy một mặt phẳng (P) làm mặt phẳng hình chiếu Nếu các đường thẳng chiếu là những đường

thẳng song song thì phép chiếu được gọi là phép chiếu song song Có thể vẽ hình chiếu của một đường bằng cách vẽ hình chiếu của một số điểm của nó Các đường thẳng chiếu vẽ qua các điểm này sẽ tạo thành một mặt gọi là mặt chiếu Giao của mặt chiếu với mặt phẳng hình chiếu là hình chiếu cần vẽ Để xác định phép chiếu song song trước hết phải chỉ rõ hướng chiếu

Hình chiếu song song của một điểm là giao điểm của đường thẳng chiếu, vẽ song song với hướng đã cho, với mặt phẳng hình chiếu Muốn có hình chiếu song song của một đường nào đó, ta

vẽ hình chiếu của một số điểm của nó rồi nối chúng lại thành một đường

1.3.1 Nh ững tính chất của phép chiếu song song

1 Mặt chiếu của một đường thẳng trong trường hợp chung là một mặt phẳng

2 Mỗi điểm và mỗi đường trong không gian có một hình chiếu duy nhất

3 Mỗi điểm trên mặt phẳng hình chiếu là hình chiếu của mọi điểm của đường thẳng chiếu đi qua nó

4 Mỗi đường trên mặt phẳng hình chiếu là hình chiếu của mọi đường của mặt chiếu đi qua nó

HÌNH 78

5 Muốn vẽ hình chiếu của đường thẳng ta chỉ cần vẽ hình chiếu hai điểm của nó

6 Nếu một điểm thuộc đường thẳng thì hình chiếu của điểm thuộc hình chiếu của đường thẳng

đó

7 Nếu đường thẳng song song với hướng chiếu thì hình chiếu của nó là một điểm

8 Một đoạn thẳng thuộc đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu sẽ được chiếu thành

một đoạn thẳng có độ dài bằng nó

Từ hình chiếu song song của các điểm và đường ta suy ra cách vẽ hình chiếu song song của các mặt và các vật thể

1.3.2 VTTĐ giữa hai đường thẳng qua phép chiếu song song

Đường thẳng song song: “hình chiếu của hai đường thẳng song song thì song song Nếu các

đường thẳng AB và CD song song nhau (hình 78) thì các mặt phẳng chiếu Q và R song song và giao c ủa chúng với mặt phẳng hình chiếu P là các hình chiếu a b p p,c d p p song song nhau

Nhưng, giả sử a b p p//c d p p (hình 78) thì nh ững đường thẳng nhận chúng làm hình chiếu có thể

là không song song nhau: ví d ụ đường thẳng AB không song song với C D ” 1 1 [26, tr 46]

Đường thẳng cắt nhau: “nếu những đường thẳng cắt nhau thì thì các hình chiếu cùng tên của

chúng c ắt nhau tại điểm là hình chiếu của giao điểm của những đường thẳng ấy Thực vậy (hình 82), n ếu điểm K thuộc cả hai đường thẳng AB và CD thì hình chiếu của K phải là giao điểm của hình chi ếu của AB và CD”

Điều kiện ắt và đủ để khẳng định các đường thẳng cắt nhau là: “giao điểm của các hình chiếu

cùng tên cùng n ằm trên một đường thẳng vuông góc với trục hình chiếu tương ứng (hình 83), hay trên

đồ thức không có trục chiếu (hình 84), cùng nằm trên một đường gióng” [26, tr 47]

Đường thẳng chéo nhau: “là những đường thẳng không cắt nhau và không song song nhau

Hình 86 bi ểu diễn hai đường thẳng chéo nhau mặc dù các hình chiếu cùng tên của chúng cắt nhau nhưng các giao điểm không thể nối được bằng một đường song song với các đường gióng l’l và m’m t ức là những đường thẳng ấy không cắt nhau” [26, tr 48]

1.4 Nh ững vấn đề đặt ra về hình vẽ

Phần này đươc viết theo bài báo: Hình học không gian, thực trạng về việc đọc hình vẽ của học

sinh cu ối cấp trung học cơ sở, Hamid CHAACHOUA

1.4.1 V ấn đề biểu thị đối tượng không gian

Xét hình vẽ là mô hình của một đối tượng HHKG Mô hình này gồm tập hợp các tính chất hình học được biểu diễn bởi một số tính chất không gian của hình vẽ (lĩnh vực hoạt động) và tập

hợp các tính chất không gian của hình vẽ không thể giải thích được cũng như phản ánh vào các tính

chất của đối tượng (lĩnh vực giải thích)

Các đối tượng hình học không gian vốn ba chiều được thể hiện bằng các hình vẽ trên tờ giấy hai chiều thông qua một hay nhiều phép chiếu Trong trường hợp chỉ có một phép chiếu thì thông tin sẽ bị thất thoát Do đó, cần phải vận dụng một số qui tắc để đọc-hiểu và viết ra các sự thể hiện

đó, như Bkouche đã nói:

“M ột tình huống không gian xuất hiện qua sự thể hiện, và sự thể hiện này biến tình huống đó thành m ột hình phẳng, do vậy cần có qui tắc để giải thích, qui tắc viết và qui tắc đọc…Trong điều

ki ện này, việc tiếp cận tình huống không gian thông qua trung gian sự thể hiện phẳng không còn dựa vào s ự hiển nhiên nữa như trong trường hợp hình học phẳng Vì thế cần hoàn chỉnh phương pháp suy lu ận phức tạp hơn”

Do vậy, vấn đề hình vẽ trong hình học không gian, trong quá trình dạy học bị lệ thuộc vào sự lựa

chọn phương thức thể hiện đối tượng không gian Giữa nhiều cách thể hiện phẳng đối tượng không gian thì phối cảnh song song cho phép “giữ lại” các tính chất (song song, trung điểm, quan hệ đo đạc các đoạn thẳng song song) nhiều nhất

Trong hoạt động liên hệ giữa một đối tượng hình học không gian và hình vẽ thể hiện nó có sự can thiệp của một đối tượng khác: đó là đối tượng hình học phẳng chiếu trên một mặt phẳng của đối tượng hình học không gian Sơ đồ sau cho thấy tính chất phức tạp của các quan hệ được thiết lập trong việc mô hình hóa

Không gian vật lý

Mô hình hình học

Kết hợp một đối tượng HHP với một đối tượng HHKG nhờ một phép chiếu lên mặt phẳng và hình vẽ như là sự biểu diễn vật liệu của phép chiếu này

1.4.2 Đường thẳng qua bước chuyển từ đối tượng hình học sang hình vẽ

Bước chuyển từ đối tượng hình học không gian sang hình vẽ thể hiện nó được thực hiện thông qua việc thể hiện một số tính chất hình học của đối tượng thành các quan hệ không gian trên hình

vẽ Chức năng này tương đương với giai đoạn chủ thể thực hiện một hình vẽ nhằm thể hiện dữ kiện bài toán, tùy thuộc vào lĩnh vực vận hành của hình vẽ - mô hình đối tượng hình học

