(Skkn 2023) góp phần phát triển tư duy học sinh thông qua khai thác các bài toán tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐÔ LƯƠNG 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH THÔNG QUA KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM HỢP, HÀM Ẩ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT ĐÔ LƯƠNG 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI

GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH THÔNG QUA KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN VÀ HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Sự phát triển mạnh mẽ của nền kinh tế xã hội trong giai đoạn hiện nay đòihỏi con người phải năng động sáng tạo, không ngừng đổi mới để thích nghi Nhằmđáp ứng nhu cầu đó của xã hội, nền giáo dục Việt Nam không ngừng đổi mới đểphát triển năng lực cho HS

Thực tế cho thấy, việc lựa chọn phương pháp dạy học thích hợp sẽ kíchthích được hứng thú học tập của HS, giúp HS phát triển tư duy lĩnh hội được trithức và đạt được mục đích học tập

Năm học 2022 - 2023 chúng tôi được phân công giảng dạy toán 12 và bồidưỡng HSG tỉnh 12 chúng tôi thấy: Các bài toán về cực trị của hàm số chiếm một

vị trí hết sức quan trọng trong chương trình toán phổ thông và nó được ứng dụngrất rộng rãi trong thực tế và thường xuất hiện trong đề thi THPTQG và các đề thiHSG Khi gặp phải phần này gây không ít khó khăn cho HS Trong quá trình giảngdạy chúng tôi nhận thấy HS gặp nhiều khó khăn khi học các nội dung về chủ đềhàm số nói chung và chủ đề cực trị hàm số nói riêng, đặc biệt các bài toán ở mức

độ vận dụng Từ khi Bộ GD&ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho mônToán, đòi hỏi học sinh không những kiến thức sâu rộng mà còn phải có các cáchtiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất Phần cựctrị của hàm số đã được yêu cầu rộng hơn, mức độ khó hơn trước, đặc biệt là các bàitoán về tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyêt đối, nó đòihỏi học sinh phải có hệ thống kiến thức về cực trị thật vững và tư duy linh hoạtmới giải quyết được lớp các bài toán dạng này bởi lẽ có những câu vận dụng caotìm cực trị hàm số mà không cho hàm cụ thể nên việc sử dụng máy tính Casio để

có thể tìm đáp án là hạn chế

Vì những lí do trên, để giúp học sinh có cơ sở khoa học, có những cách tiếpcận nhanh nhất, có hệ thống kiến thức vững chắc về cực trị đặc biệt là cực trị củahàm hợp, hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, chúng tôi xây dựng một chuyên

đề bồi dưỡng cho học sinh và quan trọng hơn là bồi dưỡng chuyên môn cho chínhbản thân mình nhằm nâng cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới

giáo dục, chúng tôi xin mạnh dạn đưa ra đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Góp phần phát triển tư duy học sinh thông qua khai thác các bài toán tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối”.

Với đề tài này chúng tôi hi vọng và mong muốn sẽ giúp cho học sinh pháttriền tư duy, dễ dàng nắm bắt và thành thạo trong việc giải các bài toán về cực trịnói chung và giải được các bài toán về cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứadấu giá trị tuyệt đối nói riêng

2 Mục đích nghiên cứu.

- Làm cho học sinh biết vận dụng linh hoạt phương pháp tìm cực trị của hàm

của đề thi, đòi hỏi phải có tư duy cao Phát triển tư duy và năng lực giải quyết vấn

đề, biết quy lạ về quen, rèn luyện tư duy sáng tạo, phát huy tính tích cực khơi dậyhứng thú học tập của HS, chuẩn bị tốt và đạt kết quả cao trong kì thi THPTQG vàHSG tỉnh

- Giải quyết các vấn đề mà HS còn lúng túng, mắc nhiều sai lầm và thậm chí

là không có định hướng về lời giải trong việc tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn vàhàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Làm cho HS thấy được vấn đề cốt lõi của chương học, tiếp nhận và giảicác dạng toán tiếp theo

- Nâng cao chất lượng bộ môn toán theo từng chuyên đề khác nhau góp phầnnâng cao chất lượng dạy học

3 Đối tượng và thời gian nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

- Học sinh lớp 12 trường THPT Đô Lương 2 - Đô Lương - Nghệ an

3.2 Thời gian nghiên cứu

- Năm học 2022 - 2023

4 Phạm vi nghiên cứu

- Đề tài tập trung nghiên cứu và xây dựng hệ thống bài tập tìm cực trị hàmhợp, hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối nhằm góp phần phát triển tư duy cho

