(Skkn 2023) phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua việc tiếp cận và giải quyết các bài toán thực tiễn về khối tròn xoay” 1 2 mục đích và nhiệm vụ của đề tài

Mục đích và nhiệm vụ của đề tài Nghiên cứu các câu hỏi về khối tròn xoay trong đề thi tốt nghiệp THPT và các bài toán về khối tròn xoay trong thực tiễn, từ đó giúp học sinh tiếp cận và

Trang 1

1

Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý do chọn đề tài

Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống Với vai trò đặc biệt, Toán học trở nên cần thiết đối với mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn Bởi vậy, việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn là điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của giáo dục Toán học

Để thực hiện đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đòi hỏi giáo dục phổ thông cần chuyển từ nền giáo dục theo hướng tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực người học Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2018) xác định năng lực mô hình hóa là một trong những thành tố cốt lõi của năng lực toán học với yêu cầu cần đạt: Thiết lập được mô hình toán học để mô tả tình huống, từ đó đưa ra cách giải quyết vấn

đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập

Có thể nói mô hình hóa toán học được hiểu là sử dụng công cụ toán học để thể hiện vấn đề thực tiễn dưới dạng của ngôn ngữ toán học Trong dạy học toán mô hình hóa là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ toán học Quá trình này đòi hỏi các kỹ năng và thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa Cách tiếp cận này giúp việc học toán của học sinh trở nên có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê toán học

Là một giáo viên đang thực hiện chương trình giáo dục mới chúng tôi tự đặt ra câu hỏi vậy hình thành và phát triển năng lực mô hình hóa như thế nào và thông qua những hoạt động nào? Trong quá trình dạy học chúng tôi nhận thấy việc dạy học sinh giải các bài toán về khối tròn xoay có thể phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh rất tốt

Vì vậy, chúng tôi đã chọn đề tài: “Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học

sinh thông qua việc tiếp cận và giải quyết các bài toán thực tiễn về khối tròn xoay”

1.2 Mục đích và nhiệm vụ của đề tài

Nghiên cứu các câu hỏi về khối tròn xoay trong đề thi tốt nghiệp THPT và các bài toán về khối tròn xoay trong thực tiễn, từ đó giúp học sinh tiếp cận và có cái nhìn khái

quát hơn, trực quan hơn các dạng toán thực tế về khối tròn tròn xoay qua đó phát triển

năng lực mô hình hóa cho học sinh

Nghiên cứu các bước thiết lập mô hình hoá toán học cho các bài toán thực tiễn về khối tròn xoay

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT QG

Giáo viên giảng dạy môn Toán trường THPT Lê Lợi Tân Kỳ và các trường THPT trên địa bàn

Trang 2

2

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu cần sử dụng các nhóm phương pháp sau:

Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài

Nhóm phương pháp lý thuyết

Phương pháp thực nghiệm

Trang 3

về khối tròn xoay Điều đó làm cho học sinh có tâm thế e ngại và cảm thấy môn Toán chưa thực sự gần gũi và cần thiết trong cuộc sống

Mặc dù trong những năm gần đây, cùng với sự thay đổi trong phương thức kiểm tra, đánh giá thì một số đề thi đã đưa các bài toán gắn với thực tiễn như liên quan đến khối tròn xoay và tính diện tích thể tích vẫn còn rất ít Chúng ta cần phải thay đổi hơn nữa, nhân rộng các bài toán thực tiễn, các đề thi có các bài toán thực tiễn để nhằm đánh giá năng lực phát hiện và giải quyết vẫn đề, năng lực mô hình hóa toán học và liên hệ toán học vào các tình huống thực tế cụ thể