Tính ch ất hình học của hình không gian

Tính ch ất hình học của hình phẳng

Tính ch ất không gian của hình vẽ

Hai đường thẳng song song, hoặc cắt nhau của hình không gian qua phép chiếu trở thành hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau và trong không gian của hình vẽ, chúng là hai đoạn thẳng song song hoặc cắt nhau Như vậy, nếu dừng lại ở phối cảnh ước lệ thì lĩnh vực vận hành của hình

vẽ sẽ rất hạn chế

1.4.3 Đường thẳng qua bước chuyển từ hình vẽ sang đối tượng hình học

Chúng ta biết rằng hình vẽ không thể bao quát hết tình huống Tuy nhiên, nếu sử dụng hình vẽ như mảnh đất thực nghiệm khi giải bài toán thì vấn đề giải thích các tính chất không gian như là các tính chất hình học sẽ được đặt ra

Hình không gian

Đối tượng

vật chất Hình vẽ

Các hình

phẳng

Trong HHKG, phạm vi giải thích của một hình vẽ là rất hẹp và nó hoạt động theo một logic khác với logic được dùng để giải thích một hình vẽ của hình học phẳng Thật vậy, khi xem xét các qui

tắc của phép phối cảnh, chúng tôi ghi nhận:

- Nếu hai đoạn thẳng biểu diễn hai đường thẳng mà cắt nhau thì các đường thẳng không song song

- Nếu hai đoạn thẳng biểu diễn hai đường thẳng mà song song thì các đường thẳng có thể không song song

- Nếu ba điểm biểu diễn ba điểm A, B và C của không gian không thẳng hàng trên hình vẽ thì các điểm A, B và C không thẳng hàng

1.5 M ột số khái niệm liên quan

Đồ thức: Bản vẽ có được bằng cách gập mặt phẳng hình chiếu bằng H vào mặt phẳng hình

chiếu đứng V như từ hình 10 sang 12 gọi là đồ thức hay là bản vẽ trong hệ thống V, H Khi đó, các hình chiếu '

a và a sẽ cùng nằm trên một đường thẳng gọi là đường gióng của điểm A

Hình: Theo nghĩa toán học: hình là “một tập hợp điểm”

“Vi ệc hiểu hình theo nghĩa tập hợp còn giúp ta hiểu thêm một số khái niệm khác có liên quan đến lý thuyết tập hợp như giao của hai hình hay nhiều hình, một điểm A thuộc hình H”, …[13, tr 5-

6]

Hình hình h ọc

- Là những hình được mô tả qua các tiên đề, định nghĩa, tính chất

- Các khái niệm hình học như điểm, đường thẳng là sản phẩm của sự trừu tượng hóa các đối tượng hiện thực Các hình hình học chỉ có trong ý thức con người [18, tr 8]

Hình v ẽ

- Là biểu diễn phẳng của các hình hình học

- Là mô hình của một đối tượn g hình học Hình vẽ không thể phản ánh đúng những tính chất hình học vốn có đối với mọi bài toán

- Là bản vẽ vật chất của các hình hình học, đối với các hình vẽ này, số đo giữ vai trò trung tâm [22, tr 8]

Theo [4, tr 189] thì: “V ới tư cách là phương tiện biểu diễn, hình vẽ là hình biểu diễn cho một đối tượng có thể dựng được của thực tế và là hình biểu diễn của những khái niệm trừu tượng”

Bước chuyển từ quan điểm thực nghiệm sang quan điểm tiên đề của hình vẽ trong dạy học được thực hiện như sau:

“Khi chuy ển từ quan điểm thực nghiệm sang quan điểm tiên đề trong trình bày hình học, người ta đã mặc nhiên yêu cầu học sinh phải chuyển cách nhìn các hình vẽ từ cơ chế thứ nhất sang

cơ chế thứ hai Bước chuyển này không dễ dàng nhưng nó lại thường không được dự kiến trong các chương trình và sách giáo khoa” [4, tr 189]

Ki ến thức hình học và kiến thức không gian

Trong giảng dạy hình học, kiến thức hình học là kiến thức thuộc về toán học, nó gắn liền với các tiên đề, định nghĩa, định lí và các phép suy luận Còn kiến thức không gian theo Berthelot và Salin, đó

là: “nh ững kiến thức mà hình học có thể mô tả, và chúng cho phép mỗi cá nhân cảm nhận và kiểm soát được hệ quả của những tác động của mình lên không gian, cũng như có được trao đổi các thông tin”

[3, tr 8]

1.6 K ết luận chương 1

Việc tiếp cận VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian qua trung gian là HHP không còn d ựa vào sự hiển nhiên khi tiếp cận hình vẽ như trước nữa Cần có một phương pháp suy luận để đọc, hiểu và

thể hiện nó Nếu chọn phép chiếu song song thì:

Hai đường thẳng song song song trong không gian được thể hiện bằng hai đoạn thẳng song song trong HHP Tuy nhiên, trong hình vẽ, hai đoạn thẳng song song thì trong không gia n, chúng có thể không song song

Ngược lại nếu hai đoạn thẳng cắt nhau trên hình vẽ thì các đường thẳng trong không gian không song song Như vậy, tùy phương chiếu sẽ cho mô hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau:

Điều này có thể giải thích tại sao khi vẽ hình biểu diễn của tứ diện có thể có một hoặc hai cặp cạnh đối diện song song

Việc dùng phép chiếu song song để biểu diễn hình không gian lên mặt phẳng có thể mang lại

những sai lầm do trực giác Yêu cầu hình biểu diễn đúng theo các tính chất của phép chiếu song song

kết hợp với yêu cầu chọn hình biểu diễn trực quan

B

C D

A'

B'

C' D'

'

2

hai đường thẳng được đề cập ra sao, có những thuộc tính đặc trưng nào? Các tổ chức toán học liên quan?

'

3

2.2 Gi ai đoạn 1: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong Toán 8

Trong SGK 8, VTTĐ giữa hai đường thẳng được đưa vào Chương IV: Hình lăng trụ đứng – Hình chóp đều Theo [7, tr 108]: “Ở chương này các tác giả chỉ giới thiệu cho HS một số vật thể

trong không gian thông qua các mô hình Trên c ơ sở quan sát HHCN, HS nhận biết được một số khái ni ệm cơ bản của HHKG:

- Điểm, đường thẳng và mặt phẳng

- Đoạn thẳng trong không gian, cạnh, đường chéo

- Hai đường thẳng song song với nhau

- Đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song…”

Yêu cầu của SGV: “Khi dạy HHKG, cần phải luôn liên hệ với HHP, từ đó: so sánh, mở rộng

nh ững khái niệm, tính chất đã học trong HHP vào HHKG” [7, tr 110]

2.2.1 M ặt phẳng và đường thẳng trong giai đoạn 1

Trên cơ sở quan sát HHCN, SGK cho HS nhận biết được một số khái niệm cơ bản của HHKG:

- Điểm như là các đỉnh của hình hộp

- Các cạnh như là đoạn thẳng

- Mỗi mặt, chẳng hạn mặt ABCD là một phần của mặt phẳng (ta hình

dung mặt phẳng trải rộng về mọi phía)

C D

C' D'

- Đường thẳng qua hai điểm của mặt thì nằm trọn trong mặt phẳng đó

Như vậy, theo cách trình bày của SGK thì mặt phẳng như là mặt bên, mặt đáy của hình hộp chữ

nhật nên mặt có dạng hình bình hành hay hình chữ nhật Không xét trường hợp mặt phẳng có mô hình biểu diễn là tam giác Các đường thẳng chủ yếu nằm trên các mặt bên của hình hộp là các đường quan sát được trên hình, không thấy xuất hiện các đường thẳng của mặt chéo

