(Skkn 2023) góp phần hình thành năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua một số dạng bài tập về hàm đặc trưng

Lí do chọn đề tài Như chúng ta đã biết, chủ đề khảo sát hàm số là một trong những nội dung quan trọng của chương trình toán phổ thông đặc biệt những năm gần đây bài toán về hàm số xuất

MỤC LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

1.3 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm 1

1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

1.5 Phương pháp nghiên cứu 2

1.6 Giả thuyết khoa học 2

1.7 Tính mới, đóng góp của đề tài: 2

PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 3

2.1.Cơ sở lý luận 3

2.1.1 Các hằng đẳng thức đáng nhớ 3

2.1.2 Công thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp 3

2.1.3 Tính đơn điệu của hàm số 3

2.1.4 Tính đơn điệu của hàm số 4

2.1.5 Nghiên cứu phương pháp phân dạng, phát triển bài toán mới 4

2.2.Cơ sở thực tiễn 5

2.3.Giải pháp hình thành, khai thác, phát triển các bài toán hàm đặc trưng 6

2.3.1 Định hướng xây dựng bài toán tư duy hàm đặc trưng 6

2.3.2 Thiết kế các hoạt động định khai thác, phát triển bài toán mới 6

2.3.3 Tổ chức thực hiện đề tài 38

2.3.4 Kết quả sản phẩm của học sinh 39

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 40

2.4.1 Đánh giá phẩm chất năng lực 40

2.4.2 Sản phẩm thực tiễn của học sinh (Ở phần phụ lục) 41

2.4.3 Khả năng ứng dụng và triển khai sáng kiến kinh nghiệm 41

2.5 Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất 42

2.5.1 Mục đích của khảo sát 42

2.5.2 Đối tượng khảo sát 42

2.5.3 Nội dung và phương pháp khảo sát 42

2.5.4 Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất 43 2.5.4.1 Sự cấp thiết của các giải pháp đề xuất 43

2.5.4.2 Tính khả thi của các biện pháp đề xuất 45

PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 47

1 Kết luận 47

1.1 Quá trình nghiên cứu đề tài 47

1.2 Ý nghĩa của đề tài 48

1.3 Phạm vi ứng dụng 48

2 Kiến nghị 48

2.1 Đối với sở GD&ĐT Nghệ An 48

2.2 Đối với nhà trường 48

2.3 Đối với các bậc phụ huynh 48

2.4 Đối với giáo viên và học sinh 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT

1

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lí do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết, chủ đề khảo sát hàm số là một trong những nội dung quan trọng của chương trình toán phổ thông đặc biệt những năm gần đây bài toán về hàm số xuất hiện nhiều trong kỳ thi tốt nghiệp THPTQG, đề thi thử tốt nghiệp trong

cả nước và trong các đề thi học sinh giỏi các cấp…với nhiều mức độ khác nhau Nhiều dạng bài tập mang tính phân loại khá cao đòi hỏi tư duy linh hoạt, kỹ năng vận dụng, năng lực giải quyết vấn đề, sự sáng tạo của thí sinh Có rất nhiều dạng bài tập liên quan đến khảo sát hàm số, trong đó dạng toán về “ Hàm đặc trưng” là dạng bài tập khó, phân hoá cao ở mức 9+ do đó gần như đối tượng học sinh trung bình trở xuống không giải được bài tập phần này, đối tượng học sinh khá giỏi cũng còn gặp khó khăn, bế tắc trong việc định hướng tìm tòi lời giải nhưng lại chưa có tài liệu nào trình bày một cách cụ thể từ lý thuyết đến hệ thống các dạng bài tập

Xuất phát từ yêu cầu đổi mới về phương pháp dạy học môn toán là cần tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, tăng khả năng vận dụng để từ đó các em tự chiếm lĩnh kiến thức để phát triển năng lực nói chung cũng như các năng lực đặc thù nói riêng trong đó năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh là vô cùng quan trọng

Hiểu được những khó khăn vướng mắc đó của học sinh và thực hiện yêu cầu đổi mới nhằm mục đích khơi dậy sự yêu thích và đam mê môn Toán, giúp các em

có cách nhìn sáng tạo hơn trong giải Toán, góp phần hình thành và phát triển năng lực tư duy nói chung và năng lực Toán học nói riêng, đồng thời tăng hiệu quả khi làm bài thi trắc nghiệm khách quan đối với bài Toán vận dụng “ Hàm đặc trưng”

Từ kinh nghiệm tích lũy được của bản thân trong suốt quá trình giảng dạy chúng tôi tổng hợp phân dạng và đưa ra phương pháp giải, đồng thời qua đó phát triển tư duy,

tư duy sáng tạo cho học sinh Từ những mục đích nêu trên, chúng tôi lựa chọn đề

tài: “Góp phần hình thành năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh

thông qua một số dạng bài tập về hàm đặc trưng”

