Bài giảng Hệ thống điều khiển - Đại học Thuỷ lợi

Chương 11: Thiết kể hệ thống phân hồi biến trạng thãi Các chương được trinh bày chặt chõ và có các vi dụ minh họa đè sinh viên có thè hiêu các vấn để lý thuyết.. Mục đích cùa thiết kế kỳ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢl

KHOA ĐIỆN - ĐIỆN TÙ

BỌ MÔN KỸ THUẬT ĐIÊU KHIÊN VÀ TỤ ĐỌNG HÓA

TS PHẠM ĐỨC ĐẠI (Chú biên),

TS NGUYỄNTRỌNGTHẲNG,ThS NGUYỄN ĐỨC MINH

BÀI GIẢNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI KHOA ĐIỆN-ĐIỆN TỨ

Bộ MÔN KỶ THUẬT ĐIỀU KHIÉN VÀ TỤ ĐỘNG HÓA

Biên mục trên xuất ban phàm cúa Thơ viện Quốc gia Việt Nam

Phạm Đức Đại

Bài giáng I lệ thống điểu khiển / Phạm Đửc Dại, Nguyễn Trọng Thắng, Nguyền Đức Minh - H.: Bách khoa Hà Nội 2023 - 284 tr.: minh họa ; 27 cm

DTTS ghi: Trường Dại học Thuỹ lợi

I Hệ thống điều khiến 2 Bãi giang

629.890711 -dc23

BKFO24IP-CIP

LỜI NÓI ĐÀU

Môn học Hộ thống điều khien (rang bị cho sinh viên ngành Kỳ thuật điều khiến vả tự động hóa; ngành Kỹ thuật điện; ngành Kỳ thuật co khí, ô tô các kiên thúc co bán VC mò hình hỏa, phàn tích vã tông họp hệ thống điều khicn

Dựa trẽn kinh nghiệm giáng dạy nhiêu năm Bộ môn Kỳ thuật điêu khiên và tụ động hóa, Truông Đại học Thúy lợi thực hiện bicn soạn cuôn "Hài giang Hệ thống diều khiên" nhằm đáp ững nhu câu giãng dạy, học tập và nghiên cửu cho giảng viên, sinh viên cúa Trưởng Bài giang bao gồm các chưong được viet dựa trên cấu trúc cùa cuốn sách “Modern Control Systems’’ tác giá Richard c Dorf và Robert II Bishop Nội dung bài giáng chia thành 11 chương như sau:

Chương 1: Giới thiệu về hệ thống điều khiến

Chương 2: Mô hình toán học cua hệ thông

Chương 3: Mô hình biển trạng thái

Chương 4: Đặc diêm hộ thõng điều khicn phán hổi

Chương 5: Chât lượng hệ thông điêu khiên phán hôi

Chương 6: Tính ổn định cùa hệ thống phán hồi tuyến tinh

Chương 7: Phương pháp quỹ dạo nghiệm

Chương 8: Phương pháp đáp ứng tần số

Chương 9: Tinh ốn định trẽn miền tản số

Chương 10: Thiết ke hộ thong dicu khiên phán hồi

Chương 11: Thiết kể hệ thống phân hồi biến trạng thãi

Các chương được trinh bày chặt chõ và có các vi dụ minh họa đè sinh viên có thè hiêu các vấn để lý thuyết

Đê hoãn thành cuốn bài giăng này, tập thê tác giã xin chân thảnh căm on ThS Phan Thanh Tùng TS Nguyen Hoàng Việt - phụ trách chương 4 5, 6; TS Đồ Duy Hlộp - phụ trách chương 1,2, 3

Cuôn Bài giang dược dùng làm tài liệu giang dạy chính thức môn học Hộ thông diêu khiên cho các ngành Kỹ thuật điều khiên và tự động hóa, ngành Kỹ thuật điện, ngành Kỹ thuật Co khi kỳ thuật ỏ tỏ cùa Trưởng Đại học Thủy lọi Bãi giáng cũng cỏ thề làm tài liệu tham kháo hữu ích cho khối ngành Kỹ thuật dicti khiên và tự dộng hóa, Kỹ thuật điện, kỹ thuật co khi tại các trưởng đại học trên cá nước.

Trong quá trinh biên soụn bài giáng, nhóm tác gia không thê tránh khoi các sai sót; chúng tói rầt mong nhận được ý kicn đóng góp cua các đồng nghiệp và độc giá đe bãi giang ngày càng được hoãn thiện hon Mọi góp ý xin gũi ve:

Bộ môn Kỹ thuật diêu khiên và Tư dộng hóa

Trường Đại học Thúy lợi, 175 Tây Sơn - Đống Da - I là Nội

Các tảc giã

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐÀU 3

Chuông 1 GIỚI THIỆU VÈ HỆ THÔNG DIÊU KHIÊN - 9

1.1 Giới thiệu 9

1.2 Vi dụ ve hộ thống diêu khiên 10

1.3 Thiết kế kỹ thuật II 1.4 Thiết kế hệ thống điều khiền 11

1.5 Tài liệu tham kháo 12

Chuông 2 MÔ HĨNH TOÁN HỌC CỦA HẸ THÔNG 13

2.1 Giới thiệu 13

2.2 Các phương trinh vi phàn cùa hộ thòng vặt lý 13

2.3 Xấp xi luyến tinh cho cảc hệ vật lý 14

2.4 Biên đôi Laplace 15

2.5 Hàm tniycn cùa hệ thòng tuyên tinh 22

2.6 Mô hình so đổ khối 23

2.7 Mô hình graph tin hiệu 28

2.8 Vi dụ thiết kế tuần lự: hệ thống đọc ố đĩa 33

2.9 Tài liệu tham kháo 36

Chương 3 MÔ HĨNH BIÊN TRẠNG THÁI 37

3.1 Giới thiệu 37

3.2 Biến trạng thái cùa hệ thống động học 37

3.3 Phương trinh vi phàn trụng thãi 39

3.4 Graph tín hiệu vả mỏ hình sơ đồ khối 44

3.5 Graph tín hiệu và mô hĩnh sơ do khỏi thay thề 54

3.6 Xác đinh hàm truyền lừ phương trinh trạng thái 60

3.7 Đáp ứng mien thời gian và ma tràn chuyển tiếp trạng thái 61

3.8 Vi dụ thiết kể tuần tự: hệ thống đọc ổ đĩa 65

3.9 Tải liệu tham khao 68

Chương 4 DẠC DIỀM HẸ THÕNG ĐIÈU KHIÉN PHAN HÓI 69

4.1 Giói thiệu 69

4.2 Phân tích tin hiệu sai lệch 70

4.3 Độ nhạy của hệ thống điều khiên khi tham số thay đôi 72

4.4 Các nhiễu loạn trong hộ thông dicu khiên phán hôi 76

4.5 Điều chinh đáp ứng quá độ 81

4.6 Sai lệch trạng thái xác lập 85

4.7 Nhược diem cùa phán hòi 88

4.8 Các vi dụ thiết kề 89

4.9 Đặc điếm hệ thống điều khiến sư dụng phần mềm thiết kể điều khiên 95

4.10 Vi dụ thiết ke tuần tụ: hộ thống dọc ò đìa 98

4.11 Tài liệu tham kháo 101

Chương 5 CHÁT LƯỢNG HỆ THÔNG DIÈU KHIẾN PHÁN HỎI 102

5.1 Giới thiệu 102

5.2 Các tín hiệu đầu vào thù nghiệm 102

5.3 Chat lượng hộ thông bậc hai 105

5.4 Anh hưởng cùa diêm cực thứ ba và diem không lẽn đáp ứng hệ thống bậc hai 112

5.5 Vị tri nghiệm trẽn mặt phủng í và đáp ứng quã độ 116

5.6 Sai lệch trụng thái xác lập cua hệ thông diêu khiên phan hôi 118

5.7 Các chi số chắt lượng 125

5.8 Đơn gián hóa hệ thõng tuyến tinh 128

5.9 Các vi dụ thiết kế 130

5.10 Chắt lượng hệ thống sử dụng phần mềm thiết kế điều khiên 132

5.11 Tài liệu tham khảo 139

Chương 6 TÍNH ÓN ĐỊNH CŨA HỆ THỐNG PHÁN HÔI TUYÊN TÍNH 140

6.1 Khái niệm tính ồn định 140

6.2 Tiêu chuẩn ôn định Routh - Hurwitz 143

6.3 Tính ôn định tương đồi cua hệ thống điều khiên phán hồi 151

6.4 Tính ồn định cùa hệ thống biến trạng thái 152

6.5 Cảc vi dụ thiết kế 155

6.6 Tính ôn định hệ thống sử dụng phần mềm thiết kế điều khiên 156

6.7 Vi dụ thiết kế tuần lự: hệ thống đọc ồ đìa 160

6.8 Tải liệu tham khảo 163

Chương 7 PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM 164

7.1 Giới thiệu 164

7.2 Khái niệm quỹ đạo nghiệm 164

7.3 Thiết lập quỹ đạo nghiệm 169

7.4 Thiẽt ké tham sô bàng phương pháp quỹ đạo nghiệm 1X2 7.5 Ọuỹ đạo nghiệm sử dụng phẩn mểm thiết kế điều khiến 188

7.6 Vi dụ thiết kế tuần lự: hệ thống đọc ố đìa 195

7.7 Tâi liệu tham kháo 196

Chương 8 PHU ONG PHÁP ĐÁP ỦNG TÀN SỎ 197

8.1 Giới thiệu 197

8.2 Đổ thị đáp ứng tần số 198

8.3 Các phcp đo đãp ứng tẩn số 206

8.4 Các thông số chất lượng trong miền tần số 20X 8.5 Đồ thị pha và log bién độ 211

8.6 Phương pháp đãp ímg tân sò sứ dụng phân mèm thict kê đicu khiên 212

8.7 Tài liệu tham kháo 215

Chương 9 TÍNH ỚN ĐỊNH TRÊN MIÊN TẢN SỎ 216

9.1 Giởi thiệu 216

9.2 Phép ánh xạ contours trong mặt phăng í 217

9.3 Tiêu chuân Nyquist 223

9.4 Ôn định tương đối vả tiêu chuẩn Nyquist 228

9.5 Tài liệu tham kháo 234

Chương 10 THIÈT KÈ HỆ THÔNG ĐIÊU KHIÊN PHẢN HỒI -235

10.1 Giới thiệu 235

10.2 Các phương pháp thict kê hộ thông 236

10.3 Mạng bù Cascade 237

10.4 Thiel kế sớm pha sử dụng đồ thị Bode 242

10.5 Thict kê sớm pha sử dụng quỹ đạo nghiệm 248

10.6 Thiết kề hệ thống sừ dụng mạng tích phân 255

10.7 Thiết kế trễ pha sừ dụng quỳ đạo nghiệm 259

10.8 Tài liệu tham kliào 261

Chương 11 THIẾT KÉ HẸ THÔNG PHẤN HÔI BIÊN TRẠNG THÁI 262

11.1 Giói thiệu 262

11.2 Tinh điều khiến được và quan sát được 263

11.3 Thiết kế điều khiến phân hồi trạng thãi toàn phần 268

11.4 Thiết kề bỏ quan sát 273

11.5 Kcl hợp phán hồi trạng thái toàn phẩn với bộ quan sát 277

11.6 Tải liệu tham kháo 283

Chưong 1 GIỚI THIỆU VỀ HỆ THÔNG ĐIÈU KHIẾN

Đầu vào Quá ưình

Co cảu chip hành

Quá

trình Đàu ra

Hình 1.2 Hệ thông diêu khiển vòng hờ (không có phàn hối).

Ngược lại với hệ thòng dicu khiên vòng hơ lã hộ thõng điều khicn vỏng kín sư dụng một phép do đầu ra thực tẽ bõ sung vào đẽ so sánh khác biệt giừa đâu ra hiện tại vói dáp ứng đau ra mong muôn Phcp đo dâu ra dược gọi là tín hiệu phan hói (feedhack signal) Hình 1.3 chi ra một hệ thống điều khiển phán hồi vòng kin đơn gián

Đáp ủng dấu

ra mong

muốn

l>ãu ra đo dượt Phán bổi

Hình 1.3 Hệ thống điêu khiển phàn hỏi vỏng kin (có phán hôi) Error: sai lệch.