Về học sinh việc nghiên cứu lí thuyết và thực hành dạy học cho thấy những khó khăn thường gặp của học sinh; Thứ nhất là vấn đề hiểu tình huống: học sinh không thể

tự nhận ra hết những thông tin quan trọng của tình huống cần để chuyển đổi sang ngôn ngữ toán học và thường bị chi phối bởi những hình ảnh minh họa Điều này dẫn đến xây dựng mô hình toán học chưa phù hợp Thứ hai là vấn đề toán học hóa: học sinh khó khăn trong trong việc đơn giản bài toán, xử lí điều kiện bài toán, chuyển bài toán sang ngôn ngữ toán học Thứ ba là vấn đề giải bài toán: học sinh quên kiến thức cũ, không linh hoạt trong tìm phương pháp giải, quen giải theo dạng, khả năng liên tưởng còn hạn chế Thứ tư là học sinh thường thiếu kiến thức thực tiễn, khả năng liên hệ kiến thức liên môn còn yếu

Về Giáo viên: Mô hình hóa rất có ích cho dạy học Toán nhưng lại gặp không ít khó khăn Thứ nhất là lựa chọn một vấn đề ngoài toán học để ủy thác cho học sinh không phải dễ vì bài toán liên hệ với thực tế có độ khó cao Vì vậy, cần một tình huống thực tiễn thật sự hay biến đổi đến mức nào thì phù hợp trong việc giảng dạy Thứ hai là năng lực xây dựng và phát triển một bài toán nảy sinh từ tình huống thực tế còn hạn chế, khó xây dựng hoặc lựa chọn mô hình toán học; học sinh thường không thích thử phương pháp mới

1.2 Cơ sở lý thuyết

1.2.1 Kiến thức về mô hình hóa và năng lực mô hình hóa toán học

1.2.2 Kiến thức về xây dựng công thức toán học trong khối tròn xoay

1.3 Cơ sở thực tiễn

Qua khảo sát thực tế, học sinh tốt nghiệp THPT QG hiện nay nói chung và học sinh trường THPT Lê Lợi nói riêng (chất lượng đầu vào thấp), tư duy hệ thống, logic và lập luận của các em còn hạn chế Tính liên hệ thực tế và sự chuyển đổi giữa toán học và thực tiễn

Trang 4

Dạy thử nghiệm và dạy đối chứng được tiến hành trong cùng một nhà trường Sau giáo án thử nghiệm chúng tôi tiến hành cho HS làm bài kiểm tra 90 phút có phân tích, đánh giá kết quả bài kiểm tra Lớp dạy thử nghiệm và lớp dạy đối chứng có sỹ số và kết quả học tương đương nhau thuộc Trường THPT Lê Lợi

Trang 5

5

Chương 2 Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua việc tiếp cận và

giải quyết các bài toán thực tiễn về khối tròn xoay

2.1 Thiết lập hoạt động mô hình hóa trong dạy học về nội dung khối tròn xoay trong chương trình lớp 12

2.1.1 Quy trình mô hình hóa trong dạy học nội dung khối tròn xoay

Phỏng theo Coulange (1997), tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014) đã cụ thể hóa các

bước của quá trình mô hình hóa như sau:

Thiết lập hoạt động mô hình hóa trong dạy học về nội dung khối tròn xoay lớp 12: Bước 1: Quan sát và thu thập số liệu của các tình huống thực tiễn liên quan trực tiếp

đến việc tìm giải pháp cho vấn đề Hai nhiệm vụ quan trọng nhất trong bước 1 là

quan sát và thu thập số liệu Ở bước này, cần phát hiện được các yếu tố có liên quan

trong tình huống thực tiễn, yếu tố nào đã xác định, yếu tố nào cần tìm và mối quan hệ giữa các yếu tố

Bước 2: Từ các yếu tố của tình huống thực tiễn, xem xét mối quan hệ để biểu diễn

tình huống thành một bài toán có liên quan khối tròn xoay Sắp xếp các mối quan hệ

và kết nối chúng tạo thành một sơ đồ logic và phát biểu bài toán bằng ngôn ngữ toán học