HS lớp 12 Trường THPT Đô lương 2

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tìm hiểu những khó khăn của HS khi làm các dạng bài tập liên quan đếncực trị của hàm hợp hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Tự tìm tòi, trao đổi với đồng nghiệp khám phá, đưa vào thực nghiệm vàđúc rút thành kinh nghiệm, kết hợp với nghiên cứu tài liệu để tổng hợp thành hệthống theo từng mức độ từ dễ đến khó

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Tham khảo ýkiến của GV và thăm dò ý kiến HS

- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Thống kê và xử lí số liệu kết quả họctập của HS trước và sau khi áp dụng sáng kiến

- Tìm tài liệu, phần mềm để vẽ hình ảnh trực quan

- Áp dụng giảng dạy các lớp 12A1, 12A4, 12C2, 12C4 trường THPT Đôlương 2 - Nghệ an

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nhiệm đề tài trong dạyhọc để rút ra hiệu quả

- Phương pháp thống kê toán học

- Phương pháp đối chứng.

6 Những đóng góp mới của đề tài.

Trong nhiều đề thi những năm gần đây những bài toán liên quan đến cực trịhàm hợp, hàm ẩn đặc biệt là hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối xuất hiện khá nhiều.Vấn đề này đã gây không ít khó khăn cho GV và HS trong quá trình giảng dạy và

học tập Sáng kiến kinh nghiệm “Góp phần phát triển tư duy học sinh thông qua khai thác các bài toán tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối” bắt kịp xu thế dạy học hiện nay, tạo thêm nguồn tài liệu cho GV và HS

tham khảo Đề tài của chúng tôi đã cung cấp được hệ thống kiến thức lý thuyết vàphương pháp cụ thể cho các dạng toán được nêu ra Đồng thời cập nhật được cácbài toán tương tự các bài trong đề thi THPTQG hàng năm Qua đó HS thấy được

sự cần thiết phải học tập chuyên đề này

Phân loại các dạng toán để làm mềm các lớp bài toán, từ đó giúp học sinh có

năng lực và tư duy tốt hơn để giải quyết các bài toán phân loại sâu ở mức khótrong đề thi

Trong thực tiễn giảng dạy của bản thân chúng tôi đã áp dụng đề tài của mìnhvào giảng dạy và đã thu được kết quả rất khả quan, hầu hết sau đó các em đã rấtchủ động và hứng thú khi tiếp cận với những bài toán liên quan Từ đó phát huytính tích cực, tư duy logic, hệ thống và khái quát hoá tính sáng tạo của mình tronghọc tập

Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo trong bồi dưỡng HSG, ôn thi THPTQGcho học sinh khá giỏi

PHẦN II: NỘI DUNG.

Chương 1: Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn của đề tài.

1.1 Cơ sở lí luận

1.1.1 Tư duy

- Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người ta chưa biết Nhiệm vụ

của cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu biết cáichưa biết đó ngày một sâu sắc phải vạch ra những cái bản chất và quy luật tác độngcủa chúng Quá trình nhận thức đó được gọi là tư duy

Tư duy có đặc điểm cơ bản sau:

- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánh tíchcực đến thế giới khách quan

- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiệnqua ngôn ngữ

- Bản chất của tư duy là sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng đượcphản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của con ngườinhằm phản ánh đối tượng

- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từthuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người

1.1.2 Các kiến thức cơ bản liên quan

x x thì hàm số f x đạt cực đại tại điểm   x0

+ Nếu tồn tại số h 0sao cho f x   f x 0 với mọi xx0  h x; 0 h và0

x x thì hàm số f x đạt cực tiểu tại điểm   x0

Lưu ý:

+ Nếu hàm số f x đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm   x thì 0 x được gọi là điểm0cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f x 0 được gọi là giá trị cực đại (giá trị cựctiểu) của hàm số, còn điểm M x f x 0;  0  được gọi là điểm cực đại (cực tiểu) của