2.2.2 Hình thành khái ni ệm VTTĐ giữa hai đường thẳng trong giai đoạn 1

Qua việc quan sát hình, SGK phân biệt ba vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt a, b như sau:

a) C ắt nhau (H.a) Chẳng hạn DD' vàA D' 'cắt nhau ởD', chúng cùng nằm trong mặt phẳng

Theo cách xác định mặt phẳng ở trên, liệu HS có cho rằng: “không cùng nằm trong một mặt

phẳng nào” tức là không cùng nằm tro ng một mặt bên của hình hộp hay không? Chúng tôi không

thấy có thêm câu hỏi khác để cũng cố ba vị trí tương đối trên SGV cũng công nhận rằng hai đường

thẳng chéo nhau là “một khái niệm khó, vì vậy chỉ có thể đưa ra một mô hình để học sinh quan sát”

[7, tr 113]

Không đề cập các tiên đề của HHKG, không định nghĩa hai đường thẳng cắt nhau, hai đường

thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng mà chỉ đưa ra định nghĩa hai đường thẳng song song qua hai đặc trưng đồng phẳng và không có điểm chung

“Trong không gian, hai đường thẳng a và b gọi là song song với nhau nếu chúng nằm trong cùng m ột mặt phẳng và không có điểm chung”

Một tính chất của nó: “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba

thì chúng song song v ới nhau” [6, tr 98]

Đây là một tính chất đúng trong HHP cũng như trong HHKG Khi đưa tính chất này vào chương trình, SGK không chú ý gì thêm, liệu HS có nhầm lẫn khi cho rằng có thể áp dụng những tính chất trong HHP vào HHKG?

Về hai đường thẳng song song trong không gian, SGV có những lưu ý như sau:

“Trong HHP, h ọc sinh đã được làm quen với hai đường thẳng song song với hai điều kiện Thực

ti ễn ở trường học cho thấy học sinh chỉ còn nhớ hoặc chú ý đến điều kiện thứ hai vì điều kiện thứ nhất được xem là hiển nhiên (cùng nằm trong mặt phẳng)

…Khái ni ệm hai đường thẳng song song trong không gian hoàn toàn giống như khái niệm hai đường thẳng song song trong hình phẳng (thực chất là hình phẳng), tuy nhiên trong không gian, khi

đề cập đến hai đường thẳng song song phải căn cứ vào hai tính chất đặt thù của nó: bỏ sót tính chất

th ứ nhất (cùng nằm trong một mặt phẳng) sẽ dẫn đến khái niệm hai đường thẳng chéo nhau…” [7, tr

Quan sát hình  nh ận xét tính chất hình  khái niệm mới  c ủng cố

2.2.3 Các t ổ chức toán học liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng

Các bài tập SGK, SBT đưa ra đều sử dụng mô hình là hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình lăng trụ Không có bài tập yêu cầu chứng minh tính chất, yêu cầu vẽ hình “Chương trình

không yêu c ầu HS biểu diễn hình không gian nhưng việc qua sát hình, việc “đọc” hình là cần thiết”

T : Vẽ thêm các cạnh để được một hình hoàn chỉnh

Thống kê số lượng nhiệm vụ của ba kiểu nhiệm vụđược nêu trongBảng 2.1

Như vậy, nhiệm vụ tìm hai đường thẳng song song và hai mặt phẳng song song chiếm số lượng

lớn trong SGK Kỹ thuật chung đối với hai dạng bài tập này là quan sát hình vẽ để nhận ra quan hệ

giữa các đối tượng HS chưa được học các “dấu hiệu nhận biết” để áp dụng vào chứng minh như trong HHP Các dạng bài tập trên có thể quy về loại bài tập nhận dạng hình và đọc hình

Hai nhiệm vụ tìm đường thẳng cắt nhau và không cùng nằm trong một mặt phẳng không được nói đến trong SGK nhưng lại được đề cập nhiều trong SBT Liệu những kiến thức SGK cung cấp có

đủ cho HS giải được những bài tập này không?

PHÂN TÍCH CHI TI ẾT

Ki ểu nhiệm vụ T1: Tìm hai đường thẳng song song

K ỹ thuật: Quan sát hình vẽ để xác định cặp cạnh cùng nằm trong một mặt phẳng và không

có điểm chung

Công ngh ệ: Định nghĩa hai đường thẳng song song trong không gian và tính chất: hai đường

thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau

Bài 6/SGK/Tr.100: ABCD A B C D 1 1 1 1 là một hình lập phương (h.81)

Quan sát hình và cho biết

a Những cạnh nào song song với cạnh C C1

b Những cạnh nào song song với cạnh A D1 1

L ời giải mong đợi: a AA ; 1 BB1 ; DD 1 b BC B C; 1 1; AD

Nh ận xét T1: Đây là dạng bài tập nhận dạng và đọc hình đơn giản, kỹ thuật không được nêu trong SGK HS không được đối diện với kiểu bài tập nhận dạng hai đường thẳng song song trong không gian thực Như vậy việc vận dụng kiến thức đã học vào việc nhận dạng hai đường thẳng song song trong không gian không thuộc về trách nhiệm của HS

Ki ểu nhiệm vụ T2: Tìm hai đường thẳng cắt nhau

K ỹ thuật: Quan sát hai đường có cùng nằm trên một mặt phẳng và có điểm chung hay không Công ngh ệ: Khái niệm hai đường thẳng cắt nhau

Bài 10/SBT/Tr.107: ABCD A B C D 1 1 1 1 là một hình lập phương

a Khi nối A với C1 và B với D1 thì hai đường thẳng AC1và BD1có cắt nhau hay không?

b AC1và A C1 có cắt nhau hay không?

c Câu hỏi tương tự như câu b) với BD1 và A A1

A B

C D

A1

B1

Nh ận xét: Bài tập không yêu cầu chứng minh hai đường thẳng cắt nhau mà dưới dạng câu hỏi

mở: “có, không” Không yêu cầu giải thích câu trả lời

L ời giải mong đợi

a Bốn điểm A B C D, , 1, 1 thuộc một mặt phẳng Dễ thấyABC D1 1là một hình bình hành

cóAC BD1, 1 là hai đường chéo nên chúng cắt nhau

b Tương tự câu a)AC1, A C1 là hai đường chéo của hình chữ nhậtAC C A1 1 nên chúng cắt nhau

c Không cắt nhau

Nh ận xét T2: Kỹ thuật và nhiệm vụ không được xây dựng trong SGK Tình huống đưa ra có sự

xuất hiện mặt phẳng như là mặt chéo, đường thẳng là đường chéo của hình hộp, điều này không được nói đến trong SGK Các đường thẳng cắt nhau được giải thích là đường chéo của hình bình hành, hình

chữ nhật Lý do hai đường thẳng không cắt nhau (ở đây là chéo nhau) lại không được giải thích Như

vậy, HS không có trách nhiệm giải thích về sự không cắt nhau của hai đường thẳng

Ki ểu nhiệm vụ T3: Tìm hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng

K ỹ thuật: Quan sát hình vẽ để nhận ra các đường không cùng nằm trong một mặt phẳng và

thỏa yêu cầu bài toán

Công ngh ệ: Khái niệm hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng

Bài 21/SBT/Tr.109: Tìm trên hình hộp chữ nhật ABCD A B C D 1 1 1 1một ví dụ cụ thể để chứng tỏ mệnh