1.2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Học sinh ôn thi TN – THPT, đánh giá năng lực của các trường Đại học

- Học sinh ôn thi học sinh giỏi

- Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT

1.3 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm

Từ các nghiên cứu về lí thuyết và thực tiễn, chúng tôi đề xuất một số cách khai thác các dạng bài tập về hàm đặc trưng góp phần đổi mới phương pháp dạy học nhằm hình thành năng lực giải quyết vấn đề, sáng tạo cho học sinh

2

1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu lí thuyết và ứng dụng đạo hàm của hàm số

Nghiên cứu các phương pháp dạy học tích cực: Hoạt động theo nhóm nhỏ, dạy học dự án

Xây dựng các tiêu chí, công cụ đánh giá kiến thức, phẩm chất năng lực học sinh

Thực nghiệm sư phạm để đánh giá hiệu quả của đề tài và có những điều chỉnh, kiến nghị đề xuất phù hợp

1.5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí thuyết

Phương pháp thống kê

Phương pháp tham vấn

Phương pháp đặt câu hỏi theo 3 kiểu: câu hỏi tự luận, câu hỏi trắc nghiệm, câu hỏi điền khuyết

1.6 Giả thuyết khoa học

Nghiên cứu cơ bản các cách khai thác bài toán mới, nghiên cứu các ứng dụng của đạo hàm số, nghiên cứu triển khai dạy học các chủ đề toán học

Từ thực tiễn các đề thi thử TN, đánh giá năng lực của các trường Đại học, đề thi TN – THPT, đề thi học sinh giỏi từ đó phân loại và đưa ra các phương pháp giải cho các dạng bài toán thường gặp về hàm đặc trưng

1.7 Tính mới, đóng góp của đề tài:

- Dạng bài tập về Hàm đặc trưng trước đây đã xuất hiện trong các đề thi, nhưng ở dạng tự luận Từ năm 2017 đề thi môn Toán tốt nghiệp THPT ở dạng trắc nghiệm, do đó đề tài giúp cho học sinh phương pháp giải nhanh dạng toán này và hệ thống lại các dạng bài tập đó phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm

- Định hướng cho học sinh kỹ năng giải một số dạng bài toán thường gặp về hàm đặc trưng như phương trình, bất phương trình, hệ phương trình…

- Hướng dẫn học sinh xây dựng hệ thống các bài toán về hàm đặc trưng giúp học sinh làm quen với xu hướng ra đề thi của bộ GD&ĐT, qua đó giúp các em học sinh tự tin hơn trong việc tìm tòi lời giải các bài toán về hàm đặc trưng góp phần phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh

2.1.2 Công thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp

2.1.3 Tính đơn điệu của hàm số

u

=

2 2

x

u

= 1

=

( )

4

+) Các định lí

Định lí về tính đơn điệu

Cho hàm số có đạo hàm trên

a) Nếu với mọi thuộc thì hàm số đồng biến trên

b) Nếu với mọi thuộc thì hàm số nghịch biến trên

c) Nếu với mọi thuộc thì hàm số không đổi trên

Chú ý:

Nếu hàm số liên tục trên đoạn và có đạo hàm trên khoảng

thì hàm số đồng biến trên đoạn

Nếu hàm số liên tục trên đoạn và có đạo hàm trên khoảng

thì hàm số nghịch biến trên đoạn

2.1.4 Tính đơn điệu của hàm số

2.1.5 Nghiên cứu phương pháp phân dạng, phát triển bài toán mới

Bài tập về hàm đặc trưng xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi thử, đề thi học sinh giỏi nhưng trong sách giáo khoa không đề cập đến Khi gặp các dạng bài tập này học sinh thường lúng túng, khó khăn trong việc tìm cách giải

Trong rất nhiều đề thi học sinh giỏi khối 12 của nhiều sở giáo dục trong những năm gần đây

Trong nhiều đề thi ĐGNL của nhiều trường những năm gần đây

Thực trạng của việc tổ chức dạy học chủ đề gắn với việc giáo dục ý thức học sinh

Dạy học giáo dục theo phương pháp đổi mới nhằm phát huy các phẩm chất , năng lực cho học sinh

Tạo hứng thú học tập cho học sinh, kích thích sự tìm tòi, sáng tạo, khám phá bài tập mới

Số liệu điều tra thực trạng về học sinh thông qua hoạt động học tập phần ứng dụng của hàm số

Thứ nhất: Áp dụng sáng kiến làm tăng độ hứng thú tích cực trong học tập

Khảo sát mức độ hứng thú các tiết học với nhóm thực nghiệm là 44 HS ( lớp 12C1) và lớp đối chứng là 40 HS (Lớp 12C2) như sau:

và x

Dạng phương trình, bất phương trình chứa

Dạng phương trình, bất phương trình chứa x

a và

Dạng phương trình, bất phương trình chứa và

phương trình, bất phương trình chứa

và loga x

6

Thứ hai: Áp dụng sáng kiến làm tăng khả năng lĩnh hội, khả năng vận dụng kiến

thức và độ bền kiến thức

Đánh giá qua kết quả sản phẩm của bài tập học sinh lớp 12C1

Nhóm 1: Điểm chung của nhóm 8 điểm

Nhóm 2: Điểm chung của nhóm 9 điểm

Nhóm 3: Điểm chung của nhóm 9 điểm

Nhóm 4: Điểm chung của nhóm 10 điểm

Học

sinh(44)

2.3.Giải pháp hình thành, khai thác, phát triển các bài toán hàm đặc trưng

2.3.1 Định hướng xây dựng bài toán tư duy hàm đặc trưng

Bài toán hàm đặc trưng

Cho hàm số liên tục trên tập

+ Nếu hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến) trên thì với mọi thuộc ta có: khi và chỉ khi

+ Nếu hàm số đồng biến trên thì với mọi thuộc ta có:

I Dạng 1 Phương trình, bất phương trình chứa 3

( )

f x và 3 g x( ) Nhận xét: Phép toán luỹ thừa và khai căn là hai phép toán ngược nhau nên ta định

và x

Dạng phương trình, bất phương trình chứa

f u = f v

Dạng phương trình,bấtphương trình chứa phương trình chứa x

a và loga x

7

- Đưa phương trình, bất phương trình về dạng chỉ chứa ẩn f x( )vàt cùng bậc

- Biến đổi phương trình, bất phương trình để xuất hiện dạng hàm đặc trưng

( ) ( ) 2 ( )

Với f x =( ) 0, từ đồ thị phương trình có 3 nghiệm

Với f x =( ) 1, từ đồ thị phương trình có 3 nghiệm

Với f x = −( ) 1, từ đồ thị phương trình có 2 nghiệm

Vậy phương trình có 8 nghiệm

3 ( ) 1 ( ) 1 3

g a =a −a a= f x a 1;3 g a( ) 0; 24 m 0; 24suy ra có 25 giá trị mnguyên

Bài 1.3: (Đề tham khảo 2018).Tìm mđể phương trình:3 m+ 3 3m+ 3sinx = sinxcó nghiệm

Giải

Kết hợp có 5 giá trị nguyên thoả mãn

Nhận xét: Cách này không dùng phương pháp hàm đặc trưng, nhưng có những

trường hợp xử lý biểu thức còn lại khó hơn

Bài 1.4: (Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Nghệ An năm 2022).Có bao nhiêu số nguyên

Giải

Bất phương trình

(1) Xét hàm số

3 3

3 3

2 3

10

Để bất phương trình (2) có nghiệm đúng thì

Vì m nguyên nhỏ hơn 2022 nên Có 2021 giá trị m thoả mãn bài toán

Nhận xét: - Ở bài toán trên nếu học sinh lập phương để làm mất căn bậc 3 thì sẽ

phức tạp hơn rất nhiều, có khi không giải được

- Để dễ nhìn ta có thể đặt 3 3 2

3

a= x − x Bài toán gốc 4 Gọi Slà tập hợp các giá trị m để phương trình:

h u =u + uluôn đồng biến, từ phương trình (1) ta có t= +x 1 suy ra

Khảo sát hàm số , để phương trình có 3 nghiệm phâm biệt suy ra

Vậy

Bài 1.5: Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình

có hai nghiệm thực phân biệt

11

Bài 1.6: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

có nghiệm là đoạn khi đó Tính giá trị

Bài 2.1: Cho hàm số có đồ thị như

hình vẽ Tìm số nghiệm của phương trình

đường thẳng y= f x( )cắt đồ thị hàm số

tại 3 điểm phân biệt, vậy phương trình có 3 nghiệm

Bài 2.2: Cho hàm số Tìm để phương trình

Bài 2.4: Gọi S là tập hợp tất cả cá giá trị của m để phương trình

13

Xét hàm số

Hàm số đã cho đồng biến trên và ta thu được

Khảo sát hàm số , phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi

Suy ra tổng của các giá trị nghuyên của là:

Bài 2.5: Cho hàm số Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

14

Bài 2.6: (Đề Sở GD-ĐT Gia Lai 2019) Cho hàm số Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Bài 2.7: Cho hàm số Tìm các giá trị nguyên để phương trình

Hàm số đồng biến trên nên (1) suy ra

Bài 2.9: Cho hàm số Có bao nhiêu giá trị nguyên của

để bất phương trình đúng với mọi thuộc ?

