Đề và đáp án môn Toán thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2014

Đề và đáp án môn Toán thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2014

NHểM CỰ MễN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2014

MễN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề Cõu 1 (3.0 điểm): Cho hàm số:

2x 3

x 1





a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) tại cỏc giao điểm của (C) và đường thẳng y = x  3

Cõu 2 (2.5 điểm)

a Giải phương trỡnh:

2

log x 3log (2x) 1 0, x    

b Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số:

1

4

Cõu 3 (1.5 điểm) Tớnh tớch phõn:

 

1

x

0

I 1 xe dx

Cõu 4 (1.0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại

A, SC2 = 20a2 Hỡnh chiếu vuụng gúc của S trờn mặt phẳng (ABC) là trung điểm

M của cạnh AB Gúc giữa đường thẳng SC và (ABC) bằng 600 Tớnh theo a thể tớch khối chúp S.ABC

Cõu 5 (2.0 điểm) Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 0) và mặt phẳng (P) cú phương trỡnh:

(P): 2x  2y + z  1 = 0

a Viết phương trỡnh tham số của đường thảng đi qua A và vuụng gúc với (P)

b Tỡm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho AM vuụng gúc với OA và độ dài đoạn thảng AM bằng ba lần khoảng cỏch từ A tới (P)

-Hết -

Chúc các em học sinh ! Những người học trò đáng mến, những người đã và đang miệt mài học tập vì một tương lai huy

thành công trong mọi dự định tốt đẹp.

Lấ HỒNG Đ

Chúc các em học sinh !

ời học trò đáng mến,

ời đã và đang miệt mài học tập

ơng lai huy hoàng hơn, thành công trong mọi dự định tốt đẹp

NG ĐỨC  VƯƠNG DANH THÁI

ĐÁP SỐ VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Cõu 1

 HƯỚNG DẪN: Ta lần lượt:

 Với cõu a) sử dụng lược đồ khảo sỏt hàm phõn thức bậc nhất trờn bậc nhất

 Với cõu b):

 Thiết lập phương trỡnh hoành độ giao điểm để tỡm hoành độ tiếp điểm:

2x 3

x 3

x 1

  Giỏ trị x0

 Viết phương trỡnh tiếp tuyến biết tiếp điểm:

(d): y = y’(x0)(x  x0) + y0

 LỜI GIẢI CHI TIẾT:

a Ta lần lượt có:

1 Hàm số xác định trên D   \ 1  

2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các tiệm cận:

xlim y 2

   nên y = 2 là đường tiệm cận ngang

x 1

lim y

   nên x = 1 là đường tiệm cận đứng

 Bảng biến thiên:



 2

1

(x 1)  hàm số nghịch biến trên D

y

3 Đồ thị của hàm số: Đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 2) làm tõm đối xứng Lấy thêm các điểm A(0; 3) và B(2; 1)

Bạn đọc tự vẽ hỡnh

b Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng y = x  3 là:

2x 3

x 3

x 1



x 1 2x 3 (x 3)(x 1)



 x2  2x = 0 x 0

x 2





  



Ta lần lươt:

 Với x = 0 ta được tiếp tuyến:

(d1): y = y’(0)(x  0) + y(0)  (d1): y = x  3

 Với x = 2 ta được tiếp tuyến:

(d2): y = y’(2)(x  2) + y(2)  (d2): y = x + 1

Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến (d1), (d2) thỏa món điều kiện đầu bài

 BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ  SÁNG TẠO

Em hóy bắt đầu với hàm số x 2

x 1







 Hàm số cú tõm đối xứng I(1; 1)

 Lấy điểm A(0; 2)(C) suy ra B(2; 4)(C) và (AB): y = 3x  2

Phỏt biểu bài toỏn: Cho hàm số:

x 2

x 1







a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) tại cỏc giao điểm của (C) và đường thẳng y = 3x  2

 Sỏng tạo:

1 Cho hàm số:

x 2 (C) : y

x 2







a Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số

b Viết phương trỡnh tiếp tuyến (d) của (C) sao cho (d) và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giỏc cõn

2 Cho hàm số:

x 1 (C) : y

x 1







a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi

c Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đường tiềm cận một tam giác có chu vi bé nhất

3 Cho hàm số (C) và đường thẳng (d)có phương trình:

((C) : y x

x 1



 và (d): y = ax + b

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b a, b phải thoả mãn điều kiện gì để đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) ?

c Giả sử điều kiện trên được thoả mãn Khi đó (d) cắt Ox, Oy tại A, B, khi đó:

 Chứng tỏ OAB có diện tích không đổi

 Chứng tỏ rằng điểm giữa AB là tiếp điểm của (d) với (C)

 Khi nào thì khoảng cách từ gốc toạ độ O đến (d) là lớn nhất ?

