Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh trung học cơ sở thông qua các bài toán cực trị trong hình học phẳng 1

Nhữngtri thức và kĩ năng toán học trở thành công cụ để học tập những môn học kháctrong nhà trờng, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau, là công cụ để hoạt động trong đời sống th

Và con xin đợc gửi lời cảm ơn đến bố mẹ kính yêu của con, bố mẹ

đã động viên con rất nhiều và tạo cho con những điều kiện tốt nhất để con

có đợc ngày hôm nay.

Hà Nội, tháng 11 năm 2008

Tác giả luận văn

Vơng Thị Thu Thủy

-2

-Mục lục

Mục lục 2

Các kí hiệu viết tắt 1

Mở đầu 2

Chơng I Cơ sở lý luận và thực tiễn 1

1 Vai trò, vị trí và ý nghĩa của môn Toán 1

1.1 Vai trò, vị trí của môn Toán 1

1.2 Mục tiêu của môn Toán ở THCS 2

2 T duy Toán học 2

2.1 T duy 2

2.1.1 Khái niệm t duy 2

2.1.2 Các hình thức cơ bản của t duy 3

2.2 Nội dung của t duy toán học 4

2.3 Các thao tác t duy toán học 5

2.3.1 Phân tích- Tổng hợp 5

2.3.2 So sánh- Tơng tự 6

2.3.3 Khái quát hóa- Đặc biệt hóa 7

2.3.4 Trừu tợng hóa 8

2.4 Một số loại t duy toán học 9

2.4.1 T duy phê phán 9

2.4.2 T duy giải toán 9

2.4.3 T duy sáng tạo 9

2.4.4 T duy thuật toán 13

2.4.5 T duy hàm 13

3 Một số khái niệm về năng lực toán học 14

3.1 Năng lực 14

3.2 Năng lực toán học 14

3.3 Năng lực giải toán 15

4 Vai trò và chức năng của bài tập toán 16

4.1 Vai trò, chức năng của bài tập toán 16

4.2 Yêu cầu lời giải một bài toán 17

4.2.1 Lời giải không sai lầm 17

4.2.2 Lập luận có căn cứ chính xác 18

4.2.3 Lời giải phải cặn kẽ, đầy đủ 18

4.2.4 Cách giải đơn giản nhất, hay nhất 18

4.2.5 Trình bày rõ ràng, hợp lý 19

5 Phơng pháp chung để giải toán 19

5.1 Các bớc giải toán của G.Polya 19

5.2 Cách thức dạy, phơng pháp chung để giải toán 21

6 một số Phơng hớng bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi ở trờng trung học cơ sở 22

6.1 Bồi dỡng TDST cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác 22

6.2 Bồi dỡng TDST cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tởng mới 23

6.3 Chú trọng bồi dỡng từng yếu tố cụ thể của TDST 23

6.4 Bồi dỡng TDST là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học 24

-3

-Chơng ii: Một số biện pháp rèn luyện năng lực giải toán

cho học sinh THCS 25

1 Truyền thụ cho học sinh một số kháI niệm, cách trình bày và cách giảI Bài toán cực trị trong hình học phẳng 25

1.1 Thế nào là bài toán cực trị hình học 25

1.2 Dạng của bài toán cực trị hình học 25

1.3 Cách trình bày bài toán cực trị hình học 26

1.4 Cách giải bài toán cực trị 27

2 truyền thụ cho học sinh Một số kiến thức thờng dùng để giải bài toán Cực trị trong hình học phẳng 31

2.1 Quan hệ giữa đờng vuông góc, đờng xiên, hình chiếu 31

2.2 Quan hệ giữa đoạn thẳng và đờng gấp khúc 32

2.3 Các bất đẳng thức trong đờng tròn 34

2.4 Bất đẳng thức Côsi 36

2.5 Tỉ số lợng giác 40

3 Rèn luyện năng lực giải toán theo các thành phần cơ bản của t duy sáng tạo 43

4 Rèn luyện các hoạt động trí tuệ của học sinh qua giải các bài tập toán 54

5 Bài tập tổng hợp 73

Chơng III Thực nghiệm s phạm 82

Tài liệu tham khảo 92

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Hiến pháp nớc Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam năm 1992 đã ghi ở

điều 35: "Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu" Báo cáo chính trị củaBan chấp hành Trung ơng khoá VII tại Đại hội Đại biểu Toàn quốc lần thứVIII của Đảng lại khẳng định "Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầunhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dỡng nhân tài"

"Trong các môn khoa học và kỹ thuật, toán học giữ một vị trí nổi bật

Đây là môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện

ph-ơng pháp suy nghĩ, phph-ơng pháp suy luận, phph-ơng pháp học tập, phph-ơng pháp giảiquyết các vấn đề; giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh sáng tạo

Toán học còn giúp chúng ta rèn luyện nhiều đức tính quý báu khác nhcần cù và nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vợt khó, yêu thích chính xác, hamchuộng chân lý Dù các bạn phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì cáckiến thức và phơng pháp toán học cũng rất cần cho các bạn" [11, tr1]

Các thầy giáo, cô giáo dạy toán chính là những huấn luyện viên trongmôn thể thao trí tuệ này Công việc dạy toán của giáo viên (GV) nhằm rènluyện cho học sinh (HS) t duy toán học cùng những phẩm chất của con ngờilao động mới để các em vững vàng trở thành những chủ nhân tơng lai của đấtnớc

ở trờng phổ thông, dạy học Toán là dạy hoạt động toán học

Các bài toán ở trờng phổ thông là một phơng tiện rất có hiệu quả vàkhông thể thay thế đợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển

t duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào cuộc sống Dạy họcgiải toán mang trong mình các chức năng: giáo dỡng, giáo dục, phát triển vàkiểm tra Vì vậy hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đíchdạy học toán Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải toán có vai tròquan trọng đối với chất lợng dạy học toán

Trong chơng trình toán phổ thông, hình học là một mảng kiến thức lớn vàquan trọng Ngay từ tiểu học, học sinh đã làm quen với hình học dới hình thức

đơn giản Các khái niệm về điểm, đờng thẳng, mặt phẳng đã đợc định nghĩa ờng minh trong chơng trình Toán ở THCS

t-Các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất trong hình họcphẳng, còn gọi là toán cực trị hình học thờng không gặp trong các sách giáokhoa môn Toán bởi chúng thờng là những bài toán khó Bài toán dạng này th-ờng không cho sẵn điều phải chứng minh, đòi hỏi học sinh phải tự mình tìmlấy kết quả của bài toán Những bài toán này dẫn dắt học sinh có thói quen đitìm một giải pháp tối u cho một công việc cụ thể trong cuộc sống thực tế Điều

đó cho thấy rằng toán cực trị là loại toán rất gần gũi với thực tế và có nhiềuứng dụng trong thực tế hàng ngày Đối với bài toán cực trị, thờng có nhiềucon đờng để đi đến đích, trong đó có những cách giải ngắn gọn hợp lý, đôi khi

có những phơng án độc đáo, sáng tạo Do vậy nó giúp học sinh rèn luyện nếpnghĩ khoa học, luôn mong muốn làm những công việc đạt hiệu quả cao nhất,tốt nhất Vì vậy, nó góp phần không nhỏ vào việc phát triển trí tuệ, thúc đẩyniềm say mê học toán cho học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi.Bài toán cực trị hình học thờng xuất hiện trong các đề thi vào trờngchuyên, lớp chuyên, thi học sinh giỏi nhng đa số học sinh cha nắm chắc đợc

đặc trng và phơng pháp giải, do đó học sinh gặp phải rất nhiều khó khăn vàhay mắc phải sai lầm

Để góp phần giải quyết vấn đề này, tôi chọn đề tài:

"Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh Trung học Cơ sở thông qua các bài toán cực trị trong hình học phẳng".

