Bài giảng xác suất thống kê và quy hoạch thực nghiệm chương 2 1 nguyễn thị thanh hiền

2.1.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc vàbảng phân phối xác suất được các giá trị của nó bằng một dãy hữu hạn x1, x2,... 2.1.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc vàbảng phân phối xác suất Định nghĩa 1: Biến

Chương 2: Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất

2.1.1 Khái niệm

nhận các giá trị bằng số, phụ thuộc vào kết quả củamột phép thử

Kí hiệu:

- Biến ngẫu nhiên: X , Y , Z hoặc X1, X2,

- Giá trị của biến ngẫu nhiên: x , y , z hoặc x1, x2,

2.1.1 Khái niệm

nhận các giá trị bằng số, phụ thuộc vào kết quả của

một phép thử

2.1.1 Khái niệm

nhận các giá trị bằng số, phụ thuộc vào kết quả của

một phép thử

Kí hiệu:

- Biến ngẫu nhiên: X , Y , Z hoặc X1, X2,

- Giá trị của biến ngẫu nhiên: x , y , z hoặc x1, x2,

2.1.1 Khái niệm

nhận các giá trị bằng số, phụ thuộc vào kết quả của

một phép thử

Kí hiệu:

- Biến ngẫu nhiên: X , Y , Z

2.1.1 Khái niệm

nhận các giá trị bằng số, phụ thuộc vào kết quả của

một phép thử

Kí hiệu:

- Biến ngẫu nhiên: X , Y , Z hoặc X1, X2,

- Giá trị của biến ngẫu nhiên: x , y , z hoặc x1, x2,

2.1.1 Khái niệm

nhận các giá trị bằng số, phụ thuộc vào kết quả của

một phép thử

Kí hiệu:

- Biến ngẫu nhiên: X , Y , Z hoặc X1, X2,

- Giá trị của biến ngẫu nhiên: x , y , z

2.1.1 Khái niệm

nhận các giá trị bằng số, phụ thuộc vào kết quả củamột phép thử

Kí hiệu:

- Biến ngẫu nhiên: X , Y , Z hoặc X1, X2,

- Giá trị của biến ngẫu nhiên: x , y , z hoặc x1, x2,

2.1.1 Khái niệm

Ví dụ 1:

cách từ điểm chạm của viên đạn đến tâm bia

⇒ Y là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị trong[0, +∞)

2.1.1 Khái niệm

Ví dụ 1: Tung 1 con xúc xắc cân đối, đồng chất Gọi

X là số chấm xuất hiện

⇒ X là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Ví dụ 2: Bắn 1 viên đạn vào bia Gọi Y là khoảngcách từ điểm chạm của viên đạn đến tâm bia

⇒ Y là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị trong[0, +∞)

2.1.1 Khái niệm

Ví dụ 1: Tung 1 con xúc xắc cân đối, đồng chất Gọi

X là số chấm xuất hiện

⇒ X là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Ví dụ 2: Bắn 1 viên đạn vào bia Gọi Y là khoảng

cách từ điểm chạm của viên đạn đến tâm bia

2.1.1 Khái niệm

Ví dụ 1: Tung 1 con xúc xắc cân đối, đồng chất Gọi

X là số chấm xuất hiện

⇒ X là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Ví dụ 2: Bắn 1 viên đạn vào bia Gọi Y là khoảngcách từ điểm chạm của viên đạn đến tâm bia

⇒ Y là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị trong

[0, +∞)

2.1.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc và

bảng phân phối xác suất

được các giá trị của nó bằng một dãy hữu hạn

x1, x2, , xn hoặc một dãy vô hạn x1, x2, , xn,

2.1.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc và

bảng phân phối xác suất

Định nghĩa 1:

Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếutập hợp các giá trị của nó là tập hữu hạn hoặc tập vôhạn đếm được

⇒ Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc X , ta có thể liệt kêđược các giá trị của nó bằng một dãy hữu hạn

x1, x2, , xn hoặc một dãy vô hạn x1, x2, , xn,

2.1.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc và

bảng phân phối xác suất

Định nghĩa 1: Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu

tập hợp các giá trị của nó là tập hữu hạn hoặc tập vô

hạn đếm được

2.1.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc và bảng phân phối xác suất

Định nghĩa 1: Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếutập hợp các giá trị của nó là tập hữu hạn hoặc tập vôhạn đếm được

⇒ Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc X , ta có thể liệt kêđược các giá trị của nó bằng một dãy hữu hạn

x1, x2, , xn hoặc một dãy vô hạn x1, x2, , xn,

Ví dụ 1: Biến ngẫu nhiên X ở ví dụ 1, mục 2.1.1 làbiến ngẫu nhiên rời rạc.