đề sau là sai: hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường

thẳng thứ ba thì song song với nhau

Nh ận xét: Bài tập xét mối quan hệ giữa tính song song và vuông góc trong không gian Nắm

được tính chất hình hộp chữ nhật để suy ra bất kỳ hai cạnh nào của hình hộp hoặc là song song hoặc vuông góc Có thể tìm một đường thẳng bất kỳ, sau đó tìm hai đường thẳng còn lại vuông góc với đường thẳng đó và không song song với nhau

L ời giải mong đợi: A A1 ⊥ AB và A A1 ⊥AD nhưng AB và AD không song song với nhau

Mệnh đề sai

Bài 7/ SBT /Tr.106: Tìm trên hình hộp chữ nhật

1 1 1 1

ABCD A B C D một ví dụ cụ thể để chứng tỏ mệnh đề sau đây là sai:

a Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cũng cắt đường thẳng kia

b Hai đường thẳng song song khi chúng không có điểm chung

Nh ận xét: Đây là hai tính chất trong HHP mà không đúng trong HHKG Bài tập xét mối quan

hệ giữa tính song song và có điểm chung của hai đường thẳng

L ời giải mong đợi

a Chẳng hạn AB//CD và BB1cắt AB nhưng nó không cắt CD Mệnh đề a) sai

b Chẳng hạn hai đường thẳng DC và BB1 không có điểm chung nhưng chúng không song song với nhau Mệnh đề b) sai

Nh ận xét T3: Kiểu nhiệm vụ tìm hai đường thẳng không đồng phẳng không được nêu trong SGK SBT thể hiện qua yêu cầu tìm phản ví dụ để minh họa cho những tính chất đúng trong HHP mà không đúng trong HHKG Lý do đ ưa nhiệm vụ t3 là thỏa đáng vì nó đáp ứng yêu cầu của SGV cũng như kiến

thức của HS sau này Nhiệm vụ cho thấy có sự so sánh mở rộng khi học HHKG liên hệ với HHP

Tên của nhiệm vụ không được nêu một cách tường minh và kỹ thuật cũng không được trình bày Các mệnh đề SBT đưa ra đều rất quen thuộc đối với HS, là ba mệnh đề đúng trong HHP Đó là:

- N ếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì chúng cũng cắt đường

th ẳng còn lại

- Hai đường thẳng song song nếu chúng không có điểm chung

- Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song

Bài tập này minh họa cho một lưu ý của SGV: “Cần tránh xu hướng sai lệch: tất cả các định

lý đã học về đường thẳng song song trong hình phẳng đều đúng trong không gian” [6, tr 113]

Nh ận xét ba kiểu nhiệm vụ đầu: Qua việc phân tích bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T, chúng tôi

thấy các bài tập trong SBT có sự đa dạng trong cách xác định đường và mặt, yêu cầu cao về mức độ

vận dụng Chúng bước đầu tạo ra sự khác biệt về kiến thức giữa HHKG và HHP

Kiểu nhiệm vụ T đã thể hiện đầy đủ ba VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian Việc tìm hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng không được đề cập trong SGK nhưng có trong SBT qua việc yêu cầu HS chỉ ra một số quan hệ trên hình vẽ mà mà các đường thẳn g không đồng phẳng phản ánh

Ki ểu nhiệm vụ T4: Tìm đường thẳng song song với mặt phẳng

K ỹ thuật: Tìm một đường thẳng nằm trong mặt phẳng và song song với đường thẳng đề bài

cho

B

C D

G H

p

q

Công ngh ệ: Khái niệm đường thẳng song song với mặt phẳng

Bài 17/SGK/Tr.105: Cho hình hộp chữ nhật ABCD EFGH

a Kể tên các đường thẳng song song với mp(EFGH)

b Đường thẳng AB song song với những mặt phẳng nào?

c Đường thẳng AD song song với những đường thẳng nào

L ời giải mong đợi

Quan sát hình và giải thích vì sao:

a) Đường thẳng b song song với mp(P)?

b) Đường thẳng p song song với sàn nhà?

Nh ận xét: Bài tập xuất hiện mô hình thực tế có dạng hình hộp, kèm theo yêu cầu giải thích sự

song song

L ời giải mong đợi

a b//a, b không thuộc (P) nên b//(P)

b p//q, p không thuộc sàn nhà nên p song song sàn nhà

Nh ận xét T4: Nhiệm vụ được nêu rõ, còn dưới tên gọi tìm đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung Kỹ thuật không được xây dựng trong SGK HS trả lời dựa vào cảm nhận trực giác Tình

huống trong '

1

t có thêm tính thực tiễn, không gian tiếp xúc là mô hình sàn nhà trên mặt phẳng trang

giấy nên thể hiện tính chất hình học và tính chất không gian của hình vẽ Trong khi SBT có đề cập

đến mặt chéo của hình lập phương Hơn nữa, SBT thừa nhận mặt phẳng qua ba điểm

Ki ểu nhiệm vụ T5: Tìm hai m ặt phẳng song song

K ỹ thuật: Tìm hai đường thẳng cắt nhau thuộc một mặt phẳng và song song với mặt phẳng

còn lại hoặc tìm hai mặt phẳng không có điểm chung

Công ngh ệ: Khái niệm hai mặt phẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng

Bài 8/SBT/Tr.106: Quan sát hình hộp chữ nhật

A B

C D

G H

a) Các cặp mặt phẳng nào song song với nhau?

b) Các điểm D, H, G và C có cùng thuộc một

mặt phẳng hay không?

c) Các điểm D, H, G và F có cùng thuộc một mặt phẳng hay không?

d) Câu hỏi tương tự như câu b), c) đối với các điểm A, B, G và H

L ời giải mong đợi

a mp(ABCD) và mp(EFGH), mp(FGCB) và mp(EHDA), mp(HGCD) và mp(EFBA)

b Có cùng thuộc mp(DHGC)

c Không

d Có cùng thuộc mp(ABGH)

Nh ận xét T5: Tình huống đưa ra đơn giản, HS quan sát hình và trả lời bằ ng sự quan sát được

mà không giải thích lý do có sự song song này Không xuất hiện tình huống thực tế Bài tập còn yêu

cầu xét tính đồng phẳng của bốn điểm

Nh ận xét kiểu nhiệm vụ T T4, 5: Đây là kiểu nhiệm vụ chiếm số lượng lớn trong ba kiểu nhiệm

vụ Nhấn mạnh việc tìm được thẳng song song với mặt phẳng và hai mặt phẳng song song mà không yêu cầu giải thích cho sự song song này

Ki ểu nhiệm vụ T6: Vẽ thêm các cạnh để được một hình hoàn chỉnh

K ỹ thuật: quan sát hình mẫu, dùng thước thẳng và bút kẻ thêm các đường thẳng song song

qua các điểm cho trước để tạo một hình hoàn chỉnh như ban đầu

Công ngh ệ: khái niệm hai đường thẳng song song, tính chất mô hình mẫu của hình cho sẵn

D E

F c)

B C

e) B

H D

d)

E

F H

A

B

G D

a)

