(Skkn 2023) một số kinh nghiệm khi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Tuy nhiên cũng rất khó để có được một phương pháp chung cho tất cả các dạng toán, mỗi phương pháp chỉ có thể phù hợp với một số dạng phương trình nhất định nào đó và tính hiệu quả ở mỗi

MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP

ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN

1

MỤC LỤC

Trang

PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ……… … 1

I Lí do chọn đề tài……… 1

II Phạm vi nghiên cứu và đối tượng……… 1

III Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu……… ……….…… …… 1

IV Giả thiết khoa học của đề tài ……… 2

V Phương pháp nghiên cứu ………. 2

VI Những đóng góp mong muốn của đề tài ……… 2

PHẦN II – NỘI DUNG NGHIÊN CỨU……… 3

Chương I Cơ sở khoa học……… 3

1 Cơ sở lí luận………. 3

1.1 Mô tả phương pháp……… 3

1.2 Một số tính chất và nhận xét ………. 3

2 Cơ sở thực tiễn……… 4

Chương II.Vận dụng cơ sở khoa học để giải quyết các vấn đề của đề tài 5

1 Phương trình đa thức………. 5

2 Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn……… 13

Kết luận về giải pháp……… 26

Bài tập ứng dụng………. 27

Chương III – Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất……… 28

1 Mục đích khảo sát……… 28

2 Nội dung và phương pháp khảo sát……… 28

2.1 Nội dung khảo sát……… 28

2.2 Phương pháp khảo sát và thang điểm đánh giá ………. 28

3 Đối tượng khảo sát………. 28

4 Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất ………. 29

4.1 Sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất ……… 29

4.2 Tính khả thi của các giải pháp đề xuất ………. 30

PHẦN III - KẾT LUẬN……… 32

Ý nghĩa của đề tài……… 32

Đề xuất và kiến nghị……… 32

PHẦN IV - TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 34

từ cấp địa phương đến cấp quốc tế Phương trình cũng là một dạng toán khó bởi tính phức tạp và đa dạng ở mỗi bài toán đòi hỏi tính sáng tạo, tư duy logic chặt chẻ, chính xác và khả năng phán đoán, suy luận tốt Do đó nó là một chủ đề khá hấp dẫn, lôi cuốn người làm toán say mê tìm tòi và sáng tạo ra nhiều phương pháp giải hay và hiệu quả Tuy nhiên cũng rất khó để có được một phương pháp chung cho tất cả các dạng toán, mỗi phương pháp chỉ có thể phù hợp với một số dạng phương trình nhất định nào đó và tính hiệu quả ở mỗi phương pháp còn phụ thuộc vào kĩ năng của người sử dụng

Một trong các phương pháp mà chúng ta đã biết đến đó là “phương pháp đặt

ẩn phụ không hoàn toàn” Nội dung của phương pháp này là chọn một biểu thức

trong phương trình để đặt ẩn phụ mà không cần thay thế hết hoàn toàn ẩn cũ của phương trình bằng ẩn mới, nhằm đưa về phương trình bậc 2 với ẩn mới rồi tìm nghiệm của phương trình bậc hai đó theo ẩn cũ, từ đó đưa phương trình đã cho về phương trình đơn giản hơn Tuy nhiên phương pháp này chỉ có hiệu quả khi biệt số delta  của tam thức bậc 2 nói trên là một số hoặc một biểu thức bình phương Do

đó học sinh thường chỉ dùng phương pháp này khi gặp may trong việc lựa chọn biểu thức để đặt ẩn phụ và lựa chọn hệ số của phương trình bậc hai mới để từ đó có được biệt số  là một số hoặc một biểu thức bình phương Điều này làm hạn chế hiệu quả của phương pháp dẫn đến trên thực tế học sinh rất ít dùng phương pháp này, nếu dùng thì cũng do được giáo viên gợi ý trước hoặc gặp dạng đã từng làm quen Đó là lí do mà tôi chọn đề tài “MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN” Với mục đích làm tăng tính hiệu quả của phương pháp này, đồng thời giúp cho giáo viên và học sinh

dễ dàng vận dụng hơn

II PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn và Phương

trình một ẩn

Phạm vi nghiên cứu: Một số dạng phương trình đa thức và phương trình

chứa ẩn dưới dấu căn

III MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Mục tiêu: Làm tăng tính hiệu quả của phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn

toàn, đồng thời giúp cho giáo viên và học sinh vận dụng phương pháp này dễ dàng hơn trong giải bài toán phương trình