2.1.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc và

bảng phân phối xác suất

Định nghĩa 2:

Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhậncác giá trị x1 < x2 < · · · < xn < · · · với các xác suấttương ứng P(X = xi) = pi, i = 1, 2, Khi đó bảng

X x1 x2 xn

P p1 p2 pn

Định nghĩa 2: Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhậncác giá trị x1 < x2 < · · · < xn < · · · với các xác suấttương ứng P(X = xi) = pi, i = 1, 2, Khi đó bảng

X x1 x2 xn

P p1 p2 pn

2.1.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc và

bảng phân phối xác suất

Chú ý:

Các xác suất pi thỏa mãn điều kiện

( 0 ≤ pi ≤ 1P

i

pi = 1

Chú ý: Các xác suất pi thỏa mãn điều kiện

( 0 ≤ pi ≤ 1P

i

pi = 1

2.1.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc và

bảng phân phối xác suất

Ví dụ 3: Một tổ có 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá và

7 học sinh trung bình Kiểm tra ngẫu nhiên 4 họcsinh Gọi X là số học sinh giỏi được kiểm tra Lậpbảng phân phối xác suất của X

2.1.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc và

bảng phân phối xác suất

Ví dụ 2: Nếu X là số chấm xuất hiện khi tung 1 con

xúc xắc thì X có bảng phân phối xác suất là

P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

2.1.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc và

bảng phân phối xác suất

Ví dụ 2: Nếu X là số chấm xuất hiện khi tung 1 con

xúc xắc thì X có bảng phân phối xác suất là

P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Ví dụ 3:

Một tổ có 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá và

7 học sinh trung bình Kiểm tra ngẫu nhiên 4 họcsinh Gọi X là số học sinh giỏi được kiểm tra Lậpbảng phân phối xác suất của X

xúc xắc thì X có bảng phân phối xác suất là

P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Ví dụ 3: Một tổ có 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá và

7 học sinh trung bình Kiểm tra ngẫu nhiên 4 họcsinh Gọi X là số học sinh giỏi được kiểm tra Lập

Bảng phân phối xác suất của X là:

P 33/91 44/91 66/455 4/455

Bảng phân phối xác suất của X là:

P 33/91 44/91 66/455 4/455

2.1.3 Biến ngẫu nhiên liên tục và

hàm mật độ xác suất

Định nghĩa 1: Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếutập hợp các giá trị của nó là một khoảng hay hợp cáckhoảng trên trục số

Ví dụ 1: Biến ngẫu nhiên Y trong Ví dụ 2, mục 2.1.1

là biến ngẫu nhiên liên tục

2.1.3 Biến ngẫu nhiên liên tục và

hàm mật độ xác suất

Định nghĩa 1:

là biến ngẫu nhiên liên tục

2.1.3 Biến ngẫu nhiên liên tục và

hàm mật độ xác suất

Định nghĩa 1: Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu

tập hợp các giá trị của nó là một khoảng hay hợp các

khoảng trên trục số

Ví dụ 1: Biến ngẫu nhiên Y trong Ví dụ 2, mục 2.1.1

là biến ngẫu nhiên liên tục

Định nghĩa 1: Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếutập hợp các giá trị của nó là một khoảng hay hợp cáckhoảng trên trục số.

