NỘI DUNG
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1 Khái niệm mô hình hoá toán học
1.1 Mô hình và mô hình hoá
Mô hình là công cụ để mô tả các đối tượng thực tiễn, nhưng không thể thay thế cho vật mẫu Quá trình mô hình hóa giúp tạo ra các mô hình nhằm giải quyết các vấn đề phát sinh từ tình huống thực tế.
1.2 Mô hình hình hoá toán h ọ c
Theo Lê Thị Hoài Châu (2014) trong bài viết trên Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, mô hình toán học là cách diễn đạt ngôn ngữ toán học cho một hệ thống không phải toán học, nhằm giải quyết các câu hỏi cụ thể Quá trình mô hình hóa toán học bao gồm việc xây dựng mô hình cho vấn đề ngoài toán học, sử dụng ngôn ngữ toán học để giải quyết, kiểm tra kết quả trong thực tiễn và cải tiến mô hình nếu cần thiết.
Mô hình hóa toán học là quá trình sử dụng công cụ toán học để mô tả các tình huống thực tiễn, chuyển đổi chúng thành ngôn ngữ toán học Quy trình này tuân theo các quy tắc đặc biệt nhằm xây dựng giả thuyết toán học, giúp học sinh dễ dàng nhận diện các vấn đề thực tiễn Hoạt động này phức tạp, yêu cầu sự chuyển đổi linh hoạt giữa toán học và thực tiễn, đòi hỏi học sinh phải có năng lực đa dạng trong các lĩnh vực toán học và kiến thức liên quan đến tình huống thực tiễn.
2 Quy trình mô hình hoá trong dạy học Toán
Tùy thuộc vào cách tiếp cận và mục đích nghiên cứu, có nhiều sơ đồ khác nhau để minh họa bản chất của quá trình MHH Tất cả các sơ đồ này đều nhằm chỉ ra các bước chính trong một quá trình lặp, bắt đầu từ một tình huống thực tế và kết thúc bằng việc đưa ra lời giải hoặc lặp lại quá trình để cải thiện kết quả.
Tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014) đã cụ thể hóa 4 bước của quá trình mô hình hóa như sau:
Bước đầu tiên là chuyển đổi vấn đề thực tế ban đầu thành mô hình trung gian thông qua việc chuyển ngữ, loại bỏ hoặc bổ sung một số dữ kiện Điều này giúp làm rõ và khả thi hơn cho vấn đề cần giải quyết Có thể có nhiều mô hình trung gian xuất hiện đồng thời, yêu cầu người học lựa chọn hoặc trải qua từng mô hình một cách tuần tự.
Bước 2: Chuyển đổi mô hình trung gian từ bước 1 thành mô hình thuần túy toán học, trong đó các đối tượng và mối quan hệ được diễn đạt bằng ngôn ngữ toán học Người học sẽ phải làm quen với nhiều mô hình toán học khác nhau.
Trong bước 3, người học cần sử dụng kiến thức toán học để trả lời câu hỏi được đưa ra ở bước 2, đảm bảo rằng câu trả lời cũng mang tính chất toán học.
Bước 4: Câu trả lời mang tính toán học từ bước 3 được chuyển thành giải pháp cho vấn đề thực tế ban đầu Tuy nhiên, có thể xảy ra tình huống câu trả lời không phù hợp với bối cảnh thực tế do các vấn đề trong lời giải toán học ở bước 3, mô hình toán học chưa đầy đủ ở bước 2, hoặc mô hình trung gian ở bước 1 không phản ánh đúng bối cảnh thực tế.
3 Năng lực mô hình hoá toán học
Theo Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), năng lực được định nghĩa là thuộc tính cá nhân hình thành và phát triển từ tố chất sẵn có cùng với quá trình học tập và rèn luyện Năng lực cho phép con người kết hợp kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, và ý chí để thực hiện thành công một hoạt động nhất định, đạt được kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể.
Có nhiều định nghĩa về khái niệm năng lực, nhưng từ các khái niệm và cách tiếp cận khác nhau, có thể rút ra một số điểm chung quan trọng.