Bước 3: Dùng công cụ toán học – công thức diện tích xung quanh , diện tích toàn phần,

thể tích khối tròn xoay để giải bài toán đã được thiết lập

Bước 4: Đối chiếu kết quả của lời giải với mô hình thực tiễn và kết luận Đánh giá lời

giải và đối chiếu với mô hình thực tiễn của bài toán Từ đó, đưa ra kết luận về mô hình hóa toán học cho bài toán thực tiễn ban đầu

Trang 6

6

2.1.2 Một số kiến thức cần nhớ trong dạy học nội dung khối tròn xoay

a) Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh trục hoành

Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một

hình phẳng giới hạn bởi các đường: y f x( ), trục

hoành, hai đường thẳng xa x; b (ab)và quay

quanh trục Ox, được tính theo công thức:

 Khối cầu: V(O; R)M OMR

ii) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

iii) Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

+ Diện tích của mặt cầu : 2

4

C

S  r + Thể tích của khối cầu : 4 3

3

C

V  r

Trang 7

7

2.2 Một số phương pháp tiếp cận và giải quyết các bài toán thực tiễn về khối tròn xoay nhằm phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh

2.2.1 Phương pháp tiếp cận và giải quyết bài toán thực tế về khối nón

Bài 1 Với một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng R = 6cm Người ta muốn làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón (Như hình vẽ) Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta cắt cung tròn của hình quạt bằng

 Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón

 Rút bán kính, chiều cao của hình nón theo x:

Ta có:

2

2 2

Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học

Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón

Như vậy, bán kính R của hình tròn sẽ là đường sinh của hình nón và đường tròn đáy của hình nón sẽ có độ dài là x

Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức 2

Trang 8

Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3

để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực

A 0,188 (cm) B 0,216 (cm) C 0,3 (cm) D 0,5 (cm)

Bước 1: Giáo viên đặt ra một số câu hỏi như:

 Đề bài yêu cầu cần xác định gì?

 So sánh thể tích của phần khối nón không chứa nước với thể tích phần phễu

không chứa nước?

 Do chiều cao nước trong phễu ban đầu bằng 1

3chiều cao phễu nên bán kính đáy hình nón tạo bởi lượng nước bằng mấy phần bán kính đáy phễu ?

r

M N

I

S

Trang 9

9

 Tỉ số thể tích của phần khói nón không chứa nước và thể tích cả khối nón?

Bước 2: Giáo viên giúp học sinh phát biểu tình huống ban đầu bằng ngôn ngữ toán học

 Gọi h, V lần lượt là chiều cao và thể tích phễu HS xác định thể tích nước

 V1 trong phễu và thể tích phễu  V

 HS xác định được thể tích phần khối nón không chứa nước chính là thể tích phễu không chứa nước  V2

 HS xác định thể tích phễu ko chứa nước là thể tích phễu trừ đi thể tích nước:

Gọi h1 là chiều cao của mực nước khi lộn ngược phễu lên

Công thức thể tích khối nón: 1 2

V R h 3

 Gọi bán kính đáy phễu là R, chiều cao phễu là h 15 cm  , do chiều cao nước trong phễu ban đầu bằng 1h

3 nên bán kính đáy hình nón tạo bởi lượng nước là

1 R

3 Thể tích phễu và thể tích nước trong phễu lần lượt là V;V1

tế

Nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao của nước gần bằng

0,188cm

Trang 10

10

Bài 3 Cần phải đặt một ngọn điện ở phía trên và chính giữa một cái bàn hình tròn có bán kính a Hỏi phải treo ở độ cao bao nhiêu để mép bàn được nhiều ánh sáng nhất Biết rằng cường độ sáng C được biểu thị bởi công thức C ksin2

r



 ( là góc nghiêng giữa tia sáng và mép bàn, k là hằng số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng, r là khoảng cách

Bước 1: Giáo viên đặt ra một số câu hỏi như

 Đề bài yêu cầu cần xác định gì?

 Ánh sáng đèn chiếu xuống bàn tròn tạo nên hình dáng giống vật tròn xoay nào?