F C

G b)

Bài 20/SGK/Tr.108: Vẽ lại các hình sau vào vở rồi vẽ thêm các cạnh vào các hình

97b, c, d, e để có một hình hộp hoàn chỉnh

Nh ận xét: Quan sát kỹ hình vẽ ta sẽ nhận thấy mức độ khó tăng dần theo thứ tự ở các hình b),

c), d), e) Thông thường HS có thói quen vẽ các đường thẳng song song ở dạng nằm ngang (hình.b), sau đó thẳng đứng (hình.c), các đường thẳng song song nằm “xiên” (hình.d, e) thường khó hơn Theo như SGV, các hình này dành cho HS khá giỏi Kỹ thuật giải quyết dựa vào kiến thức hình học và kiến

thức không gian

Nh ận xét T6: Cho trước một hình hoàn chỉnh (hình hộp, hình lăng trụ,…) kèm theo các mô hình của nó (thiếu các cạnh, đỉnh) và được đặt dưới các góc nhìn khác nhau HS có trách nhiệm vẽ thêm các cạnh để được hình vẽ ban đầu Các đường vẽ thêm phải đảm bảo nét liền, nét đứt theo góc nhìn Kiểu nhiệm vụ ''

T nhằm kiểm tra khả năng vẽ đường thẳng qua một điểm và song song với

đường thẳng cho trước Toàn bộ hình mẫu không được vẽ trên giấy kẻ ô vuông

2.2.4 Nh ận xét về VTTĐ giữa hai đường thẳng trong giai đoạn 1

Tóm lại, mục tiêu của chương là lấy mô hình hình hộp chữ nhật để bước đầu hình thành khái

niệm cho HS (con đường mô tả) Khái niệm hai đường thẳng chéo nhau chưa thấy xuất hiện trong SGK (nhưng có xuất hiện ở SGV) mà ẩn dưới tên gọi hai đường thẳng “không cùng nằm trong một

mặt phẳng nào”

SGK không trình bày các tiên đề, chỉ đưa định nghĩa hai đường thẳng song song mà không định nghĩa hai đường thẳng cắt nhau hay không cùng nằm trong một mặt phẳng Liệu “hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nào” có thể dẫn đến cách hiểu hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nhìn thấy trên hình không?

Yêu cầu kiến thức chỉ dừng lại ở việc nhận biết VTTĐ giữa các đối tượng trên hình vẽ cho

sẵn Trình bày lý thuyết bằng con đường mô tả, chú trọng quan sát HS ghi nhận những kiến thức có được qua việc quan sát hình vẽ Không xuất hiện bài tập tìm hai đường thẳng không nằm trên một

mặt phẳng trong SGK, khái niệm này được trình bày một cách mờ nhạt

Mặt phẳng được cho sẵn như là mặt bên hoặc mặt đáy của hình hộp, tức có dạng hình bình hành

hoặc hình chữ nhật, không thấy xuất hiện mặt chéo (chỉ có trong SBT) Không trình bày cách xác định

mặt phẳng SGK không đưa ra bài tập để phát hiện sai lầm của học sinh khi áp dụng quan hệ song

song trong HHP vào HHKG

HS không có trách nhiệm chứng minh hai đường thẳng không đồng phẳng, chứng minh sự song song của đường và mặt SBT đã liên hệ với HHP qua việc nêu những tính chất đúng trong HHP

mà không đúng trong HHKG Không yêu cầu chứng minh nhưng qua các ví dụ cho HS phát hiện cũng

đã góp phần cũng cố kiến thức và thấy được sự khác nhau giữa hai mảng hình học

2.3 Giai đoạn 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong Toán 11 NC

2.3.1 Yêu c ầu của chương trình

- Về kiến thức

+ Biết được khái niệm hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau

+ Biết (có chứng minh) định lý: nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng

song song mà c ắt nhau thì giao tuyến của chúng sẽ song song (hoặc trùng với một trong hai đường

th ẳng đó)

- Về kỹ năng

+ Xác định được VTTĐ của hai đường thẳng

+ Biết cách chứng minh hai đường thẳng song song

+ Biết áp dụng định lý trên để xác định giao tuyến hai mặt phẳng trong một số trường hợp đơn

giản

Thay thế việc tìm vị trí tương đối giữa hai đường thẳng dự a vào trực giác bằng việc chứng

minh VTTĐ giữa chúng “…tư duy trực quan sẽ không đóng vai trò quan trọng như trước thay vào

đó là tư duy logic kết hợp với trí tưởng tượng không gian” [8, tr 94]

- Vị trí

VTTĐ giữa hai đường thẳng được trình bày ở bài 2: Hai đường thẳng song song, của chương

II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Theo phân phối chương trình, chương này gồm 16

tiết

2.3.2 Phương pháp

Về cơ bản thì chương trình HHKG 11 “bước đầu cho học sinh làm quen với phương pháp tiên

đề” [10, tr 40] Năm tính chất thừa nhận và ba cách xác định mặt phẳng làm cơ sở cho các su y

luận, chứng minh các định lý hay xét VTTĐ giữa các đường thẳng…Tính chất 1 và 4 liên quan trực

tiếp đến đường thẳng Cụ thể:

Tính chất thừa nhận Ý nghĩa

1 Có một và chỉ một đường thẳng đi qua

hai điểm phân biệt cho trước

Đã có trong HHP, ở đây nhấn mạnh đối

v ới việc xác định một đường thẳng trong không gian

2 Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua

ba điểm không thẳng hàng cho trước

Gi ới thiệu đối tượng mới: mặt phẳng và

s ự xác định duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

3 Tồn tại bốn điểm không cùng nằm

trên một mặt phẳng

Kh ẳng định số chiều của không gian phải

l ớn hơn 2 (chứng minh sự tồn tại của hình

t ứ diện - bốn điểm không đồng phẳng)

4 Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một

điểm chung thì chúng có một đường

thẳng chung duy nhất chứa tất cả các

điểm chung của hai mặt phẳng đó

S ự xác định tính duy nhất của giao tuyến hai m ặt phẳng

5 Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã

- Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng

- Mặt phẳng qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó

- Mặt phẳng qua hai đường thẳng cắt nhau

Li ệu HS có chú ý đến tính duy nhất của mặt phẳng xác định bởi các điều kiện trên khi xem xét

nh ững bài toán liên quan đến sự đồng phẳng của đường và điểm sau này không? HS có biết vận

d ụng các tiên đề này trong các lời giải khi cần thiết?