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS thôngqua các bài toán cực trị trong hình học phẳng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Nghiên cứu nội dung rèn luyện năng lực giải toán phổ thông

3.2 Nghiên cứu các dạng bài toán cực trị trong hình học phẳng và cáchgiải cụ thể của từng dạng bài

3.3 Nghiên cứu một số biện pháp để rèn luyện năng lực giải toán cho họcsinh THCS

4 Phơng pháp nghiên cứu

4.1 Nghiên cứu lý luận: cơ sở lý luận về Tâm lí học, Giáo dục học, lýluận dạy học môn toán để phân tích các nguyên nhân và xây dựng các biện

ph¸p d¹y häc nh»m h¹n chÕ, söa ch÷a c¸c sai lÇm cña häc sinh trong khi gi¶ito¸n, gãp phÇn rÌn luyÖn n¨ng lùc gi¶i to¸n cho häc sinh.

4.2 Thùc nghiÖm s ph¹m

5 §èi tîng nghiªn cøu

Qu¸ tr×nh d¹y häc c¸c bµi to¸n cùc trÞ h×nh häc cho häc sinh kh¸ giái ëlíp 9 (trêng THCS)

6 Ph¹m vi nghiªn cøu

Ch¬ng tr×nh h×nh häc ph¼ng ë THCS

7 CÊu tróc cña luËn v¨n

Ngoµi phÇn Më ®Çu, KÕt luËn, Tµi liÖu tham kh¶o, luËn v¨n gåm 3

Chơng I Cơ sở lý luận và thực tiễn

1 Vai trò, vị trí và ý nghĩa của môn Toán

1.1 Vai trò, vị trí của môn Toán

Trong nhà trờng phổ thông, môn Toán có một vai trò, vị trí và ý nghĩa hếtsức quan trọng

Thứ nhất, môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông Môn Toán góp phần phát triển nhân cách.

Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện

kĩ năng Toán học cần thiết, môn Toán còn có tác dụng góp phần phát triểnnăng lực trí tuệ chung nh phân tích, tổng hợp, trừu tợng hoá, khai thác hoá rèn luyện những đức tính, phẩm chất của ngời lao động mới nh tính cẩn thận,chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dỡng óc thẩm mĩ

Thứ hai, môn Toán cung cấp vốn văn hoá Toán học phổ thông và tơng

đối hoàn chỉnh bao gồm kiến thức, kỹ năng, phơng pháp t duy

Thứ ba, môn Toán còn là công cụ giúp cho việc dạy và học các môn học

khác Do tính trừu tợng cao độ, Toán học có tính thực tiễn phổ dụng Nhữngtri thức và kĩ năng toán học trở thành công cụ để học tập những môn học kháctrong nhà trờng, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau, là công cụ

để hoạt động trong đời sống thực tế và vì vậy là một thành phần không thểthiếu của trình độ văn hoá phổ thông của con ngời mới Cùng với việc kiến tạotri thức, môn Toán trong nhà trờng còn rèn luyện cho học sinh những kĩ năngtính toán, vẽ hình, kĩ năng sử dụng những dụng cụ Toán học và máy tính điệntử Môn Toán còn giúp học sinh hình thành và phát triển những phơng pháp,phơng thức t duy và hoạt động nh: toán học hoá tình huống thực tế, thực hiện

và xây dựng thuật giải, phát hiện và giải quyết vấn đề

Trong thời kì phát triển mới của đất nớc, môn Toán càng có ý nghĩa quantrọng hơn

1.2 Mục tiêu của môn Toán ở THCS

Môn toán ở THCS nhằm

a Cung cấp cho học sinh những kiến thức, phơng pháp Toán học phổ

thông, cơ bản, thiết thực

b Hình thành và rèn luyện các kĩ năng tính toán, vẽ hình, đo đạc, ớc

l-ợng Bớc đầu hình thành khả năng vận dụng kiến thức toán học vào đời sống

và vào các môn học khác

c Rèn luyện khả năng suy luận hợp lí và hợp lôgic, khả năng quan sát,

dự đoán, phát triển trí tởng tợng không gian Rèn luyện khả năng sử dụngngôn ngữ chính xác, bồi dỡng các phẩm chất của t duy Bớc đầu hình thànhthói quen tự học, diễn đạt chính xác ý tởng của mình và hiểu đợc ý tởng củangời khác Góp phần hình thành các phẩm chất lao động khoa học cần thiếtcủa ngời lao động

2 T duy Toán học

2.1 T duy.

2.1.1 Khái niệm t duy

T duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, nhữngmối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật và hiện tợng

Theo quan điểm của chủ nghĩa duy vật biện chứng thì t duy là “sản vậtcao cấp của một sụ vật hữu cơ đặc biệt, tức là óc, qua quá trình hoạt động của

sự phản ánh hiện thực khách quan bằng biểu tợng, khái niệm, phán đoán Tduy bao giờ cũng liên hệ với một sự vận động của vật chất- với sự hoạt độngcủa óc Khoa học hiện đại đã chứng minh đợc rằng t duy là đặc tính của vậtchất” Paplop đã chứng minh một cách không thể chối cãi rằng bộ óc là cơ cấuvật chất của hoạt động tâm lí Ông viết “ Hoạt động tâm lí là kết quả của hoạt

động sinh lí của một bộ phận nhất định của óc ”

T duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, thờng bắt đầu từ nhậnthức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có vấn

đề Dù cho t duy có khái quát và trừu tợng đến đâu thì trong nội hàm của t duycũng vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính

Con ngời chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, để tiến hành cácthao tác trí tuệ và để biểu đạt kết quả t duy Ngôn ngữ đợc xem là phơng tiệncủa t duy

Sản phẩm của t duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận đợc biểu

đạt bằng những từ ngữ, câu, kí hiệu, công thức, mô hình,

T duy mang tính khái quát, tính gián tiếp và tính trừu tợng

Cả nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính đều nảy sinh từ thực tiễn vàlấy thực tiễn làm tiêu chuẩn kiểm tra tính đúng đắn của nhận thức

T duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội Ngời ta dựa vào t duy đểnhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng nhữngquy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình

2.1.2 Các hình thức cơ bản của t duy.

+ Khái niệm: Khái niệm là một hình thức t duy phản ánh một lớp đối

t-ợng và do đó nó có thể đợc xem xét theo hai phơng diện: Ngoại diên và nộihàm Bản thân lớp đối tợng xác định khái niệm đợc gọi là ngoại diên, còn toàn

bộ các thuộc tính chung của lớp đối tợng này đợc gọi là nội hàm của lớp đối ợng đó Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ mang tính quy luật: Nộihàm càng mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngợc lại

t-Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì kháiniệm A đợc gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm B đợc gọi làmột khái niệm loại của A

+ Phán đoán: Phán đoán là hình thức t duy, trong đó khẳng định mộtdấu hiệu thuộc hay không thuộc một đối tợng Phán đoán có tính chất hoặc

đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trờng hợp đó mà thôi

TTrong t duy, phán đoán đợc hình thành bởi hai phơng thức chủ yếu: trựctiếp và gián tiếp Trong trờng hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả nghiêncứu của quá trình tri giác một đối tợng, còn trong trờng hợp thứ hai, phán đoán

đợc hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy luận Cũng

nh các khoa học khác, toán học thực chất là một hệ thống các phán đoán vềnhững đối tợng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng sai của các luận

điểm

+ Suy luận: suy luận là một quá trình t duy có quy luật, quy tắc nhất

định (gọi là các quy luật, quy tắc suy luận) Muốn suy luận đúng cần phảituân theo những quy luật, quy tắc ấy Có hai hình thức suy luận là suy diễn vàquy nạp Suy diễn đi từ cái tổng quát đến cái riêng, còn quy nạp đi từ cái riêng

đến cái chung

Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau Quynạp để đi đến các luận đề chung làm cơ sở cho quá trình suy diễn, ngợc lại suydiễn để kiểm chứng kết quả của quy nạp.