2

Nhiệm vụ nghiên cứu: Vì có hai vấn đề được đặt ra khi sử dụng phương pháp

để giải một phương trình là: Chọn biểu thức nào để đặt ẩn phụ? và lựa chọn hệ số của phương trình bậc hai với ẩn mới như thế nào để được biệt số delta  của phương trình bậc hai đó là một số hoặc một biểu thức bình phương?

Giải quyết hai vấn đề đó chính là nhiệm vụ của đề tài này

IV GIẢ THIẾT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI

Để thực hiện nhiệm vụ nghiên cứu trên đề tài đã đưa ra giả thiết là đã chọn được biểu thức để đặt ẩn phụ là  ( )x và chọn được các hệ số của phương trình bậc

2 với ẩn mới là A x( ), ( ), ( )B x C x từ đó dựa vào điều kiện để biệt số delta  của phương trình bậc hai đó là một số hoặc một biểu thức bình phương suy ra các chọn ( )x

 và A x( ), ( ), ( )B x C x

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để thực hiện nhiệm vụ trên tôi đã kết hợp biện chứng giữa các phương pháp sau:

Phương pháp nghiên cứu lí thuyết: Đọc tài liệu và tự nghiên cứu giải quyết

vấn đề

Phương pháp chuyên gia: Trao đổi với đồng nghiệp

Phương pháp thực nghiệm: Rút kinh nghiệm thông qua dạy thử nghiệm thực

tế trên lớp học chính khóa, các lớp bồi dưỡng và ôn thi đại học

VI NHỮNG ĐÓNG GÓP MONG MUỐN CỦA ĐỀ TÀI

- Làm tăng tính hiệu quả của “phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn”

- Giúp cho giáo viên và học sinh áp dụng phương pháp này vào giải toán dễ dàng hơn

- Giải quyết được một số dạng phương trình mà các phương pháp khác gặp khó khăn

3

PHẦN II – NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Để giải quyết vấn đề trên một cách logic, chặt chẻ trước hết ta đưa ra một số cơ

Quy trình của phương pháp đặt ẩn phụ như sau

Cho phương trình f x , ( )  x  0 (*) (Với ( )x là một biểu thức của ẩn x)

Đặt t  ( )x ,đưa phương trình (*) về dạng 2

( ) ( ) ( ) 0

A x t B x tC x  (Với A x B x C x( ), ( ), ( )là các biểu thức của x, A x( )  0)

5

CHƯƠNG II VẬN DỤNG CƠ SỞ KHOA HỌC ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ

CỦA ĐỀ TÀI

Cần giải quyết hai vấn đề chọn  ( )x là biểu thức nào để đặt ẩn phụ? và chọn các hệ số A x B x C x( ), ( ), ( ) như thế nào? sẽ được thể hiện qua cách giải, cách phân tích, nhận xét của từng ví dụ minh họa Từ đó đưa ra cách giải cho một số dạng phương trình tổng quát

Để đảm bảo tính logic cho việc giải quyết các dạng toán cũng như cơ sở để đưa ra các dạng phương trình tổng quát Bài viết sẽ bắt đầu từ việc giải quyết các dạng phương trình đa thức đến phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

1 2

6

Cho thấy:

- Việc chọn biểu thức  ( )x có thể là một hằng số mà không nhất thiết là một

biểu thức phải chứa ẩn x

- Việc chọn  ( )x  3 thì ta có ngay  2 

B x    x x Trong trường hợp này với sự xuất hiện số 3 trong phương trình, một cách tự nhiên học sinh sẽ gán ngay 2

3 t tức là đã chọn A x( )  1 và tất nhiên C x( ) là phần còn lại sau khi biết ( ), ( )

A x B x sự may mắn trong trường hợp này là biểu thức ∆ là một biểu thức bình phương Tuy nhiên nếu theo cách chọn  ( )x của ví dụ này sẽ khó có thể giải quyết được ví dụ sau đây

8

Lời giải:

2  3x  3x  7 x  x 5x  6x 0 Đặt t 2, thay vào (2) ta được 2  2  4 3 2

1 3 8 2 2

ta biết đượcB(x)   3x2  3x 7 và chỉ phải đi tìmA x( )

Ví dụ sau đây nói đến một cách chọn  ( )x khác cho thấy tính đa dạng, linh hoạt trong việc chọn  ( )x và cách chọn A x( ), ( ), ( )B x C x ứng với cách chọn  ( )x

9

Nếu đặt tx thì ta có  2 

B x   x  cần tìm A ( x) và tương tự các ví dụ trên ta chọn A(x) m Vấn đề là ta cần tìm m bằng bao nhiêu để biểu thức ∆ của

phương trình là một số hoặc một biểu thức bình phương

10

Vậy nghiệm của phương trình (3) là x  1 6;x  1 6

Nhận xét: Trên thực tế bài toán này học sinh cũng thường tìm m bằng cách sau

Tuy nhiên đặt trên không phải lúc nào cũng tìm được m 0 đối với một phương trình bậc 4 bất kì, do đó ta đến với cách đặt sau để có thể đưa ra cách giải cho phương trình bậc 4 tổng quát

Ta tìm m, n để  là một số hoặc một biểu thức bình phương;

+ Theo lí thuyêt mục 1.2.2 thì m, n là nghiệm của hệ

+ Thực tế học sinh thường tìm m, n thỏa mãn A 0 và B, D là các số chính

phương.Cụ thể với bài toán trên

Nên luôn tồn tại m,n ( m 0) trong cách đặt trên với mọi phương trình bậc 4 Do

đó ta có cách giải cho phương trình bậc 4 sau

Bài toán tổng quát 1: 4 3 2  

Các phương trình (i), (ii) là phương trình bậc 2

Với những ví dụ trên đã cho thấy việc chọn biểu thức  ( )x để đặt ẩn phụ là tùy ý, đa dạng sao cho khi đưa về phương trình dạng 2

( ) ( ) ( ) 0

A x t B x tC x  thì một trong hai hệ số A x( ), ( )B x đã xác định được Ứng với mỗi sự lựa chọn biểu thức ( )x

 ta thực hiện cách xác định hệ số còn lại của phương trình dựa vào cơ sở lí luận và thực tiễn nêu trên Điều này cũng được thể hiện qua một số dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

2 Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Với phương trình vô tỉ để thể hiện tính đa dạng trong cách chọn  ( )x cũng bắt đầu với ví dụ sau

Cách 2:

Nhận xét: Ta cũng có thể bình phương hai vế để đưa phương trình về

phương trình bậc 4 và áp dụng cách giải của bài toán tổng quát 1

  ta được m 3 Từ đó ta có lời giải

Trên thực tế thường học sinh thực hiện tìm m và giải như sau:

Rồi nhẩm msao cho 4 m1 m 0 hoặc 4 m1 m; 49 m11 m là các

số chính phương rồi thay vào kiểm tra biểu thức  có là một số hoặc một biểu thức bình phương không

Sau khi tìm được m học sinh thay vào biến đổi trên để được lời giải.cụ thể ta có lời giải sau

x x

Nhận xét: Bài toán trên có thể giải bằng cách bình phương hai vế đưa về

phương trình bậc 4 rồi áp dụng các giải của bài toán tổng quát 1

Bài toán tổng quát 2:   2 2

Sau khi tìm được m học sinh thay vào biến đổi trên để được lời giải

Nhận xét: Bài toán trên có thể giải bằng cách bình phương hai vế đưa về

phương trình bậc 4 rồi áp dụng cách giải của bài toán tổng quát 1

  ta được m 2 Từ đó ta có lời giải

Trên thực tế thường học sinh thực hiện tìm m bằng cách sau khi tính được

Sau khi tim được m học sinh thay vào biến đổi trên để được lời giải Cụ thể ta

có lời giải sau

x

x x

số hoặc một biểu thức bình phương không

2) Dạng toán này cũng có thể giải bằng cách bình phương đưa về phương trình bậc 4 và áp dụng cách giải phương trình TQ1

Sau đây bài viết xin đưa ra một số ví dụ minh họa và gợi ý về cách chọn  ( )x và ( ), ( )

AD B E rồi thay vào kiểm tra 

Trong trường hợp ta chọn được 2

4

m n

 Suy ra phương trình vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình (8) là 9 41

mx n t  a x b t ax bx   cx d mx n a x b   (Vì trường hợp này nếu chọn A x( ) m thi giải được m=0 không thỏa mãn)

Áp dụng giải để thi THPT Quốc gia 2015

3 x 4.2x x

26

Suy ra

3

2 2

3

2

x   x x  x Phương trình vô nghiệm

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x 2

Do việc tìm các hệ số A x B x C x( ), ( ), ( ) dễ hay khó là phụ thuộc vào việc chọn ( )x

 phù hợp hay không phù hợp Mặt khác cũng do tính phức và tạp đa dạng của mỗi phương trình nên không thể có được một công thức chung cho mọi dạng phương trình Tuy nhiên bài viết cũng xin nêu ra định hướng chung như sau

+ Chọn  ( )x : Có thể chọn  ( )x là một biểu thức tùy ý trong phương trình

Biểu thức đó có thể chứa ẩn x hoặc không chứa ẩn x, sao cho thỏa mãn điều kiện là

sau khi chọn  ( )x ta xác định ngay được ít nhất một trong các hệ số A x( ) hoặc ( )

B x Giả sử đã biết B x( ) lúc đó ta tìm A x( ) dựa vào các tính chất nêu trong phần

cơ sở lí luận, với A x( ) m hoặc A x( ) mx n và thậm chí A x( )là một biểu thức chứa

được sau khi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ này càng phức tạp, nên ta thường chọn A x( ) có dạng đơn giãn là A x( ) m hoặc A x( ) mxn

Ở đây cũng xin lưu ý tùy theo từng bài toán cụ thể thì việc tìm A x( ) dự vào kinh nghiệm thực tế như nhận xét trong các ví dụ trên nhanh hơn

27

Bài tập ứng dụng

1 Giải phương trình   2

7x 1 x  1 2x  5 HD: Đặt t x 1, ta được phương trình 2   2

3t 7x 1 t 2x 3x 2 0

2 Giải phương trình   2

19x 1 x  5 6x  37x 13 HD: Đặt t x 5, ta được phương trình 2   2

11t  19x 1 t 6x  48x 42  0

3 Giải phương trình 2

8x   x 4 3 2x 1 HD: Nếu đặt t 2x 1, ta được 1 2 2 9

28

CHƯƠNG III: KHẢO SÁT SỰ CẤP THIẾT VÀ TÍNH KHẢ THI

CỦA CÁC GIẢI PHÁP ĐỀ XUẤT

1 Mục đích khảo sát

Thông qua khảo sát để biết được:

- Tính cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp

- Thái độ học tập của HS khi tác động các giải pháp

- Những năng lực, phẩm chất, năng lực và kĩ năng mềm mà HS đạt được

2 Nội dung và phương pháp khảo sát

2.1 Nội dung khảo sát

Nội dung khảo sát tập trung vào 2 vấn đề chính sau:

1) Các giải pháp được đề xuất có thực sự cấp thiết đối với vấn đề nghiên cứu hiện nay không

2) Các giải pháp được đề xuất có khả thi đối với vấn đề nghiên cứu hiện tại không ?

3) Cảm nhận của GV, HS về quá trình thực hiện của sáng kiến

2.2 Phương pháp khảo sát và thang điểm đánh giá

Phương pháp được sử dụng để khảo sát là Trao đổi bằng bảng hỏi, với thang điểm đánh giá 04 mức (tương đương điểm số từ 1 đến 4) Cụ thể:

- Đánh giá mức độ cấp thiết đối với vấn đề nghiên cứu:

- Đánh giá mức độ khả thi đối với vấn đề nghiên cứu:

29

3 Đối tượng khảo sát

Tổng hợp các đối tượng khảo sát

4.1 Sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất

Đánh giá sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất

trong bài toán phương trình

chứa ẩn dưới dấu căn thức

30

4.2 Tính khả thi của các giải pháp đề xuất

Đánh giá tính khả thi của các giải pháp đề xuất

“Phương pháp đặt ẩn phụ không

trong bài toán phương trình

chứa ẩn dưới dấu căn thức

Từ số liệu ở bảng trên có thể rút ra những nhận xét: Bài viết đã cố tình đưa

ra những phương trình có nghiệm lẽ và có hệ số trước dấu căn nhằm làm cho các phương pháp khác gặp khó khăn từ đó thể hiện sự nổi bật về tác dụng của phương pháp này

Sau khi áp dung dạy thử nghiệm chủ đề này cho các đối tượng học sinh khá, giỏi, học sinh ôn thi đại học, học sinh giỏi tôi thấy học sinh rất hứng thú, đặc biệt

là tính đa dạng trong cách lựa chọn ẩn phụ Bài giảng đã kích thích được tính tò

mò, sáng tạo của các em học sinh

31

Tuy nhiên như ở phần nêu vấn đề tác giả đã nhận định trong toán học rất khó

có thể tìm ra một phương pháp mà giải được hết các dạng toán, dù có hiệu quả như thế nào cũng sẽ có những hạn chế của nó Phương pháp này cũng không ngoại lệ

nó cũng gặp khó khăn với những bài toán mà việc tìm hệ số cho các biệt số delta 

là đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 4

32

PHẦN III - KẾT LUẬN

Ý nghĩa của đề tài

- Đối với bộ môn toán:

Bài viết đã giải quyết hai vấn đề quan trọng trong phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn là:

+ Chọn biểu thức nào để đặt ẩn phụ?

+ Chọn hệ số của phương trình bậc hai với ẩn mới như thế nào để được biệt

số  của phương trình đó là một số hoặc là một biểu thức bình phương?

Từ đó làm tăng tính hiệu quả của phương pháp mà không phải phụ thuộc vào sự may mắn nữa, đồng thời cũng thể hiện tính đa dạng trong cách sử dụng, điều này thể hiện qua tính đa dạng ở cách đặt ẩn phụ

Bài viết cũng đưa ra cách giải cho một số dạng toán tổng quát và gợi ý cách đặt và chọn hệ số cho một số dạng phương trình khó hơn như ở ví dụ 10,11

- Đối với học sinh:

Qua thực tế giảng dạy chủ đề này cho các đối tượng học sinh khá, giỏi, học sinh ôn thi đại học, học sinh giỏi tôi thấy học sinh rất hứng thú thông qua các cách chọn ẩn phụ từ đó khích lệ sự đam mê, sáng tạo, tìm tòi cách giải cho những dạng toán khác của mỗi học sinh Hiệu quả của phương pháp giúp các em tự tin hơn và giải được một số dạng toán mà các phương pháp trước đây còn bị hạn chế, đặc biệt các dạng toán có thể quy về phương trình bậc bốn

- Đối với giáo viên

Sử dụng có hiệu quả hơn đối với phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Giáo viên cũng có thể sử dụng phương pháp này để sáng tạo ra các đề thi, các bài toán thú vị

Đã tạo được sự hứng thú, đánh giá cao của các đồng nghiệp khi trình bày đề tài này trước tổ và cũng đã được nhiều giáo viên tích cực áp dụng

Đề xuất và kiến nghị

Vì đề tài chủ yếu tập trung vào nhưng dạng phương trình tương đối khó mà các đề thi tuyển sinh, đề thi học sinh giỏi thường đề cập đến nên đề tài phù hợp và

có hiệu quả hơn với các đối tượng học sinh khá, giỏi

Với các bài toán thực tế ở các đề thi khi tìm hệ số của phương trình bậc 2 theo ẩn mới nên yêu cầu học sinh nhẩm theo kinh nhệm thực tế được nêu trong các

ví dụ minh họa sẽ giúp học giải nhanh hơn

Đề tài cũng mong muốn các thầy cô, bạn bè đồng nghiệp tiếp tục phát triển

áp dụng cho các dạng phương trình khác nữa, đồng thời mở rộng áp dụng cho việc giải các bài toán về bất phương trình, hệ phương trình