Tuyển Tập Câu Cuối Hình Học Thi Vào 10 Môn Toán Cả Nước Năm Học 2020-2021.Docx

Chương trình toán THCS là nền tảng cho giai đoạn chuyển cấp và có tác động lớn đến việc thi vào THPT. Về mảng hình học thì chiếm tương đối ít điểm hơn so với mảng đại số, song lại có độ khó nhất định đòi hỏi việc luyện đề để làm quen với nhiều dạng bài, kiểu hình, cách phân tích để chọn hướng giải bài hiệu quả nhất.

BỘ ĐỀ CÂU CUỐI HÌNH HỌC TUYỂN SINH VÀO LỚP

10 MÔN TOÁN THPT CÁC TỈNH TRÊN CẢ NƯỚC

NĂM HỌC 2020-2021 PHẦN 1: CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG, ĐỒNG

QUY

CẦN THƠ

Câu 4 (2,5 điểm) Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn và AB AC Vẽ đường cao AH,

đường tròn đường kính HBcắt ABtại D và đường tròn đường kính HCcắt AC tại E

a) Chứng minh rằng tứ giác ADHEnội tiếp

b) Gọi Ilà giao điểm của hai đường thẳng DEvà BC.Chứng minh IH2  ID IE

c) Gọi M N, lần lượt là giao điểm của đường thẳng DEvới đường tròn đường kính

HB và đường tròn đường kính HC.Chứng minh rằng giao điểm của hai đường

thẳng BM và CN nằm trên đường thẳng AH

ĐÁP ÁN Câu 4.

K I

Ta có: BDHlà góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BH  BDH 900



CEH là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính CH  CEH 900

Xét tứ giác ADHEta có: ADH AEH 90090 1800  0  ADHElà tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh: IH2  ID IE

Ta có: ADHElà tứ giác nội tiếp (cmt) DAH DEH (cùng chắn DH  )

Hay BAH IEH,lại có BAH BHD   

c) Chứng minh giao điểm hai đường thẳng BM CN, nằm trên đường thẳng AH

Gọi giao điểm của BM và CN là K

Ta có:  BMH là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BH   BMH  900

Hay MH BK  , chứng minh tương tự  NH KC

Vì ADHElà tứ giác nội tiếp (cmt) nên DAH DEH (cùng chắn cung DH )hay

  (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Hay EMH ABH  mà BAH ABH  900  MBH HME   900

điểm của đường thẳng AH với đường tròn   O K , khác A.Gọi L P, lần lượt là giao điểm

của đường thẳng AHvới đường tròn   O K , khác A.Gọi L P, lần lượt là giao điểm của

hai đường thẳng BCvà EF AC, và KD

1) Chứng minh tứ giác EHKPnội tiếp đường tròn và tâm Icủa đường tròn này

thuộc đường thẳng BC

2) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC.Chứng minh AH 2OM

3) Gọi T là giao điểm của đường tròn   O với đường tròn ngoại tiếp tam giác

,

EFK Tkhác K.Chứng minh rằng ba điểm L K T, , thẳng hàng.

ĐÁP ÁN Câu 5.

I

P T'

J L

E

M

H F

D K

O A

1) Chứng minh EHKPlà tứ giác nội tiếp

Ta có: BElà đường cao của ABC BE AC hay BECHEC 900

AKD

 là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn   AKD  900

Xét tứ giác EHKPcó: HEP HKP900 90 180 ,0  0 mà hai góc này đối diện

nên EHKPlà tứ giác nội tiếp (đpcm)

Có  HKP  900là góc nội tiếp chắn cung HP HPlà đường kính của đường tròn

ngoại tiếp tứ giác EHKP  Tâm Icủa đường tròn này là trung điểm của HP

Gọi Jlà giao điểm của AK và BC

Ta có: HBJ HAC (cùng phụ với  ACB )