Thông thường, sai lộch giữa dâu ra dược diêu khiên cua quá trinh và dâu vào dặt được khuếch dại vả sứ dụng để điều khiến quá trinh nhàm giám sai lệch xuống liên tục Hệ thống như hình 1.3 là một hệ thống điều khiên phàn hồi âm (negative feedback), bơi vi lấy đầu vào trừ đi dâu ra và dùng chênh lệch dê làm tin hiệu dâu vào cho vào bộ diêu khiên Khái niệm phán hồi lả nền táng cho việc thiết kế và phân tích hệ thống điều khiển Một hệ thống

điêu khiên vòng kin sứ dụng phep do dâu ra và phán hòi tin hiệu này dê so sánh nó với đâu

ra mong muốn (đặt hay ra lệnh)

Như chúng ta sè tháo luận trong Chương 4, điều khiến vòng kin cỏ nhiều ưu dièni hon

so với điêu khiên vòng hờ, bao gôm kha năng loại bo dược các nhiều loạn bên ngoài (external disturbances)và cai thiện độ suy giám nhiễu phép do (measurement noise)

I lệ thống phán hổi trong hình 1.3 lã hệ (hống phân hồi vòng đon Rắt nhiều hệ thống điêu khicn phán hôi có nhiêu lum một vòng phán hôi

Hĩnh 1.4 (b) Người lái quan sát khác biệt giữa hường đi thực tể và hường đi

mong muốn đó t$o ra sự điổu chinh cho bánh lái.

1.3 Thiết kế kỹ thuật

Thiết kế kỹ thuật là nhiêm vụ chinh của người kỳ sư Nó lả một quã trinh phức tạp mà trong đó cá óc sáng tạo và sụ phân tích đêu dóng vai trỏ chính Thict kê là quã trinh nghĩ hoặc sảng chê ra các dạng, các phân vã các chi tiết của một hệ thong đè thu được mục đich cụ the

1.4 Thiết kế hệ thống điều khiển

Cóc chú dề được nhấn mjnh nong vi du nảy

ỏ tối mâu chi ra tảng các

chù đe được nhằn mạnh

trong lừng chuông MỘI

vài chuông sỉ cò nhiều

f

(11 Thiel Ii? các mực lieu, biến đ.rợv điếu

khiên vả các chi liêu

kỳ thuật l

Viết các chi tiêu kỹ thuật

Thiel lập cấu hĩnh l>ệ Ibồng

NÁi dje tinh kbõng thó* nùn chi liêu

chit lcựnẹ thl |J|' lai câu lunli

Việc thict kc các hệ thõng diếu khicn là vi dụ đặc thủ cùa thict kê kỹ thuật Mục đích cùa thiết kế kỳ thuật điều khiển lã nhảm thu được cắu hĩnh, đặc diem kỹ thuật và sự nhận hiet cãc tham số chinh cua một hộ thông cho trước dê đáp ứng các nhu câu thực te Quy trinh thiết kế hệ thống điều khiến được minh họa trên hình 1.5.

1.5 Tài liệu tham khảo

111 Modern Control System, Richard e Dorf và Robert H Bishop, Pearson, 2010

Chương 2

MÒ HÌNH TOÁN HỌC CỨA HỆ THÔNG

2.1 Giới thiệu

Nội dung của chương này được tham khao từ chương 2 [1], trong đó đề cập đến vấn để

mô hlnh hỏa các hệ thống vật lý nhúm phục vụ việc phán tích vã thiết kế các hệ thống dicti khiển

2.2 Các phương trinh vi phàn cúa hệ thống vật lý

Ta thu được các phương trinh vi phân mò tà đặc lính động học cùa một hệ thống vật

lý bãng cách sư dụng định luật vật lý cua quá trinh Vi dụ hình 2.1(a) lã bộ giám tôc - vật nặng - lò xo được mò tà bởi định luật II Newton về chuyên động Gián đo lực của vật nặng

M như hĩnh 2.1(b) Ma sát tường dược mỏ hĩnh hóa lã bộ giám tốc nhót, tức là lục ma sát

tỳ lệ thuận với tốc độ cùa vật nặng Cộng các lực tác động lèn M và sữ dụng định luật II Newton thu dược:

2.3 Xắp xi tuyến tinh cho các hệ vật lý

Đại đa so các hệ vật lý là tuyến tính trong một phạm vi cùa cảc biên NÕ1 chung, các

hệ sau củng sê trở nên phi tuyên khi các biên láng lên vượt ngoài phạm vi giới hạn.Một hệ thống được định nghía lả tuyến linh dưới dạng kích thích và đáp ứng hệ thống Với một hệ thống tuyên tinh, cần thiết phái có khi kích thích Xi(í) + Xìd) dẫn đen đáp ứng lã yi(f) + y:(/) Nỏ thưởng được gọi lã nguyên lý xếp chồng

Ngoài ra hệ số tỳ lệ biên độ phái được báo toàn trong hệ thống tuyến tính Một lần nữa, ta xét hệ thõng vói đầu vào x(r) đưa đến đau ra y(/) Sau đó, dâp ứng cũa một hệ thong

tuyến tinh cho đằu vào được gấp bội lên một hùng sổ !ì lằn 1 phái bàng đãp ứng cùa đầu vảo

được nhãn với củng một hằng sổ đế đầu ra bủng py Đây được gọi lã đặc tính thuần nhất (homogeneity) Một hệ thông tuyên linh thỏa mãn cảc linh chãi xẽp chong và thuân nhất.Một hệ thống mò lã đặc điểm theo quan hệ V = r' không phái là tuyến linh, bời vi không thỏa màn nguyên lý xếp chỏng Một hệ thống tương úng với môi quan hệ y = nu + b cùng không tuyên tính, bời vi nỏ cùng không thỏa màn tính chãi thuần nhát Tuy nhiên, hệ thong thứ hai nãy có thê được xem như lả luyến linh xung quanh một diêm lủm việc Xu, yo cho sụ thay đòi nhó Ax và Ay

Ví dụ 2.1 Mô hình bộ dao động quã lấc

Xét hình 2.2(a) chi ra hộ dao động quà lấc Mômen lác động lên vật nặng M là:

g là hàng số hấp dần Điều kiện cân bang cho vật nặng dó là 0» = rt" Mối quan hộ phi tuyến giữa ĩ và 0 dược biêu thi sinh động như hình 2.2(b) Đạo hàm bậc nhât dược ước lượng tại diem cân bảng cho ta một xấp xi tuyến tinh là T-Tn = MgL j (0-0ộ), trong dó

T„ = 0 Do dó, chúng ta cổ:

T = Mei(cos0")(»-0")

Sụ xáp XI nãy là chính xác có thechãp nhận dược trong khoang -ĨI!4<0< !ĩ14

Tit)

*

(b)

Hinh 2.2 Dao động con lắc.