2.3.3 Hình thành khái ni ệm về hai đường thẳng chéo nhau, song song và cắt nhau trong

SGK Hình h ọc 11 nâng cao

SGK hình thành khái niệm các VTTĐ giữ a hai đường thẳng phân biệt bằng con đường quy

nạp Xuất phát từ một hình ảnh thực tế: mô hình của chiếc bàn bốn chân, từ đó trừu tượng hóa, khái quát hóa đưa ra dấu hiệu đặc trưng và đi đến định nghĩa khái niệm Cụ thể:

Bước 1: Hình thành biểu tượng bằng cách cho HS quan sát hình vẽ, sau đó phát hiện một số thuộc tính bản chất của khái niệm rồi phát thảo định nghĩa khái niệm:

a Không có m ặt phẳng nào chứa cả a và b Khi đó ta nói rằng hai đường thẳng a và b chéo nhau (hình 49)

b Có m ặt phẳng chứa cả a và b Khi đó ta nói rằng chúng đồng phẳng Trong trường hợp này, theo k ết quả của HHP, có hai khả năng xảy ra:

i a và b khô ng có điểm chung Khi đó ta nói rằng chúng song song với nhau (hoặc chúng song song) Ký hi ệu a//b (hình 50)

ii a và b có m ột điểm chung duy nhất Khi đó ta nói rằng chúng cắt nhau

iii

(hình 51)” [18, tr 52]

b I

Hình 49 Hình 50 Hình 51

b

Bước 2: Trình bày định nghĩa chính thức

Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng

Hai đư ờng thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung

Như vậy, SGK không đi theo cách xây dựng khái niệm như ở chương một Từ mô hình thực tế

để khái quát định nghĩa, liệu HS có nắm hết nghĩa của các khái niệm khô ng? Hai đường thẳng

“đồng phẳng” được định nghĩa qua khái niệm “cùng nằm trong một mặt phẳng” Theo cách phát

biểu này thì “không đồng phẳng” = “không cùng nằm trong một mặt phẳng” tuy nhiên trong định nghĩa phải hiểu chúng là “không cùng nằm trong bất kỳ mặt phẳng nào” Như vậy, chúng có gây sự

nhọc nhằn trong cách hiểu các khái niệm của HS hay không?

So sánh với cách trình bày trước về VTTĐ giữa hai đường thẳng:

- Chúng nằm trên một mặt phẳng và cắt nhau

- Chúng nằm trên một mặt phẳng và song song

- Chúng chéo nhau, nghĩa là chúng không nằm trên cùng một mặt phẳng

Trong cách trình bày này, ta th ấy chỉ xuất hiện thêm khái niệm “chéo nhau” Khái niệm song song

và cắt nhau luôn đi kèm với đặc trưng “nằm trên một mặt phẳng”

Với hình vẽ 49 và định nghĩa của SGK, HS có hiểu hai đường thẳng không đồng phẳng có là hai đường thẳng không nằm trong cùng một mặt phẳng không? Mặt phẳng này có phải chỉ là các

mặt phẳng nhìn thấy trên hình như hình bình hành, tam giác, tứ giác? Liệu HS có tính đến cách xác định tính duy nhất của mặt phẳng đã học trước? Định nghĩa cho ta thêm một cách xác định mặt

phẳng Đó là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng song song

Từ cách trình bày, ta thấy đặc trưng đầu tiên khi xét VTTĐ giữa hai đường thẳng là xét yếu tố đồng phẳng của chúng Sau đó tính đến đặc trưng có điểm chung hay không Không có câu hỏi yêu cầu

học sinh phân biệt ba VTTĐ trên, trách nhiệm này thuộc về GV “GV cần làm rõ những tính chất giống

nhau và tính ch ất khác nhau của hai đường thẳng song song và hai đường thẳng chéo nhau” [12, tr

48]

SGK không đưa ra d ấu hiệu nhận biết hai đường thẳng chéo nhau Từ hình vẽ ta có thể rút ra cách

chứng minh hai đường thẳng chéo nhau như đã nói ở phần đầu chương Rõ ràng, nếu dùng định nghĩa

làm công cụ để chứng minh hai đường thẳng chéo nhau là điều không thể vì ta không kiểm tra được tất

cả mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó

Bước 3: Hoạt động củng cố

SGK đã tiến hành hai hoạt động nhận dạng và cũng cố khái niệm như sau:

Ho ạt động 1: nhận dạng khái niệm Ho ạt động 2: củng cố khái niệm

Cho tứ diện ABCD Hãy xét VTTĐ của hai

đường thẳng AB và CD

L ời giải của SGV

AB, CD chéo nhau Giả sử AB, CD không

chéo nhau, khi đó tồn tại mặt phẳng chứa cả

AB, CD Suy ra, A, B, C, D thuộc một mặt

phẳng, mâu thuẫn với giả thiết ABCD là tứ

diện Vậy AB, CD chéo nhau

Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau Có hay không hai đư ờng thẳng p, q song song với nhau, mỗi đường đều cắt cả a và b

L ời giải của SGV

Giả sử tồn tại hai đường p, q song song với nhau và đều cắt a, b tương ứng tại A, B, C,

D như hình vẽ

Vì p//q nên tồn tai mặt phẳng (p, q) chứa hai đường thẳng này Suy ra A, B, C, D thuộc mp(p, q)

Mặt khác A, D thuộc a nên a thuộc mp (p, q); B, C thuộc b nên b thuộc mp(p, q)

Từ đó suy ra a, b đồng phẳng, mâu thuẫn

với giả thiết a, b chéo nhau

Nh ận xét: Hoạt động 1 yêu cầu xét VTTĐ của hai đường thẳng cho dưới dạng hai điểm là AB,

CD Hoạt động 2 cho đường thẳng dưới dạng chữ cái a, b,…Kiến thức sử dụng là tính chất thừa nhận

1 và định nghĩa hai đường thẳng song song

Điểm chung của hai chứng minh là sử dụng phương pháp phản chứng Điều này không được

giải thích bởi SGK, SGV Một qui tắc hợp đồng ngầm ẩn được hình thành: phương pháp phản

ch ứng có thể được sử dụng thường xuyên trong các chứng minh của HHKG

Thực tế, HS có thể vẽ tứ diện với AB không có điểm chung với CD nên xem chúng song song nhau Hoạt động này còn đánh vào một sai lầm của HS là: xem bất kỳ bốn điểm phân biệt nào cũng

C

xác định được một mặt phẳng (nó giống như bốn đỉnh của một tứ giác mà các em đã học trước đây)

Như vậy là: khi xét VTTĐ của hai đường thẳng, nên quan tâm đến việc hai đường thẳng có đồng

ph ẳng hay không chứ không nên dựa vào điểm chung nhìn thấy trên hình vẽ mà kết luận Bởi vì

nh ững quan hệ nhìn thấy trên hình có thể không phản ánh đúng tính chất hình học của nó

Thêm nữa, hoạt động 2 cho biết không phải lúc nào cũng có thể tìm được hai đường thẳng song song với nhau trong không gian mặc dù ta cũng vẽ được chúng trên mặt phẳng nhưng thực tế không tồn tại hình như vậy

Tài liệu [10, tr 74] đưa ra dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng chéo nhau bởi định lý: “Nếu

đường thẳng a cắt mặt phẳng (P) tại điểm A thì mọi đường thẳng nằm trên (P) nhưng không qua

Ta có thể dùng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng chéo nhau trên để chứng minh cho hoạt động

1 Đó là: đường thẳng AB không chứa trong mp(BCD) và cắt mặt phẳng này tại một điểm B không

thu ộc CD nên AB, CD chéo nhau Khi đó, chúng tôi ngh ĩ rằng hình vẽ có được sẽ không là chướng ngại

cho việc chứng minh Cũng có thể chứng minh trực tiếp bằng định nghĩa: ABCD là tứ diện nên bốn

điểm A, B, C, D không đồng phẳng Suy ra AB, CD không đồng phẳng nên chúng chéo nhau