A B C D

Giải Chọn B

16

III Dạng 3 Phương trình, bất phương trình chứa

biệt

Định hướng: Biến đổi phương trình về một trong các dạng sau:

1

2

3

Giải

Tách

(2)

Xét hàm số , hàm số đồng biến trên Khi đó xét Bảng biến thiên của

+

3 3 ( )

2

h x = − + =  =x

3

m

     −

( ) ( )

f u = f v

m

2

2

2 2

log X +X = log Y+Y

log (2x − + 3x m) log (5 − x + 2x+ = 3) x + 8x+ − 2 2m



log (2x − + 3x m) log (5 − x + 2x+ = 3) 2(2x − + 3x m) (5 + x + 2x+ 3)

 log2 X + + 1 2X = log2Y+Y

2

1

ln 2

u

(0; +) (2)  2X = Y 2(2x2− 3x+m) = 5x2+ 2x+ 3 2

2

( )

g x

'( )

( )

g x

13

−

17

Từ bảng biến thiên để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

Lập bảng biến thiên của , suy ra kết quả

Bài 3.4: Cho hàm số Tìm m sao cho bất phương trình

nghiệm đúng với mọi

2

0

1

2 15 1

đơn duy nhất.Suy ra đổi dấu từ âm sang dương khi qua nghiệm

Ta cũng có hàm số hàm số đồng biến trên nên từ giả thiết bất

đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm Do đó hay

Bài 3.5: ( Đề thi chọn HSG Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu 2022)

Bài 3.7: Có bao nhiêu giá trị của m trong để bất phương trình

đúng với mọi

Giải

Bất phương trình đã cho tương đương với

Xét trường hợp

thoả mãn

nghiệm phân biệt thuộc đoạn

20

( không phải là nghiệm)

2 Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có đúng hai nghiệm thực phân biệt

Bài 3.9: Cho phương trình

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình trên có đúng 1 nghiệm

(1)  f(sin )x = f( 2 cos x+ −m 2)  sinx= 2 cos x+ −m 2 (2)

22

( )

 = có ba nghiệm phân biệt    3 m 7 Do m  m 4;5;6 

Bài 3.11: Cho phương trình

của tham số m  − 2023; 2023để phương trình có hai nghiệm trái dấu







 

 có 2020giá trị của tham số m

Bài 3.12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham sốmđể phương trình

p x

x

+

= + trên khoảng (0; + )

24

Ta có

2 2

1

1 1

1

x

x x

− +

+Suy ra hàm số p x( ) nghịch biến trên (0; + )

Lại có:

0

lim ( ) ; lim ( ) 2

→ = + →+ = PT có nghiệm thuộc khoảng(0; +   ) m (2; + ).

Bài 3.14: Cho phương trình 2 2x3 2 2 4x 4 2 3 2

(2x − 2x 1).2 + + x− + − m = − +x x + −m 1 (1).Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình (1)có nghiệm x [1;2]?

Vậy có 9 giá trị nguyên của m

Bài 3.15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

3 log (x − 3x + + − 5) (x 2) (x+ = 1) 3m+ 2m− 1có nghiệm duy nhất trêm[1;5)?

 − + = (do hàm f t( ) = 2 log3t+tđồng biến trên (0; + ))

Từ đó dẫn đến điều kiện của mlà 3 1 {0;2;3}.

3 3 55

m m

507

2

g x( 0) Như vậy phương trình (*) có nghiệm  phương trình (**) có nghiệm

26

phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt thuộc

đưa phương trình, bất phương trình về chỉ chứa luỹ thừa ta đặt t= loga x

Bài 4.1: (Đề tham khảo 2020) Có bao nhiêu cặp số nguyên( ; )x y thoả mãn:

ynguyên nên y 0,1, 2,3, 4,5 Ứng với mỗi giá trị của yta được một giá trị củax

nên có 6 cặp số nguyên ( ; )x y thoả mãn yêu cầu bài toán

Bài 4.2: (THPTQG 2018) Cho 5x+ =m log (5 x m− ), có bao nhiêu giá trị nguyên của( 20; 20)

m  − để phương trình đã cho có nghiệm

27

biến trên nên phương trình suy ra , Xét hàm số

Bảng biến thiên của

x + 0 -

Giải:

biến trên nên phương trình suy ra , Xét hàm số

Bảng biến thiên của

28

Bài 4.5: ( Đề sở GD-ĐT Quảng Nam 2019) Cho hai số dương thoả mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vậy giá trị nhỏ nhất của là

Bài 4.6: Biết điều kiện cần và đủ của tham số để phương trình

có nghiệm là với là hai số nguyên dương và Tính giá trị của biểu thức

Giải:

1 ( ) 5u

1 2

e

x P y