NỘI DUNG ĐỀ TÀI
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 Sơ lược vấn đề nghiên cứu
Trong hình học không gian, có nhiều loại hình học được nghiên cứu, mỗi loại đều có những tính chất chung và riêng mà học sinh cần nắm vững Các hình như tứ diện, chóp tứ giác và lăng trụ là những mô hình chính trong chương trình phổ thông Tuy nhiên, việc tính toán góc trên các mô hình này thường gây khó khăn cho học sinh do yêu cầu tư duy và tưởng tượng cao Giáo viên cũng gặp khó khăn khi học sinh không mặn mà với việc học, dẫn đến việc bỏ qua những kiến thức quan trọng Nhiều giáo viên chỉ sử dụng bài tập từ tài liệu tham khảo cũ, không phù hợp với trình độ của học sinh, khiến cho các bài toán trở nên phức tạp và xa lạ Để khắc phục điều này, cần sáng tạo ra các phương pháp tính toán tỉ mỉ các góc giữa các đường thẳng, mặt phẳng và giữa các mặt phẳng trong các mô hình tứ diện, chóp tứ giác và lăng trụ.
Chương trình SGK cũ cho lớp 11 hiện nay thiếu bài tập áp dụng cho các định nghĩa và định lý về góc trong không gian Mặc dù lý thuyết trong chương 3 đã đề cập đến các khái niệm như góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như giữa hai mặt phẳng, nhưng chỉ có một ví dụ duy nhất cho mỗi định nghĩa Điều này cho thấy chương trình còn hạn chế và chưa phát triển đầy đủ kỹ năng tính góc trong không gian cho học sinh.
Chương trình SGK mới (THPT 2018) đã chú trọng hơn đến bài toán tính góc, với việc đưa ra các bài toán cụ thể trên các mô hình hình học và ứng dụng vào các tình huống thực tế Điều này phản ánh mục tiêu phát triển năng lực tính toán và mô hình hóa cho học sinh Chương trình mới không chỉ tập trung vào việc hình thành năng lực tính góc trong không gian mà còn tạo ra hệ thống bài tập phong phú, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết.
6 sinh hiểu được, làm được, vận dụng được các tính chất trên các mô hình hình học để tính được góc giữa các đối tượng của mô hình đó
1.3 Cơ sở thực tiễn Để xác định cơ sở thực tiễn của đề tài, chúng tôi tiến hành khảo sát đối với học sinh và giáo viên trực tiếp giảng dạy chủ đề góc trong không gian Để xác định thực trạng của việc học bài toán góc trong không gian của học sinh, chúng tôi thực hiện việc kiểm tra mức độ thường xuyên đối với việc giảng dạy, hệ thống hóa các kiến thức và phương pháp, xây dựng các bài toán mới nhưng quen thuộc trên các mô hình hình học, chúng tôi tiến hành khảo sát 50 học sinh mà mình không trực tiếp giảng dạy, kết quả thu được như sau:
Bảng 1: Kết quả thăm dò học sinh khi học bài toán tính góc trong không gian
TT Nội dung Không thường xuyên
1 Thầy cô có thường xuyên dạy bài toán tính góc trong không gian cho học sinh?
2 Thầy cô có hệ thống lại kiến thức và nêu ra các phương pháp giải cho học sinh tính góc cho học sinh không?
3 Thầy cô có chia bài toán tính góc thành các dạng toán trên các mô hình tứ diện, chóp tứ giác, lăng trụ riêng biệt không?
4 Thầy cô có chỉ rõ cách xác định và tính góc cụ thể giữa các đối tượng cạnh và mặt trong các mô hình không?
Kết quả từ hàng 1 cho thấy học sinh chưa cảm nhận rõ về việc học phần tính góc, do giáo viên chưa thường xuyên giao bài tập liên quan đến xác định và tính góc, dẫn đến tỷ lệ thực hành còn thấp Hàng 2 cho thấy rằng một nửa số giáo viên vẫn chưa hệ thống hóa các phương pháp tính góc cho học sinh, cũng như chưa hướng dẫn rõ ràng quy trình từng bước cần thực hiện.
Kết quả khảo sát cho thấy thầy cô chưa áp dụng mô hình hệ thống trong giảng dạy, dẫn đến việc các bài tập không rõ ràng, chỉ khoảng 1/5 học sinh có thể hình dung được hệ thống Hơn nữa, học sinh không được rèn luyện với các bài toán quen thuộc trong những mô hình nhất định, gây khó khăn khi gặp tình huống thực tế Do đó, cần thiết phải hệ thống lại phương pháp giảng dạy, cải tiến mô hình và tạo ra các bài toán mới nhưng quen thuộc trong các hình học.