2.4 Biến dổi Laplace

Nghiệm đáp úng miên thời gian thu được theo các bước sau:

1 Thiết lập cảc phương trinh VI phân đâ tuyến tinh hóa

2 Bièn dõi Laplace cho các phương trinh vi phân dê thu được các phương trinh dại sô

3 Giái phương trình đại sô đẽ có các ánh Laplace của các biên quan tâm

Bien dôi Laplace tôn tại cho các phương trinh vi phàn tuyên tính khi tích phân biên đói hội tụ Do dó, de f (0 có the biên dõi thì diêu kiện đu lá j' |/(r)|e ’•’<// < <50, dôi với một

số thực, dương ơ| Ó đày, 0 chi ra rằng tích phân nên bao gồm cà bất kỳ diêm giãn đoạn nào, chảng hạn như một hàm delta tại I = 0 Neu độ lớn cua/(í) là |/(f)|< A/r^với tất cà I dương, tích phân sẽ hội tụ khi <T| > a Như vậy, mien hội tụ đó là « > ơ >ơ và <T| dược biết là hoành độ cúa miền hội tụ tuyệt đối Các tin hiệu mà thực hiên được về mật vật lý luôn

có biên đôi Laplace Phép biên đôi Laplace cho hâm thời gian f(tị lã:

(2.4)Phép biến đổi Laplace ngược là:

(2.5)

Bien Laplace s cỏ thẽ được xem như toán tư vi phân, tức là

(2.6)

Do đó, chúng ta cũng có toán tử tích phàn

Phép biên đòi Laplacc ngược thường thu dược nhờ sử dụng khai trìên phàn thức riêng Heaviside Cách tiêp cận nảy đặc biệt hữu dụng cho việc phàn tích và thiẽt kè hệ thông bới ánh hương cùa mỗi nghiệm riêng hoặc giá trị riêng có thế quan sãt rỏ ràng

Đe minh họa sự hữu ich cua phcp biên dôi Laplace và các bưởc lien quan den việc phàn tích hệ thống, ta xem xét lại hệ thống bộ giám lốc - vật nặng - lò xo mô lã bởi phương trình (2.1) như sau:

dr dt

Chúng ta muốn thu được đãp ửng y lã hám theo thời gian Biến đổi Laplace phương trình (2.8):

A/^2yơ)-jy(0 )-^(0 )J+&(jr<j)-y(0 J)+ư(s) = /?(s) (2.9)

Khi r(0 = 0 và y(0 ) = yo ^1 = 0,

rf/U<rchúng ta có:

Giai lây rơ), ta được:

(2.11)

Ms]+bs + k qịs)

Đa thức mầu sổ ợtx) khi được đật bâng 0 dược gọi lã phưung trình độc tinh bơi vi các nghiệm cua phương trình này xác đinh đặc tinh cùa đáp ứng theo thòi gian Các nghiệm cùa phương trinh đặc tính này cùng được gọi là điểm cực của hệ thống Nghiệm của đa thúc

tứ sô p(s) được gọi là diêm không cùa hệ thõng; chảng hạn s = b/M là một điểm không cùa phương trình (2.12) Các diêm cực vã diêm không là các tân sỏ tơi hạn Tại diêm cực, hàin >'(.'■) trô nèn không xác định, trong khi tại điểm không hàm bằng 0 Dồ thị mặt phàng

s tan sổ phức cho các diêm cực và diêm không miêu tá sinh đọng đặc tinh đáp ứng quá độ tụ nhiên cùa hệ thông

Bàng 2.1 Cảc cặp bién đổi Laplacc quan trọngStep function: I lãn) bước nhảy; Impulse function: I lâm xung.

Khai tricn phương trình (2.12) thảnh các phân thức dơn gian, ta thu dược:

*

(2.13)

x = pole o= zero

Hình 2.3 Đồ thị diẻm cực (pole) và điém không (zero) trẽn mặt phầng s.

trong dớ, kì và kĩ là các hệ sô cứa khai trièn Hệ sô k, dược gọi là thặng dư (residues), dược

tinh bủng cách nhãn vào mẫu sỏ của (2.12) với thùa số tương ứng vói k, và đột í bâng với nghiệm Khi = 1, ước lượng kí ta có:

(.V-*,)/>(*)

w L.

= (£+lX£+3)C.V + 1X5 + 2)

(2.14)

và k; = -I Nói cách khác, thặng dư của Yịs) tại cãc điểm cực tương ứng có thè được ước

lượng băng đồ thị trên mặt phảng 5 vì phương trinh (2.14) có the viet lại là

Biến đối Laplace ngược phương trinh (2.12), ta được

Sir dụng bang 2.1 ta thu được:

)’(/) = 2e“'-k_z'

(2.15)

(2.16)

(2.17)

Cuối cùng, ta thường mong muốn xác định giá trị xác lập hay giá trị cuối cùng cua đáp ứng y(/) Chảng hạn, ta có thỏ tính toán vị tri dừng lại xác lập hay cuối cũng cua hộ thống giảm lốc - vật nặng - lò xo DỊnh lý giá trị cuối phát biêu rang:

r-»«' !-•"

trong dó cho phép một diêm cực don tại gôc cua yự), nhưng các diem cục trẽn tr\ic áo, trên nưa mặt phàng ben phái và các diêm cực lặp tại góc bi loại trừ Do dó, trong tnròng hợp cụ thè này cùa bộ giâm tốc - vật nặng - lò xo, ta thu dược:

r-*x* X-MI

Do đõ vị trí cuối cũng cùa vật nặng Af lã vị tri cản bàng thõng thưởng y = 0

Quay lại hệ thống bộ giam tõc - vật nặng - lò xo Phương trình /(.S’) có thê viet lụi là:

Khi 4< I thi đáp ứng là underdamped và

(2.22)Hình 2.4 chi ra dô thị các diêm cực và diêm không cũa K(.r) trên mặt phãng V, trong đó í? = cos 'ỉ Neu <ờo là hàng số côn c biến thiên thi các nghiệm phức lien hợp di theo một quỹ dạo vòng tròn như hĩnh 2.5 Đáp ứng quá dộ sẽ càng dao dộng khi các nghiệm càng tiên gán trục áo khi 4 giám vê 0

Biến đỗi Laplace ngược có the được ước lượng nhờ sử dụng ước lượng thặng dư đổ thị Khai triển (hãnh các phán thức đơn giãn của phương trình (2.20) là:

Hình 2.4 ĐÔ thị mật phằng s cho điểm cực vã điếm không của Y(s).