- Năng lực hình thành và phát triển nhằm giải quyết các hoạt động thực tiễn, trong một bối cảnh và điều kiện nhất định
Năng lực bao gồm các yếu tố như kiến thức, kỹ năng, thái độ và những thuộc tính cá nhân như xúc cảm, động lực học tập, niềm tin và ý chí.
Năng lực được hình thành từ sự kết hợp giữa kiến thức và kỹ năng hiện có, cùng với những gì người học tiếp thu qua quá trình học tập và rèn luyện.
Năng lực là khả năng kết hợp linh hoạt và có tổ chức các kiến thức, kỹ năng cùng với thái độ, giá trị và động cơ, nhằm đáp ứng yêu cầu phức tạp của một hoạt động Điều này đảm bảo hoạt động đạt kết quả tốt trong một tình huống cụ thể.
Năng lực toán học là một thuộc tính cá nhân được hình thành và phát triển qua quá trình học tập và rèn luyện Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển năng lực toán học cho học sinh, bao gồm các thành phần cơ bản như tư duy và lập luận toán học, mô hình hoá toán học, giải quyết vấn đề toán học, giao tiếp toán học, và sử dụng công cụ, phương tiện học toán.
3 3 Năng lự c mô hình h ọ c toán h ọ c
3.3.1 Năng lực mô hình học toán học
Năng lực mô hình hóa toán học, theo Đỗ Thị Thanh (2020), là kỹ năng ứng dụng, thông hiểu, diễn tả và giải quyết các vấn đề liên quan đến mô hình hóa Maab (2006) định nghĩa năng lực này bao gồm các kỹ năng và khả năng thực hiện quá trình mô hình hóa để đạt được mục tiêu xác định và sẵn sàng hành động Trong đề tài này, tôi định nghĩa năng lực mô hình hóa toán học là khả năng của cá nhân thực hiện hoạt động mô hình hóa một cách nhanh chóng, dễ dàng và hiệu quả trong việc giải quyết các tình huống thực tiễn.
CƠ SỞ THỰC TIỄN
1 Bài toán mô hình hoá trong chương trình Toán trung học phổ thông
Các bài toán thực tiễn trong sách giáo khoa phổ thông thường được lý tưởng hóa và không hoàn toàn phản ánh cuộc sống thực, như các tình huống về hình dáng Parabol, giao thông, kinh tế, và chuyển động Mặc dù giả thiết của bài toán được xây dựng hợp lý và kết quả thường rất đẹp, nhưng chúng vẫn có giá trị lớn trong việc rèn luyện khả năng áp dụng kiến thức toán học vào thực tiễn Những bài toán này đóng vai trò là cầu nối quan trọng giữa toán học và cuộc sống hàng ngày.
2 Thực trạng các bài toán thực tiễn phần hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai trong chương trình hiện hành và trong các đề thi
2.1 Trong chương tr ình sách giáo khoa l ớ p 10 (B ộ sách k ế t n ố i tri th ứ c v ớ i cu ộ c s ố ng)
Chương trình sách giáo khoa môn Toán 10 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống) hiện nay chỉ có rất ít bài toán liên hệ với thực tiễn trong các bài bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai Cụ thể, nội dung chương trình SGK cần được cải thiện để tăng cường số lượng bài toán thực tiễn.
- SGK Toán 10 tập 1 (Kết nối tri thức với cuộc sống) trong bài hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn có 3 bài toán thực tế
- SGK Toán 10 tập 2 (Kết nối tri thức với cuộc sống) bài hàm số bậc hai đã đưa ra 7 bài toán thực tế
Số liệu cho thấy số lượng bài toán thực tiễn trong giảng dạy còn hạn chế, trong khi ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất và hàm số bậc hai có tiềm năng lớn để phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh Điều này khiến học sinh cảm thấy môn Toán chưa gần gũi và cần thiết Giáo viên gặp khó khăn trong việc đưa bài toán thực tiễn vào giảng dạy và tìm kiếm ví dụ, dẫn đến việc xem nhẹ các bài toán này Tuy nhiên, những bài toán thực tiễn lại có khả năng thu hút học sinh, giúp họ liên hệ kiến thức với các tình huống trong cuộc sống.