Chúng tôi tiến hành khảo sát thực trạng giáo viên, những người trực tiếp giảng dạy cho học sinh về việc xác định và tính góc trong không gian.
Nghiên cứu đã khảo sát mức độ thường xuyên của việc dạy toán xác định và tính góc thông qua bảng hỏi đối với 20 giáo viên Kết quả cho thấy giáo viên thường xuyên thay đổi phương pháp dạy học và sáng tạo ra các bài toán mới, phân loại theo các mô hình hình học.
Bảng 2: Thực trạng của giáo viên khi bài toán góc trong không gian
TT Nội dung Không thường xuyên
1 Thầy cô có thường xuyên dạy bài toán góc cho học sinh không?
2 Thầy cô có thường xuyên sử dụng các phương pháp dạy học tích cực để phát triển các năng lực xác định và tính góc cho học sinh không?
3 Thầy cô có tự mình sáng tạo ra các bài toán tính góc trong không gian không?
4 Thầy cô có phân ra các dạng bài toán góc trên các mô hình hình hình học cụ thể không?
5 Thầy cô có làm rõ các bài toán tính góc trên các đối tượng cụ thể trong các mô hình không?
Phân tích cho thấy tỉ lệ 65-35 ở hàng 1 cho thấy đa số giáo viên chưa chú trọng vào bài toán tính góc trong không gian khi học phần quan hệ vuông góc, có thể do họ tập trung vào việc chứng minh vuông góc hoặc các ứng dụng khác Ở hàng thứ 2, việc sử dụng các phương pháp dạy học cho phần tính góc và hình học không gian còn hạn chế, đặc biệt là với giáo viên thực hiện chương trình cũ Hàng thứ 3, 4, 5 cho thấy nhiều giáo viên chưa tạo ra bài toán phù hợp với học sinh, thiếu các bài toán cụ thể trên mô hình và làm rõ các bài toán tính góc, dẫn đến việc học sinh cảm thấy xa lạ và khó khăn trong việc tiếp thu kiến thức Do đó, cần tìm ra các giải pháp khả thi để nâng cao chất lượng dạy và học, đây cũng là mục tiêu của đề tài.
1.4 Hình thành giả thiết khoa học và đề xuất giải pháp
Dựa trên thực trạng dạy học phần góc trong không gian, chúng tôi đề xuất xây dựng các mô hình toán học để giúp giáo viên và học sinh tiếp cận nội dung một cách dễ dàng hơn Thay vì chỉ nói chung về hình không gian, chúng tôi sẽ tập trung vào các mô hình cụ thể.
Hình tứ diện, hình chóp tứ giác và hình lăng trụ là những mô hình phổ biến trong việc giải toán, đặc biệt là trong các bài toán tính góc.
Giải pháp 1: Sáng tạo các bài toán tính góc trên mô hình tứ diện
Mô hình tứ diện, với bốn mặt và ít mặt nhất, là khái niệm cơ bản mà học sinh tiếp cận khi bắt đầu học hình học không gian Chúng tôi hướng dẫn học sinh xác định và tính góc trên tứ diện đều, nơi tất cả các mặt là tam giác đều và các cạnh bằng nhau Sau đó, học sinh sẽ thay đổi độ dài các cạnh để tạo ra các tứ diện bất kỳ Một mô hình tứ diện khác là hình chóp tam giác, có một cạnh vuông góc với mặt đáy, từ đó có thể phát triển các mô hình như hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy Qua việc giải quyết các bài toán trên các mô hình tứ diện này, học sinh đã thành công trong việc luyện tập phương pháp xác định và tính góc.
Giải pháp thứ hai là sáng tạo các bài toán tính góc trên mô hình hình chóp tứ giác, giúp học sinh nắm vững các tính chất đặc biệt của tứ giác Các hình tứ giác như hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông đều có những đặc điểm riêng, và việc xác định tính góc trên mô hình hình chóp tứ giác sẽ làm nổi bật những tính chất này Bằng cách thiết kế các bài toán tính góc phù hợp, chúng ta có thể dẫn dắt học sinh hiểu rõ hơn về hình học và phát triển tư duy logic của các em.