Câu 2

 HƯỚNG DẪN: Ta lần lượt:

 Với câu a) định hướng chuyển phương trình về log2x

 Với câu b) ta sử dụng ẩn phụ 2  

t 4xx , t 0; 2

Chuyển bài toán về dạng cơ bản “Tìm giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn”

 LỜI GIẢI CHI TIẾT:

a Điều kiện x > 0

Biến đổi phương trình về dạng:

2

log x 3 1 log x   1 0 2

log x 3log x 2 0

log x 1 log x 22  2  0

2

log x 1 log x 2

 





1 x 2 1 x 4







 

 



Vậy, phương trình có hai nghiệm x 1, x 1

Cách trình bày khác: Điều kiện x > 0

Biến đổi phương trình về dạng:

2

log x 3 1 log x   1 0 2

log x 3log x 2 0

Đặt tlog x2 , phương trình có dạng mới:

t2 + 3t + 2 = 0 t 1

 



   



2

2

log x 1 log x 2

 





1 x 2 1 x 4







 

 



Vậy, phương trình có hai nghiệm x 1, x 1

b Viết lại hàm số dưới dạng:

1

4

Đặt t 4xx2 thì t  0 và:

t 4 4 4x x  42 x 2  2

suy ra t [0; 2]

Khi đó, bài toán được chuyển về việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

2 1

f (t) t t, t D 0; 2

4

f '(t) t 1 0, t D

2

Suy ra:

 Maxf(x) = Maxf(t) = f(0) = 0, đạt được khi x = 0

 Minf(x) = Minf(t) = f(2) = 3, đạt được khi x = 2

 BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ  SÁNG TẠO

a Giải phương trình:

2

log x 3log (2x) 5  0, x 

b Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

1

2

Câu 3

 HƯỚNG DẪN: Tách I thành hai tích phân đơn;



 



x

I dx xe dx

 LỜI GIẢI CHI TIẾT: Biến đổi I về dạng :



 



x

Trong đó:

 1 

và với I2 ta đặt:

x

dv e dx









du dx

v e





 



 Khi đó:

 

1 1 x

0

I xe e dx   x1

0

Thay (2), (3) vào (1) ta được I = 0

 BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ  SÁNG TẠO

Tính tích phân:

 

1

x

0

I 1 x e dx

Câu 4

 HƯỚNG DẪN: Đọc kĩ đầu bài rồi phác thảo hình vẽ

 Xác định g(SC, (ABC))

 Thiết lập công thức tính VS.ABC

 LỜI GIẢI CHI TIẾT: Bạn đọc tự vẽ hình

Ta có ngay

g(SC, (ABC))SCM60

1

 1SM.AC 2

6

Trong đó:



SC.sin 60

SC CM

2

 a 5

CM2 = CA2 + AM2

2

2 AC AC

4

2

AC

5

Thay (2), (3) vào (1) ta được:

 2

S.ABC

1

V a 15 2a

6



3 2a 15

3



 BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ  SÁNG TẠO

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA = a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm M của cạnh BC Góc giữa đường thẳng SA và (ABC) bằng 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC Câu 5

 HƯỚNG DẪN: Ta lần lượt:

 Với câu a) phương trình đường thẳng (d) được cho bởi:

P

Qua A(1; 1; 0) (d) :

vtcp n (2; 2; 1)













 Với câu b) giả sử điểm M(a; b; c), ta lần lượt sử dụng các điều kiện:

 M(P)  MAOA  Độ dài đoạn thảng AM bằng ba lần khoảng cách từ A tới (P)

 LỜI GIẢI CHI TIẾT: Mặt phẳng (P) có vtpt n (2;P 2; 1).

a Đường thảng (d) đi qua A và vuông góc với (P) dc cho bởi :

P

Qua A(1; 1; 0)

(d) :

vtcp n (2; 2; 1)













x 1 2t (d) : y 1 2t , (t )

z t

 





 





b Trước tiên:

d(A, (P))

2.1 2.( 1) 1

2 ( 2) 1

  



  

= 1

Khi đó với M(a; b; c) ta lần lượt có:

 Vì M(P) nên:

 Vì MAOA nên:

AM.OA0

 

 Vì độ dài đoạn thảng AM bằng ba lần khoảng cách từ A tới (P):

(a 1) (b 1) c 3

 (a  1)2 + (b + 1)2 + c2 = 9 (3) Giải hệ tạo bởi (1), (2), (3) ta được M(1; 2; 3)

 BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ  SÁNG TẠO

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 1) và mặt phẳng (P)

có phương trình:

(P): 2x + y  2z  1 = 0

a Viết phương trình tham số của đường thảng đi qua A và vuông góc với (P)

b Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho AM vuông góc với OA và độ dài đoạn thảng AM bằng ba lần khoảng cách từ A tới (P)

-Hết -

Tôi viết tài liệu này dành tặng người vợ xinh đẹp cùng hai con gái bé nhỏ của tôi trong ngày hè tôi xa nhà