3 Thực trạng giảng dạy của giáo viên
Đa số giáo viên đánh giá cao hoạt động mô hình hóa trong dạy học môn Toán, nhưng việc áp dụng tình huống thực tế và sử dụng mô hình hóa vẫn gặp nhiều khó khăn Mặc dù vậy, vẫn có nhiều giáo viên có khả năng hướng dẫn học sinh giải quyết các tình huống thực tế ngoài sách giáo khoa.
Việc tìm ra các tình huống thực tiễn hoặc mô hình toán học để minh họa cho bài giảng đòi hỏi giáo viên phải có sự tìm tòi và suy nghĩ tích cực, nhưng nhiều giáo viên vẫn gặp khó khăn do hạn chế trong hiểu biết các lĩnh vực cuộc sống Thực trạng "thi gì, học nấy" vẫn tồn tại, dẫn đến năng lực của giáo viên bị hạn chế, đặc biệt trong việc thành lập và biểu diễn các mô hình toán học để giải quyết vấn đề thực tiễn Hơn nữa, năng lực sử dụng công nghệ thông tin trong mô hình hóa còn rất ít, và hoạt động thực hành theo dự án cũng còn hạn chế, làm cho năng lực này trở nên yếu kém.
Sau nhiều năm giảng dạy môn Toán và giao lưu chuyên môn với các trường khác, tôi nhận thấy rằng việc phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh vẫn còn nhiều hạn chế Vấn đề này xuất phát từ cả phương pháp giảng dạy của giáo viên lẫn cách học tập của học sinh.
Trong quá trình dạy học ở trường phổ thông, nhiều giáo viên vẫn ngại thay đổi phương pháp để đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của ngành Phương pháp dạy học mô hình hoá còn mới mẻ với nhiều giáo viên, dẫn đến việc họ chỉ chữa bài tập đơn lẻ hoặc đưa ra bài tập áp dụng một cách máy móc mà không chú trọng đến việc áp dụng kiến thức vào thực tiễn Năng lực mô hình hoá của giáo viên còn hạn chế, điều này ảnh hưởng đến khả năng phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh, từ đó khó hình thành và phát triển năng lực mô hình hoá cho các em.
4 Thực trạng học tập của học sinh
(Tư liệu minh chứng tại Phụ lục 3)
Năng lực mô hình hóa của giáo viên và học sinh còn hạn chế, với hầu hết học sinh không hoàn thành các bài tập mô hình hóa Đặc biệt, khả năng thành lập và biểu diễn các mô hình toán học để làm rõ các vấn đề thực tiễn trong cuộc sống còn yếu kém.
Học sinh THPT thường ngại học Toán và có kết quả yếu kém do kiến thức nền tảng từ các cấp học trước bị thiếu hụt Hơn nữa, nhiều em chưa chú trọng vào việc suy nghĩ và phát triển tư duy trong quá trình học tập.
Học sinh vẫn còn thụ động, thiếu tích cực, máy móc, thiếu độc lập, ít sáng tạo của bản thân;
Nhiều học sinh chăm chỉ học tập nhưng thiếu phương pháp phù hợp, dẫn đến kết quả học tập chưa cao Họ thường chỉ chú trọng vào việc có đúng hay sai kết quả bài toán mà không tìm hiểu các lời giải khác hoặc phát triển bài toán Đặc biệt, học sinh gặp khó khăn với các bài toán thực tế, điều này hạn chế khả năng tích cực, độc lập và sáng tạo của họ.
GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
1 Hệ thống các kiến thức về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai
1.1 H ệ th ố ng ki ế n th ứ c v ề b ất phương tr ình b ậ c nh ấ t hai ẩ n và h ệ b ất phương trình b ậ c nh ấ t hai ẩ n
1.1.1 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
B ất phương tr ình b ậ c nh ấ t hai ẩ n x y, có dạng tổng quát là ax by c (1)
ax by c ax ; by c ax ; by c trong đó a b c, , là những số thực, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số
Cặp số x 0 ; y 0 được gọi là nghi ệm của bất phương trình (1) nếu bất đẳng thức ax 0 by 0 c đúng
1.1.2 Biểu diển miền nghiện của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình (1) được gọi là mi ề n nghi ệ m của bất phương trình (1)
- Nửa mặt phẳng không kể bờ là đường thẳng : ax by c gồm các điểm có toạ độ x y ; thoả mãn ax by c
- Nửa mặt phẳng còn lại không kể bờ là đường thẳng : ax by c gồm các điểm có toạ độ x y ; thoả mãn ax by c
Bờ gồm các điểm có toạ độ x y ; thoả mãn ax by c
Ta có quy tắc thực hành biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ax by c như sau (tương tự cho bất phương trình ax by c )
Bước 1 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , vẽ đường thẳng : ax by c
Bước 2 Lấy một điểm M 0 x 0 ; y 0 không thuộc (ta thường lấy gốc tọa độ O nếu O )
Bước 3 Tính ax 0 by 0 và so sánh ax 0 by 0 với c
Nếu ax 0 by 0 c thì nửa mặt phẳng bờ chứa M 0 là miền nghiệm của ax by c
Nếu ax 0 by 0 cthì nửa mặt phẳng bờ không chứa M 0 là miền nghiệm của ax by c
Chú ý Để biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình
ax by c ax ; by c ax ; by c ta cũng làm 4 bước như trên
1.1.3 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- H ệ b ất phương tr ình b ậ c nh ấ t hai ẩ n là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Cặp số \((x_0; y_0)\) được xem là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi nó đồng thời thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.
1.1.4 Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.
- Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ
- Cách xác định miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
* Bước 1 Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại
* Bước 2 Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho
1.1.5 Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp tìm cực trị của biểu thức \( F = ax + by \) trên một miền đa giác là một bài toán quan trọng trong tối ưu hóa Mục tiêu là xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức này trong miền đã cho.
, a b là hai số đã cho không đồng thời bằng 0) với x y , thỏa mã hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có miền nghiệm là miền đa giác A A 1 2 A A i i 1 A n )
Bước 1 Tìm miền đa giác A A 1 2 A A i i 1 A n là miền nghiệm của hệ bất phương trình
Bước 2 Tìm tọa độ các đỉnh A 1 , A 2 , , A n
Bước 3 Tính F x i ; y i trong đó A x i i ; y i với i 1 , 2 , , n là toạ độ các đỉnh của đa giác miền nghiệm
Giá trị lớn nhất M i max 1,2, n F x y i , i
Giá trị lớn nhất m i min 1,2, n F x y i , i
1.2 H ệ th ố ng ki ế n th ứ c v ề hàm s ố b ậ c hai
Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y ax 2 bx c với a 0
+ Hàm số bậc hai có tập xác định là D
+ Khi a 0, b0, hàm số trở thành hàm số bậc nhất y bx c
+ Khi a b 0, hàm số trở thành hàm hằng y c
+ Khi a0, hàm số đồng biến trên khoảng ;
và nghịch biến trên khoảng ;
+ Khi a0, hàm số đồng biến trên khoảng ;
và nghịch biến trên khoảng ;
1.2.3 Đồ thị Đồ thị hàm số y ax 2 bxc,a0 là một parabol có:
+ Trục đối xứng là đường thẳng
a + Bề lõm hướng lên trên nếu a0, hướng xuống dưới nếu a0
+ Giao điểm với trục tung là M 0; c
+ Số giao điểm với trục hoành bằng số nghiệm của phương trình
2 Tìm hiểu quan hệ giữa khai thác hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai với phát triển năng lực mô hình hoá
Mô hình hóa toán học được xác định là một trong những năng lực quan trọng cần phát triển trong chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, đặc biệt trong dạy học Toán.