Giải pháp 3: Sáng tạo bài toán tính góc trên mô hình hình lăng trụ
Lăng trụ trong hình học không gian chủ yếu tập trung vào lăng trụ tam giác và lăng trụ tứ giác Đặc biệt, khi đáy của lăng trụ tứ giác là các hình đặc biệt như hình bình hành, hình chữ nhật, hay hình thoi, chúng ta sẽ có các hình hộp Nếu các cạnh bên vuông góc với mặt đáy, ta sẽ thu được hình hộp chữ nhật và hình lập phương, những mô hình quen thuộc trong thực tế Do đó, giải pháp thứ ba mà đề tài hướng đến là tính góc trong mô hình lăng trụ, thông qua việc sáng tạo các bài toán tính góc đơn giản giữa đường và mặt.
Tính cấp thiết của việc sáng tạo bài toán tính góc trong các mô hình hình học đã được xác định thông qua khảo sát 30 giáo viên môn toán Chúng tôi đã sử dụng phần mềm Google Form để thu thập ý kiến và xử lý dữ liệu bằng Excel Kết quả khảo sát cho thấy sự cần thiết của việc phát triển các bài toán này trong mô hình tứ diện, hình chóp tứ giác và hình lăng trụ.
Phiếu khảo sát tính cấp thiết của các giải pháp đưa ra
(M1: Không cấp thiết, M2: Ít cấp thiết, M3: Cấp thiết, M4: Rất cấp thiết)
TT Các giải pháp Thang đánh giá các giải pháp
1 Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình tứ diện
2 Sáng bài toán tính góc trong mô hình chóp tứ giác
3 Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình lăng trụ
Tính khả thi của giải pháp
Cũng bằng khảo sát với 30 giáo viên trên, chúng tôi thu được kết quả tính khả thi:
Phiếu khảo sát tính khả thi của các giải pháp đưa ra
(M1: Không khả thi, M2: Ít khả thi, M3: Khả thi, M4: Rất khả thi)
TT Các giải pháp Thang đánh giá các giải pháp
1 Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình tứ diện
2 Sáng bài toán tính góc trong mô hình chóp tứ giác
3 Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình lăng trụ
SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN GÓC TRONG KHÔNG GIAN TRÊN CÁC MÔ HÌNH HÌNH HỌC
TRÊN CÁC MÔ HÌNH HÌNH HỌC
2.1 Một số kiến thức cơ bản
1) Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian được xác định là góc giữa hai đường thẳng a' và b', mà cả hai đều đi qua một điểm và lần lượt song song với hai đường thẳng a và b.
+) 0 0 ( ) a b , 90 0 ; ( ) a b , = 0 0 a b , song song hoặc trùng nhau
+) Nếu a b , lần lượt là vec-tơ chỉ phương của hai đường thẳng a b , thì
2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( ) Trường hợp d ⊥ ( ) ta nói góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng
( ) bằng 90 0 Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với ( ) thì góc giữa d và hình chiếu d ' của nó trên ( ) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( )
3) Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó
2.2 Phân tích các bài toán xác định và tính góc trong chương trình hiện hành
Bài viết này sẽ trích dẫn và phân tích một số bài toán liên quan đến việc xác định và tính góc, được lấy từ chương trình sách giáo khoa cũng như các kỳ thi THPT Quốc gia, thi tốt nghiệp và thi học sinh giỏi tỉnh.
Bài toán 1 yêu cầu tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC trong hình chóp S ABC, với các cạnh SA, SB, SC, AB, AC đều bằng a và cạnh BC bằng a².
Bài toán này là một bước chuyển quan trọng từ việc tính góc giữa hai vec-tơ sang tính góc giữa hai đường thẳng Tác giả sẽ trình bày ba phương pháp để giải quyết vấn đề này.