 Từ bán kính bàn tròn và chiều cao đèn ta thiết lập được công thức nào?

 Lập công thức C là một hàm số phụ thuộc theo chiều cao?

 Ánh sáng đèn tạo với bàn tròn một hình nón

 Gọi r là độ dài đường sinh Gọi h (h>0) là chiều cao đèn so với mặt bàn

Ta có: r2 a2 h2 (Định lý Py-ta-go)

 Ta tính C theo h Tìm h để C max

Gọi h là độ cao của bóng điện so với mặt bàn (h > 0); Đ là bóng điện; I là hình chiếu của Đ lên mặt bàn

MN là đường kính của mặt bàn (như hình vẽ)

Đ

N

Trang 11

3 2



r

8 4 2

3 2



r

6 6 2

3 2



r



 Lượng giấy tiêu thụ là đại lượng nào liên quan đến hình nón?

 Từ bán kính và chiều cao hình nón ta thiết lập được công thức nào?

 Lượng giấy tiêu thụ chính là diện tích xung quanh của hình nón

 Thiết lập diện tích xung quanh theo r

 Tìm r để Sxq nhỏ nhất

r

M N

I

S

Trang 12

r



tế

Để lượng giấy tiêu thụ ít nhất thì bán kính gần bằng 2,63cm

Bài 5 Có một cái cốc úp ngược như hình vẽ Chiều cao của cốc là 30cm, bán kính đáy cốc là 3cm, bán kính miệng cốc là 5cm Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò ba vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B Tính quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình

A l 76cm B l 75,9324cm C l 74cm D l 74, 6386cm

 Làm cách nào để vẽ được quãng đường ngắn nhất?

 Từ bán kính của 2 đáy ta tính được cái gì?

Bước 2: Giáo viên giúp học sinh phát biểu tình huống ban đầu bằng ngôn ngữ toán học:

 Ta “trải” ba lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt (vẽ mô hình)

 Dùng định lý cosin để thiết lập công thức đường đi của kiến

Trang 13

13

Đặt r r h1, ,2 lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng cốc và chiều cao của cốc,  là góc kí hiệu như trên hình vẽ Ta “trải” ba lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt của một khuyên với cung nhỏ l BB( 3)  6r1 18 và cung lớn

Thay vào công thức (1) có kết quả ĐS: 74,6386cm

tế Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định là 74,6386cm

HS có thể giải quyết bài toán tương tự trong thực tế sau:

Bài toán Nhà đầu tư du lịch dự định xây một con đường nhằm phục vụ việc chuyên chở khách du lịch tham quan ngắm cảnh vòng quanh ngọn núi bắt đầu từ vị trí A dừng lại ở vị trí B Biết rằng người ta đã chọn xây dựng đường đi ngắn nhất vòng quanh núi

từ A đến B, đoạn đường đầu là phần lên dốc từ A và đoạn sau sẽ xuống dốc đến B Tính quảng đường xuống dốc khi đi từ A đến B, cho biết AB=15m, OA=90m, bán kính

đường tròn đáy R=30m

Hướng dẫn: Cắt mặt nón theo đường sinh OA , trải phẳng như hình vẽ

Gọi C là đỉnh dốc, do người ta đã chọn xây dựng đường đi ngắn nhất vòng quanh núi

từ A đến B nên B, C, A′ thẳng hàng Lập luận tương tự ta có CB= 600

91m

Trang 14

14

Bài 6 Khi sản xuất hộp mì tôm, các nhà sản xuất luôn để một khoảng trống ở dưới đáy hộp để nước chảy xuống dưới và ngấm vào vắt mì, giúp mì chín Hình vẽ dưới mô tả cấu trúc của một hộp mình tôm (hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa) Vắt mì tôm có hình một khối trụ, hộp mì tôm có dạng hình nón cụt được cắt ra bởi hình nón có chiều cao 9cm và bán kính đáy 6cm Nhà sản xuất đang tìm cách để sao cho vắt mì tôm có thể tích lớn nhất trong hộp với mục địch thu hút khách hàng Tìm thể tích lớn nhất đó ?