Hình 2.5 Quỹ ớ,10 nghiệm khi : biỉ>n thiổn với hắng số

Vì J2 là liên hợp phức cùa Si nèn thặng du kĩ lã liên hợp phúc cùa kl do vậy ta có:

k, = (2.26)

ja>

Hinh 2.6 Tinh thặng dư ki.

Cuối cùng, đặt /ỉ = yỊ\ — £l , ta thu được:

Nghiệm cùa phương trình (2.27) cùng có thê thu được nhờ sứ dụng mục thứ 11 cùa báng 2.1 Các đáp úng quả độ cùa trường hợp dao động không sin tát dần «■ > I) vả dao động hình sin tãt dân (C < 1) nhtr hình 2.7 Đáp úng quá độ xảy ra khi c < 1 cho thây một

dao động vói bièn độ giám dằn theo thời gian vã nó được gọi lã dao dộng lắt dàn

Môi quan hệ giữa vị tri cua cãc diêm cực và diem không trẽn mặt phăng s vã dạng cua đãp ửng quá độ có thê được giái thích tử đồ thị diêm cực - diêm không trùn mật phảng V Chảng hạn, khi nhìn vào phương trinh (2.27), diều chinh các giá trị của làm thay đôi đường bao e ~">'1, do đó, dáp ứng y(f) chì ra trong hình 2.7 Các giá trị cùa càng lớn thì

sự tất dần của đáp ứng }•(/) càng nhanh Trong hĩnh 2.4 chủng ta thấy rủng vị tri cùa diem cực phức 51 xác định bới 5, =-^íi», ± Vi vậy, nếu ta cho£ớ>, càng lởn thi diemcực bị di chuyến câng xa bên trái mặt phùng í Do đó, sự liên kết giữa vị tri diem cực trong mặt phăng s và dáp ứng bước nhay lâ hiên nhiên việc di chuyên diêm cục 51 càng xa VC

nưa mặt phắng trãi dẫn den sự tắt dần cùa dáp ímg bước nhay quá dộ càng nhanh Tất nhicn, hâu hết cảc hệ thống điêu khiên có nhiêu hơn một củp đièm cực phức, vi vậy đãp ứng quả

dỏ sỗ là kêt qua cua sự dỏng góp cua tât cá các diêm cực Thực te, biên dộ cùa đãp ứng moi diêm cực được biêu hiện hỡi thặng dư, có thè mường tượng nhở việc xem xét đô thị thặng

dư trên mặt phăng s

Hình 2.7 Đáp ứng cho hệ thống lò xo - vật nặng — bộ giảm tốc.

2.5 Hàm truyền cúa hệ thống tuyến tính

Hàm truyền cùa hệ thống tuyền tinh được xác định là tỳ số cùa biến đôi Laplace biến đâu ra chia cho biến đõi Laplace biền đàu vào với tãt cá các điêu kiện đâu gia thiẽt băng 0 Hàm truyền của một hệ thống (hay phần từ) đại diện cho mối quan hệ mô tà động học cùa

hệ thống được xem xẽl Hãm truyền chi xác định cho hệ thống luyến tinh dứng (cãc tham số hằng)

Hãm truyền cùa hệ thống bộ giám lốc vật nặng lõ xo thu được lữ phương trinh ban đâu (2.9) dược viet lại với điêu kiện ban đáu bâng 0 như sau:

Do đó, hàm truyền đảu ra (Output )''đằu vào (Input) lả:

Bày giờ, chúng ta xem xét hành vi dãi hạn cùa một hệ thống và xác định đáp ứng cùa

hộ thống đối với một đầu vào cụ thè mà đáp ứng này khác 0 khi đã quá dỏ xong Xét hệ thông dộng học mò tá bới phương trình vi phân

y(í) = “7 + ^77 /?($) trong đó ự(.r) = 0 là phương trình đặc tính Ncu đầu vào có dạng hừu

»0

2.6 Mò hĩnh sơ đò khối

Tàm quan trọng cùa mỏi quan hộ nguyên nhân - két quà dược chúng minh bới tinh tiện dụng đô biêu diễn mõi quan hệ giừa các biến hệ thống bằng phương pháp biêu đồ Sự biểu diễn sơ dồ khối các mối quan hệ hộ thống rat thinh hành (rong kỹ thuật điều khiến hệ tilling Sơ đổ khối bao gổm các khối toán tử dim hướng biêu diễn hàm truyền của các biến quan tám Hình 2.8 cho thấy so đồ khối cùa một động co DC' và lái được điều khiển kích lữ Moi quan hệ giừa sự chuyên dời 0(s) và điện áp đàu vào V, (j) được miêu tá sinh động sáng

tò bời sơ đô khôi

Đầu ra(1(5)

Hình 2.8 Sơ đó khồi của động cơ một chiéu.

Đàu vàoR| UI -

Đầu ra

* Ihổng

K|(J)r>(5»

Hình 2.9 Phép biéu diẻn lóng quát cho hệ thông hai đâu vào, hai đẩu ra.

Đè biểu thị một hệ thống với vài biến được điều khiên, người ta sứ dụng sự liên kết các khỏi Chảng hạn, hình 2.9 chi ra hệ thòng có hai biên đâu vào và hai biên đâu ra Sứ dụng hệ thức hãm truyền, chúng ta có the viet hệ phương trinh cho cảc biến đau ra là:

Hình 2.10 Sơ đô khôi của hệ thông liẻn két nội.