2.2 Nội dung của t duy toán học

Hoạt động của t duy phụ thuộc vào đối tợng t duy Do vậy, khi đề cập

đến nội dung của t duy toán học, chúng ta cần hiểu biết những đặc điểm củatoán học với t cách là đối tợng của t duy toán học

+ Đối tợng của toán học

Toán học nghiên cứu cái gì?

Theo P.Ănghen trong “Chống Duyrinh”: “Đối tợng của toán học thuầntúy là những hình dạng không gian và những quan hệ số lợng của thế giới hiệnthực, tức là một t liệu rất cụ thể T liệu này biểu hiện dới hình thức cực kì trừutợng, đó chỉ là bức màn bên ngoài che lấp nguồn gốc của nó trong thế giớihiện thực”

Theo V.I Lenin trong “Bút kí triết học”: “Cái mà toán học dạy chúng ta,

đó là những mối quan hệ giữa các sự vật về mặt thứ tự, số và quảng tính”Theo GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn: “ về toán học thì có hai góc độ đểnhìn khoa học này; hai góc độ đó ứng với hai định nghĩa sau đây về toán học:

- Toán học là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lợng, hình dáng vàlôgic trong thế giới khách quan

-Toán học là khoa học nghiên cứu về cấu trúc số lợng mà ngời ta có thểtrang bị cho một tập hợp bằng một hệ tiên đề”

Đối tợng của toán học đợc cụ thể hóa và mở rộng dần qua từng giai đoạn.Giai đoạn toán học hiện đại, ứng với nền sản xuất tự động hóa, toán họcnghiên cứu các cấu trúc và thuật toán đồng thời với lôgic toán

Ngày nay, bên cạnh toán học kinh điển vẫn phát triển mạnh mẽ, ta cótoán học kiến thiết, cùng với cấu trúc ta có thuật toán, chúng đối lập với nhaunhng bổ sung cho nhau, là cơ sở của phơng pháp mô hình hóa và thuật toánhóa của điều khiển học

2.3 Các thao tác t duy toán học

2.3.1 Phân tích- Tổng hợp

A Phép tổng hợp là phơng pháp suy luận đi từ cái đã biết đến cái cha

biết Nếu gọi B là phán đoán cần chứng minh và Ai (i1,n) hoặc là tiên đề,

định lí hoặc là giả thiết đã biết thì sơ đồ của phép tổng hợp nh sau

So sánh có hai mục đích: phát hiện những đặc điểm chung và những đặc

điểm khác nhau ở một số đối tợng Mục đích thứ nhất dẫn đến tơng tự và ờng đi đôi với khái quát hóa

Đối tợng A có các tính chất a; b; c  Đối tợng B có tính chất c

Đối tợng B có các tính chất a; b

Ví dụ: Trong mọi tam giác, các đờng cao đồng quy tại trực tâm Nếu chorằng, tơng tự, trong mọi tứ diện đều có các đờng cao đồng quy tại trực tâm làsai, vì điều này chỉ đúng với các tứ diện có các cặp cạnh đối vuông góc vớinhau mà thôi.

2.3.3 Khái quát hóa- Đặc biệt hóa

Khái quát hóa

- Khái quát hóa là thao tác t duy chuyển từ khái niệm hay tính chất nào

đó có ngoại diên hẹp sang khái niệm hay tính chất nào đó có ngoại diên rộnghơn, bao gồm tập hợp các đối tợng ban đầu (khái quát hóa ngoại diên)

- Khái quát hóa cũng là thao tác t duy chuyển từ khái niệm hay tính chấtnào đó sang khái niệm hay tính chất rộng lớn hơn, bao gồm khái niệm haytính chất ban đầu (Khái quát hóa nội hàm)

Trong “Phơng pháp dạy học môn Toán”, các tác giả Nguyễn Bá Kim, VũDơng Thụy có nêu rõ hơn “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tợngsang một tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chungcủa các phần tử của tập hợp xuất phát” [4]

Theo [10,tr 13] có hai con đờng khái quát hóa: con đờng thứ nhất trên cơ

sở so sánh những trờng hợp riêng lẻ; con đờng thứ hai không dựa trên sự sosánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tợng trong hàng loạt hiện tợnggiống nhau

Nh vậy, khái quát hóa là thao tác t duy nhằm phát hiện những qui luậtphổ biến của một lớp các đối tợng hoặc hiện tợng từ một hoặc một số các tr-ờng hợp riêng lẻ Với ý nghĩa đó, khái quát hóa thuộc về các phép suy luận có

lí, nên các kết luận rút ra từ khái quát hóa thờng mang tính chất giả thuyết, dự

đoán Tuy nhiên trong nhiều trờng hợp kết luận từ khái quát hóa có thể thu

đ-ợc nhờ qui nạp hoàn toàn

Trong toán học, khái quát hóa liên hệ chặt chẽ với các thao tác t duykhác nh: phân tích, tổng hợp, so sánh,

Đặc biệt hóa

- Đặc biệt hóa là thao tác t duy ngợc của khái quát hóa Đặc biệt hóa làthao tác t duy chuyển một khái niệm hay tính chất nào đó từ ngoại diên rộng

sang tập hợp các đối tợng có ngoại diên hẹp, chứa đựng trong tập hợp ban đầu(đặc biệt hóa về ngoại diên)

- Đặc biệt hóa cũng là thao tác t duy chuyển từ khái niệm hay tính chấttổng quát về khái niệm hay tính chất xuất phát (đặc biệt hóa về nội hàm)

- Đặc biệt hóa có thể hiểu là quá trình minh họa hoặc giải thích nhữngkhái niệm, định lí tổng quát bằng những trờng hợp riêng lẻ, cụ thể Đặc biệthóa thờng đợc sử dụng trong việc trình bày các khái niệm, chứng minh các

định lí, bài tập, Trong bài toán quỹ tích, đặc biệt hóa thờng đợc sử dụngtrong mò mẫm, dự đoán quỹ tích, trên cơ sở đó hình thành phơng pháp chứngminh cho toàn bộ bài toán

Phơng pháp đặc biệt hóa thờng đợc dùng để bác bỏ một mệnh đề, pháthiện một tính chất, đặt ra một bài toán mới

Mối quan hệ giữa khái quát hóa và đặc biệt hóa thuờng đợc vận dụngtrong tìm tòi, giải toán Từ một tính chất nào đó ta muốn khái quát hóa (vềngoại diện hay nội hàm) ta thử đặc biệt hóa Nếu kết quả của đặc biệt hóa là

đúng thì ta mới tìm cách chứng minh dự đoán từ khái quát hóa, nếu sai thìdừng lại

2.3.4 Trừu tợng hóa

- Trừu tợng hóa là thao tác tách ra từ một đối tợng toán học một tính chất(về quan hệ số lợng hoặc hình dạng hoặc lôgic của thế giới khách quan) đểnghiên cứu riêng tính chất đó Trừu tợng hóa thoát ra khi mọi nội dung có tínhchất chất liệu

- Trừu tợng hóa có liên hệ mật thiết với khái quát Nhờ trừu tợng hóa ta

có thể khái quát hóa rộng và sâu hơn Trừu tợng hóa và khái quát hóa là nguồngốc của sự hình thành các khái niệm toán học

2.4 Một số loại t duy toán học

2.4.1 T duy phê phán

T duy phê phán nhằm trả lời hai câu hỏi:

- Tôi sẽ tin vào điều gì?