 Vẽ mặt cắt dọc theo trục hình nón ta có hai tam giác nào đồng dạng

 Gọi h, r là chiều cao hình trụ và bán kính hình trụ

và song song, dùng định lí Thales để rút h theo r

Trang 15

Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế

Vậy vắt mì tôm có thể tích lớn nhất trong hộp với mục địch thu hút khách hàng khi 4

r 

2.2.2: Phương pháp tiếp cận và giải quyết bài toán thực tế về khối trụ

Bài 1 Bạn An là một học sinh lớp 12, bố bạn là một thợ hàn Bố bạn định làm một chiếc thùng hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi 120 cm theo cách dưới đây:

Bằng kiến thức đã học em giúp bố bạn chọn mảnh tôn để làm được chiếc thùng có thể tích lớn nhất, khi đó chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt là

Gọi một chiều dài là x cm( ); 0  x 6, khi đó chiều còn lại là 60x cm( )

Giả sử quấn cạnh có chiều dài là x lại thì x là chu vi đường tròn đáy hình trụ

Trang 16

16

Gọi một chiều dài là x cm( ); 0  x 6 , khi đó chiều còn lại là 60x cm( ), giả sử quấn

cạnh có chiều dài là x lại thì bán kính đáy và chiều cao hình trụ là

Lập bảng biến thiên, ta thấy f x( ) x3 60x x2, 0; 60 lớn nhất khi

x40 h 60 40 20 Khi đó chiều dài là 40 cm; chiều rộng là 20 cm

Mảnh tôn được chọn để làm được chiếc thùng có thể tích lớn nhất thì chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt là 40cm và 20cm

Thực tế người thợ hàn có thể áp dụng để làm quây đựng thóc hoặc làm thùng phi đựng xăng dầu

Tấm tôn ban đầu có thể được cắt ra từ một mảnh tôn hình tam giác hay hình tròn hay elip Chẳng hạn như bài 2 sau:

Bài 2 Người ta muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác vuông cân ABC tại A có AB 10 2 (cm) Người ta muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhậtMNPQ từ mảnh tôn trên ( với M N, thuộc cạnh BC ; P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và ABđể tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ Thể tích lớn

nhất của chiếc thùng mà người ta có thể làm được là

Trang 17

17

Đây là ứng dụng của bài toán tìm GTLN, GTNN trên một khoảng (đoạn) xác định: Ta

sẽ đưa thể tích về hàm số một biến Trước tiên ta cần đưa h , R rút theo biến đó

Gọi I là trung điểmBC. Suy ra I là trung điểm MN

Đặt MN  2x 0  x 10

10 10

Gọi I là trung điểmBC. Suy ra I là trung điểm MN

Đặt MN  2x 0  x 10

10 10

A 15037000đồng B 15038000đồng

C 15039000đồng D 15040000đồng

Trang 18

18

 Thể tích hình trụ có công thức gì?

 Chi phí tính theo mét vuông thì đáy, thành, bề tính diện tích theo công thức nào?

 Đây là ứng dụng của bài toán tìm GTLN, GTNN trên một khoảng (đoạn) xác định: Ta sẽ đưa chi phí về hàm số một biến theo h hoặc r Trước tiên ta cần đi tìm mối liên hệ giữa h và r

 Sử dụng công thức tính diện tích hình tròn và diện tích xung quanh của hình trụ

để lập hàm chi phí theo một biến

Chi phí thấp nhất để làm bồn chứa nước (làm tròn đến hàng nghìn) 15039000đồng

Bài 4 Ông A dự định làm một cái thùng phi hình trụ (không có nắp) với dung tích 3

Trang 19

Giả sử thùng hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy Rvà độ dài đường sinh lh Dung tích của thùng là: 2 2