KBC KAC

  (hai góc nôi tiếp cùng chắn cung KC )hay JBK HAC

HBJ JBK HAC BJ

     là phân giác của HBK

Ta có: AHlà đường cao của  ABC  AH BC     J  BJ là đường cao  BHK

Xét  BHK ta có: BJ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác từ đỉnh B của tam giác

BHK

  cân tại B và BJ là đường trung tuyến của BHK  J là trung điểm của HK

Gọi I 'là giao điểm của BCvà HP

Ta có: AJ BC     J mà KP AH     K  BC KP / / hay JI KP'/ /

Xét  HKPta có: J là trung điểm của HK cmt IJ KP cmt ( ); / / ( )  I J ' là đường trung

bình của HKP I'là trung điểm của HP I I'hay I BC dfcm  ( )

 cắt HDtại trung điểm mỗi đường, lại có M là trung điểm của BC gt ( )

Gọi T 'là giao điểm của tia LK với đường tròn   O

Xét tứ giác BFECta có: BFC BEC 90 0 mà đỉnh F E, là các đỉnh kề nhau

Nên BFEClà tứ giác nội tiếp  LFB LCE (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại

Ta có tứ giác BCT K' nội tiếp đường tròn   O

Bài IV (3,0 điểm)

Cho tam giác có ba góc nhọn và đường cao Gọi và lần lượt là

chân các đường vuông góc kẻ từ điểm đến đường thẳng

1) Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh

3) Gọi là chân đường vuông góc kẻ từ điểm đến đường thẳng và là trung

điểm của đoạn thẳng Chứng minh ba điểm là ba điểm thẳng hàng

ĐÁP ÁN Bài IV.

1 2

1 2

I F

K

H

E O

Gọi là giao điểm của và

Xét tứ giác có : nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh

kề nhau nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau) (cùng chắn

Ta có: (cùng vuông góc với (so le trong) do đó

Theo câu a, tứ giác nội tiếp nên (cùng chắn

Từ (1) và (2) ta suy ra

có nên là tam giác cân

Nên hay tam giác cân tại

Từ và hay là trung điểm

Do đó nên ba điểm thẳng hàng (đpcm)

CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN (HÀ NỘI)

Câu III (3 điểm)

Cho tam giác có là góc nhỏ nhất trong ba góc của tam giác và nội tiếp đường

tròn (O) Điểm thuộc cạnh sao cho là phân giác Lấy các điểm

thuộc (O) sao cho đường thẳng cùng song song với đường thẳng

1) Chứng minh rằng

2) Gọi giao điểm của đường thẳng với các đường thẳng lần lượt là

Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc một đường tròn

3) Gọi theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng Chứng minh

rằng các đường thẳng đồng quy

ĐÁP ÁN Câu III.

K Q

Vậy (trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

2) Chứng minh rằng 4 điểm cùng thuộc một đường tròn.

Ta có: (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)

(góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn)

Vậy tứ giác là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện

bằng nhau) hay cùng thuộc một đường tròn

3) Chứng minh các đường thẳng đồng quy

Áp dụng định lý Mê-lê-na-uýt trong tam giác cát tuyến , ta có:

(do là trung điểm của nên

Gọi Ta đi chứng minh

Áp dụng định lý Mê-lê-na-uýt trong tam giác cát tuyến ta có:

(Do là trung điểm của nên

Từ (3) và (4) ta suy ra do đó được chứng minh, tức là

Từ suy ra , do đó

Vậy đồng quy tại K

KHÁNH HÒA

Câu 4 (3,00 điểm) Cho đường tròn   O và một điểm Inằm ngoài đường tròn Qua Ikẻ

hai tiếp tuyến IM và IN với đường tròn   O Gọi Klà điểm đối xứng với M qua O

Đường thẳng IK cắt đường tròn   O tại H

a) Chứng minh tứ giác IMONnội tiếp đường tròn

P

H

K N

M

O I

a) Chứng minh IMONlà tứ giác nội tiếp

Ta có: IM IN, là các tiếp tuyến của   O tại M N ,  IMO INO     900

Xét tứ giác IMONta có: IMO INO     900 90 1800  0

Mà hai góc này là hai góc đối diện nên IMONlà tứ giác nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh IM IN IH IK 