SGK đã cung cấp các dấu hiệu để chứng minh hai đường thẳng song song và dựng giao tuyến

của hai mặt phẳng trong trường hợp đơn giản SGK đưa thêm các câu hỏi để cũng cố khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng xoay quanh các mối quan hệ song song, cắt nhau, chéo nhau với tính

có điểm chung của chúng Cụ thể:

Bài 17/55 Tìm m ệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây

a Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung

b Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau

c Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau

d Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau

Bài 23/ 59 Cho hai đường thẳng a và b cùng song song với mp(P) Mệnh đề nào đúng trong các m ệnh đề sau đây:

a a và b song song v ới nhau

b a và b chéo nhau

c a và b có th ể cắt nhau

d a và b trùng nhau

e Các m ệnh đề a), b), c), d) đều sai

2.3.4 V ấn đề biểu diễn VTTĐ giữa hai đường thẳng và việc đọc hình biểu diễn trong SGK

[12, tr 62] đưa ra bốn hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau nhưng không có giải thích

gì thêm:

Trong bốn hình vẽ thì có ba hình cho hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau hoặc song song quan sát được trên hình Một hình vẽ cho đường thẳng không nằm trong mặt phẳng chứa

đường còn lại Như vậy, liệu HS có thể hiểu hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không

cùng n ằm trên một mặt phẳng hay nằm trong hai mặt phẳng phân biệt không?

[12] cũng phân biệt các bài toán trên hình biểu diễn và các bài toán dựng hình (xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện,…) Dựng hình cần phải dựa vào các tính chất hình học của nó, phải đúng và chính xác Còn khi biểu diễn hình nên chọn thế nào cho thuận tiện và tốt nhất, tức mang tính trực quan cao bằng cách lựa chọn những phương chiếu thích hợp Qui tắc vẽ hai đường thẳng song song và cắt nhau :“hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường

th ẳng song song (hoặc cắt nhau)” [18, tr 42]

[18] đưa ra tính chất “hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường

th ẳng song song hoặc trùng nhau” và qui tắc biểu diễn:

“N ếu trên hình H có hai đoạn thẳng nằm trên hai đoạn thẳng song song (hoặc trùng nhau) thì

ch ẳng những được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau), mà t ỉ số của hai đoạn thẳng này phải bằng tỉ số của hai đoạn thẳng tương ứng trên hình H” Chúng tôi không thấy chương trình đề cập cách đọc hình vẽ từ hình biểu diễn của nó

2.3.5 Các t ổ chức toán học liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng

Chúng tôi thống kê được các tổ chức toán học có trong SGK lẫn SBT qua bảng 2.3

KNV Nhóm T g ồm các kiểu nhiệm vụ liên quan trực tiếp

đến VTTĐ giữa hai đường thẳng SGK SBT

T Chứng minh đường (hoặc điểm) đồng phẳng 4 6

KNV Nhóm T’ g ồm các kiểu nhiệm vụ sử dụng kiến thức

VTTĐ giữa hai đường thẳng để giải quyết

' 1

T Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 10 6

' 2

T Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 7 5

' 3

T Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 6 9

' 4

T Chứng minh hai mặt phẳng song song 3 5

' 5

T Chứng minh ba hay nhiều đường thẳng đồng qui 3 5

' 6

T Dựng thiết diện của một hình khi cắt bởi một mặt

' 7

T chiếm số lượng cao và có thể xem như dạng bài tập dựng điểm

và đường trong không gian Nhấn mạnh việc chứng minh hai đường thẳng song song vì nó liên quan đến các kiểu nhiệm vụ chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng, hai mặt phẳng song song và

dựng thiết diện của một hình

chứa a tại một điểm I không thuộc a

định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau

- Định lý: “Nếu một đường thẳng đi qua hai

điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt

sử a và b không cắt nhau, suy ra

a//b Lập luận rồi suy ra điều mâu

- Chứng minh a (hoặc b) chia hai

cạnh tam giác những đoạn thẳng tỉ lệ

- Chứng minh a, b là hai cạnh một

hình bình hành, hình thang,…

- Chứng minh a là đường trung bình

của tam giác, hình thang

6

τ :Ch ứng minh hai đường thẳng cùng

song song với đường thẳng thứ ba

τ : Chứng minh b là giao tuyến của

3

θ : Định lý Talet đảo, tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang

- Tính chất hình bình hành

Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt

cùng song song v ới một đường thẳng thứ ba thì song song

/ /

/ // /

Định lý 2: Nếu đường thẳng a song song

v ới mp(Q) thì mọi mp(P) chứa a mà cắt(P)

C

D

M N

P

Q A

mp(P) chứa a với mp(Q) song song

với a

8

τ : Chứng minh b là giao tuyến của

hai mặt phẳng song song với a

9

τ : Chứng minh a, b là giao tuyến

của mp(R) với hai mặt phẳng song

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường

th ẳng song song thì giao tuyến của chúng song song v ới hai đường thẳng đó (hoặc trùng v ới một trong hai đường thẳng đó)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Ví d ụ: Bài 18/Tr.55/SGK: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N là hai điểm phân biệt

cùng thuộc đường thẳng AB; P, Q là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng

CD Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MQ, NP và vị trí tương đối của

hai đường thẳng MP, NQ

Nh ận xét: SGK không yêu cầu dùng phản chứng để chứng minh hai

đường thẳng chéo nhau Dựa vào cách chứng minh ở hoạt động 1 và sử

dụng quan hệ giữa đường và mặt, điểm và đường Từ đường thẳng đồng

phẳng suy ra điểm đồng phẳng

L ời giải mong đợi: Hai đường thẳng MP, NQ chéo nhau Thật vậy,

giả sử chúng không chéo nhau, tức chúng cùng thuộc một mp( )α nào đó

Vậy M, N, P, Q cùng thuộc mp( )α và do đó A, B, C, D cũng thuộc

mp( )α Điều này mâu thuẫn với giả thiết ABCD là tứ diện

Chứng minh tương tự hai đường thẳng MP và NQ cũng chéo nhau

b c

Q P

Câu hỏi 2/Tr.53/SGK: Giả sử ( ) ( ) ( )P , Q , R là ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo

ba giao tuyến phân biệt a, b, c trong đó: a=( ) ( )P ∩ R ,b=( ) ( )Q ∩ R c, =( ) ( )P ∩ Q

Có những vị trí tương đối nào giữa hai giao tuyến a và b

Nh ận xét: Câu hỏi cho dưới dạng mở Với kiểu nhiệm vụ xét VTTĐ giữa hai đường thẳng này,

phải khái quát các khả năng có thể dựa vào giả thiết của bài toán như có điểm chung hay không có

điểm chung, có đồng phẳng hay không đồng phẳng

L ời giải mong đợi: a và b cắt nhau hoặc song song với nhau (vì a, b phân biệt đồng thời cùng

nằm trên mp(R))

Nh ận xét về kiểu nhiệm vụ T1: Kiểu nhiệm vụ được nêu rõ trong đề bài Kỹ thuật không được xây dựng SGK đưa ra 4 trường hợp xét VTTĐ của hai đường thẳng thì có đến ba trường hợp hai đường thẳng chéo nhau, một trường hợp hai đường thẳng có thể song song hoặc cắt nhau Trong ba trường hợp chéo nhau, các đường thẳng đều được cho dưới dạng hai chữ cái như AB, MN,…Hình vẽ