đồ thị hàm số

+ Nếu hàm số y f x  có đạo hàm trên khoảng a b;  và đạt cực đại hoặc

cực tiểu tại điểmx thì 0 f x ' 0 0

+ f x  có thể bằng 0 tại điểm x nhưng hàm số 0 f không đạt cực trị tại

điểm x 0

+ Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo

hàm

+ Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số

bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

1.1.2.2 Tính chất

Định lí 1: Giả sử hàm số yf x  liên tục trên khoảng K x0  h x; 0 h

và có đạo hàm trên K hoặc K \ x , với 0 h 0

+ Nếu f x  trên khoảng '  0 (x0  h x; )0 và f x  trên khoảng'  0

0 0

( ;x x h) thì x là một điểm cực đại của hàm số 0 f x 

+ Nếu f x  trên khoảng '  0 (x0  h x; )0 và f x  trên khoảng'  0

+ Nếu f x ' 0 0 và f '' x 0 0 thì x là điểm cực tiểu của hàm số.0

+ Nếu f x ' 0 0 và f '' x 0 0 thì x là điểm cực đại của hàm số.0

- Thông qua quá trình dạy học tôi đã tìm tòi góp nhặt, nghiên cứu các dạngbài toán liên quan

- Trong thực tiễn tôi đã vận dụng khá tốt các nội dung của chuyên đề Từ đóhình thành cơ sở nghiên cứu chuyên đề này

1.2 Cơ sở thực tiễn:

Trong những năm gần đây các đề minh họa của bộ GD&ĐT, đề thi THPTQG và

đề thi thử của các trường THPT trên toàn quốc, học sinh thường gặp một số câu về tìmcực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối và các bài toán có liênquan, đây là các bài ở mức độ vận dụng để lấy điểm cao

Trước khi áp dụng đề tài này vào dạy học, chúng tôi đã khảo sát chất lượng họctập của học sinh trường THPT Đô lương 2 năm học 2022 - 2023 (thông qua các lớptrực tiếp giảng dạy) về các bài toán tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấugiá trị tuyệt đối, chúng tôi đã thu được kết quả như sau:

Bảng 1: Khảo sát chất lượng học tập trước khi sử dụng giải pháp

Tỷ lệ

%

Số lượng

Tỷ lệ

%

Số lượng

Lớp

Độ hứng thú

Số lượng

Tỷ lệ

%

Số lượng

Tỷ lệ

%

Số lượng

Thực hiện đề tài này chúng tôi đã hệ thống lại các phương pháp tìm cực trị củahàm số đã được học để áp dụng cho hàm ẩn, hàm hợp và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đốithông qua các phương pháp giải cụ thể và ví dụ tương ứng cho mỗi phương pháp đó

Cuối cùng là bài tập tổng hợp đề học sinh vận dụng các phương pháp đã đượchọc vào giải quyết Do khuôn khổ đề tài có hạn nên tôi chỉ đưa ra các phương pháp tìmcực trị đó là: Phương pháp tìm cực trị của hàm số hợp dạng yf u  với u u x   vàphương pháp tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá tri tuyệt đối quen thuộc là y  f x 

, y f x  và y f x( )

Chương 2: Các giải pháp tổ chức thực hiện

2.1 Giải pháp nhằm góp phần phát triển tư duy học sinh thông qua khai thác các bài toán tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Để thực hiện đề tài này chúng tôi chia nội dung thành hai phần :

Phần 1 Phương pháp tìm cực trị của hàm số hợp dạng y f u  với

Mỗi phần được thực hiện theo các bước:

- Đưa ra phương pháp giải

Ta thực hiện phương pháp tương tự xét số điểm cực trị của hàm số y f x 

Bước 1 Tính đạo hàm y'u f u' ' 

Bước 2 Giải phương trình

 

' 0' 0

u y

Chọn C

Ta có y2x 1  f x 2  2x

 2 

10

Phương trình (1)vô nghiệm, các phương trình (2),(3),(4) đều có hai nghiệm phân

biệt khác 1 và do b c d, , đôi một khác nhau nên các nghiệm của phương trình

(2),(3),(4) cũng đôi một khác nhau Do đó f x 2  2x 0 có 6 nghiệm phân biệt.Vậy y  có 7 nghiệm phân biệt, do đó số điểm cực trị của hàm số0

Từ bảng biến thiên trên ta có  

2 2

2

3 2

Câu 3 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên   R Đồ thị hàm số yf x 

như hình vẽ bên Hàm số yf x 2 4x  x2  4x có bao nhiêu điểm cực trịthuộc khoảng 5;1?

Suy ra (1) có nghiệm kép x 2, (2) có 2 nghiệm phân biệt x4;x 0, (3) có 2

nghiệm phân biệt x x x x 1;  2 khác 2; 0; 4 Do đó phương trình g x  0 có 5nghiệm trong đó có x 2 là nghiệm bội ba, các nghiệm x4;x0;

A 1 B 4 C 3 D 2.

Lời giải Chọn A

2

12

2 1 0

00

2

x x

x x x

11

22

Vậy hàm số có 1 điểm cực tiểu

Câu 5 Cho hàm số y f x  có đúng ba điểm cực trị là 2; 1;0 và có đạo hàmliên tục trên R Khi đó hàm số yf x 2  2x có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

Vì hàm số yf x  có đúng ba điểm cực trị là 2; 1;0 và có đạo hàm liên tụctrên R nên f x  0 có ba nghiệm là 2; 1;0 (ba nghiệm bội lẻ).

x x x

Từ bảng biến thiên ta thấy rằng f x ( ) 0 có 4 nghiệm phân biệt, gọi 4 nghiệm đólần lượt là x x x x với 1, , ,2 3 4 x1   1 x2  0 x3  1 x4 Khi đó:

Vậy g x( ) có 10 điểm cực trị.

Câu 7: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ

Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số y f x  là 2; 0; 2; a; 6 với 4a6

Số điểm cực trị của hàm số y f x 6  3x2 là

Lời giải Chọn B

Ta có bảng biến thiên của hàm số g x  x6  3x2

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số g x  x6  3x2, ta suy ra 1 là nghiệm képcủa phương trình x6  3x2 2 và 0 là nghiệm kép của phương trình x6  3x2 0

Do đó 1 và 0 là nghiệm kép của f x 6  3x2 Do vậy 1 và 0 là nghiệm bội ba

Học sinh gặp khó khăn khi giải bài toán này là :

Thiếu tỉnh táo trong việc lí luận xét dấu y’

(Dấu của ý chính là dấu của f x  vì 2e2 ( ) 1f x 5f x( )ln 5 0, x

Lời giải Chọn D

   làm cho f x xác định nên dấu của y phụ 

thuộc hoàn toàn vào f x 

Vì vậy, do f x  đổi dấu 3 lần nên số điểm cực trị của hàm số y e2 ( ) 1f x  5f x( )

là 3

Câu 9 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  trên khoảng   ;  Đồ thịcủa hàm số y f x  như hình vẽ

Đồ thị của hàm số y  f x  2 có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?

A 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu B 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu

C 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu D 3điểm cực đại,2điểm cực tiểu

00

f x

f x y

Suy ra hàm số có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu

Câu 10 Cho hàm số bậc bốn f x có bảng xét dấu như sau: 

t t t t

Vậy số điểm cực trị của hàm số g x là   9

Câu 11 Cho hàm số y f x , hàm số yf x  có đồ thị như hình bên Hàm số

25sin 1 (5sin 1)

Học sinh gặp khó khăn khi giải bài toán này là :

- Đạo hàm của hàm số lượng giác

- Công thức lấy nghiệm phương trình lượng giác cơ bản

Lời giải Chọn B

Ta có: ( ) 5cos 5sin 1 5cos 5sin 1

x

x x

Suy phương trình g x  0 có 9 nghiệm, trong đó có nghiệm 3

2

x   là nghiệmkép

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có 13 điểm cực trị.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số f x có đúng một điểm cực trị. 

Bài 4 Cho hàm số bậc bốn yf x  có đồ thị như hình bên

Giải phương trình (1); (2) tìm số nghiệm của chúng.

Số điểm cực trị của hàm số là số nghiệm bội lẻ của phương trình

+ Phần đồ thị lấy đối xứng qua Ox của đồ thị y f x( ) nằm dưới Ox

- Số điểm cực trị của hàm sốy f x( ) bằng tổng số điểm cực trị của hàm số( )

y  f x và số nghiệm bội lẻ của phương trình ( )f x 0

Từ đồ thị ta thấy ngay đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị

Câu 2: Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như sau Đồ thị hàm số

+ Phần đồ thị lấy đối xứng qua Oxcủa đồ thị yf x  nằm dưới Ox

Đồ thị hàm số yf x giao với trục Ox tại các điểm có hoành độ x x x x; ; ;

Từ đó ta có bảng biến thiên của y  f x( )

Từ bảng biến thiên này hàm số y  f x( ) có 7 điểm cực trị

Câu 3: Cho hàm sốy (x 1)(x 2)2 Số điểm cực trị của hàm số là:

A 1 B 2 C 3 D 4.

Lời giải Chọn C

Mặt khác phương trình f x( ) ( x 1)(x 2)2 0 có 1 nghiệm đơn

Ta có số điểm cực trị của hàm số y (x 1)(x 2)2 là tổng số điểm cực trị củahàm số y (x 1)(x  2)2 và số nghiệm bội lẻ của phương trình f x ( ) 0.

Vậy số điểm cực trị của hàm số y (x 1)(x 2)2 là 3