2

1 1

 Để chi phí nguyên vật liệu làm cái thùng thấp nhất thì tổng diện tích xung quanh

và diện tích đáy của thùng phải nhỏ nhất

Giả sử thùng hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy Rvà độ dài đường sinh lh

Dung tích của thùng là: 2 2

2

1 1

Vậy chi phí nguyên vật liệu làm cái thùng thấp nhất là: 3 3  400000 1.758.000  đ

Chi phí nguyên vật liệu làm cái thùng thấp nhất là 1.758.000 đồng

Bài 5 Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy R 2m, chiều cao h 6m Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình

vẽ Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác Tính V

Trang 20

20

 Vẽ mặt cắt dọc theo trục của hình nón

 Chu vi đường tròn đáy, chiều cao hình trụ là

độ dài đoạn thẳng nào trong tam giác ?

 Đặt R là bán kính đáy hình trụ, h là chiều cao của hình trụ

 Đây là ứng dụng của bài toán tìm GTLN, GTNN trên một khoảng (đoạn) xác định: Ta sẽ đưa thể tích về hàm số một biến h hoặc R Trước tiên ta tìm mối liên

hệ giữa h , R

 Xác định V theo công thức sau đó tìm GTLN của V

Đặt R là bán kính đáy hình trụ, h là chiều cao của hình trụ

Ta có hi tam giác SAI và SA I  đồng dạng

6 3 6

V   m

Bài 6 Khi sản xuất vỏ lon sữa Ông Thọ hình trụ, các nhà sản xuất luôn đặt chỉ tiêu sao cho chi phí sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất, tức là nguyên liệu (sắt tây) được dùng là ít nhất Hỏi khi đó tổng diện tích toàn phần của lon sữa là bao nhiêu, khi nhà sản xuất muốn thể tích của hộp là 3

V cm

A

2 3

tp

V

S  

R

Trang 21

21

 Diện tích toàn phần của hình trụ?

 Chi phí vỏ lon nhỏ nhất tức là diện tích toàn phần nhỏ nhất

 Đây là bài toán vừa kết hợp yếu tố hình học và yếu tố đại số Yếu tố hình học ở đây là các công thức tính diện tích toàn phần, diện tích xung quanh, thể tích của hình trụ Còn yếu tố đại số ở đây là tìm GTNN của S tp

 Ta có yếu tố đề bài cho:

R thành 2 hạng tử bằng nhau để khi nhân vào triệt tiêu được R2

ban đầu Khi đó ta có như sau:

Đặt R là bán kính đáy hình trụ, h là chiều cao của hình trụ

tp

V

S  

là diện tích toàn phần của lon sữa nhỏ

nhất nhằm tiết kiệm chi phí nhưng vẫn đảm bảo thể tích V

Trang 22

ưu nhất Giáo viên có thể gợi ý để học sinh chủ động đưa ra phương án giải quyết bài toán trên cơ sở: ngoài tính thẩm mĩ của bao bì, chất liệu phù hợp, tiện lợi trong vận chuyển và sử dụng thì cần tính đến chi phí về kinh tế sao cho nguyên vật liệu làm bao

bì là ít tốn nhất, tức là ta cần tìm hình trụ có diện tích toàn phần nhỏ nhất trong số các hình trụ có cùng thể tích

Vậy diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất khi: h=2r, tức là thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông, do đó cần thiết kế hộp sao cho đường cao bằng đường kính của đường tròn đáy

Bên cạnh đó, giáo viên có thể cho học sinh khám phá tính chất thú vị về mối quan hệ của miếng thiếc dùng làm lon sữa và diện tích xung quanh của hình trụ mà các em được học như sau: Cho học sinh cắt mặt xung quanh của lon sữa Ông Thọ theo một đường sinh, rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta sẽ được một hình chữ nhật có một cạnh bằng đường sinh l=h và một cạnh có độ dài bằng chu vi của đường tròn đáy Khi đó, diện tích của miếng thiếc hình chữ nhật dùng làm lon sữa bằng diện tích xung quanh của lon sữa hình trụ