Cách 1: Sử dụng phương pháp vec-tơ
Ta có: tam giác SAC đều nên ASC = 60 0 , tam giác BSC có BC 2 = SB 2 + SC 2 nên vuông tại S suy ra SB SC = 0
AB SC = SB − SA SC
Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 60 0
Cách 2: Sử dụng định nghĩa góc giữa hai đường thẳng
Gọi M N P , , lần lượt là trung điểm các cạnh
lần lượt là đường trung bình của tam giác SAC và ABC
Xét tam giác MBC có
= = = Áp dụng định lí cô-sin cho MBC có:
Vậy ( AB SC , ) ( = MN NP , ) = MNP = 60 0
Cách 3 Sử dụng định nghĩa góc giữa hai đường thẳng
Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành
ABCD Khi đó AB ∥ CD nên
Dễ thấy ABC là tam giác vuông cân tại
A nên tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a , suy ra AD = a 2 Lại có tam giác
SBC vuông cân tại S nên
Xét tam giác SAD có trung tuyến 1
SI = 2 AD nên tam giác SAD vuông tại S và
SA = AD nên cũng là tam giác vuông cân, do đó SD = SA = a SCD đều
Vậy ( AB SC , ) ( = CD SC , ) = SCD = 60 0
Bài toán 2 từ đề HSG lớp 12 Tỉnh Nghệ An năm học 2022-2023 yêu cầu tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD trong hình chóp S ABCD, với đáy ABCD là hình chữ nhật và cạnh BC = a Tam giác SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
2 a và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng ( ABCD ) một góc , với tan 1
= 2 Tính sin góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng ( SAD )
Lời giải Cách 1: Sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Gọi H là trung điểm cạnh AB , tam giác
SAB cân tại S nên SH ⊥ AB ;
Kẻ HF ⊥ CD tại F CD ⊥ ( SHF ) Kẻ
HK ⊥ SF tại K HK ⊥ ( SCD )
Xét tam giác vuông SHF có 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 SH a
Xét tam giác SHC có 2 tan 1
Xét tam giác vuông HBC có BH = HC 2 − BC 2 = a
AD ⊥ AB AD ⊥ SH AD ⊥ SAB SAD ⊥ SAB
HE SA HE SAD d H SAD HE
Gọi I là giao điểm của hai đường CH và AD Dễ thấy CI = 2 HI , từ đó ta có
Thay vào (1) ta được sin ( , ( ) ) 2 6
Cách 2: Sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
Gọi M N , lần lượt là trung điểm các canh BC và SB của tam giác SBC , khi đó MN ∥ SC ( SC SAD , ( )) = ( MN SAD , ( ) )
Ta có AD ∥ BC và S ( SAD ) ( SBC ), suy ra giao tuyến của ( SAD ) và ( SBC ) là
Theo kết quả trên: SH = BH = AH
SAB vuông cân tại S SB ⊥ SA
Lại có AD ⊥ ( SAB ) AD ⊥ SB
Trên ( SBC ) gọi J = MN St , suy ra hình chiếu của MN lên ( SAD ) là SJ
( SC SAD , ) = ( MN SAD , ( )) = NJS
SN BN NSJ NBM g g NSJ
Bài toán 3: (Trích câu 33-mã đề 101-thi TN THPT năm 2022) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy
ABC là tam giác vuông tại B , AC = 2, AB = 3 và AA = 1
Góc giữa hai mặt phẳng ( A BC ) và ( ABC ) bằng t
Cách 1: Sử dụng cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( A BC ) và ( ABC ) là góc
Xét A AB vuông tại A ta có: tan 1
Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( A BC ) và ( ABC ) là 30 0
Cách 2: Sử dụng công thức hình chiếu
ABC là hình chiếu của A BC ' trên mặt phẳng ( ABC ) , gọi là góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( A BC ' ) Ta có: '
BC = AC − AB = S ABC = AB BC =
A B = AA + AB = , A BC ' vuông tại B ' 1
Bài toán tính góc là một phần quan trọng trong các kỳ thi, yêu cầu học sinh phát triển kỹ năng tính toán, phân tích và giải quyết vấn đề Để đạt được điều này, cần nâng cao năng lực tư duy sáng tạo và khả năng tự giải quyết các bài toán hệ thống, cũng như kỹ năng xác định và tính góc trên các mô hình quen thuộc Việc rèn luyện qua các bài tập từ cơ bản đến nâng cao sẽ giúp học sinh chinh phục các kỳ đánh giá năng lực.
2.3 Xây dựng hệ thống các mô hình hình học sử dụng trong đề tài
Mô hình tứ diện hiểu ở đây là hình tạo bởi bốn điểm không đồng phẳng
Tứ diện ABCD bao gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD, tạo thành các mặt của nó Để phát triển và sáng tạo các bài toán, chúng tôi bắt đầu từ hai mô hình đặc biệt, trong đó có mô hình tứ diện đều.
Tên mô hình Hình vẽ Tính chất Yếu tố thay đổi
Tư diện đều Các mặt là tam giác đều, các cạnh bằng nhau
Tứ diện có 5 cạnh bằng nhau
Có hai mặt là tam giác đều, hai mặt còn lại là hai tam giác bằng nhau
Thay đổi độ dài một cạnh của tứ diện đều
Tư diện có 4 cạnh bằng nhau
Có hai cặp mặt, mỗi cặp mặt là hai tam giác bằng nhau
Thay đổi độ dài hai cạnh
Tư diện có các cặp cạnh đối bằng nhau
Bốn mặt của tứ diện là bốn tam giác bằng nhau
Thay đổi độ dài theo các cặp cạnh
Tứ diện có độ dài
Các mặt bên là các tam giác bất kì
Thay đổi độ dài cho các cạnh bất kỳ của mô hình tứ diện, trong đó có một cạnh vuông góc với một mặt, có thể được gọi là hình chóp tam giác.