Ta có: Klà điểm đối xứng của M qua O Olà trung điểm của MKvà MKlà đường

kính của (O)

Ta có: MHK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)  MHK  900 hay MH HK 

Áp dụng hệ thức lượng vào  IMKvuông tại M có đường cao MH

Ta có: IM2  IH IK

Mà IM IN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) IM2  IN IM IH IK dfcm  ( )

c) Chứng minh đường thẳng IK đi qua trung điểm của NP

  (cùng bằng IMN  )  NElà phân giác trong INJ

Lại có :  MNK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn   O nên MNK   90 ,0 do đó

NK NE nên NKlà phân giác ngoài của INJ

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

NI EI KI

NJ EJ KJ  

Áp dụng định lý Ta let do NP MI/ / ta có: EI MI KI MI ;

EJ NJ KJ   JP

Từ đó suy ra

MI MI NJ JP J

NJ  JP    là trung điểm của NP

Vậy đường thẳng IK đi qua trung điểm của NP dfcm ( )

THÁI NGUYÊN

Câu 9 Cho tam giác ABCcân tại A ,các đường cao AM BN , cắt nhau tại H Chứng

minh MNlà tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH

Câu 10 Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn nội tiếp đường tròn   O ,các đường cao

, ,

AD BE CFcắt nhau tại H .Đường thẳng ADcắt đường tròn   O tại M khác A

a) Chứng minh tam giác BHM cân

b) Gọi P Q , lần lượt là điểm đối xứng với M qua ABvà AC Chứng minh ba điểm

, ,

P H Qthẳng hàng

ĐÁP ÁN Câu 9.

N

O H M

A

Gọi Olà trung điểm của AH  Olà tâm của đường tròn đường kính AH

Ta có: BN là đường cao của  ABC  BN AC   HNA   900   ANH vuông tại

N  N     O *

Xét  ANH vuông tại Ncó đường trung tuyến ON  ON OH   1 2 AH (đường trung

tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

ONH

  cân tại O  ONH OHN      1

Vì  ABCcân tại A, có đường cao AM  M là trung điểm BC

Xét  BCNvuông tại Ncó đường trung tuyến NM

1 2

Mặt khác BHM OHN    (hai góc đối đỉnh) OHN HBM     90 30 

Từ (1), (2), (3) suy ra MBN HNO     900hay MN ON    **

Từ     * , **  MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH .

Câu 10.

O A

ACDF là tứ giác nội tiếp  DAC DFC    (cùng chắn DC  )

hay  MAC  DFC   1

Xét đường tròn   O ta có: MBC MAC      2 (hai góc nội tiếp cùng chắn MC  )

Xét tứ giác BFHDcó: BFH BDH     900  90 1800  0 BFHDlà tứ giác nội tiếp

HFD HBD

  (hai góc nội tiếp cùng chắn HD  )hay  CFD  HBD   3

Từ (1), (2), (3) suy ra  HBD  CBM hay  HBD  DBM  BDlà đường phân

giác của  BHM

Xét  HBM ta có: BDvừa là đường cao, vừa là đường phân giác

Xét tứ giác IBDMcó: BIM BDM     900  90 1800  0mà hai góc này là hai góc đối

diện nên IBDM là tứ giác nội tiếp   IMB IDB   (hai góc nội tiếp cùng chắn IB  )

Xét tứ giác MDJCta có: MDC MJC     900mà hai góc này kề nhau nên MDJClà tứ

giác nội tiếp   JDC JMC   (hai góc nội tiếp cùng chắn JC  )

Tứ giác ABMClà tứ giác nội tiếp đường tròn   O  IBM ACM    (góc ngoài tại 1 đỉnh

bằng góc trong tại đỉnh đối diện)   1

Ta có:  BIMvuông tại I  IBM IMB     90 20 

Ta có:  BHDlà tam giác cân tại B cmt  có đường cao BD đồng thời là đường trung

tuyến Dlà trung điểm của HM Xét  PHM có:

,

D I lần lượt là trung điểm của MH MP ,  DIlà đường trung bình của  PHM

  / / / / 4

Câu 4 (2,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính Gọi là hai điểm phân

biệt cố định trên đường tròn ( không là đường kính) Trên tia đối của tia

lấy một điểm ( khác Qua kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn đã cho

là hai tiếp điểm)

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp trong một đường tròn

b) Đoạn thẳng cắt đường tròn tại điểm Chứng minh rằng khi

thì là trọng tâm của tam giác c) Gọi là điểm đối xứng của qua O Đường thẳng đi qua vuông góc với

cắt các tia lần lượt tại các điểm Pvà Q Khi M di động trên tia đối

của tia BA ,tìm vị trí của điểm M để tứ giác MPNQcó diện tích nhỏ nhất

ĐÁP ÁN Câu 4.

Q

D N

E

O

a) Chứng minh tứ giác OCMDnội tiếp

Xét đường tròn tâm Ocó MC MD , là các tiếp tuyến  OCM ODM     900

Tứ giác OCMDcó: OCM ODM     90 90 1800  0  0  OCMDlà tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh Elà trọng tâm  MCD

Xét đường tròn (O) có MC MD , là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên MC MD  và MO

là tia phân giác của CMD 

Xét tam giác MCDcó MC MD  và CMD   600nên  MCDlà tam giác đều có MI là

đường phân giác nên MI cũng là trung tuyến Lại có

2 ( ) 3

ME  MI cmt

nên Elà trọng

tâm tam giác MCD dfcm ( )

c) Tìm vị trí của M để SMNPQmin

Vì Nđối xứng với M qua Onên OM ON 

Xét hai tam giác vuông  OQM OPM ,  có cạnh OM chung, OMQ OMP   

Suy ra  OQM  OPM g c g ( )  OP OQ 

Xét  OQM vuông tại O có ODlà đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho đường tròn tâm đường kính Gọi là trung điểm của đoạn thẳng

là điểm thay đổi trên đường tròn sao cho không trùng với và Dựng

đường thẳng và lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn tại và B Gọi

đường thẳng qua và vuông góc với Đường thẳng cắt lần lượt tại

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh đồng dạng với Từ đó chứng minh

c) Khi điểm thay đổi, chứng minh tam giác vuông tại I và tìm giá trị nhỏ

nhất của diện tích tam giác theo

ĐÁP ÁN Câu 4.

N M

A

E

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp

Vì là tiếp tuyến của tại nên

Vì tại E nên

Xét tứ giác có

Vậy tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng

b) Chứng minh đồng dạng với Từ đó chứng minh

Vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên

Ta có:

(cùng phụ với Xét và có: (góc nội tiếp và góc tạo bởi

tiếp tuyến và dây cung cùng chắn

(hai cạnh tương ứng)

Mà là trung điểm của

Lại có là trung điểm của

Khi đó ta có:

(nhân cẩ 2 vế với 3)

c) Chứng minh vuông tại I và tìm GTNN của theo

Xét tứ giác có: tại E)

là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B)

Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung Lại có : Tứ giác là tứ giác nội tiếp (ý a)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung Xét tam giác có:

(do nên vuông tại E)vuông tại I (tam giác có tổng hai góc nhọn bằng

Do không đổi nên diện tích tam giác đạt giá trị nhỏ nhất đạt

Câu 4 (4,0 điểm) Cho tam giác có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn Hai

đường cao của tam giác cắt nhau tại H Đường thẳng cắt tại D và

cắt đường tròn tại điêm thứ hai là

1) Chứng minh tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh là tia phân giác của

3) Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác Chứng minh là tiếp tuyến

của đường tròn ngoại tiếp

4) Khi hai điểm cố định và điểm di động trên đường tròn nhưng vẫn

thỏa mãn điều kiện tam giác có ba góc nhọn Chứng minh Xác

định vị trí của điểm A để tổng đạt giá trị lớn nhất

ĐÁP ÁN Câu 4.