- Tôi sẽ lựa chọn cách nào?

Loại hình t duy này đợc đặc trng bởi việc tạo lập tiêu chuẩn cho sự tin ởng và hành động, kiên định thái độ của “phản xạ hoài nghi” và chỉ đa ra phán

t-đoán cuối cùng khi đã xem xét hết các t liệu đã có

2.4.2 T duy giải toán

T duy giải toán hớng về quá trình tổng hợp, phân tích theo đó chúng ta sửdụng những gì đã biết để tìm ra cái cha biết

G.Polia đã đa ra tiến trình 4 bớc trong giải toán nh sau:

- Tìm hiểu bài toán (understand the problem)

- Xây dựng lời giải (devise a plan)

- Trình bày lời giải (Carry out the plan)

- Nghiên cứu sâu lời giải (verification)

2.4.3 T duy sáng tạo

- T duy sáng tạo (TDST) là một dạng t duy độc lập, tạo ra ý tởng mới độc

đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao

- T duy sáng tạo tập trung vào sự tìm ra những lời giải, những sản phẩmhay, quá trình độc đáo T duy sáng tạo đợc ghi nhận nhờ những tiếp cận tởngtợng, phân kì đối với bài toán và trực giác (hay linh cảm) là nguồn cung cấp

ý tởng hữu ích

- Lecne cho rằng: “Sự sáng tạo là quá trình con ngời xây dựng cái mới vềchất bằng hành động trí tuệ đặc biệt mà không thể xem nh là hệ thống cácthao tác hoặc hành động đợc mô tả thật chính xác và đợc điều hành nghiêmngặt”

- GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn có nói “Ngời có óc sáng tạo là ngời cókinh nghiệm phát hiện vấn đề và giải quyết đợc vấn đề đã đặt ra”

Có hai mức sáng tạo:

Mức độ 1: Cách mạng trong một lĩnh vực nào đó, làm thay đổi tận gốccác quan niệm của một hệ thống, tri thức và sự vận dụng Nh sự phát hiện rahình học phi Ơclit của Lôbasepxki, lí thuyết nhóm của Galoa,

Mức độ 2: Phát triển liên tục cái đã biết, mở rộng lĩnh vực ứng dụng Nh

sự phát triển của máy tính, của lazer

Đối với ngời học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ tự

đơng đầu với những vấn đề mới đối với họ và họ tự mình tìm tòi độc lập

những vấn đề đó, để tự mình thu nhận đợc cái mới mà họ cha từng biết Nhvậy một bài tập cũng đợc xem nh là yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nókhông bị những mệnh lệnh nào đó chi phối, tức là ngời giải cha biết thuật toán

để giải và phải tiến hành tìm kiếm với những bớc đi cha biết trớc

Những thành phần cơ bản của cấu trúc t duy sáng tạo

1 Tính mềm dẻo:

Tính mềm dẻo của t duy có các đặc trng nổi bật sau:

- Dễ dàng chuyển từ hoạt động này sang hoạt động khác, vận dụng linhhoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hoá, cụ thể hoá cácphơng pháp suy luận nh: Quy nạp, suy diễn, tơng tự, dễ dàng chuyển từ giảipháp này sang giải pháp khác; điều chỉnh kịp thời hớng suy nghĩ nếu gặp trởngại

- Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc nhữngkinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào trong hoàn cảnh mới, điều kiệnmới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi có khả năng thoát khỏi ảnh hởngkìm hãm của những kinh nghiệm, những phơng pháp, những suy nghĩ đã có tr-ớc

- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năngmới của đối tợng quen biết

Qua cơ sở lý luận tính mềm dẻo trong t duy, ta thấy để giải một bài tập

cụ thể có vớng mắc, hoặc thấy cách giải còn cha hay thì gợi mở cho học sinhtheo các hớng trên thì hiệu quả đạt đợc sẽ tốt hơn

2 Tính nhuần nhuyễn: : Đợc thể hiện rõ nét ở 2 đặc trng sau:

- Tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán: Khả năng tìm đợcnhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trớc mộtvấn đề khi giải quyết, ngời có t duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuấtnhiều phơng án khác nhau và từ đó đa ra đợc phơng án tối u

- Khả năng xem xét đối tợng dới nhiều khía cạnh khác nhau, có mộtcách nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tợng chứ không phảicái nhìn bất biến, phiếm diện, cứng nhắc

Khi thực hành giải toán, để thực hiện đợc điều này ta cần phân tích chohọc sinh thấy rõ các bớc để giải một bài toán, tìm sự quan hệ gần gũi giữa bàitoán đã cho với các bài toán đã biết Qua đó thể hiện đợc tính nhuần nhuyễncủa t duy, tính độc lập trong suy nghĩ

(b) (a)

Hình 1

3 Tính độc đáo: tìm kiếm và quyết định phơng thức mới

Tính độc đáo của TDST đợc đặc trng bởi các khả năng

- Khả năng tìm ra những liên tởng và những kết hợp mới

- Khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài ởng nh không có liên hệ với nhau

t-4 Tính hoàn thiện: lập kế hoạch, phối hợp các hoạt động

5 Tính nhạy cảm vấn đề: nhanh chóng phát hiện vấn đề, liên tởng tốt

Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại chúng quan

hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ, bổ sung cho nhau Khả năng dễ dàng chuyển từhoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiệncho việc tìm đợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau(tính nhuần nhuyễn) và nhờ đề xuất nhiều phơng án khác nhau mà có thể tìm

đợc những phơng án lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu tố cơ bản này lại cóquan hệ khăng khít với các yếu tố khác nh: tính chính xác, tính hoàn thiện,tính nhạy cảm vấn đề Tất cả các yếu tố đặc trng nói trên cùng góp phần tạonên t duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con ngời

Những biểu hiện đặc trng của hoạt động sáng tạo

1 Thực hiện độc lập việc di chuyển các tri thức kĩ năng, kĩ xảo sang tìnhhuống mới gần hay xa, bên trong hay bên ngoài hay giữa các hệ thống kiếnthức