Tên mô hình Hình vẽ Tính chất Yếu tố thay đổi
Tứ diện có một cạnh vuông góc với một mặt
- Cạnh AB vuông góc với tất cả các cạnh của
ABD là tam giác vuông
AC AD lên ( BCD ) là
Tứ diện có hình chiếu một đỉnh nằm trên một cạnh
- Hình chiếu vuông góc của các cạnh
AB AC AD lên đáy lần lượt là BH CH DH , ,
Thay đổi yếu tố của một cạnh vuông góc với một mặt bằng hình chiếu của một đỉnh lên mặt đối diện nằm trên cạnh
Tứ diện có hình chiếu của một đỉnh nằm trong mặt đối diện
- Hình chiếu của các cạnh AB AC AD , , lên
Thay đổi hình chiếu của đỉnh
A từ một điểm trên cạnh sang một điểm trong mặt BCD
2.3.2 Mô hình hình chóp tứ giác
Mô hình chóp tứ giác ở đây hiểu là đáy là tứ giác lồi ABCD và đỉnh là điểm
Mô hình hình chóp tứ giác S ABCD có năm mặt, bao gồm mặt đáy ABCD và bốn mặt bên SAB, SBC, SCD, SDA Để phát triển và sáng tạo các bài toán, chúng ta có thể bắt đầu từ mô hình tứ chóp tứ giác đều.
Tên mô hình Loại mô hình Tính chất Yếu tố thay đổi
Hình chóp tứ giác đều
- Đáy ABCD là hình vuông tâm O
- Các mặt bên là tam giác cân bằng nhau
- Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau
- Góc giữa các mặt bên và mặt đáy bằng nhau
Thay đổi giả thiết về mặt đáy
- Đáy là hình chữ nhật
- Đáy là hình bình hành
Hình chóp tứ giác bất kì
- Đáy ABCD là tứ giác lồi
- Hình chiếu của đỉnh lên đáy là một điểm trong đáy
Mô hình hình chóp tứ giác có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy đã trải qua những thay đổi đáng kể Tên mô hình, loại mô hình và các tính chất của nó đều được điều chỉnh để phù hợp với các yếu tố thay đổi Những yếu tố này không chỉ ảnh hưởng đến hình dạng mà còn đến cách mà mô hình được áp dụng trong thực tế.
Mô hình hình chóp có cạnh bên vuông góc mặt đáy
- Đáy ABCD là hình vuông
- Mặt bên SAB SAD , là các tam giác vuông
Thay đổi hình dạng đáy để tạo thêm lớp bài toán tương tự
Mô hình hình chóp có hình chiếu của đỉnh lên đáy là điểm đặc biệt
- Đáy ABCD là hình vuông
- Hình chiếu của đỉnh lên đáy là điểm đặc biêt
- Mặt bên SAB SAD , là các tam giác vuông
Thay đổi về hình chiếu
Thay đổi hình dạng đáy để tạo lớp bài toán tương tự
2.3.3 Mô hình hình lăng trụ
Mô hình hình lăng trụ bao gồm hai đáy là hai đa giác bằng nhau, được đặt trên hai mặt phẳng song song Các cạnh bên của hình lăng trụ song song và có độ dài bằng nhau, trong khi các mặt bên được tạo thành từ các hình chữ nhật.
Bài viết này tập trung vào 18 hình bình hành, với hai mô hình chính được lựa chọn để phát triển là mô hình hình lập phương và mô hình lăng trụ tam giác đều.
Tên mô hình Loại mô hình Giả thiết Yếu tố thay đổi
Hình lập phương Các mặt của hình lập phương đều là hình vuông, các cạnh bằng nhau
Bắt đầu từ hình ban đầu, chúng ta có thể thay đổi độ dài các cạnh để tạo ra hình hộp chữ nhật Bằng cách điều chỉnh các góc, chúng ta có thể hình thành lăng trụ tam giác đều, trong đó đáy là một tam giác đều và các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Thay đổi về hình dạng đáy, hình chiếu của đỉnh để tạo nên các lăng trụ xiên
Qua mục 2.3, bài viết đã hệ thống hóa các mô hình hình học quen thuộc với các tính chất về cạnh và góc, đặc biệt là các tính chất liên quan đến yếu tố vuông góc Những tính chất này đóng vai trò then chốt trong việc tính toán góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như giữa hai mặt phẳng Việc làm quen với mô hình lăng trụ giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ song song và vuông góc Khi giải toán trên các mô hình này, học sinh cần chú ý đến hai tính chất song song và vuông góc, từ đó hình thành phản xạ tự nhiên trong tư duy toán học.