Bài 7(tương tự bài 6) : Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn chứa dầu hình trụ

bằng tôn có thể tích 16 m3 Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm

ra ít tốn nguyên vật liệu nhất

 Mối quan hệ giữa chiều cao, bán kính của hình trụ

Trang 23

23

Đây là ứng dụng của bài toán tìm GTLN, GTNN trên một khoảng (đoạn) xác định: Ta

sẽ đưa diện tích toàn phần về hàm số một biến

Gọi x m( ) là bán kính đáy của hình trụ (x 0) Ta có: 2

2

16

r Diện tích toàn phần của hình trụ là: S(x) = 2 2 32

x

Gọi x m( ) là bán kính đáy của hình trụ (x 0) suy ra

2

16

x , cho S x'( ) 0 x 2 Lập bảng biến thiên, ta thấy diện tích đạt giá trị nhỏ nhất khi x 2( )m

Bán kính đáy của hình trụ 2m thì hình trụ được làm ra ít tốn nguyên vật liệu nhất

Tương tự như bài 6 thì để tốn ít nguyên liệu nhất thì chiều cao chính bằng đường kính đáy hay thiết diện qua trục là hình vuông

Bài 8(tương tự bài 6): Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích

theo yêu cầu là 2000 lít mỗi chiếc Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng bao nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất?

A 1m và 2m B 1dm và 2dm C 2m và 1m D 2dm và 1dm

Hướng dẫn:

Đổi 2000 ( )lit 2 (m3 ) Gọi bán kính đáy và

chiều cao lần lượt là x m( ) và h m( )

Theo kết quả bài 6 thì để tiết kiệm vật liệu

nhất thì chiều cao bằng đường kính đáy

h=2x Suy ra x=1m và h=2m

Bài 9(tương tự bài 6): Một cửa hàng nhận làm những chiếc xô bằng nhôm hình trụ

không nắp chứa 10 lít nước Hỏi bán kính đáy (đơn vị cm) của chiếc xô bằng bao nhiêu

Theo kết quả bài 6 để tiết kiệm vật liệu thì diện tích toàn phần của chiếc xô bé nhất

thì chiều cao bằng đường kính đáy h=2x , x 14, 2cm

Trang 24

24

Bài 10: Người ta cần chế tạo một cái ấm pha trà dạng hình cầu tâm O, đường kính 2R

Trong hình cầu có một hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu làm bằng chất liệu innox Trà chỉ chứa được trong hình trụ Hãy tìm bán kính đáy r của hình trụ để ấm chứa được nhiều trà nhất

- Gọi h và r là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ Bài toán quy về việc tính h

và r phụ thuộc theo R khi hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong hình tròn (O,R) thay đổi về 2

3



Trang 25

A Hình trụ B Hình hộp chữ nhật đáy hình vuông

C Cả hai như nhau D Hình lập phương

 Thể tích hình hộp chữ nhật đáy hình vuông có công thức gì?

 Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật đáy hình vuông?

 Chi phí nguyên liệu nhỏ nhất chính là diện tích toàn phần nhỏ nhất

 Đây là ứng dụng của bài toán tìm GTLN, GTNN trên một khoảng (đoạn) xác

định: Ta sẽ đưa diện tích toàn phần về hàm số một biến rồi tìm GTNN

TH1: Nếu làm hình trụ có bán kính đáy là x dm( ) và chiều cao là h dm( )

TH2: Nếu làm hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông cạnh x dm( ) và cao (h dm )

Từ V ta rút h theo x thế vào Stp

TH1: Nếu làm hình trụ có bán kính đáy là x dm( ) và chiều cao là h dm( )

2

1 1

Trang 26

“tốn tiền cho vật liệu” để thu hút khách hàng và sự tiện lợi khi sử dụng

Bài 12 Một người có một dải duy băng dài 130 cm, người đó cần bọc dải duy băng đỏ

đó quanh một hộp quà hình trụ Khi bọc quà, người này dùng 10 cm của dải duy băng

để thắt nơ ở trên nắp hộp (như hình vẽ minh họa) Hỏi dải duy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu ?