đều là hình tứ diện, chóp tứ giác, đường thẳng là cạnh hay đường nối hai điểm trên cạnh Cả hai sách

đều sử dụng phương pháp phản chứng, chuyển đường thẳng đồng phẳng về bốn điểm đồng phẳng rồi suy ra điều mâu thuẫn Với các trường hợp chứng minh hai đường thẳng chéo nhau ở trên, ta đều có

thể chứng minh dễ dàng bằngτ2 Từ T1 có thể hình thành cho HS một quy t ắc hợp đồng: “sử dụng

phương pháp phản chứng để chứng minh hai đường thẳng chéo nhau”

Có trường hợp học sinh phải xét VTTĐ của hai đường thẳng cho dưới dạng a, b,…(một trường

hợp trong ba trường hợp trên) Trường hợp này cần dựa vào định nghĩa khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng để xét các trường hợp có thể của chúng

2

T : Ch ứng minh hai đường thẳng song song

K ỹ thuật và công nghệ: Kỹ thuật nhưτ τ4, 5 và công nghệ của T1 ở trên

Bài 4 Tr.78/SGK: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau

Lấy các điểm M, N lần lượt thuộc các đường chéo AC, BF sao

cho MC= 2AM NF; = 2BN Qua M, N kẻ các đường thẳng song song với AB cắt

các cạnh AD, AF lần lượt tại M N, Chứng minh rằng: MN/ /DE

F E

B A

C D

N

O

M M1

N1

Nh ận xét: Với giả thiết có các đường thẳng song song và tỉ

lệ nên có thể đưa về trường hợp chứng minh hai đường thẳng

song song như trong HHP

L ời giải mong đợi: Vì 1

thuộc trung tuyến DI của tam giác ABD Bằng cách chứng minh

tương tự như trên thì N thuộc đường trung tuyến EI của tam giác ABE Xét tam giác EID, ta

chứng minh hai đường thẳng song song chiếm số lượng lớn nhất trong SGK cũng như SBT Việc

chứng minh hai đường thẳng song song liên quan đến hai kiểu nhiệm vụ là: chứng minh đường

thẳng song song với măt phẳng, hai mặt phẳng song song…

Thống kê số lần sử dụng kỹ thuật chứng minh hai đường thẳng song song trong SGK

kiểu nhiệm vụ dựng thiết diện của một hình cắt bởi một mặt phẳng)

3:

T Ch ứng minh hai đường thẳng chéo nhau: Kiểu nhiệm vụ được nêu rõ trong SBT nhưng không

có trong SGK mà nằm trong kiểu nhiệm vụ xét VTTĐ giữa hai đường thẳng Kỹ thuật và công nghệ như τ τ1, 2của T1

4

T : Ch ứng minh bốn điểm đồng phẳng hoặc không đồng phẳng

B

C

D P

Q

R S

Nhi ệm vụ và kỹ thuật Công ngh ệ

Nhiệm vụ t1: Chứng minh bốn điểm

τ : Chứng minh chúng thuộc hai

đường thẳng song song hoặc cắt

nhau (các đường thẳng chứa chúng

đồng phẳng)

- Định nghĩa tứ giác phẳng

- Các quy tắc phản chứng

- Định nghĩa 4 điểm đồng phẳng

Bài 19/Tr.55/SGK: Cho tứ diện ABCD Bốn điểm P, Q, R, S lần lượt nằm trên

AB, BC, CD, DA không trùng với các đỉnh của tứ diện Chứng minh rằng:

a Bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng khi và chỉ khi ba đường thẳng PQ, RS, AC

hoặc đôi một song song hoặc đồng quy

b Bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng khi và chỉ khi ba đường thẳng PS, RQ, BD

hoặc đôi một song song hoặc đồng qui

Nh ận xét: Bài tập có sự liên hệ giữa điểm, đường đồng phẳng và tính chất giao tuyến của ba mặt

phẳng

L ời giải mong đợi

a Nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì chúng cùng thuộc một mp( )α nào

Ngược lại nếu ba đường thẳng PQ, AC, RS hoặc đôi một song song hoặc đồng quy thì hai đường thẳng PQ và RS hoặc song song hoặc cắt nhau Vậy hai đường thẳng PQ và RS hoặc song song hoặc cắt nhau Vậy hai đường thẳng PQ và RS cùng thuộc một mặt phẳng, từ đó bốn điểm P,

Q, R, S đồng phẳng

b Chứng minh tương tự câu a

Nh ận xét về kiểu nhiệm vụ T4: SGK s ử dụng kỹ thuật là qui về chứng minh đường thẳng không đồng phẳng để chứng minh bốn điểm không đồng phẳng SBT mở rộng hai nhiệm vụ không

có trong SGK:

- Chứng minh sự đồng phẳng của n điểm (kỹ thuật là dùng phản chứng)

- Chứng minh ba đường thẳng đồng phẳng (chứng minh trực tiếp: chúng cùng thuộc một mặt

τ : Tìm hai điểm chung phân biệt của hai

mặt phẳng Giao tuyến d là đường thẳng

qua hai điểm chung đó

- Định nghĩa giao tuyến của hai mặt

phẳng -Tính chất thừa nhận 1:

Có m ột và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước

- Dấu hiệu nhận biết đường thẳng chứa trong mặt phẳng

N ếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân bi ệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong

m ặt phẳng đó

2

τ : Tìm điểm chung S và hai đường

thẳng song song chứa trong 2 mặt phẳng

Giao tuyến là đường thẳng qua S và song

song với hai đường thẳng trên

- Định lý: Nếu đường thẳng a song

song v ới mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a

mà c ắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song v ới a

- Định nghĩa giao tuyến hai mặt phẳng

Bài 16/ Tr.51/SGK: Cho hình chóp S ABCD Gọi M là một điểm nằm trong

tam giác SCD Tìm giao tuyến của (SBM) và (SAC)

Nh ận xét: Hai mặt phẳng có sẵn một điểm chung S, cần tìm điểm chung thứ hai Ta tìm hai

đường thẳng cắt nhau chứa trong hai mặt phẳng, tức chúng cùng nằm trong một mặt phẳng khác Bài

tập cho thấy sự tồn tại của hai đường thẳng đồng phẳng nhưng nằm trong hai mặt phẳng phân biệt trên

hình

L ời giải mong đợi

GọiN =SM∩CD O, =AC∩BN Ta thấy SO=(SAC) (∩ SBM)

Bài 36/Tr.68/SGK: Cho hình lăng trụ tam giác ' ' '

Nh ận xét: Đối với việc tìm giao tuyến trong bài tập này có thể sử dụng được cả hai kỹ thuật

trên Hai mặt phẳng vừa có điểm chung J, vừa chứa hai đường thẳng song song ' '

,

BC B C Đây là ví dụ về hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nhưng đồng phẳng (trường hợp hai đường thẳng song song)

L ời giải mong đợi: Gọi I, J là tâm của hình bình

Quan sát các bài tập xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, chúng tôi thấy có các trường hợp sau:

- Hai mặt phẳng có sẵn hai điểm chung trên hình vẽ

- Hai mặt phẳng có sẵn một điểm chung trên hình, điểm chung thứ hai là giao điểm hai đoạn

thẳng chứa trong hai mặt phẳng

- Hai mặt phẳng có một điểm chung và chứa hai đường thẳng song song nhau