2.4 Sáng tạo các bài toán góc trong không gian trên các mô hình hình học 2.4.1 Bài toán xác định và tính góc giữa hai đường thẳng
2.4.1.1 Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian cho hai đường thẳng a và b có các vec-tơ chỉ phương tương ứng là u u a , b Gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b
Khi đó ta có: cos
Theo định nghĩa góc giữa hai đường thẳng đã nêu ở mục 2.1, ta có các bước thực hiện như sau:
Bước 1: Chọn điểm O (có thể chọn O nằm một trên hai đường thẳng a hoặc b )
Bước 2: Dựng các đường thẳng a ' và b ' qua O lần lượt song song với hai đường thẳng a và b
Bước 3: Tính góc giữa a ' và b ' (thường gắn vào hai cạnh của một tam giác có thể tính được góc)
2.4.1.2 Sáng tạo bài toán góc giữa hai đường thẳng trên mô hình hình học a) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình tứ diện
Bài viết trình bày một phương pháp dạy học hiệu quả thông qua việc sử dụng mô hình tứ diện đều để giúp học sinh dễ dàng nắm bắt cách tính góc giữa các cặp cạnh đối nhau Tác giả đã thay đổi độ dài các cạnh của tứ diện để tạo ra những mô hình khác nhau, đồng thời nâng cao yêu cầu tính toán cho học sinh từ việc tính góc giữa các cặp cạnh đến việc tính góc giữa hai đường thẳng trong mô hình tứ diện Dưới đây là một số bài toán cụ thể để minh họa cho phương pháp này.
Bài toán 1: Trong không gian cho tứ diện đều ABCD cạnh a Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD
Lời giải Cách 1: Sử dụng Vec-tơ
AB CD = AB AD − AC
Vậy cos ( AB CD , ) = 0 ( AB CD , ) = 90 0
Cách 2: Sử dụng định nghĩa
Gọi M N P , , tương ứng là trung điểm các cạnh
Ta có MN ∥ AB NP , ∥ CD ( AB CD , ) ( = MN NP , )
AP CP là đường cao của các tam giác đề nên
Xét tam giác ACP có:
Xét tam giác MNP có:
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài
Tại trường THPT Diễn Châu 4, huyện Diễn Châu, tỉnh Nghệ An, tôi chọn lớp 11A2 làm lớp thực nghiệm và lớp 11A1 làm lớp đối chứng
Chúng tôi đã chọn một tiết dạy tự chọn để thực nghiệm, nhằm kiểm tra hiệu quả của đề tài đối với sự phát triển năng lực của học sinh.
“Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng”, tiến hành tại lớp 11A2 trường THPT Diễn Châu 4
Tự chọn: Hai mặt phẳng vuông góc Chủ đề xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Nhận biết được hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng
- Biểu thị được góc giữa đường thẳng với mặt phẳng thành góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng
- Sử dụng được các hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính góc
2 Năng lực a) Năng lực tư duy và lập luận toán học: Phân tích và dự đoán được hình chiếu của đường lên mặt phẳng b) Năng lực giao tiếp toán học: Đọc hiểu được các thông tin về yếu tố vuông góc trong bài toán, trao đổi, trình bày được các ngôn ngữ toán học c) Năng lực sử dụng công cụ toán học: Sử dụng phần mềm vẽ vẽ hình, sử dụng máy tính cầm tay để tính d) Năng lực giải quyết vấn đề toán học: Thực hiện được các nhiệm vụ tính góc trong tam giác vuông bằng các xác định được ít nhất hai trong ba cạnh e) Năng lực mô hình hóa toán học: Vận dụng được kiến thức về góc, từ đó mô hình hóa lại được các bài toán thực tiễn tính góc
- Trách nhiệm: HS có ý thức làm việc nhóm, ý thức tìm tòi kiến thức
- Chăm chỉ: HS hứng thú học tập, khám phá khi vận dụng kiến thức vào thực tiễn
- Trung thực: HS trung thực, tự giác khi tham gia các hoạt động
II Thiết bị dạy học và học liệu
Tivi, laptop, máy tính cầm tay, phần mềm và các tài liệu tham khảo liên quan đến bài toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
III Tiến trình dạy học
1 HĐ1: Hệ thống hóa kiến thức về bài toán góc giữa đường thẳng và mặt phẳng a) Mục tiêu: Học sinh được hệ thống lại kiến thức và hiểu được các bước tính góc b) Nội dung: Giao các nhóm thực hiện theo các câu hỏi H1, H2 trước khi đến lớp
Nhóm 1 và 3 sẽ đảm nhận việc thực hiện câu hỏi H1, trong khi nhóm 2 và 4 sẽ tập trung vào câu hỏi H2 Các nhóm có thể sử dụng bảng phụ để vẽ hoặc áp dụng các phần mềm như Geogebra, GSP, hoặc PowerPoint để thực hiện các hình vẽ cần thiết.