 Chiều dài ruy băng sau khi trừ nơ là bao nhiêu?

 Chiều dài ruy băng tính theo công thức nào?

 Một bài toán thực tế khá hay trong ứng dụng của việc tìm giá trị lớn nhất của hàm số Ta nhận thấy, dải duy băng tạo thành hai hình chữ nhật quanh cái hộp, do

đó chiều dài của dải duy băng chính là tổng chu vi của hai hình chữ nhật đó Tất

Trang 27

Đến đây ta tìm GTLN của hàm số trên một khoảng (đoạn) xác định

Gọi r và h lần lượt là bán kính và chiều cao hình trụ

Chiều dài sợi ruy băng sau khi trừ phần nơ là: 2.2.(2rh) 120 

Trang 28

28

2.2.3: Phương pháp tiếp cận và giải quyết bài toán thực tế về khối cầu

Bài 1 Một con quạ đang khát nước Nó bay rất lâu để tìm nước nhưng chẳng thấy một giọt nước nào Mệt quá, nó đậu xuống cành cây nghỉ Nó nhìn quanh và bỗng thấy một cái bình hình trụ có bán kính đáy là 2cm, chiều cao 21cm ở dưới một gốc cây Trong bình đang có một ít nước, khoảng cách giữa đáy cốc và mặt nước là 12cm (Hình vẽ) Nhìn chung quanh, quạ thấy những viên đá nhỏ nằm lay lắt ở gần đấy Lập tức, nó dùng

mỏ gắp một viên đá hình cầu có bán kính 0,6cm thả vào bình Cứ như vậy, nó gắp những viên đá khác và tiếp tục thả vào bình Giả sử các viên đá đều là hình cầu có bán kính 0,6cm Chẳng bao lâu, nước đã dâng lên Để uống được nước thì con quạ cần thả vào bình ít nhất bao nhiêu viên đá biết rằng quạ muốn uống được nước trong cốc thì mặt nước phải cách miệng cốc không quá 6cm ?

 Tính thể tích của mỗi viên đá hình cầu

 Thể tích nước dâng lên chính là tổng thể tích các viên đá gắp vào

Gọi n là số viên đá mà con quạ cần thả vào cốc (n *) Khi thả vào số viên đá đó, thể

tích của nước được tăng thêm là V (tương ứng với chiều cao nước tăng lên thêm là ht)

Để con quạ uống được nước trong cốc thì mực nước trong cốc cần dâng lên thêm h t

t

h   h V V

Với h 21 12 6    3 (cm) , V' h . r2  3 .2 2  12

Ta có thể tích của mỗi viên đá là:

Trang 29

Vậy con quạ phải thả ít nhất 42 viên đá thì mới uống được nước

Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực

Để uống được nước thì con quạ cần thả vào bình ít nhất 42 viên đá thì quạ mới uống được nước

Bài 2 Người ta thiết kế một lọ sản phẩm đựng kem chống nắng với thiết kế là một khối cầu như một viên bi khổng lồ, một nửa là nắp hộp, nửa còn lại thiết kế bên trong là một khối trụ nằm nội tiếp nửa mặt cầu để đựng kem chống nắng (như hình vẽ) Theo dự kiến nhà sản xuất dự định để khối cầu có bán kính R 3 2a Để đựng được nhiều kem nhất thì chiều cao của khối trụ là hm na với m n,  Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tiêu đề	Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua việc tiếp cận và giải quyết các bài toán thực tiễn về khối tròn xoay
Trường học	Trường Trung học phổ thông Lê Lợi Tân Kỳ
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Đề tài khoa học
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Tân Kỳ

Định dạng
Số trang	59
Dung lượng	2,71 MB