Ví dụ 1: Biến ngẫu nhiên Y trong Ví dụ 2, mục 2.1.1

là biến ngẫu nhiên liên tục

2.1.3 Biến ngẫu nhiên liên tục và

hàm mật độ xác suất

Định nghĩa 2:

Hàm số p(x) xác định trên R và thỏamãn

Định nghĩa 2: Hàm số p(x) xác định trên R và thỏamãn

2.1.3 Biến ngẫu nhiên liên tục và

2.1.3 Biến ngẫu nhiên liên tục và

hàm mật độ xác suất

Tính chất: Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm

mật độ xác suất p(x) thì

2.1.3 Biến ngẫu nhiên liên tục và hàm mật độ xác suất

Tính chất: Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàmmật độ xác suất p(x) thì

1) P(X = a) = 0, ∀a ∈ R

2.1.3 Biến ngẫu nhiên liên tục và hàm mật độ xác suất

Ví dụ 1: Cho hàm số f (x) = a sin 2x Tìm a để hàmnày trở thành hàm mật độ xác suất của một biếnngẫu nhiên nhận giá trị trong [0,π

2].

0 a sin 2xdx = a Vậy a = 1.

Giải: Để hàm này trở thành hàm mật độ xác suất của

một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong [0,π

0 a sin 2xdx = a Vậy a = 1

Giải: Để hàm này trở thành hàm mật độ xác suất của

một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong [0,π

Giải: Để hàm này trở thành hàm mật độ xác suất củamột biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong [0,π

0 a sin 2xdx = a Vậy a = 1

Ví dụ 2: Tuổi thọ của một loài côn trùng là biến ngẫunhiên X (tháng tuổi) có hàm mật độ xác suất:

f (x ) =  ax2(4 − x2) nếu x ∈ [0, 2]

0 nếu x /∈ [0, 2]

a Xác định a

b Tính P(0 ≤ X ≤ 1), P(X > 1)

Giải:a Do ax2(4 − x2) ≥ 0 với ∀x ∈ [0, 2] nên a ≥ 0

Giải:a Do ax2(4 − x2) ≥ 0 với ∀x ∈ [0, 2] nên a ≥ 0

2.1.4 Hàm phân phối

Định nghĩa:

Ví dụ: Tìm hàm phân phối của các biến ngẫu nhiêntrong Ví dụ 3, mục 2.1.2 và Ví dụ 2, mục 2.1.3

2.1.4 Hàm phân phối

Định nghĩa: Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X , kí

hiệu F (x ), là hàm số được xác định theo công thức

F (x ) = P(X < x ), x ∈ R

Ví dụ: Tìm hàm phân phối của các biến ngẫu nhiêntrong Ví dụ 3, mục 2.1.2 và Ví dụ 2, mục 2.1.3

hiệu F (x ), là hàm số được xác định theo công thức

F (x ) = P(X < x ), x ∈ R

Ví dụ: Tìm hàm phân phối của các biến ngẫu nhiêntrong Ví dụ 3, mục 2.1.2 và Ví dụ 2, mục 2.1.3

Ví dụ 3, mục 2.1.2:

Hàm phân phối F (x) = P(X < x)+)x ≤ 0 suy ra F (x) = P(Φ) = 0+)0 < x ≤ 1 suy ra F (x) = P(X = 0) = 33

91+)1 < x ≤ 2 suy ra

F (x ) = P(X = 0) + P(X = 1) = 33

91 +

4491+)2 < x ≤ 3 suy ra

F (x ) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)+)x > 3 suy ra F (x) = 1

Ví dụ 3, mục 2.1.2:

Hàm phân phối F (x) = P(X < x)

F (x ) = P(X = 0) + P(X = 1) =

91 + 91+)2 < x ≤ 3 suy ra

F (x ) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)+)x > 3 suy ra F (x) = 1

F (x ) = P(X = 0) + P(X = 1) = 33

91 +

4491+)2 < x ≤ 3 suy ra

F (x ) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)+)x > 3 suy ra F (x) = 1

F (x ) = P(X = 0) + P(X = 1) = 33

91 +

4491

+)2 < x ≤ 3 suy ra

F (x ) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)+)x > 3 suy ra F (x) = 1

F (x ) = P(X = 0) + P(X = 1) = 33

91 +

4491+)2 < x ≤ 3 suy ra

F (x ) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

F (x ) = P(X = 0) + P(X = 1) = 33

91 +

4491+)2 < x ≤ 3 suy ra

F (x ) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)+)x > 3 suy ra F (x) = 1

455 nếu 2 < x ≤ 3

1 nếu 3 < x



p1 + p2 + · · · + pn−1 nếu xn−1 < x ≤ xn

p1 + p2 + · · · + pn−1 nếu xn−1 < x ≤ xn