K A'

N

I

H D F

E

M O A

B

C

1) Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Ta có: là các đường cao của

Xét tứ giác ta có : là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh là tia phân giác của

Hay

Lại có: (cùng chắn cung MC)

là phân giác của

3) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

Ta có : là góc nội tiếp chắn cung

là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

là trung điểm của

Ta có: là tam giác vuông tại E

Đường tròn ngoại tiếp có tâm là trung điểm của

Gọi là trung điểm của là tâm đường tròn ngoại tiếp

(tính chất tiếp tuyến của tam giác vuông)

Ta có là đường trung tuyến của vuông tại E

cân tại I mà (hai góc đối đỉnh)

Khi đó ta có là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Xét tứ giác có: mà hai đỉnh E, F kề nhau là tứ giác

nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Hay mà (cùng chắn ccung AC)

Khi đó ta có:

Đặt

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ta có:

Dấu xảy ra khi đó điểm là điểm chính giữa của cung lớn

HÀ NAM (CHUYÊN)

Câu 4 (3,5 điểm)

Cho đường tròn đường kính cố định Điểm cố định nằm giữa hai điểm

và sao cho Kẻ dây cung vuông góc với tại H Gọi là điểm

tùy ý thuộc cung lớn sao cho không trùng với và Gọi là giao điểm của

và

1) Chứng minh tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác

3) Cho độ dài đoạn thẳng Tính theo

4) Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Xác định vị trí của điểm để

độ dài đoạn thẳng nhỏ nhất

ĐÁP ÁN Câu 4.

I K

N

M

B O

Từ (1) và (2) ta có:

d) Vì là tiếp tuyến của (do mà 1 góc là góc nội tiếp , 1

góc là góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung)

Ta có: khoảng cách từ xuống nhỏ nhất

do đó khoảng cách từ đến tâm I nhỏ nhất thì là giao điểm của

và (O)

Vậy là hình chiếu của trên

HẢI DƯƠNG

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho  ABCcó ba góc nhọn nội tiếp đường tròn  O R ;  Gọi D E F , , là chân các đường

cao lần lượt thuộc các cạnh BC CA AB , , và Hlà trực tâm của  ABC Vẽ đường kính

AK

a) Chứng minh tứ giác BHCKlà hình bình hành

b) Trong trường hợp  ABCkhông cân, gọi M là trung điểm của BC Hãy chứng

minh FClà phân giác của DFE và 4 điểm M D F E , , , cùng nằm trên một đường

I A'

Ta có: ACK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)   ACK  900hay AC CK 

Mà BE AC gt  ( )  BE CK hay BH CK / / / /   2

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCKlà hình bình hành

b) Chứng minh FClà phân giác DFE

Xét tứ giác BFHDta có: BFD BHD     90 90 1800  0  0, mà hai góc này ở vị trí đối

diện nên BFHDlà tứ giác nội tiếp  HFD HBD    (hai góc nội tiếp cùng chắn

 ) 3 

HD

Xét tứ giác AEHFcó AEH AFH 900 90 180 ,0  0 mà hai góc này ở vị trí đối diện

nên AEHFlà tứ giác nội tiếp  HFE HAE    (hai góc nội tiếp cùng chắn HE  )(4)

Xét tứ giác AEDBta có:  AEB ADB    900  AEDBlà tứ giác nội tiếp (dhnb)

    5

DAE DBE

Từ       3 , 4 , 5  EAD EFH HFD HBD       

Hay  EFC CFD    FClà phân giác của DFE ( dfcm )

Xét  EBC vuông tại E có đường trung tuyến EM  EM BM   1 2 BC

EBM

  cân tại M MEB EBM      EMC MEB EBM      2 EBM  (góc ngoài

của tam giác) Lại có EFD   2 HFD   2 HBD   2 EBM cmt   

Ta có: FAI BCK    (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BK )