H1: Hãy xây dựng quy trình tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng hình vẽ? H2: Cho hệ thống mô hình hình học như sau:
Hãy biểu thị hình vẽ tương ứng các mô hình trong hệ thống c Tổ chức thực hiện: Học sinh thực hiện theo các nhóm
HOẠT ĐỘNG CỦA HS HOẠT ĐỘNG CỦA GV
HS thực hiện nhiệm vụ:
- Các nhóm HS thực hiện nhiệm vụ học tập thảo luận, phân công nhiệm vụ, thực hiện nhiệm vụ ở nhà trước khi đến lớp
- Các nhóm báo treo bảng hoặc trình chiếu và báo cáo sản phẩm của mình
- Các học sinh khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện các sản phẩm
- GV yêu cầu HS thực hiện các nhiệm vụ học tập từ tiết trước
- GV HD hỗ trợ HS nếu cần
- GV nhận xét sản phẩm học tập của học sinh, củng cố kiến thức, kĩ năng ( Kết luận, khẳng định)
2 HĐ2: Thực hành tính góc trên các mô hình a) Mục tiêu: Học sinh tính được góc trên các mô hình hình học đã nghiên cứu b) Nội dung:
HĐ2.1: Giáo viên tổ chức một trò chơi trả lời nhanh cho 2 đội, mỗi ý là 1 điểm, đối nào nhiều điểm hơn là đội chiến thắng
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 Câu hỏi 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh bên
AB vuông góc với mặt phẳng ( BCD ) Đáy
BCD là tam giác vuông tại C a) Góc giữa cạnh AB và mặt phẳng ( BCD ) bằng
C 90 0 D 120 0 b) Góc giữa cạnh AC và ( BCD ) là
A ACB B ADB C ACD D CAB c) Góc giữa cạnh AD và mặt phẳng ( ABC ) là
Câu hỏi 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy
ABCD là hình vuông tâm O , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy a) Góc giữa cạnh SA và ( ABCD ) bằng
C 60 0 D 90 0 b) Góc giữa cạnh SC và ( ABCD ) là
A SAC B SCA C SCB D SCD c) Góc giữa SC và ( SAB ) là
A SBC B BSC C SCA D ASC d) Góc giữa cạnh SB và ( SAC ) là
Câu hỏi 3: Cho hình lập phương
ABCD A B C D a) Góc giữa AA ' và ( ABCD ) bằng
C 60 0 D 90 0 b) Góc giữa AB ' với mặt phẳng ( A B C D ' ' ' ' ) bằng
A AB A ' ' B B AA ' ' C AB D ' ' D AB D ' ' c) Góc giữa AC ' với mặt phẳng ( ABB A ' ' ) là
HĐ2.2: Hoạt động nhóm theo sự chuyển giao nhiệm vụ của giáo viên
Bài tập 1 yêu cầu tính góc giữa AC và mặt phẳng (ABD) trong tứ diện ABCD, với cạnh bên AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) Đáy BCD là tam giác vuông tại B, trong đó các cạnh có độ dài AB = a, BC = a, và CD = a√3.
Bài tập 2 yêu cầu tính góc giữa đường thẳng NG và mặt phẳng đáy của hình chóp S ABCD, trong đó đáy ABCD là hình vuông với cạnh a và tâm O Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, với điều kiện SA = AB = a.
