Phơng pháp thang Banach và bài toán giá trị ban đầu đối với hệ phơng trình đạo hàm riêng cấp một
Đặt vấn đề
Xét bài toán giá trị ban đầu sau:
Tìm hệ thống các hàm u( t , x )= { u 1 (t , x ) ,⋯,u m ( t , x ) } , trong đó t ∈ R + là biến thời gian, x = { x 1 ,⋯, x n } ∈Ω⊂R n là biến trong không gian thoả mãn các điều kiện sau:
Phương trình vi phân được mô tả bởi công thức \(\partial_t = F(t, x, u, \partial_x u)\) (1.1) với điều kiện ban đầu \(u(0, x) = \varphi(x)\) (1.2), trong đó \(\varphi(x) = \{\varphi_1(x), \ldots, \varphi_m(x)\}\) là một hệ thống gồm m hàm đã biết trước Hàm \(F\) có thể là một toán tử vi phân tuyến tính hoặc phi tuyến, và \(\Omega\) là một miền trong \(\mathbb{R}^n\) Các ký hiệu trong (1.1) được hiểu như đã nêu.
Giả sử u(t, x ) là nghiệm của bài toán (1.1) và (1.2), còn ϕ ,F là liên tục theo các biến của chúng, khi đó u(t, x ) thoả mãn phơng trình tích phân sau: u( t , x )=ϕ ( x )+ ∫
Dễ dàng chứng minh đợc bài toán (1.1) và (1.2) tơng đơng với phơng tr×nh vi tÝch ph©n (1.3).
Để giải bài toán giá trị ban đầu (1.1) và (1.2), cần giải phương trình vi phân (1.3) Việc này đòi hỏi xây dựng một không gian hàm phù hợp và một toán tử ánh xạ không gian hàm đó vào chính nó, sao cho nghiệm của (1.3) là điểm bất động của toán tử Nhiều tác giả đã phát triển không gian Banach và áp dụng nguyên lý điểm bất động trong không gian này, nhưng trong trường hợp đó, bài toán (1.3) chỉ có thể giải cho một lớp hạn chế các toán tử vi phân F Nếu F bao gồm các toán tử dạng
Các toán tử ∂x j không giới nội, do đó không thể áp dụng nguyên lý điểm bất động trong không gian Banach Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ sử dụng lý thuyết thang Banach và nguyên lý điểm bất động trong thang Banach để giải phương trình vi phân (1.3).
Thang không gian Banach
1.2.1 Định nghĩa thang không gian Banach Định nghĩa 1.1:
Họ các không gian Banach { B s } , 0< s < s 0 ( s 0 >0 ) đợc gọi là một thang không gian Banach nếu nó thoả mãn các tính chất sau:
Với mỗi cặp s, s' sao cho 0< s< s' < s 0 tồn tại một ánh xạ tuyến tính đơn ánh I s, s' từ B s vào B s ' :
1.2.2 Toán tử Cauchy – Riemann tổng quát trong thang không gian
Toán tử J từ thang không gian Banach { B s } được gọi là toán tử Cauchy-Riemann nếu với mỗi cặp s, s' sao cho 0 < s' < s, nó ánh xạ mỗi B s vào trong mỗi B s' và chuẩn của J thỏa mãn điều kiện nhất định.
‖J‖≤ C 0 s−s' trong đó C 0 là hằng số không phụ thuộc vào s, s'
Cặp toán tử liên hợp
Để giải bài toán giá trị ban đầu (1.1) và (1.2), cần tìm nghiệm là hàm u(t, x) thuộc một không gian hàm B nào đó Như đã đề cập, không gian B phải là một thang Banach nếu hàm vế phải F phụ thuộc vào các toán tử vi phân kiểu.
∂x j Tuy nhiên bài toán trong trờng hợp đó cũng chỉ giải đợc khi
Để giải bài toán giá trị ban đầu trong không gian Banach, cần thỏa mãn một số điều kiện bổ sung Tuy nhiên, ngay cả trong trường hợp này, bài toán chỉ có thể được giải trong một lớp con nhất định của không gian Banach Để xác định lớp con này, chúng ta sử dụng khái niệm cặp toán tử liên hợp.
Toán tử vi phân g tác động trong thang Banach B = { B s } đợc gọi là toán tử liên hợp với F nếu:
Cặp toán tử liên hợp được ký hiệu là (F, g) Để giải quyết bài toán (1.1) và (1.2), chúng ta cần giải phương trình vi phân (1.3) bằng cách áp dụng nguyên lý ánh xạ co.
Giải phơng trình vi phân (1.3) hay ta tìm điểm bất động của toán tử sau trong không gian B g (ứng với mỗi t cố định):
∂ x n ( τ , x) ) dτ Để áp dụng nguyên lý ánh xạ Co, ta cần các điều kiện: i) Toán tử L ánh xạ B g vào chính nó ii) ϕ ( x )∈B g iii) NÕu u∈Ker g th× F(u)∈Ker g
Tác giả W Walter đã chứng minh rằng bài toán (1.1) và (1.2) tồn tại nghiệm trong trường hợp tổng quát với toán tử vi phân F là phi tuyến Tuy nhiên, trong đồ án tốt nghiệp này, chúng tôi chỉ trình bày cách xây dựng không gian B g và chứng minh các điều kiện theo phương pháp của W Walter, sử dụng các bổ đề Nagumo cho trường hợp toán tử vi phân F là tuyến tính theo vectơ hàm u và các đạo hàm của u đối với các biến x j.
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm cho bài toán (1.1), (1.2), trước tiên cần chứng minh rằng bài toán này có nghiệm duy nhất trong trường hợp các biến phức \( z_j \in \mathbb{C} \) Sau đó, ta sẽ chứng minh bài toán giá trị ban đầu.
(1.1), (1.2) cũng đúng đối với các biến thực x j ∈R
Thang không gian Banach các hàm chỉnh hình
1.4.1 Xây dựng các không gian Banach
Miền G là một miền giới nội trong không gian C, và chúng ta xem xét một họ miền vét cạn { G s } với điều kiện 0 < s < s 0 (s 0 > 0 cố định) Các điều kiện cần thỏa mãn bao gồm: i) khoảng cách giữa miền G s' và biên G s phải lớn hơn hoặc bằng C 0 (s - s'), với 0 < s' < s < s 0, trong đó C 0 là một hằng số cố định; ii) mỗi điểm z thuộc G xác định duy nhất một số dương s(z) sao cho z thuộc G s(z) và 0 < s(z) < s 0; iii) miền đóng G¯ S' là một miền con compact của miền G s nếu s' < s.
Với mỗi miền con G s , 0< s 0 (1.24) s ':=s( z )+ r (1.25)
Từ định nghĩa (1.14) ta có: d(t , z)=s 0 −s(z)−t ηs ( z ) nên theo cách xây dựng họ miền vét cạn
Miền G s và miền đóng G¯ s( z) là các miền con compact của miền G s Theo cách xây dựng không gian B s, chuẩn của hàm u(t , z) trên không gian B s(z) sẽ nhỏ hơn chuẩn của hàm đó trên không gian B s(z').
Từ (1.29) và (1.30) ta có ớc lợng:
Ta cã: d(t , z)−r= p p+1d(t ,z) Thay vào công thức (1.31) ta đợc:
Lại do r 0 sao cho:
Ta có thể chọn một hằng số d >0 sao cho d >d ( t , z ) Với α ≥0 cho tríc ta cã: d α ≥d α (t , z) Hay:
Giải bài toán giá trị ban đầu
Chúng tôi chứng minh rằng bài toán giá trị ban đầu (1.1) và (1.2) có nghiệm, tương đương với việc chứng minh toán tử L trong phương trình vi tích phân (1.3) là một toán tử ánh xạ Co trong một không gian Banach nhất định.
F trong toán tử L có dạng tuyến tính nên ta viết lại bài toán giá trị ban ®Çu nh sau:
Tìm m hàm u j =u j (t ,z 1 ,⋯, z n ), j=1,⋯,m phụ thuộc biến và n biến phức z 1 ,⋯, z n Trong đó đạo hàm riêng của các hàm u j đối với t thoả mãn:
Và ta có các điều kiện ban đầu: u j (0, z)=ϕ j (z) (1.37) với mọi j=1,⋯,m
Các hàm hệ số a ik j ( t , z) , b k j ( t , z) , c j ( t , z ) trong (1.41) và các hàm ban đầu ϕ j (z) trong (1.37) phải thoả mãn một số điều kiện nào đó.
Xét miền hình nón M đợc xây dựng trên miền không gian G , trong đó miền không gian G là miền giới nội trong không gian C n
Ta tìm nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.26) và (1.37) với các giả thiÕt sau: i) F có toán tử liên hợp là g
B ¿ g =B ¿ (M)∩ Ker g ii) Các hệ số a ik j ( t , z ) , b k j ( t , z) , c j ( t , z ) trong (1.36) bị chặn trong không gian B ¿ g t iii) Các hàm ban đầu ϕ j (z) trong (1.37) xác định, liên tục và bị chặn trong miÒn giíi néi G
Chúng ta chứng minh bài toán giá trị ban đầu (1.36) và (1.37) với các giả thiết trên có nghiệm trong không gian B ¿ g
Dễ thấy nghiệm của (1.36) và (1.37) tơng đơng với nghiệm của hệ ph- ơng trình vi tích phân sau: u j (t , z )=ϕ j ( z )+ ∫
Bây giờ ta định nghĩa toán tử sau:
Cho u=( u 1 ,⋯,u m ) là một phần tử của B ¿ g
Chú ý lúc này chuẩn của hàm u trong không gian B ¿ g có dạng:
M ‖u j (t , z)‖ s( z ) Mỗi phần tử u ta xác định một phần tử U dạng U =(U 1 , ⋯,U m ) , với mỗi U j đợc định nghĩa bằng vế phải trong biểu thức (1.38):
Điểm bất động của toán tử được định nghĩa bởi (1.39) là nghiệm của phương trình (1.38) Chứng minh bài toán giá trị ban đầu (1.36) và (1.37) có nghiệm tương đương với việc chứng minh toán tử (1.39) là một toán tử ánh xạ co trong không gian B ¿ g.
Thật vậy, do các hệ số a ik j ( t , z ) , b k j ( t , z) , c j ( t , z ) và là các hàm bị chặn trong không gian B ¿ g nên theo bổ đề 2 Nagumo ta tìm đợc các hằng số
Do các hàm giá trị ban đầu bị chặn nên tồn tại hằng số D ¿ thoả mãn:
Từ (1.40) và theo bổ đề 1 Nagumo ta có:
Từ (1.41) và các định nghĩa chuẩn ta có:
Từ (1.42), (1.43), (1.44), (1.45) và công thức (1.39) ta có:
(1.46) áp dụng bổ đề 3 Nagumo vào công thức trên ta có:
Hay ảnh U=( U 1 , ⋯,U m ) của u=( u 1 , ⋯,u m ) cũng thuộc B ¿ g
Ta có bổ đề sau:
Toán tử đợc định nghĩa bởi (1.39) ánh xạ B ¿ g vào chính nó.
Để xác định điều kiện cho toán tử được định nghĩa bởi (1.39) là toán tử ánh xạ co, ta xem xét hai phần tử u và u' thuộc B ¿ g Theo công thức (1.39), mỗi hàm u j sẽ tương ứng với một giá trị nhất định.
Ta ớc lợng chuẩn của hiệu
Theo công thức (1.44), hiệu của hai hàm W j −W j
Chứng minh tơng tự nh trên ta thu đợc:
Mặt khác, theo định nghĩa ta có:
Vậy toán tử (1.39) là toán tử ánh xạ co nêu thoả mãn điều kiện: η p(mnA ¿ C p +mB ¿ )