NỘI DUNG
Cơ sở lý luận
Nghiên cứu về giáo dục cho thấy quá trình nhận thức của con người có thể chia thành hai cấp độ: nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính Nhận thức cảm tính, bao gồm cảm giác và tri giác, đóng vai trò quan trọng trong đời sống tâm lý, cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lý cao hơn Tuy nhiên, nhiều vấn đề trong cuộc sống không thể được giải quyết chỉ bằng nhận thức cảm tính Để nhận thức và giải quyết những vấn đề phức tạp hơn, con người cần đạt tới nhận thức lí tính, hay còn gọi là tư duy Tư duy được xem như một quá trình liên tục, bao gồm nảy sinh, diễn biến và kết thúc.
Việc nhận thức, phát hiện và giải quyết vấn đề là rất quan trọng trong quá trình học tập Trước đây, phương pháp dạy học truyền thống chủ yếu tập trung vào chương trình giáo dục theo nội dung, dẫn đến việc phát hiện vấn đề chưa được chú trọng.
Xuất hiện các liên tưởng
Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết
Chính xác hoá Khẳng định Phủ định
Kiểm tra giả thuyết Nhận thức vấn đề
Hoạt động tư duy mới trong việc giải quyết vấn đề chủ yếu dành cho giáo viên, trong khi học sinh chỉ thực hiện các thao tác theo yêu cầu mà giáo viên cung cấp Điều này hạn chế khả năng tìm tòi của học sinh do kiến thức và kỹ năng đã được cung cấp sẵn Hiện nay, việc đổi mới phương pháp giảng dạy, đặc biệt trong môn Toán, đang chuyển mạnh mẽ từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, từ phương pháp dạy học truyền thống.
Việc chuyển từ phương pháp “truyền thụ một chiều” sang dạy cách học và vận dụng kiến thức là cần thiết để phát huy tính tích cực, tự giác và chủ động của người học Điều này giúp hình thành năng lực tự học và phát triển các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo trong tư duy Người dạy cần tổ chức và hướng dẫn học sinh tự tiến hành các hoạt động học tập, tìm hiểu kiến thức mới, đồng thời khuyến khích việc vận dụng sáng tạo những kiến thức đã biết để giải quyết các tình huống trong học tập và thực tiễn Ngoài ra, việc rèn luyện kỹ năng khai thác tài liệu học tập và phát triển các phương pháp tư duy như phân tích, tổng hợp, và khái quát hóa là rất quan trọng Người dạy cũng nên xây dựng các tình huống và hệ thống câu hỏi để tăng cường sự phối hợp trong học tập và làm việc nhóm, từ đó phát huy hiểu biết và kinh nghiệm của từng cá nhân trong việc giải quyết nhiệm vụ chung Đây là cơ sở lý luận cho việc triển khai đề tài.
Cơ sở thực tiễn
Trong giảng dạy chương trình Toán THPT, chúng tôi chia thành ba phần chính: Hình học, Đại số và Giải tích Học sinh lớp 10 và học kỳ 1 lớp 11 học Đại số, trong khi học kỳ 2 lớp 11 và lớp 12 tập trung vào Giải tích Chương trình Đại số kế thừa từ cấp học dưới, cho thấy học sinh đã có thời gian dài làm quen với các khái niệm tĩnh và hữu hạn trước khi chuyển sang Giải tích, nơi nghiên cứu các đối tượng biến thiên và vô hạn Sự khác biệt này có thể khiến học sinh gặp khó khăn khi tiếp cận các khái niệm Giải tích, vì tư duy kiểu Đại số không hoàn toàn phù hợp Do đó, cần có cách tiếp cận và vận dụng khác biệt khi học Giải tích so với Đại số.
Khi dạy về khái niệm giới hạn của dãy số, quá trình xây dựng khái niệm này bắt đầu bằng việc xem xét một dãy số cụ thể và phân tích sự thay đổi của nó khi n tiến tới dương vô cực Những hình ảnh trực quan này rất quan trọng để định nghĩa khái niệm giới hạn, từ đó dẫn đến phát biểu định nghĩa bằng ngôn ngữ dãy số Trong định nghĩa, ta có đẳng thức \(\lim_{n \to \infty} u_n\).
Sự bằng nhau giữa hai biểu thức không chỉ đơn thuần là giá trị mà học sinh đã được học, mà còn đòi hỏi giáo viên phải gợi mở và giải thích để học sinh có cái nhìn linh hoạt và biện chứng hơn về đại lượng u n thay đổi.
Xung quanh giá trị a, có xu hướng ngày càng gần nhưng không bao giờ đạt được giá trị a Để áp dụng hiệu quả các tính chất của Giải tích, giáo viên cần hướng dẫn học sinh hiểu bản chất và nhận diện các dấu hiệu “Giải tích” trong các tình huống cụ thể Đây là cơ sở thực tiễn cho việc triển khai đề tài.
Nội dung đề tài
Để thuận tiện cho việc trình bày và theo dõi của người đọc, chúng tôi sẽ nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản cần thiết cho các phần tiếp theo.
0 Một số khái niệm và tính chất cơ bản
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày lại các khái niệm và tính chất cơ bản về Giải tích trong chương trình Toán THPT, cần thiết cho các phần sau Dãy số thực \((u_n)\) được gọi là dãy số tăng nếu \(u_{n+1} > u_n\) và là dãy số giảm nếu \(u_{n+1} < u_n\) với mọi \(n \in \mathbb{N}\) Nếu dãy số \((u_n)\) hoặc tăng, hoặc giảm, thì được gọi là dãy số đơn điệu.
0.2 Định nghĩa Dãy số thực un được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho u n M n * , bị chặn dưới nếu tồn tại m sao cho u n m n * và được gọi là bị chặn nếu đồng thời bị chặn trên, bị chặn dưới
0.3 Định nghĩa Dãy số un được gọi là có giới hạn a( hữu hạn) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều cách a một khoảng nhỏ hơn số dương đó và viết lim n n u a
Định lý 0.4 cho biết rằng nếu dãy số \((u_n)\) là đơn điệu và bị chặn, thì dãy số này sẽ có giới hạn hữu hạn Định nghĩa 0.5 nêu rõ rằng dãy số thực \((u_n)\) được gọi là có giới hạn âm vô cực nếu với mỗi số âm tùy ý, mọi số hạng của dãy, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
Dãy số thực \((u_n)\) được gọi là có giới hạn dương vô cực nếu với mỗi số dương tùy ý, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó Điều này có thể được biểu diễn bằng ký hiệu giới hạn: \(\lim_{n \to \infty} u_n = +\infty\).
0.6 Định nghĩa (i) Cho hàm số y f x( ) xác định trên a b ; ( có thể trừ điểm
0 ; x a b ) Ta nói ( )f x có giới hạn L khi x dần đến x 0 nếu với mọi dãy số
thì y f x( ) được gọi là liên tục tại x 0 và ( ) y f x được gọi là liên tục trên a b ; nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó
(ii) Ta nói hàm số ( )f x xác định trên khoảng a ; có giới hạn L khi x dần đến dương vô cực nếu với mọi dãy số xn a; mà lim n n x
(iii) Ta nói hàm số ( )f x xác định trên khoảng ; a có giới hạn L khi x dần đến âm vô cực nếu với mọi dãy số xn ;a mà lim n n x
0.7 Định lý Nếu hàm số y f x( )liên tục trên a b ; và f a f b ( ) ( ) 0 thì phương trình f x( ) 0 có nghiệm thuộc đoạn a b ;
0.8 Định nghĩa Cho hàm số y f x( ) xác định trên khoảng a b ; và
0 ; x a b Nếu tồn tại giới hạn
hữu hạn thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của ( )f x tại x 0 và ký hiệu f x'( ) 0
0.9 Định lý Nếu hàm số y f x( ) liên tục trên a b ; và có đạo hàm trên a b ; thì tồn tại c a b ; sao cho: f c '( ) f b ( ) f a ( ) b a
Định lý Lagrange giúp bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề toán học và sử dụng công cụ toán học cho học sinh THPT Qua việc định hướng tìm lời giải cho các bài toán giới hạn hữu hạn của dãy số và đạo hàm, học sinh có thể áp dụng kiến thức cơ bản một cách tường minh.
Giới hạn hữu hạn của dãy số là một phần quan trọng trong chương trình Toán bậc THPT, đóng vai trò là nền tảng cho Giải tích phổ thông Bài toán này thường xuất hiện trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi, đặc biệt là ở cấp tỉnh và quốc gia Do đó, lĩnh vực này thu hút sự quan tâm của nhiều giáo viên và đã đạt được nhiều kết quả quan trọng Tuy nhiên, hiện tượng “khủng hoảng thừa” công cụ tìm giới hạn đã dẫn đến việc nhiều giáo viên chỉ tập trung vào việc cung cấp công cụ, trong khi học sinh lại chỉ chú trọng vào việc rèn luyện kỹ năng để đối phó với kỳ thi, quên mất mục tiêu phát triển tư duy sáng tạo Trong phần này, chúng tôi sẽ rèn luyện tư duy sáng tạo và khả năng vận dụng kiến thức cơ bản cho học sinh thông qua việc định hướng tìm giới hạn hữu hạn của dãy số từ khái niệm trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11, bắt đầu với một ví dụ cơ bản.
Bài toán 1.1 Cho dãy số ( )u n xác định bởi
Chứng minh rằng dãy số ( )u n có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
Bài toán yêu cầu chứng minh rằng dãy số \( (u_n) \) có giới hạn hữu hạn, đồng thời khẳng định rằng giới hạn này luôn tồn tại Nếu xác định được giới hạn hữu hạn, điều này sẽ hoàn thành yêu cầu đầu tiên của bài toán.
Từ đó ta có lời giả bài toán như sau:
Lời giải Giả sử giới hạn hữu hạn của dãy số ( )u n là a Khi đó, từ giả thiết
Ta sẽ chứng minh lim n 2 n u
bằng cách chứng minh lim n u n 2 0
Như vậy, dãy số ( )u n có giới hạn hữu hạn và lim n 2 n u
Để xác định giới hạn \( a \) của dãy số, chúng ta thường giải phương trình thu được từ giới hạn của hệ thức truy hồi xác định dãy số đó, trong đó \( a \) là nghiệm của phương trình Sau đó, cần chứng minh rằng \( a \) chính là giới hạn cần tìm bằng cách chứng minh rằng \( \lim_{n \to \infty} (u_n - a) = 0 \).
Bài toán 1.1 yêu cầu khảo sát sự hội tụ của dãy truy hồi có dạng \$u_{n+1} = f(u_n)\$ Để giải quyết bài toán này, chúng ta áp dụng kết quả quen thuộc rằng nếu tồn tại số thực \$q \in (0;1)\$ thì
Nhằm mục đích rèn luyện kỹ năng cho cách định hướng, ta xét tiếp các bài toán sau:
Bài toán 1.2 Cho dãy số ( )u n xác định bởi:
b) Tìm giới hạn hữu hạn (nếu có) của dãy số ( )u n
Phân tích và định hướng là phương pháp quan trọng trong việc xây dựng và chứng minh bằng quy nạp, thường được áp dụng trong các bài toán dãy số Việc đặc biệt hóa để tìm ra quy luật và phán đoán, sau đó tổng quát hóa, giúp nâng cao năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh Đây cũng là cơ sở để giải quyết yêu cầu của Bài toán 1.2 a, từ đó đưa ra lời giải cho bài toán.
Lời giải.a) Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức 1 1 *
bằng phương pháp quy nạp
Thật vậy, do 1 1 u 2 nên thấy bất đẳng thức đúng với n 1 Giả sử bất đẳng thức đúng với đến n k k ( 1) , nghĩa là 1 1 2 1
Theo nguyên lý quy nạp ta có
b) Giả sử dãy số u n có giới hạn hữu hạn là a, từ giả thiết
2 8; a , suy a 1 2 Tiếp theo, ta sẽ chứng minh lim n 1 2 n u
Bài toán 1.3 Cho dãy số un xác định bởi:
(VMO-2020) Lời giải a) Trước hết ta chứng minh bằng quy nạp u n n 2 n 2
- Với n 2 thì u 2 5 2 2 nên khẳng định đúng
- Giả sử ta đã có u n n 2 với n 2 , khi đó:
Do đó, theo nguyên lý quy nạp thì u n n 2 n 2
, cho n và sử dụng nguyên lý kẹp ta được: lim 0 n n n u
b) Do u n n 2 n 2nên 1 2 n n n u , bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được 9 2
Áp dụng bất đẳng thức b 0 a b a a b
Kết hợp với (1.3.1) ta có:
n nên từ (1.3.1) và (1.3.2) ta suy ra:
Cho n và sử dụng nguyên lý kẹp ta suy ra được:lim 2 4
Nhận xét 1.3 - Điểm mấu chốt của câu a) bài toán 1.3 là đánh giá u n n 2 n 2
Đánh giá này dựa trên phương pháp đặc biệt hóa một số giá trị để phát hiện quy luật Kết quả sau đó được tổng quát hóa nhằm dự đoán và chứng minh tính chính xác của dự đoán thông qua phương pháp quy nạp.
Cơ sở để thực hiện các ước lượng nhằm xây dựng bất đẳng thức và kẹp trong lời giải câu b) là (1.3.1) Vấn đề quan trọng là xác định cách thức để có được hệ số 9.
4 trong (1.3.1) Để trả lời được câu hỏi này theo tôi , chúng ta có thể áp dụng định lý Stolz như sau:
thì theo định lý Stolz ta phải có 3 9
Để tìm lời giải cho bài toán giới hạn hữu hạn của dãy số, bên cạnh việc hiểu rõ định nghĩa giới hạn, học sinh có thể khai thác các tính chất của dãy số như tính chất đơn điệu và tính chất bị chặn.
Bài toán 1.4 Cho dãy số ( )u n xác định bởi:
a) Chứng minh rằng u n n * b) Chứng minh rằng tồn tại các giới hạn hữu hạn 2 2
và tìm các giới hạn đó