ở dây, ma trận Y vã R lã ma trận cột chứa tương úng I biến dáư ra và J biến đầu vào (ỉ lã ma trận hãm truyền / hàng J cột Sự biêu diễn ma trận cho mối tương liên cùa nhiều

biên đặc biệt có giá trị cho các hộ thòng diêu khiên da biến

Sự biêu dicn so dô khôi cùa một hệ thông dã cho thường có thè quy vê các sơ dô khôi đơn giãn hơn với ít sỏ khối hon so đỏ ban đâu Vi hàm truyẽn miêu tà các hệ thống tuyên tinh nen phép nhân cỏ thè giao hoán Đo vậy, trong bang 2.2, mục 1 la có'

Hệ thống điều khiến phan hồi âm này được mỏ lá bởi phương trinh cho tin hiệu phát động, dó là:

Do đau ra lại quan hệ với tin hiệu phát động qua G(.v), la có:

K(J) = G(5)L'Ơ) = G(.s)Gl(i)Z(s) = G(s)G^)G, (S)EđịS) (238)

Kct hợp với sò hạng y(j), ta thu được:

Hí)[l+^.í)Ợl(.v)G.(í)//(.s)] = G(.s)Gtf(s)G, Ơ)K(5)

Do vậy, hãm truyền liên kết đầu ra }’(>) với đầu vảo Rịs) là:

yfr) _ G(5)G.,(5)Gr(5)/?(.v) l + G(í)Ga(í)G.(f)//(í)

(2.40)

(2.41)

Hàm truyền vùng kín này đặc biệt quan trọng bời nô đại diện cho nhiêu hệ thòng điêu khiển thực tê hiện nay

Việc rút gọn sơ đồ khối hình 2.11 thảnh sự biểu diễn một khối đơn là ví dụ cho thấy

sự hừu ich cùa các kỳ thuật biến đồi so đổ khối Các phép biến đồi so đồ náy cho trong bang2.2 Tất cá phép biển đổi trong báng 2.2 cỏ thế dần dát từ việc xử lý đại sổ đon gián các phương trình miêu tá các khỏi

Hình 2.12 Hệ tháng điều khiển phản hồi da vòng.

Ví dụ 2,2 Thu gọn so dô khối

Hình 2.12 lã một so đồ khối cùa hệ thống điều khiển phán hồi đa vỏng Một điều rắt

lý thú cần lưu ỷ ở đây đó lã tin hiệu phán hồi Hịịs) Yịs) lã tin hiệu phán hồi dương và võng

GẠsìGẠsịH^s) là vỏng phán hồi dương Cách tiến hành thu gọn so đồ khối dựa trên việc

SŨ dụng báng 2.2 phép biên đôi 6 điểu nảy loại bó các vỏng phán hôi Do dó cảc phép biến đỗi khác dược dũng đe biến đòi so đồ thánh một dạng sẵn sàng để loại bó vỏng phán hồi Đầu tiên, đe loụi bo vông G'lG’iWi, chúng ta di chuyền Hĩ ra sau khối Gi nhò dũng phép bicn đôi 4 và thu được hĩnh 2.13(a) Với việc loại bo vỏng GyGiH\ dùng phcp biên dỏi 6, ta thu được hình 2.13(b) Sau đó, bảng việc loại bò vòng bên trong chứa Hỉ/Gi' ta thu được hình 2.13(c) Cuối cùng, bằng cách (hu gọn vỏng chứa //3, ta thu dược hãm truyền hệ thống vỏng kin nhu hình 2.13(d)

Hĩnh 2.13 Thu gọn sơ đổ khói cho hệ tháng ví dụ 2.2.

2.7 MÓ hình graph tin hiệu

Sơ đồ khối thích họp cho sụ biểu diễn mối tương liên cùa các biến đầu vào vả biển được điêu khiên Tuy nhiên, với một hệ thõng có môi tương liên phức tạp kha khả thi biện pháp thu gọn sơ đồ khối thường bế tác và rất khỏ đế hoãn thành Một phương pháp thay thế nhăm xác định mòi quan hệ giữa các biên hệ thòng đả dược phát triỏn bơi Mason vã dựa trên

cơ sỡ biên diễn hệ thống bới các đoạn thảng được gọi là phương pháp graph tin hiệu Lợi ích cùa nó là cung câp mỏi quan hệ giữa cãc biến hệ thông mã không dòi hói bât kỷ thu tục rút gọn hay biến đối graph tin hiệu não

Một graph tín hiệu là sơ đỏ bao gồm các nút dược liên kết bới một vài nhánh có hướng

và lã biếu diễn đổ họa của một tập các quan hệ tuyển tinh Các graph tín hiệu đặc biệt hữu ích cho các hệ thống điều khiến phan hồi bơi vi lý thuyết phan hồi quan tâm chu yếu đến dòng cháy và xư lý các tin hiộu trong hộ thõng Phân tứ co bán cùa graph tin hiệu là các đoạn dần đơn hưởng gọi là nhánh mà nõ liên hệ với tính lệ thuộc của biên đâu vào vã đau ra trong kiêu tương đương với khôi cùa sơ dô khôi

Do dó, một nhánh liên hệ dâu ra 0(.v) cùa động cơ DC với diện áp kích tử V, (j) tương

tự như so đỏ khôi cũa hĩnh 2.8 vả được chi ra trong hình 2.14 Diêm hay chỗ noi cũa đầu

vảo hoặc dâu ra được gọi là nút Tương tự, graph tin hiệu bicu diễn phương trinh (2.33) và (2.34) cùng như hĩnh 2.10 đà được chi ra trong hĩnh 2.15.

G(í)

Hình 2.14 Graph tin hiệu cùa động cơ DC.

Hình 2.15 Graph tin hiệu của hệ thống liên kết nội.

Mối quan hệ giữa các biên dược viết bên cạnh mũi tên chì hướng Tất cá các nhánh rời một nút sê truyền tín hiệu thuộc nút đó tới nút đầu ra của mỗi nhánh (đơn hướng) Tống của tắt cá các tín hiệu di vào một nút bâng với biển nút Một dường dan lả một nhánh hoặc một dày liên tục các nhánh mà cớ the di lữ một tin hiệu (nút) này tới một tin hiệu (nút) khác Một vòng lã đường dần khép kin bát đầu vã kết thúc tại cũng một nủt mà không bát gặp nút náo hai làn trẽn dường dan I lai vòng được gọi là không tiếp xúc nêu chúng không có nút chung Hai vỏng tiếp xúc có chung một hoặc nhiều nủt Do đỏ xem xét lại hĩnh 2.15, ta có:

Hlnh 2.16 Graph tin hiệu cho hai phương trinh đại sồ.