Xét tứ giác BFECcó  BEC BFC    90 ( ),0 gt do đó tứ giác BFEClà tứ giác nội tiếp (tứ

giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau)

 

AFI ACB

  (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp )

     900

FAI AFI BCK ACB ACK

      (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Dấu " "  xảy ra   A A ',khi đó điểm Alà điểm chính giữa của cung lớn BC

Vậy P DE EF DF    đạt giá trị lớn nhất khi điểm Alà điểm chính giữa của cung lớn

BC

LAI CHÂU

Câu 5 (3,0 điểm)

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn   O Từ Akẻ hai tiếp tuyến AB AC, và cát

tuyến ADEkhông đi qua tâm tới đường tròn đó (B C, là hai tiếp điểm, D nằm giữa Avà

E) Gọi Hlà giao điểm của AOvà BC

a) Chứng minh tứ giác ABOClà tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh AH AO AD AE 

c) Tiếp tuyến tại D của đường tròn   O cắt AB AC, theo thứ tự tại I K, Qua điểm

Okẻ đường thẳng vuông góc với OAcắt ABtại P và cắt ACtại Q Chứng minh

rằng : IP KQ PQ  

ĐÁP ÁN Câu 5.

Q

P I

K

H D

C

B

A

E O

a) Chứng minh ABOClà tứ giác nội tiếp

Ta có: B C     900  90 1800  0  ABOClà tứ giác nội tiếp

c) Gọi Ilà trung điểm của dây cung CDvà E là giao điểm của hai đường thẳng AB

và OI Tính độ dài đoạn thẳng OEtheo R khi 3

R

OI 

d) Qua tâm O kẻ đường thẳng vuông góc với OM cắt các đường thẳng MA MB , lần

lượt tại P, Q Tìm vị trị của điểm M để diện tích tam giác MPQđạt giá trị nhỏ

nhất

ĐÁP ÁN Câu 4.

a) Chứng minh tứ giác MAOBnội tiếp và MO AB 

Vì MA MB , là các tiếp tuyến của (O) nên OAM OBM     900

Xét tứ giác MAOBcó:  OAM   OBM  90 90 1800 0  0

MAOB

 là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 )0

Vì OA OB R      Othuộc trung trực của AB

MA MB  (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) M thuộc trung trực của AB

c) Tính độ dài đoạn thẳng OEtheo R

Gọi AB OM     H ,theo ý a )ta có OM AB  tại H

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM ,đường cao AHta có:

OA  OH OM

  vuông tại I  OMI MOI     900

Lại có: OEH EOH     90 (0 do OEH  vuông tại H)

Mà MOI EOH    nên  OMI  OEH   2

Từ (1) và (2) suy ra  OCH  OEH   OMI 

 Tứ giác OECHlà tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh

  vuông tại C, có đường cao CI

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OCEta có:



Xét tam giác MPQcó đường cao MOđồng thời là đường phân giác (tính chất hai tiếp

tuyến cắt nhau) nên  MPQlà tam giác cân tại M, do đó đường cao MOcũng đồng thời

là đường trung tuyến 2 2

Câu IV.(3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABCnội tiếp đường tròn   O Các đường cao BD CE , (D

thuộc AC E , thuộc AB )của tam giác kéo dài lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm M

và N (M khác B, N khác C )

1 Chứng minh tứ giác BCDEnội tiếp được trong một dường tròn

2 Chứng minh MNsong song với DE

3 Khi đường tròn (O) và dây BCcố định, điểm A di động trên cung lớn BC sao cho

tam giác ABCnhọn, chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE

không đổi và tìm vị trí của điểm A để diện tích tam giác ADEđạt giá trị lớn nhất.

ĐÁP ÁN Câu IV.

G I

K H

F

D E

M N

P

O A

B

C

1) Chứng minh tứ giác BCDEnội tiếp

Vì BD CE , là các đường cao của  ABCnên

2) Chứng minh MN song song với DE

Vì BCDElà tứ giác nội tiếp (cmt) BDE BCE    (cùng chắn cung BE)

Mà  BCE BCN BMN     (hai góc nội tiếp cùng chắn BN  )

Xét tứ giác AEHDcó  AEH ADH    900  90 1800  0  AEHDlà tứ giác nội tiếp

Lai có  AEH  900nên là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, do đó tứ giác AEHDnội tiếp

đường tròn đường kính AH ,tâm I là trung điểm của AH

Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác ADElà đường tròn ;

2

AH I

 Hai đường chéo BC HF , cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà K là trung điểm BC

(theo cách vẽ) nên Kcũng là trung điểm của HF

Khi đó OKlà đường trung bình của  AHFnên

1 2

OK  AH

(tính chất đường trung bình) , suy ra đường tròn ngoại tiếp  ADElà đường tròn  I OK ; 

Mà   O và BCcố định, do đó O K , cố định nên OK không đổi

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp  ADEbằng OK không đổi

Ta có:

1 2

BAC sd cung BC

mà BCcố định nên sđ cung BC không đổi.

Do đó BACkhông đổi

Xét  ADEvà  ACBcó: BAC chung  ;

AED ACB

 

  

Xét tam giác vuông ABDcó: AD cos BAC

, mà cos BAC  không đổi nên S AED

đạt giá trị lớn nhất thì S ABCmax

Kéo dài AHcắt BCtại P nên AP BC  và

1 . 2

ABC

S  AP BC

Do BCkhông đổi (giả thiết) nên S ABCkhông đổi  APlớn nhất

Khi đó Aphải là điểm chính giữa của cung lớn BC

Vậy S AEDđạt giá trị lớn nhất khi A là điểm chính giữa của cung lớn BC

PHẦN 3: CÒN LẠI

AN GIANG

Câu 4 (2,0 điểm)

Cho tam giác có ba góc đều nhọn và nội tiếp trong đường tròn Vẽ các

đường cao cắt nhau tại

a) Chứng minh rằng tứ giác là tứ giác nội tiếp

b) Kéo dài cắt đường tròn tại điểm Chứng minh rằng tam giác cân

ĐÁP ÁN Câu 4.

Bài 4 (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn có đường kính Lấy điểm C thuộc cung

sao cho (C khác Hai tiếp tuyến của nửa đường tròn tại và

d) Hai tia và cắt nhau tại P, đặt

Chứng minh giá trị của biểu thức là một hằng số

ĐÁP ÁN Bài 4.

α

P N

H

M

B O

A

C

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp

Vì là các tiếp tuyến của nên

Lại có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Từ (1) và (2) suy ra cân tại C

d) Chứng minh giá trị biểu thức … là một hằng số

Câu 4 (2,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính Gọi là hai điểm phân

biệt cố định trên đường tròn ( không là đường kính) Trên tia đối của tia

lấy một điểm ( khác Qua kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn đã cho

là hai tiếp điểm)

d) Chứng minh tứ giác nội tiếp trong một đường tròn

e) Đoạn thẳng cắt đường tròn tại điểm Chứng minh rằng khi

thì là trọng tâm của tam giác

f) Gọi là điểm đối xứng của qua O Đường thẳng đi qua vuông góc với

cắt các tia lần lượt tại các điểm Pvà Q Khi M di động trên tia đối

của tia BA ,tìm vị trí của điểm M để tứ giác MPNQcó diện tích nhỏ nhất

ĐÁP ÁN Câu 4.

Q

D N

E

O

d) Chứng minh tứ giác OCMDnội tiếp

Xét đường tròn tâm Ocó MC MD , là các tiếp tuyến  OCM ODM     900

Tứ giác OCMDcó: OCM ODM     90 90 1800  0  0  OCMDlà tứ giác nội tiếp

e) Chứng minh Elà trọng tâm  MCD

Xét đường tròn (O) có MC MD , là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên MC MD  và MO

là tia phân giác của CMD 

Mà

 600  1  1 .600 300

CMD   OMD  CMD  