Chuyên đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Đại số là mảng kiến thức rộng, trong đó chuyên đề về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là một phần tương đối khó, xuất hiện thường xuyên trong các đề thi ôn tập, học kì, hay tốt nghiệp và cả học sinh giỏi. Hơn hết, khi nắm chắc kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất giúp ích rất nhiều trong quá trình học của bậc phổ thông.

CHUYÊN ĐỀ : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC

A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

Khái niệm: Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biểu thức thuộc khoảng xác định nói trên

- Chỉ ra dấu “ = ” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến

Ký hiệu: Min A là giá trị nhỏ nhất của A và Max A là giá trị lớn nhất của A

+) Nếu m > 0, n > 0 thì ta tìm được giá trị nhỏ nhất

+) Nếu m < 0, n <0 thì ta tìm được giá trị lớn nhất

Dễ thấy rằng luôn tồn tại (x; y) để có dấu của đẳng thức, như vậy ta sẽ tìm được cực trị của đa thức đã cho

Trong cả hai trường hợp trên:

- Nếu r = 0 thì phương trình F(x; y) = 0 có nghiệm

- Nếu F x y ;   r 0

hoặc F x y ;   r 0

thì không có x y; 

nào thảo mãn F(x; y) = 0 +) Nếu a0; 4ac b 2 0;r 0  2 :F x y ; 

phân tích được tích của hai nhân tử, giúp ta giải được các bài toán khác

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của

y z

z z

Bài 9: Tìm min của:

Bài 17: Tìm min của:

- Dồn biến từ điều kiền rồi thay vào biểu thức.

- Biến đổi biểu thức thành các thành phần có chứa điều kiện để thay thế

Mặt khác:

2 2

20

Bài 9: Tìm GTLN, GTNN của S ab2009, với a, b, là hai số thực khác 0 và

02

02

Bài 11: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn :

Bài 5: Tìm min của:

3 3

C x y xy biết: x y  1

Hướng dẫn

Từ giả thiết =>y  1 x thay vào C ta được: Cx31 x3xy2x2 2x1

Bài 6: Tìm min của:

2 2 2

D x  y biết: x 2y 1

Hướng dẫn

Từ giả thiết suy ra x  1 2y thay vào D 1 2y22y2

Bài 7: Tìm min của: E2x25y2 biết: 4x 3y 7

thay vào E và làm tiếp

Bài 8: Cho a, b>0 và a+b=4, tìm GTLN của

Mà a b  1 a2b2  1 2ab thay vào (1) ta được: 2 2 2 2

2

8

88

y x

x y

Từ gt ta có : y  2 x thay vào A ta được : A x 32 x32 2x  x

Bài 19: Cho các số thực x, y thỏa mãn: x y  4 0  , Tìm max của:

Bài 22: Cho x,y  R thỏa mãn: x22xy7x y 2y210 0

Tìm min và max của:

Bài 23: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn:

2

12

Bài 28: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: 2x 3y z  4, Tìm min max của Axy yz zx 

Bài 34: Cho hai số x, y thỏa mãn: x4y4 7xy3 2 xy

, Tìm min max của: Pxy

a b

Bài 45: Cho x y z, ,  0, 2x 7y 2014,3x 5z 3031, Tìm GTLN của biểu thức A x y z  

Hướng dẫn

Cộng theo vế của gt ta có: 5x 5y 5z 5045 2  y 5045 do y 0

nên 5x y z   5045   x y z 1009

Bài 46: Cho a b 2,Tìm max của: A ab a  2b2

Bài 48: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn : x y z   3, Tìm GTLN của :Bxy yz zx 

- Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ

- Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ

Bài 19: Tìm min của: I x4 6x3 11x2 12x 20

Ta có A  x 3 x1 x 4 3   x 3 x1 4 x 3

Lại có x1 0  x1; x3  x 3 x3; 4 x  4 x x 4 A x    3 0 4 x 3 4Vậy MinA 4 x1

Bài 8: (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 420) Tìm GTNN của

Dạng 7: Dạng phân thức

A Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai

Phương pháp: Biểu thức dạng này đạt giá trị nhỏ nhất khi mẫu đạt giá trị lớn nhất

y 

tại

12

K x

B Phân thức có mẫu là bình phương của 1 nhị thức

Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu

Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm

4 1

x x G

3 8 6

2 1

x x E

x x F

x





Lời giải

2 2000

x x D

x x E

1

x x B

2 2012

x x B

x

 



Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu

Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm

1 Bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu

Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau

x A

x B x

2 2 2

Bài 4: [ HSG – Yên Phong – 2016 – 2017 ]

A x

x M

x D x

x F x

Khi đó :  

2 2

5128

x B x







Lời giải

x B x

11

x H x

2 16 71

8 22

x x I





Lời giải

Nháp : Đặt

2

10

21

11

x G x

x P

22

x K

x M x







Lời giải

Nháp :

2 2

1 3( ) x

P x  x  

Bài 29: Tìm GTNN của biểu thức:

2 2

1( 1)

2 Bậc của tử bằng bậc của mẫu

Bài 1: Tìm GTN N của các biểu thức sau

B x

x x N

Bài 8: Tìm min hoặc max của:

2 2

3 6 17

2 5

x x Q

2 16 41

8 22

x x R

Làm tương tự như các bài trên

Bài 11: Tìm min hoặc max của:

2 2

2 6 5

2 1

x x Q

Bài 13: Tìm min hoặc max của:

2 2

3 6 17

3 5

x x H

4 1

x x K

2 4 9

2 4

x x N

2 4 9

2 4

x x D

2 2

2 2

x x F

y y

, làm giống các bài trên

Bài 20: Tìm min hoặc max của:

2 2

11

x J

Chia cả tử và mẫu cho y2 ta được:

2 2

5 3

x y Q

y y

4

x y R

y y

6 23

6 10

x x A



Lời giải

Chia cả tử và mấu cho y2 ta được:

2 2

2

x x E

4 14

2 1

x x F

4 6 3

2 3 2

x x G

y y

H

y y

Bài 30: Tìm min hoặc max của:

2 2

4 22 19

4 4

x x I

9 30 7

9 6 1

x x K

122

x x

Với y ≠ 0 chia cả tử và mẫu cho y2 ta được:

2 2 2 2

y y M

y y

Chia cả tử và mấu cho y2 ta được:

2 2 2 2

y y

N

y y

1

y y P x y

3 3

2 1

x x Q

11

x x y y R

x x y y

Nháp :

2 2