Graph tín hiệu dơn gian là một phương pháp trực quan đê viet một hệ thông dưới dụng phương trinh đại số biêu thị sự phụ thuộc lẫn nhau cúa các biến Trong vi dụ tiếp theo, ta xét một hộ phương trinh đại sỏ sau dây:

Mầu số cùa nghiệm lã định thức A cùa hệ phương trinh vã được viết lại lã:

A = (1 - ai 1) (1 -(IĨ2) - aiĩa?i =1 - ai I - «22 + «I I«22 - «12«21 (2.50)Trong trường hợp này, mẫu số bang 1 trử đi mỗi vòng lặp «II, «22 và «I2«2i cộng thèm tích cùa hai vòng không tiếp xúc «II vã «12 Các vòng «22 và «2I«12 là tiếp xúc gióng như «II

và «21« 12

Tứ số cùa XI có đầu vảo ri lã I nhân vói I «22 lã giá trị cùa A loại đi các số hạng tiếp xúc với đường dán I từ r: tới XI Do dó từ sò từ r? tới XI dơn gian là «12 bời vì dưỡng dan qua

«12 tiếp xúc vởi tãt cá cảc vỏng Tứ sỏ cho X’ đoi xứng với tứ số của X|

Tỏng quát, sư phụ thuộc tuyên tính giữa biên dộc lập X, (thường gọi là biên dâu vào)

vã biến phụ thuộc X, được cho bời công thức hệ so khuếch đại graph tin hiệu:

Phép lông dược lây cho lât ca các đường dán thứ k có thè tử ,c> lới X, Hệ sô khuèch dại đường dần hay hệ số truyền P),t được xác định lả tích của các hệ số khuếch đại của các nhánh

đường dan di theo chicu mùi ten mà khòng có nút nào bãt gặp nhiêu hơn một lãn Phân phụ đợi sốồl)( lã định thức loại bo đi các vòng tiểp xúc với dường dần thử Ẳ

Định thức A tính theo tô họp các vòng không tièp xúc (nontouching) là:

A=I-ỀẠ+ ẹ la ,- £ AAA+- <2-52)

iKOXuỉurự OíOKXKtinctrong dó, Lợ bâng giá trị cùa hộ sô truyên vòng thử q Do vậy, quy luật dê ước lượng A dưới dạng cùa các vòng L|, Lĩ, Lĩ, ,L n là:

A I (tỏng của tat cá hệ sò khuếch đại vòng khác nhau)

+ (tống cùa tích các hệ số khuếch đại cùa tất cà lỗ hợp hai vòng không tiếp xúc) (tống cùa tích cãc hệ số khuếch đại cùa tắt cà tồ hợp ba vòng không tiếp xúc)

Công thức khuếch đại thưởng được dùng đề liên kết biến đầu ra F(j) với biến đầu vảo

Rịs} (tức lã cỏ vai trỏ như hàm truyên dạt) và dược cho bới dạng khá dơn gian là:

(2.53)trong đó: 7(i) = y(r)/K(j)

Vi dụ 2.3 Hãm truyền cùa một hệ thông toong tác

Một graph tin hiệu hai đường dẫn được the hiện trên hĩnh 2.17(a) và sơ đổ khối tương ứng trong hình 2 17(b) Một vi dụ cua hộ thõng điêu khiên với dường dan da tín hiệu là robot nhiều thanh nối Các dường dẫn kết nối đầu vào /?($) với đầu ra K(.v> là:

/' = Gfififit (dường dẫn I) và /*, = G,Gfi-,Gf (đường dần 2)

Có bon vòng lặp là:

= G,H„ L, = //<G„ Ị, = G„//, và L, = G,7/,Các vỏng lặp L\ và L: không ticp xúc với Lị vã Lj Do dó, định thức lã

Phan phụ đại số cùa định thức dọc theo dưỡng dan I được tinh băng cách bở di khoi

A các vòng tiêp xúc dường dan I Do vậy, ta có:

Z,-4-0 và A,-1-(L,-A)

Tương tự, phân phụ dại so cho dường dan 2 lã:

rơ) = T, = + =

6\(21G;ơ)

I-G,ơ)W:ơ)JLI-G5(í)^(í) Ơ4ơ)*ơ)

G| MGjWG, ịs)Gt (ĩ)

(ì-G^H^ự-G^HẠs))

Một phép phân tích tương tự cùng có the thực hiện bủng cách sử dụng kỳ thuật rút gọn

sơ đổ khôi Hình 2.17(b) chi ra sơ dô khỏi có bôn vòng phan hoi nội bên trong sơ dò khỏi toàn phân Sụ thu gọn so đô khối khá đon giàn bảng cách đầu tiên rút gọn bốn vòng phán hỏi nội rỏi đ$t hê thõng thu được mắc nòi tiếp Dọc theo đường dan phía ưên hàm tmyẽn lã:

/}(.v) - G, (j)G, (5)G.(5)G, co (đường trẽn)

Pis) = G,ịs)Gftịs)G1ịs)G^s) (đường dưới)

Hĩnh 2.17 Hệ thống cỏ hai dường dằn tương tác lẳn nhau.

(a) Graph tin hiệu; (b) Sơ đồ khối.