Trong giáo dục phổ thông, có nhiều phương pháp để phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh Bài viết này tập trung vào việc giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai Câu hỏi đặt ra là tại sao việc giải quyết các bài toán này lại có thể nâng cao năng lực mô hình hóa cho học sinh.
Nội dung của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai có mối liên hệ chặt chẽ với các hiện tượng thực tiễn và ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học Những nội dung này không chỉ mang lại tiềm năng lớn mà còn giúp phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh.
Một bài toán thực tiễn có thể được giải quyết bằng nhiều ngôn ngữ và công cụ toán học khác nhau, nhưng cần xác định rõ các yếu tố đã biết và yếu tố cần tìm, cùng mối quan hệ giữa chúng để xây dựng mô hình toán học Việc hướng dẫn học sinh áp dụng kiến thức về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai sẽ giúp giải quyết các bài toán thực tiễn Giáo viên có thể phân loại bài tập theo nhiều tiêu chí khác nhau để khai thác ứng dụng của các khái niệm này, từ đó tạo hứng thú và niềm say mê toán học cho học sinh.
3 Các bước thiết lập mô hình hoá các bài toán đại số 10 trong bài hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai
Bước đầu tiên là tìm hiểu tình huống thực tiễn và thu thập số liệu liên quan đến việc tìm giải pháp cho vấn đề Trong giai đoạn này, cần xác định các yếu tố có liên quan trong tình huống thực tiễn, phân loại yếu tố đã xác định và yếu tố cần tìm, cũng như mối quan hệ giữa các yếu tố đó.
Bước 2: Từ các yếu tố của tình huống thực tiễn, cần xem xét mối quan hệ giữa chúng để biểu diễn tình huống thành một bài toán liên quan đến hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn hoặc hàm số bậc hai Việc sắp xếp và kết nối các mối quan hệ này sẽ tạo thành một sơ đồ logic, đánh dấu quá trình chuyển đổi từ thực tiễn sang toán học (Toán học hoá).
Bước 3: Áp dụng công cụ toán học, bao gồm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai, để giải quyết bài toán đã được thiết lập.
Bước 4: Đối chiếu kết quả của lời giải với mô hình thực tiễn và rút ra kết luận Đánh giá lời giải và so sánh với mô hình thực tiễn của bài toán để đưa ra kết luận về mô hình hóa hệ thống cho bài toán thực tiễn ban đầu.
4 Một số mô hình toán học sử dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai để phát triển năng lực mô hình hoá cho học sinh
4.1 Khai thác m ộ t s ố bài toán th ự c ti ễ n ứ ng d ụ ng mô hình đồ th ị đồ th ị hàm s ố b ậ c hai Ảnh chụp lại từ trang izdesigner.blogspot.com
Tại nút giao ngã ba Huế, thành phố Đà Nẵng, bạn Nam đứng dưới chân cầu vượt ba tầng để chiêm ngưỡng kiến trúc của cầu Trụ tháp cầu có hình dạng parabol với khoảng cách giữa hai chân trụ là 27m Chiều cao từ điểm trên mặt đất, cách chân trụ 2,26m, là 20m Cần tính độ cao h của đỉnh trụ tháp cầu so với mặt đất.
Bước đầu tiên, giáo viên hỗ trợ học sinh trong việc thu thập và tìm hiểu thông tin bằng cách đặt ra một số câu hỏi gợi ý như: Đề bài yêu cầu xác định điều gì? Trụ tháp cầu có hình dạng ra sao? Nó tương ứng với đồ thị của hàm số nào? Hãy chọn hệ trục tọa độ Oxy để thiết lập công thức hàm số đó Cuối cùng, cần xác định cách tính độ cao h của đỉnh trụ tháp cầu.
Huy động kiến thức đã có và tìm hiểu thông tin để tạo ra hệ tọa độ Oxy hợp lý, từ đó xác định công thức của parabol, hình dáng của trụ tháp cầu Qua đó, có thể tìm được tọa độ đỉnh của parabol và tính chiều cao của trụ tháp cầu.