2 Nhìn thấy những nội dung mới trong những tình huống bình thờng

3 Nhìn thấy chức năng mới của đối tợng

4 Độc lập kết hợp các phơng thức hoạt động đã biết, tạo thành cái mới

5 Nhìn thấy cấu trúc mới của đối tợng quen thuộc

6 Nhìn thấy mọi cách giải quyết có thể có, tiến hành giải theo từng cách

2.4.4 T duy thuật toán

Thuật toán là một bản qui định chính xác mà mọi ngời đều hiểu nh nhau

về việc hoàn thành những thao tác nguyên tố theo một trật tự xác định nhằmgiải quyết một loạt bài toán bất kì thuộc một loại hay một kiểu nào đó

Các thuật toán phải thỏa mãn 3 yêu cầu cơ bản:

- Tính xác định: Ai cũng hiểu theo cùng một cách, mỗi giai đoạn của quá

trình quyết định giai đoạn tiếp theo một cách duy nhất

- Tính số đông: Phải dùng đợc để giải một loạt (một kiểu) xác định bài

toán

- Tính kết quả: Nếu hoàn thành đúng các thao tác theo trình tự đã vạch ra

thì nhất thiết giải đợc bài toán theo loại đã chọn

2.4.5 T duy hàm

- T duy hàm thể hiện ở sự nhận thức đợc tiến hành những tơng ứng riêng

và chung giữa các đối tợng toán học hay những tính chất của chúng (kể cả kĩnăng vận dụng chúng) thể hiện rõ nét t tởng lớn trong giáo trình toán học ở tr-ờng phổ thông- t tởng hàm

- Những hoạt động trí tuệ liên quan đến t duy hàm đợc định hớng theobốn t tởng chủ đạo sau đây:

1 Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụngnhững sự tơng ứng trong khi học và nhằm vào việc truyền thụ kiến thức và rènluyện kĩ năng toán học

2 Thực hiện gợi động cơ sao cho những hoạt động t duy hàm trở thànhkhả năng gợi động cơ nội tại toán học

3 Hình thành ở học sinh những biểu tợng tiến tới những tri thức về tơngứng đơn trị và tập luyện cho họ những hoạt động ăn khớp với những tri thức về

t duy hàm

4 Phân bậc hoạt động về t duy hàm theo số lợng biến, theo mức độ trựcquan của đối tợng hay theo trình độ độc lập và thành thạo của hoạt động củahọc sinh

Ngoài ra còn có t duy biện chứng, t duy lôgic

3 Một số khái niệm về năng lực toán học

3.1 Năng lực

Năng lực là những đặc điểm tâm lí cá nhân của con ngời, đáp ứng đợcyêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoànthành tốt hoạt động đó

Thông thờng, một ngời đợc coi là có năng lực nếu ngời đó nắm vững trithức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt đợc kết quả tốt hơn,cao hơn so với trình độ trung bình của những ngời khác cũng tiến hành hoạt

động đó trong những điều kiện hoàn cảnh tơng đơng

Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất

định của con ngời Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát đợc trong hoạt động giảiquyết những yêu cầu đặt ra

Nh vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trớc hết là các

đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng đợc yêu cầu của hoạt động giải toán vàtạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học t-

ơng đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện nh nhau

3.3 Năng lực giải toán

Năng lực giải toán là một thể hiện của năng lực toán học, nó là đặc điểmtâm lí cá nhân của con ngời đáp ứng đợc yêu cầu của hoạt động giải toán, và

là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động giải toán đó

Từ góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề, ta có thể hiểu, năng lực giảitoán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải quyết một vấn đề cótính hớng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng t duy tích cực và sáng tạo,nhằm đạt đợc kết quả sau một số bớc thực hiện

Thông thờng, một ngời đợc coi là có năng lực giải toán nếu ngời đó nắmvững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của hoạt động giải toán và đạt đợc kết quả tốthơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những ngời khác cũng tiến hànhhoạt động giải toán trong những điều kiện hoàn cảnh tơng đơng.

Các thành phần của năng lực giải toán gồm: năng lực phân tích tổng hợp,năng lực khái quát hóa, năng lực suy luận lôgic, năng lực rút gọn quá trình suyluận, năng lực t duy linh hoạt, năng lực tìm ra lời giải hay, năng lực t duythuận nghịch, trí nhớ toán học,

Năng lực giải toán của học sinh chỉ phát triển dới tác động liên hoàn củacác biện pháp cụ thể, thực sự đa học sinh vào vị trí “hoạt động hóa” ngời học

4 Vai trò và chức năng của bài tập toán

4.1 Vai trò, chức năng của bài tập toán

ở trờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh

có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Trongthực tiễn dạy học, bài tập toán học đợc sử dụng với những dụng ý khác nhau.Một bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việcvới nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra Tất nhiên việc dạy giải một bàitập cụ thể thờng không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó mà thờngbao hàm những ý đồ nhiều mặt nh đã nêu

Mỗi bài tập toán cụ thể đợc đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạyhọc đều chứa đựng một cách tờng minh hay ẩn tàng những chức năng khácnhau Những chức năng này đều hớng đến việc thực hiện các mục đích dạyhọc Trong môn Toán, các bài tập mang chức năng sau:

+ Chức năng dạy học: bài tập hình thành củng cố cho học sinh những trithức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

+ Chức năng giáo dục: bài tập hình thành cho học sinh thế giới quanduy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức ngời lao

động mới

+ Chức năng phát triển: bài tập phát triển năng lực t duy của học sinh,

đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tduy khoa học

+ Chức năng kiểm tra: bài tập sẽ đánh giá mức độ, kết quả dạy và học,

đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh

Trên thực tế, các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rờinhau Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể,tức là hàm ý nói việc thực hiện chức năng ấy đợc tiến hành một cách tờngminh và công khai Hiệu quả của việc dạy học toán ở trờng phổ thông phầnlớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng

có thể có của một bài tập mà ngời viết sách giáo khoa đã có dụng ý chuẩn bị.Ngời giáo viên chỉ có thể khám phá và thực hiện đợc những dụng ý đó bằngnăng lực s phạm và trình độ nghệ thuật dạy học của mình

4.2 Yêu cầu lời giải một bài toán

Một bài toán đợc gọi là giải tốt khi và chỉ khi thoả mãn các yêu cầu sau:

i Lời giải không sai lầm

ii Lập luận có căn cứ

iii Lời giải phải cặn kẽ, đầy đủ

iv Cách giải đơn giản, hay nhất

v Cách trình bày rõ ràng, hợp lý, sạch sẽ,

4.2.1 Lời giải không sai lầm

Lời giải của bài toán không một sai lầm, thiếu sót, nghĩa là lời giải không

có sai sót về mặt kiến thức (kiến thức khoa học cơ bản, kiến thức phơng phápsuy luận, kĩ năng tính toán và vẽ hình); không có sai sót về mặt văn phạm (cácquy tắc ngữ pháp, cách ghi ký hiệu toán học)

Lời giải của học sinh phạm sai lầm thiếu sót, không cho kết quả đúng là

do học sinh:

a Không nắm vững kiến thức, không nhớ đúng quy tắc, công thức, mơ

hồ về định lý, sử dụng định lý, quy tắc một cách máy móc mà không chú ý

đến bản chất của nó, không chú ý đến điều kiện hạn chế của quy tắc, côngthức, không xác định đợc yếu tố có mặt trong công thức

b Hấp tấp, chủ quan, sơ suất, cẩu thả, có trờng hợp chép đề sai, nhầmdấu hiệu, ngộ nhận hoặc lao vào một cách giải phức tạp do quá hấp tấp, cẩuthả, tính toán nhầm lẫn.

c Không nắm vững suy luận logic, trật tự các vấn đề dẫn đến lộn xộnhoặc luẩn quẩn

4.2.2 Lập luận có căn cứ chính xác

Có đợc bài giải đúng cha đủ mà học sinh cần

- Phải chứng tỏ rằng từng bớc, từng chi tiết trong bài giải là có căn cứ,phải nêu rõ cơ sở lý luận chính xác (theo định nghĩa, định lý hoặc tính chất ),chống suy luận trực giác, gò ép để đi đến kết quả

- Có bài giải nhất quán Các yếu tố trong bài phải mang tên gọi, bản chất

nh nhau trong cả lời giải Trờng hợp có sự chuyển hoá phải giải thích, thôngbáo

4.2.3 Lời giải phải cặn kẽ, đầy đủ

Cặn kẽ, đầy đủ ở đây có nghĩa là không bỏ sót một trờng hợp, một chitiết nào dù là nhỏ Nó còn có nghĩa là không thừa, không thiếu, không dàidòng quá nhng cũng không tắt quá Đặc biệt xét đợc hết các trờng hợp có thểcó

4.2.4 Cách giải đơn giản nhất, hay nhất

Theo Lepnet thì “Một phơng pháp giải toán coi là tốt nếu nh ngay từ đầu

ta có thể thấy trớc và sau đó có thể khẳng định đợc rằng theo phơng pháp đó

sẽ đạt tới đích” Còn lời giải đơn giản nhất, hay nhất nói chung là lời giải ngắngọn, giải quyết bằng những phơng tiện đơn giản, những kiến thức dễ hiểu,quen thuộc nhất mà vẫn đạt tới đích

Tuy nhiên lời giải hay còn phụ thuộc vào mục đích luyện tập cho họcsinh Tìm đợc lời giải hay của một bài tập tức là đã khai thác đợc sâu đặc điểmriêng của bài tập đó, giúp học sinh thích thú khi làm toán, động viên các emsuy nghĩ kĩ để tìm lời giải hay Đây là một yêu cầu cao đối với học sinh

4.2.5 Trình bày rõ ràng, hợp lý

Đây là tác phong cần thiết cho học tập, nhất là học tập bộ môn toán củahọc sinh Trình bảy rõ ràng, hợp lý không chỉ đơn thuần về mặt hình thức màcả về mạt nội dung Một suy nghĩ chính xác, một nếp t duy đúng đắn, một trítởng tợng tốt cần đợc trình bày, diễn đạt chính xác, đúng đắn

5 Phơng pháp chung để giải toán

5.1 Các bớc giải toán của G.Polya

Dựa trên những t tởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết củaG.Polya (1975) về cách thức giải toán đã đợc kiểm nghiệm trong thực tiễn dạyhọc, có thể nêu lên phơng pháp chung để giải bài toán cụ thể nh sau:

Bớc1: Tìm hiểu nội dung đề bài:

+ Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Có thể thỏa mãn đợc điều kiện hay không?

Điều kiện có đủ để xác định đợc ẩn hay không, hay cha đủ, hay thừa, hay cómâu thuẫn

+ Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi Có thể sử dụng

nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hay sử dụng phơng pháp?

Có cần phải dựa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng đợc nó không?

+ Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa? + Nếu bạn cha giải đợc bài toán đề ra, thì hãy thử giải một bài toán cóliên quan Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơn không? Mộtbài toán tổng quát hơn? Một trờng hợp riêng? Một bài toán tơng tự? Bạn cóthể giải đợc một phần bài toán không? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua

điều kia Khi đó ẩn đợc xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi nhthế nào? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố có ích không? Có thể thay

đổi ẩn hay khác dữ kiện, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn và các dữ kiệnmới đợc gần nhau hơn không?

+ Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay cha? Đã sử dụng toàn bộ điều kiệnhaycha? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán cha?

Qua các bớc dẫn dắt ở bớc 2, ta thấy rằng t duy sáng tạo đã đợc thể hiện

ở mức độ cao hơn Chẳng hạn việc giải thử một bài toán có liên quan, haytổng quát hơn chính là sự thể hiện t duy sáng tạo

Bớc 3: Trình bày lời giải

Hãy kiểm tra lại từng bớc Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bớc đều đúng cha?Bạn có thể chứng minh là nó đúng không?

Qua bớc này ta thấy việc thực hiện đợc chơng trình giải và chứng minh

đ-ợc là đúng, tức là đã hoàn thành bài toán, các yếu tố của t duy sáng tạo đã đđ-ợcthể hiện đầy đủ

Bớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải:

+ Bạn có kiểm tra lại kết quả? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trìnhgiải bài toán không?

+ Có tìm ra đợc kết quả một cách khác không? Có thể thấy ngay trực tiếpkết quả không

+ Bạn có thể sử dụng kết quả hay phơng pháp đó cho mọi bài toán nàokhác không?

5.2 Cách thức dạy, phơng pháp chung để giải toán

Quá trình học sinh học phơng pháp chung giải toán là một quá trình biếnnhững tri thức phơng pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của bản thânmình thông qua một việc giải hàng loạt bài toán cụ thể Học phơng pháp

chung để giải toán không phải là học một thuật giải mà là học những kinhnghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, phát hiện Nói chung, cách thức dạyhọc sinh phơng pháp chung để giải bài toán nh sau:

 Thông qua việc giải bài toán cụ thể, cần nhấn mạnh để học sinhnắm đợc phơng pháp chung 4 bớc và có ý thức vận dụng 4 bớc này trong quátrình giải toán

 Thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần đặt cho học sinhnhững câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần dần biết sử dụng nhữngcâu hỏi này nh những phơng tiện kích thích suy nghĩ tìm tòi, dự đoán pháthiện để thực hiện từng bớc của phơng pháp chung giải toán Những câu hỏinày lúc đầu là do giáo viên nêu ra để hỗ trợ cho học sinh nhng dần dần biếnthành vũ khí của bản thân học sinh, đợc học sinh tự nêu ra đúng lúc, đúng chỗ

để gợi ý cho từng bớc đi của mình trong quá trình giải toán

Tuy nhiên, từ phơng pháp chung giải toán đi tới cách giải một bài toán

cụ thể còn là cả một chặng đờng đòi hỏi lao động tích cực của nhiều học sinh,trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo

6 một số Phơng hớng bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi ở trờng trung học cơ sở

6.1 Bồi dỡng TDST cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác

Việc bồi dỡng TDST cho học sinh cần đợc tiến hành trong mối quan hệhữu cơ với các hoạt động trí tuệ nh: phân tích, tổng hợp, so sánh, tơng tự, trừutợng hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa, hệ thống hóa trong đó phân tích và tổnghợp đóng vai trò nền tảng

Để bồi dỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của t duy, học sinh cần

đợc bồi dỡng thờng xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng thời với tổng hợp

để nhìn thấy đối tợng dới nhiều khía cạnh khác nhau, trong những mối liên hệkhác nhau Trên cơ sở so sánh các trờng hợp riêng lẻ, dùng phép tơng tự đểchuyển từ trờng hợp riêng này sang trờng hợp riêng khác, khai thác mối liên

hệ mật thiết với trừu tợng hóa làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa mệnh đềxuất phát và mệnh đề tìm đợc bằng đặc biệt hóa và hệ thống hóa, ta có thể tậpluyện cho học sinh khái quát hóa tài liệu toán học, tập khả năng tìm đợc nhiềugiải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau, khả năng tìm ra những

mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tởng nh không có liên hệ với nhau,khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất Các hoạt động này góp phần bồidỡng tính nhuần nhuyễn cũng nh tính độc đáo của t duy.

6.2 Bồi dỡng TDST cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tởng mới

Về giảng dạy lí thuyết, cần tận dụng phơng pháp tập dợt nghiên cứu,trong đó giáo viên tạo ra các tính huống có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tòi,khám phá kiến thức mới Chú ý thờng xuyên tập dợt cho học sinh suy luận có

lí (thông qua quan sát, so sánh, dặc biệt hóa, khái quát hóa, quy nạp, tơngtự ) để có thể tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán đợc các kết quả,tìm đợc hớng giải của một bài toán, hớng chứng minh một định lí Nói cáchkhác là tăng cờng cả hai bớc suy đoán và suy diễn trong quá trình dạy toán

Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó cha rõ điềuphải chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vấn đề vàgiải quyết vấn đề

6.3 Chú trọng bồi dỡng từng yếu tố cụ thể của TDST.

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dỡng từng yếu tố củaTDST: tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo Có thể khai thác nộidung các vấn đề giảng dạy, đề xuất các câu hỏi thông minh nhằm giúp họcsinh lật đi, lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm thậtvững bản chất các khái niệm, các mệnh đề, tránh đợc lối học thuộc lòng máymóc và lối vận dụng thiếu sáng tạo

Sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố củaTDST nh: những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thứctổng quát để khắc phục “tính ỳ” (hành động máy móc, không thay đổi phùhợp với điều kiện mới); những bài tập có nhiều lời giải khác nhau, đòi hỏi họcsinh phải biết chuyển từ phơng pháp này sang phơng pháp khác, những bài tậptrong đó có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song với nhau,giúp cho việc hình thành các liên tởng ngợc xảy ra đồng thời với việc hìnhthành các liên tởng thuận; những bài toán “không theo mẫu”, không đa đợc vềcác loại toán giải bằng cách áp dụng các định lí, quy tắc trong chơng trình

6.4 Bồi dỡng TDST là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học.

Bồi dỡng TDST là một quá trình lâu dài, cần tiến hành thờng xuyên hếttiết học này sang tiết học khác, năm này sang năm khác trong tất cả các khâucủa quá trình dạy học, trong nội khóa cũng nh các hoạt động ngoại khóa Cầntạo điều kiện cho học sinh có dịp đợc rèn luyện khả năng TDST trong việctoán học hóa các tình huống thực tế, trong việc viết bài toán với những đề toán

tự sáng tác, những cách giải mới, những kết quả mới khai thác từ các bài tập

đã giải

Một vấn đề rất đáng đợc quan tâm là vấn đề kiểm tra, đánh giá Các đềkiểm tra, các đề thi cần đợc soạn với yêu cầu kiểm tra đợc năng lực TDST củahọc sinh Học sinh chỉ có thể làm đợc hoàn chỉnh các đề kiểm tra đó trên cơ

sở bộc lộ rõ rệt năng lực TDST của bản thân Đó là cách tốt nhất để chống lạicách “học tủ”, cách học theo kiểu “sôi kinh nấu sử” đang phổ biến hiện nay

Chơng ii: Một số biện pháp rèn luyện năng

lực giải toán cho học sinh THCS

1 Truyền thụ cho học sinh một số kháI niệm, cách trình bày và cách giảI Bài toán cực trị trong hình học phẳng

1.1 Thế nào là bài toán cực trị hình học

Các bài toán cực trị hình học có dạng chung nh sau: Trong tất cả cáchình có chung một tính chất, tìm những hình mà một đại lợng nào đó (nh độdài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích, ) có giá trị lớn nhất hoặc giá trịnhỏ nhất

Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớnnhất, ta phải chứng tỏ hai điều:

- Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≤ m với m là hằng số

- Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m

Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị nhỏnhất, ta phải chứng tỏ hai điều:

- Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f  m với m là hằng số

- Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m

Trong trờng hợp tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của biểu thức f (độdài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích, ) ta chỉ cần chứng tỏ tồn tại mộthình H thuộc miền D sao cho f = m

1.2 Dạng của bài toán cực trị hình học

Một bài toán cực trị hình học có thể đợc cho dới các dạng sau:

a) Bài toán về dựng hình

VD: Xác định vị trí của dây đi qua điểm P trong một đờng tròn sao chodây đó có độ dài nhỏ nhất

b) Bài toán về chứng minh

VD: Chứng minh rằng trong các dây đi qua điểm P trong một đờng tròn(O), dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ nhất

c) Bài toán về tính toán

Hình 3

VD: Cho đờng tròn (O; R) và điểm P nằm trong đờng tròn có OP = h.Tính độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P

1.3 Cách trình bày bài toán cực trị hình học

Cách 1: Trong các hình có tính chất của đề bài, chỉ ra một hình rồi chứng minh mọi hình khác đều có giá trị của đại lợng phải tìm cực trị nhỏ hơn (hoặc lớn hơn) giá trị của đại lợng đó ở hình đã chỉ ra.

Cách 2: Biến đổi tơng đơng điều kiện để đại lợng này đạt cực trị bởi điều kiện đại lợng khác đạt cực trị cho đến khi trả lời đợc câu hỏi mà đề bài yêu cầu.

Ví dụ 1: Cho đờng tròn (O) và điểm P nằm trong đờng tròn (P không trùngO) Xác định vị trí của dây đi qua P sao cho dây có độ dài nhỏ nhất

Giải:

Cách 1:

Gọi AB là dây vuông góc với OP tại điểm P;

CD là dây bất kỳ đi qua P (CD không trùng với

AB) Ta sẽ chứng minh: CD > AB (hình 2)

Kẻ OH  CD

Xét OHP có: OHP   900

 OP > OH (quan hệ giữa góc - cạnh đối diện

trong tam giác)

 CD > AB (liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm)

Vậy trong các dây đi qua P, dây AB vuông góc với OP tại P có độ dàinhỏ nhất

d A0

B'

H B

A

C

Hình 4

1.4 Cách giải bài toán cực trị

Để giải một bài toán cực trị, ta thờng dùng ba cách sau:

Cách 1: Vẽ một hình có chứa đại lợng hình học mà ta phải tìm cực trị thay các điều kiện của đại lợng đó bằng các đại lợng tơng đơng Ngời ta th- ờng dùng cách này khi đầu bài cho dới dạng Tìm một hình H thỏa mãn các“

điều kiện cực trị của bài toán”

Ví dụ 2: Trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác nào cóchu vi nhỏ nhất?

Giải: Vẽ ABC có cạnh BC=a.Qua A kẻ đờng thẳng d, d // BC (không đổi) Vì diện tích của ABC không đổi nên đờng cao của ABC cũng không đổi

Vậy các đỉnh của các tam giác có cùng đáy, cùng diện tích phải chạy trên ờng d hoặc d’ (đối xúng với d qua BC) Ta có

 P(ABC) nhỏ nhất khi AB + AC nhỏ nhất

Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d

Xét ABC có AB + AC = AB’ + AC > B’C

Mà ta có AB’ + AC  A0B’ + A0C

Dấu “=” xảy ra khi 3 điểm A, B’, C thẳng hàng Khi đó A A0

Do vậy A0B’ = A0B = A0C nên

x y

C''

A A'

Hình 5

a-y

y

a-x x

Giải: Vẽ ABC cân tại A, cạnh BC

không đổi Qua A vẽ đờng thẳng

xy // BC Trên xy lấy điểm A’

Ta chứng minh P (ABC) < P (A’BC),

tức là AB +AC ≤ A’B + A’C

Gọi C’’ là điểm đối xứng với C qua xy

AC = AC’’  A’B + A’C ≥ AB + AC’

Dấu “=” xảy ra khi A, B, C thẳng hàng

(nh ví dụ 2)

Cách 3: Thay tìm giá trị lớn nhất

của một đại lợng này bằng việc tìm giá

trị nhỏ nhất của một đại lợng khác và ngợc lại.

Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a Xét các hình thang cân có 4 đỉnh trêncạnh của hình vuông Tìm hình thang cân có diện tích lớn nhất

Giải: Gọi hình thang MNPQ là hình thỏa mãn điều kiện của đầu bài là

từ đó suy ra cực trị của bài toán

- Nếu bài toán đã cho có nhiều khả năng tơng ứng với từng trờng hợp khácnhau thì phải tìm cực trị trong từng trờng hợp Cuối cùng so sánh các cực trị

đó để tìm ra cực trị của bài toán

2 truyền thụ cho học sinh Một số kiến thức thờng dùng để giải bài toán Cực trị trong hình học phẳng 2.1 Quan hệ giữa đờng vuông góc, đờng xiên, hình chiếu

+ Trong các tam giác vuông (có thể suy biến thành đoạn thẳng) có cạnhgóc vuông AH và cạnh huyền AB thì AH  AB Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

H  B

D A

B O

Ví dụ 6 Cho nửa đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R Kẻ hai tiếp tuyến

Ax và By của nửa đờng tròn (O) và tiếp tuyến thứ 3 tiếp xúc với (O) tại điểm

M cắt Ax tại D, cắt By tại E Xác định vị trí của M trên nửa đờng tròn (O) saocho: a) AD + BE đạt giá trị nhỏ nhất

b) OD OE đạt giá trị nhỏ nhất

Giải:

a) Gọi H là chân đờng cao hạ từ D xuống By

Tứ giác ABHD có ^A= ^B= ^H=900

y t

1 2

C D

A

 M là điểm chính giữa của AB

b) Ta có EM và EB là hai tiếp tuyến của (O) nên OE là phân giác của MOB

Tơng tự vì DM và DA là 2 tiếp tuyến của (O) nên OD là phân giác của AOM

mà AOM và BOM là 2 góc kề bù nên OE  OD hay DOE = 900

 ODE vuông tại O

Xét ODE có O = 900 ; OM DE => OD.OE = OM.DE = R.DE

Vậy (OD.OE)min  DE min

 M là trung điểm của AB (theo câu a)

2.2 Quan hệ giữa đoạn thẳng và đờng gấp khúc

+ Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có AC + CB  AB

Dấu “=” xảy ra  C thuộc đoạn thẳng AB

+ Độ dài đoạn thẳng nối 2 điểm A và B ngắn hơn độ dài đờng gấp khúc

có 2 đầu là A và B

Ví dụ 7 Cho xOy xOy và điểm A nằm trong góc đó Xác định điểm B

thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và tổng AB + AC là nhỏ

nhất

Gợi ý: Viết tổng AC + AB dới dạng tổng AC + CD trong đó A và D là 2

điểm cố định

Giải:

Kẻ tia Ot nằm ngoài x ^O y sao cho x ^O A=y ^Ot

Trên tia Ot, lấy điểm D sao cho OD = OA

K J

I

C

B A

2.3 Các bất đẳng thức trong đờng tròn.

Các bất đẳng thức trong đờng tròn đợc thể hiện trong các định lý:

Hình 12

+ Đờng kính là dây lớn nhất của đờng tròn

+ Trong 2 dây của một đờng tròn, dây lớn hơn khi và chỉ khi khoảngcách đến tâm nhỏ hơn

+ Trong 2 cung nhỏ của một đờng tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc

Hay BD là đờng kính của (O) và BD  AC

Ví dụ 10: Cho đờng tròn (O) và một điểm P nằm trong đờng tròn Xác

định dây AB đi qua P sao cho góc OAB có giá trị lớn nhất

Giải:

Xét OAB cân tại O, góc ở đáy OAB lớn nhất

nếu góc ở đỉnh AOB nhỏ nhất

Xét đờng tròn (O), góc ở tâm AOB nhỏ nhất

 cung tơng ứng AB nhỏ nhất.

Cung AB nhỏ nhất  dây AB nhỏ nhất

Dây AB nhỏ nhất  khoảng cách OH từ dây AB đến tâm O là lớn nhất

Ta có OH  OP

 OH max = OP  H  P  AB  OP

Vậy dây AB phải xác định trên hình chính là dây A’B’ vuông góc với

Bất đẳng thức Côsi thờng đợc sử dụng dới các dạng sau:

Dấu “=” xảy ra khi  x = y

Dạng 2: (Hệ quả của bất đẳng thức Côsi)

Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khihai số ấy bằng nhau

Dạng 3: (Hệ quả của bất đẳng thức Côsi)

Nếu 2 số dơng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉkhi 2 số ấy bằng nhau

Các bất đẳng thức trên thờng đợc sử dụng trong các bài toán cực trị vềdiện tích vì chúng cho quan hệ giữa tổng 2 số (x + y) với diện tích số (xy) vàvới tổng các bình phơng của chúng (x2 + y2); đó là các biểu thị độ dài (x, y, x+ y ) và diện tích (x2, y2, x2 + y2, (x + y)2, )

Ví dụ 11 Cho ABC vuông có độ dài các cạnh góc vuông AB = 6cm,

AC = 8cm M là điểm di chuyển trên cạnh BC Gọi D và E là chân các đờngvuông góc kẻ từ M đến AB và AC Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ADME

E

D B

M

Hình 13

y 2

x 2

 Diện tích lớn nhất của tứ giác ADME bằng 12cm2 khi M là trung

điểm BC; D là trung điểm của AB; và E là trung điểm AC

Ví dụ 12: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên AB Vẽ các đờng

tròn có đờng kính MA và MB Xác định vị trí của điểm M để tổng diện tíchcủa hai hình tròn có giá trị nhỏ nhất

Vậy min (S + S’) =

2

8

AB



 M là trung điểm AB

H

KD

EA

Hình 15

Ví dụ 13: Cho ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC Qua M kẻ các

đờng song song với AC và AB, cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E Xác định

vị trí của điểm M sao cho hình bình hành ADME có diện tích lớn nhất

Giải:

Cách 1:

Ta thấy: S ADME max 

ADME ABC

Kí hiệu AABC là S, SBDM là S1 là SEMC là S2

Ta thấy SADME max  (S1 + S2) min 

1 2

S S S

minCách DBM và EMC đồng dạng với ABC nên

1 2

K

H D

Vậy max SADME =

Ví dụ 14 Cho  ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a Gọi D là trung

điểm của AB Điểm E di chuyển trên cạnh AC Gọi H, K theo thứ tự là châncác đờng vuông góc kẻ từ D, E đến BC Tính diện tích lớn nhất của hình thangDEKH Khi đó hình thang trở thành hình gì?

Giải:

Ta có: SDEKH = 1  1 

2 DH EK HK 2 BH CK HKMặt khác, do (BH + KC) + HK = a