Tương tự qua dường dẩn dưới, ta có hàm truyên là:

2.8 Ví dụ thiết kế tuần tự: hệ thống đọc ổ đĩa

Mục đích cua hệ thong đọc ô đĩa là đăt vị tri đau đọc chinh xác theo đường đi mong muốn và di chuyển lừ diem nây tới điềm khác nếu có thề trong 10 ms Chúng ta cần xác định đối tượng, câm biển và bộ điều khiến Ta sẻ thu được một mỏ hình đối lượng G(í) vả cám biên Bộ đọc ò đìa sứ dụng một dộng cơ một chicu nam chàm vĩnh cừu đê quay cánh tay đọc Đầu đọc được gân trên một thiết bị trượt mà được ghép nối VÔI cánh tay như hĩnh 2.18

Sư dụng chỏ uốn cong (kim loại lò xo) de cho phcp dâu đọc ờ phía trẽn dĩa một khoáng nho hon 100 nm Đâu đọc phim mãng móng đọc dưỡng từ thòng và cung cấp tin hiệu tới bộ khucch đại Tín hiệu sai lệch hình 2.19(a) dược cung câp bơi việc đọc sai lộch từ rânh chi mục ghi trưởc Già thiết có đầu đọc chinh xác, cám biến có hàm truyền //ụ) - I như hình

2 19(b) Hình 2.19(b) là mô hĩnh động co một chiêu nam chàm vĩnh cứu vã bộ khuẽch đụi tuyên tính

I

Hình 2.18 Giá đờ’đàu, chì ra đi6m uốn của đâu đọc.

Hinh 2.19 Mó hĩnh sơ đổ khói cùa hệ thống đọc ó đĩa.

Bang 2.3 cho biêt các tham sô điên hình cùa hệ thòng ô đìa Đo đó, ta có:

Bàng 2.3 Càc thỏng sổ cụ thố cùa đẴu đọc ố đĩa

Su dụng mô hình xâp xi bậc hai cho ơ(j), ta thu được:

Rí.s) r + 20s+5Krt

Khi*-=4O,HTO-7^ÕÕ«”

Ta thu đuợc đáp ửng bước nhảy ffh)>o.|/.vrad như trong hình 2.21

2.9 Tài liệu tham khảo

11 ] Modern Control System Richard c Dorf và Robert II Bishop Pearson 2010

Chương 3

MÒ HÌNH BIÊN TRẠNG THÁI

3.1 Giới thiệu

Nội dung cua chuông này dược tham khao từ chương 3 [ I ], đe cập den phương pháp

mô hình hóa trên mien thời gian Sức mạnh của máy tinh sô khiến việc nghiên cứu lập công thúc miền thời gian cho các phương trinh mô ta hệ thong đièu khiên là rãt thief thục Kỳ thuật miền thin gian còn có thè sứ dụng cho các hệ thống phi tuyên, biến thiên theo thời gian

vá đa biến

3.2 Biến trạng thái cũa hệ thống động học

Phép phân tich vã thiết kế miền thời gian cho hệ thống điều khiên sử dụng khái niệm trụng thái cua hộ thòng Trạng thái hệ thong là tập các bicn có giá tri cũng với tin hiệu dâu vào vã các phương trinh mô tã động lực học sê cung cắp trạng thái tương lai vã đầu ra cùa

hộ thong

Các tin hiệu đàu ia

Các tin hiệu đảu vâo

nO)

Hình 3.1 Sữ đò khỏi hệ thông.

Với hộ thống động lực học trụng thái cùa hộ thống được mỏ ta dưới dộng một bộ các biến trạng thái |xi(0, X’(f) x„(r)J Biến trạng thái là các biến xác định hành vi tương laicua hệ thống khi đà biết trạng thái hiện tại cùa hệ thổng và các tín hiệu kích thích Xem xét

hệ thông trong hình 3.1, trong đỏ yi</> và y?(f) là các tín hiệu đáu ra, Ui(r) và Mj(r) là các tín hiệu đẩu vào Một tập các biến trạng thãi (xi X’ x«) cho hệ thống được chi ra trong hình

là một tập sự hicu biỏt các giá tri ban dâu cùa bicn trạng thái [xi(r«), Xỉ(/o) Xnơo)| tại thờidiem ban dàu /I) vã các tin hiệu dàu vào Mi(0 M2<0 với t ì dú de xác định các giá trị đâu

ra và biến trạng thái tương lai

Các biển trạng thái mô ta cẩu hình hiện tại cua hộ thống và có (he dùng đe xác định đáp ứng tương lai khi biêt trước các kích thích đâu vào và các phương trinh mô tá dộng lực học

<xo Đầu vao

Trang ttMi đỏng lw l>$

Ibổrg «(0

|(O| ĐIỀU kiér đàu

MO oàura

Hĩnh 3.2 Hệ thống động lực học.

Dang tông qu.it cua hệ thõng động lực học nhu hình 3.2 Một ví dụ dơn gian cùa bicn trạng thái lã trạng thái cùa công tăc đèn on-olT Còng tắc có thè ờ vị tri ơn hoặc off do vậy trụng thái cua công tăc có thê được giá thiết lã ở một trong hai giá tri Ncu chúng ta biẽt trạng thái hiện lại (vị trí) của còng tấc tại to và nếu dặt tin hiệu đầu vào, chúng ta cớ the xác định giá trị tương lai cua trạng thái phần lư đó

Hinh 3.3 Hộ thống ló xo - vặt - bộ giám tốc.

Khái niệm tập các biến trạng thái biểu diễn hệ thống động học được minh họa trong

hệ thong bộ giam tốc - vật nặng - lỏ xo như hĩnh 3.3 Sô lượng các biên trụng thái được lựa chọn đê mô tá hệ thòng nén nho nhát có thê dê tránh các biên trạng thái du thùa Một tập các biển trạng thãi đu đế miêu tá hệ thống náy bao gồm vị tri và tổc độ cùa vật Do vậy ta sỗ định nghĩa tập các biên trạng thái là (xi Xỉ), trong đó:

M^-+bxl + kxl = «(/•

di

Do dó ta có thè viet các phương trình mô ta hộ thông bộ giám tỏc vật nâng lò xo

lá tập cùa hai phương trình vi phân bậc nhât như sau:

3.3 Phương trinh vi phân trạng thái

Dáp úng hệ thong được mò tà bang hệ phương trinh vi phân bậc nhat viet dưới dạng biên trạng thãi (*|,Xj x.)và các dâu vào Các phương trình vi phàn bộc nhãt

có thê viet dưới dạng tông quát là:

i-, =airr( +a(JXj + ••• +a„x +Vi +-+V

trong đó, chừ đậm chi ra nỏ lã vector Vector cùa các tin hiệu đâu vảo định nghía là u Do đó,

hệ thống được biêu diễn bủng ký hiệu compact cho phương trinh vi phân trạng thái là:

Phương trinh vi phân (3.8) thường được gọi lả phương trinh trạng thãi