Public giữa kì đại số tuyến tính k16 21 22

Hạng của ma trậnMột ma trận A có nhiều dạng bậc thang, tuy nhiên các dạng bậc thang của A đều có số dòng khác không bằng nhau.. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính:- Một nghiệm của HPT

Đại số tuyến tính

PHAN HUY VŨ - ATTN2021LƯU THỊ HUỲNH NHƯ - ATTT2021PHẠM NGUYỄN HẢI ANH -

ATTT2021

BHT Đoàn khoa MMT&TT – Training giữa kì I K16

Trainer s:

MA TRẬN VÀ HPTTT

KHÔNG GIAN VEC TƠ

ĐỊNH THỨC

1 Khái niệm ma trận

Định nghĩa:

Ma trận cỡ m × n trên ℝ là một bảng gồm m.n số thực được viết thành m hàng và n cột như sau:

với aij ℝ là phần tử nằm ở hàng i cột j của ma trận A

hoặc

1 Khái niệm ma trận

• Ví dụ:

- Nếu các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0

(nghĩa là, aij = 0, ∀i ≠ j) thì A 2 được gọi là ma trận đường

chéo, ký hiệu: diag(a11, a22, , ann)

1.A = A (α+β)A= αA+ βA )A= αA+ β)A= αA+ βA A

0.A = θ α(β)A= αA+ βA A) = (αβ)A= αA+ βA )A

2 Các phép toán trên ma trận

2.3 Phép nhân hai ma trận

Cho hai ma trận A= [aij]m×p và B = [bij]p×n Khi đó tích của hai ma

trận A, B là ma trận C = [cij]m×n được định nghĩa bởi:

cij= ai1 b1j + ai2b2j + + aipbpj

thứ j của ma trận B rồi cộng lại.

2 Các phép toán trên ma trận

Ví dụ:

Ví dụ:

2 Các phép toán trên ma trận

3 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (PBĐSCTĐ) gồm:

Loại 1: Hoán vị hai dòng i và j

Ký hiệu: di ↔ dj

Loại 2: Nhân dòng i với một số α khác 0

Ký hiệu: αdi

Loại 3: Cộng vào dòng i một lượng β)A= αA+ βA lần dòng j

Ký hiệu: di + β)A= αA+ βA dj

4 Hạng của ma trận

Một ma trận A có nhiều dạng bậc thang, tuy nhiên các dạng bậc thang của A đều có số dòng khác không bằng nhau Ta gọi, số dòng khác không này là hạng của A, ký hiệu r(A)

Ví dụ:

r(A)=2 r(B)=1 r(C)=3

4 Hạng của ma trận

Vận dụng PBDSCTD để xác định hạng của ma trận

Ví dụ: Cho hệ phương trình

5 Hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ:

5 Hệ phương trình tuyến tính

Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính:

- Một nghiệm của HPT tuyến tính là một bộ sao cho khi thay thì tất cả các phương trình trong hệ đều thỏa

- Bài toán tìm nghiệm của HPT tuyến tính được gọi là bài toán giải HPT tuyến tính

- Hai HPT tuyến tính (có cùng số ẩn) được gọi là tương đương

nếu chúng có cùng tập nghiệm

- Khi giải HPT tuyến tính, ta dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa về HPT tương đương

5 Hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ: Giải hệ phương trình

Ta được HPT tương đương

Nghiệm của HPT là

5 Hệ phương trình tuyến tính

Phép khử Gauss – Jordan: Đưa ma trận à về dạng chính tắc theo dòng

Giải: Ma trận hóa hệ trên và áp dụng thuật toán Gauss – Jordan:

5 Hệ phương trình tuyến tính

Định lý Kronecker – Cabelli: Cho HPT tuyến tính AX = B gồm

m phương trình, n ẩn, có dạng ma trận hóa là Ã = [A|B] Khi đó:

- Nếu r(A) < r(Ã) thì hệ vô nghiệm

- Nếu r(A) = r(Ã) = n thì hệ có nghiệm duy nhất

- Nếu r(A) = r(Ã) < n thì hệ có vô số nghiệm

Giải và biện luận nghiệm HPT tuyến tính

Ví dụ: Giải và biện luận theo m số nghiệm hệ phương trình tuyến tính sau:

Giải và biện luận nghiệm HPT tuyến tính

Ví dụ: Giải và biện luận theo m số nghiệm hệ phương trình tuyến tính sau:

Giải và biện luận theo m nghiệm của HPT:

Giải và biện luận nghiệm HPT tuyến tính

• Ký hiệu: ma trận nghịch đảo của A là

• Điều kiện khả nghịch: r(A) = n hoặc det(A) 0

•  

•  

Ma trận A(i|j)

có được từ A bằng cách xóa đi dòng i và cột j của A: Rõ ràng

ma trận A(i|j) có cấp là n - 1:

• Vd: A=

•  

Định thức

Nếu n = 1, nghĩa là A = (a), thì |A| = a

Nếu n = 2, nghĩa là A=, thì |A| = ad-bc

Vd: Tính định thức của ma trận:A=

=2(12.10-9)+3(4-12.2)=162

•  

Quy tắc Sarrus (n = 3)

• Cho ta có:

•  

-Một số chú ý

Cho Khi đó:

Nếu A có một dòng hay một cột bằng không thì |A|=0

Nếu A là ma trận tam giác thì |A| được tính bằng tích các phần

tử trên đường chéo, nghĩa là:

•  

Định thức và các phép biến đổi sơ cấp

• Cho , khi đó:

•  

Hệ quả:

• Nếu có 2 dòng hoặc 2 cột giống nhau thì |A|=0

• Nếu có 2 dòng hoặc 2 cột tỉ lệ với nhau thì |A|=0

•  

Ví dụ: Tính định thức của ma trận A =

Dùng định thức tính ma trận nghịch đảo

3 2( 1) 17

Tính  𝐵−1

2 3

5 3 -3 1

|B| = 2.3.-5 + 3.2.-3 + -4.5.1 – (-5).3.5 – 1.2.2 – (-3).3.(-4) = -33

Tính  𝐵−1

2 3

5 3 -3 1

|B| = 2.3.-5 + 3.2.-3 + -4.5.1 – (-5).3.5 – 1.2.2 – (-3).3.(-4) = -33

=

  [−19 /3317 /33 − 1/3 − 6 /112/3 8/11

−14 /33 1/3 3/11 ] 

2 3

5 3 -3 1

|B| = 2.3.-5 + 3.m.-3 + -4.5.1 – (-5).3.5 – 1.m.2 – (-3).3.(-4)

Quy tắc Cramer giải hệ PTTT

Cho HPTTT AX = B (*) có số ẩn bằng số phương trình

Nếu |A| 0, (*) có nghiệm duy nhất:

Với là ma trận có được khi thay cột i của A bằng cột B

Nếu |A| = 0 và , (*) vô nghiệm

Nếu |A| = 0 và | | = 0, thì (*) vô nghiệm hoặc vô số

Vận dụng quy tắc Cramer giải và biện luận hệ PTTT sau

Hệ phương trình đã cho trở trành x + y + z = 1 có vô số nghiệm dạng

Vận dụng quy tắc Cramer giải và biện luận hệ PTTT sau

KHÔNG GIAN VECTƠ

Tập V khác rỗng, với phép cộng 2 vec tơ và phép nhân vec tơ với

KHÔNG GIAN VECTƠ THƯỜNG GẶP

KHÔNG GIAN ĐA THỨC  

Không gian đa thức theo biến x có bậc không quá n

Không gian vecto con

• Chứng minh W là không gian vecto con của V

Trên là không gian các ma trận vuông, thực, cấp 2, cho tập hợp

Hỏi W có phải là không gian vector con của hay không? Vì sao?

Cách chứng minh

+)Chứng minh W là con của V

- Nếu số tọa độ trong vecto của W = V WV

Giải ví dụ

Bài tập làm thêm

• 1 Tập vecto nào sau đây là kgvtc của ?

• 2 Chứng minh các tập sau là kgvtc hoặc không phải kgvtc của

•  

3



Tổ hợp tuyến tính

• Biểu diễn tuyến tính của vecto x theo hệ vecto đề cho

+Giải hệ phương trình tuyến tính

Tìm m để vecto x là thtt của hệ vecto W

Giải 1.a

• Giả sử

• Ta lập được hệ

(t tùy ý)

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

• Khi thtt của các vecto trong hệ là x=0

• Chỉ có nghiệm tầm thường thì hệ vecto dltt

• Hệ không dltt thì pttt

Dạng bài thường gặp

• Cho hệ vecto W, hỏi hệ dltt hay pttt? Vì sao?

Cho hệ vecto W, tìm m để hệ vecto pttt hoặc dltt

75

Giải bài 3.a

• Giả sử au + bv = (0, 0)

• Hệ pttt:

• Ta có:

Hệ pttt có nghiệm không tầm thường

nên hệ vecto đã cho pttt

Bài tập làm thêm

• Các tập sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

• a) u = (1, 0, 0, 2, 5); v = (0, 1, 0, 3, 4); x = (0, 0, 1, 4, 7); y= (2, -3, 4, 11, 12) trong

b) trong

Thanks

For

Watching