( ABCD ) với N là trung điểm của cạnh SD , G là trọng tâm tam giác ABC
Bài tập 3: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên
AA vuông góc với đáy và AA ' = a 3 Tính góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng a) AA ' và ( A BC ' ) b) AB ' và ( A BC ' ) c Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA HS HOẠT ĐỘNG CỦA GV
HS thực hiện nhiệm vụ:
- HS thực hiện nhiệm vụ học tập theo nhóm, thảo luận, phân công nhiệm vụ, thực hiện, trình bày, thuyết trình báo cáo
- Đại diện các nhóm lên trình bày sản phẩm của nhóm
- Các học sinh khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời
- GV chuyển giao nhiệm vụ
Nhóm 1 thực hiện bài tập 1, nhóm 2 thực hiện bài tập 2, nhóm 3 thực hiện bài tập 3a, nhóm 4 thực hiện bài tập
- GV HD hỗ trợ HS nếu cần
- GV nhận xét sản phẩm học tập của học sinh, củng cố kiến thức, kĩ năng ( Kết luận, khẳng định)
3 HĐ3: Vận dụng các kiến thức giải quyết bài toán thực tiễn tính góc a) Mục tiêu: Vận dụng kiến thức giải được bài toán tính góc thực tiễn b) Nội dung: Kỹ thuật chuyền bóng rổ hai tay bật đất
Kỹ thuật chuyền bóng rổ bằng hai tay bật đất rất hiệu quả khi đối đầu với những đối thủ có chiều cao vượt trội hoặc khi gặp cầu thủ phòng thủ cao từ đội bạn.
Bước 1: Tư thế chuyền bóng
- Hai chân mở rộng bằng vai và thực hiện chân trước chân sau
- Đầu gối khuỵu nhẹ và hạ trong tâm thấp xuống
- Bóng được đưa ra trước bụng trên, cánh tay thả lỏng một cách tự nhiên
Đưa bóng theo đường vòng cung nhỏ từ dưới lên trên, khi tay đạt ngang ngực, người chơi cần xoay cổ tay và lòng bàn tay hướng xuống mặt sân.
Duỗi thẳng cánh tay về hướng chuyền bóng và khi tay gần duỗi hết, sử dụng lực từ ngón tay và cổ tay để đẩy bóng theo hướng mong muốn Hãy miết các ngón tay vào bóng để tạo ra độ xoáy.
- Điểm chạm bóng yêu cầu của kỹ thuật chuyền bóng này là tại 1/3 khoảng cách giữa người chuyền và người bắt
Bước 3: Kết thúc đường chuyền bóng
- Hai tay duỗi thẳng, lòng bàn tay có xu hướng xoay ra ngoài Trọng tâm đổ về hướng chuyền bóng
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3 Câu hỏi vận dụng: Quan sát hình vẽ mô phỏng
Giả sử người chuyền bóng di chuyển từ tay cầm B đến điểm M, sau đó bóng được chuyền từ M đến tay người nhận D Đường thẳng BM được gọi là đường ném, trong khi đường thẳng MD là đường nhận Mặt phẳng vuông góc với mặt nằm ngang và mặt phẳng của người nhận được ký hiệu là (α), gọi là mặt phẳng tới.
Giả sử khoảng cách giữa hai chân người ném và người nhận là đoạn AC = 3 m, với AB = 1,4 m và CD = 1,1 m Ký hiệu khoảng cách AM = x, cần xác định góc giữa đường ném và mặt phẳng tới theo biến x.
HOẠT ĐỘNG CỦA HS HOẠT ĐỘNG CỦA GV
HS thực hiện nhiệm vụ:
- Các nhóm trao đổi, phân công nhiệm vụ, trình bày, thuyết trình
- Các nhóm cử đại diện lên báo cáo sản phẩm đã hoàn thành
- Các học sinh khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời
- GV chuyển giao nhiệm vụ học tập
- GV HD hỗ trợ HS nếu cần
- GV nhận xét các câu trả lời của học sinh, củng cố kiến thức và HD vận dụng kiến thức vào thực tiễn
4 HĐ4: Hướng dẫn học sinh tự học: a) Mục tiêu: Ôn tập lại các xác định và tính góc trên mô hình hình lập phương b) Nội dung: Học sinh về nhà áp dụng cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trên mô hình hình lập phương
Trong hình lập phương ABCD A'B'C'D' có cạnh bằng a, chúng ta cần tính góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng Cụ thể, nhóm 1 sẽ tính góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (ABD'); nhóm 2 sẽ tính góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (BDC'); nhóm 3 sẽ tính góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (ABD'); và nhóm 4 sẽ tính góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (BDC').
3.4 Xử lí kết quả thực nghiệm Để kiểm chứng kết quả của đề tài, chúng tôi tiến hành cho học sinh thực hiện hai bài kiểm tra 15p ở hai lớp 11A1 và 11A2 với chủ đề góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Mỗi đề gồm 3 mức độ, nhận biết, thông hiểu, vận dung Lưu ý rằng lớp 11A2 học tốt hơn lớp 11A1 Kết quả thực nghiệm thu được như sau : Đề 1 : (Thực hiện trước khi học thực nghiệm)
Trong không gian cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên
