Public giữa kì đại số tuyến tính k16 21 22

Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính:- Một nghiệm của HPT tuyến tính là một bộ sao cho khi thay thì tất cả các phương trình trong hệđều thỏa.. - Bài toán tìm nghiệm của HPT tuyến tính đ

Đại số tuyến tính

PHAN HUY VŨ - ATTN2021LƯU THỊ HUỲNH NHƯ - ATTT2021PHẠM NGUYỄN HẢI ANH - ATTT2021

BHT Đoàn khoa MMT&TT – Training giữa kì I K16

MA TRẬN VÀ HPTTT

KHÔNG GIAN VEC TƠ

ĐỊNH THỨC

1 Khái niệm ma trận

• Ví dụ:

1 Khái niệm ma trận

- Nếu các phần tử nằm dưới đường chéo chính của A đều bằng 0 (nghĩa

là aij = 0, ∀i > j) thì A được gọi là ma trận tam giác trên.

- Nếu các phần tử nằm trên đường chéo chính của A đều bằng 0 (nghĩa là

aij = 0, ∀i < j) thì A được gọi là ma trận tam giác dưới.

- Nếu các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 (nghĩa là, aij

= 0, ∀i ≠ j) thì A 2 được gọi là ma trận đường chéo, ký hiệu: diag(a11, a22, , ann)

2 Các phép toán trên ma trận

2.3 Phép nhân hai ma trận

Cho hai ma trận A= [aij]m×p và B = [bij]p×n Khi đó tích của hai ma trận A, B

là ma trận C = [cij]m×n được định nghĩa bởi:

cij= ai1 b1j + ai2b2j + + aipbpjNhư vậy cij= hàng thứ i của ma trận A nhân tương ứng với cột thứ j của

ma trận B rồi cộng lại.

2 Các phép toán trên ma trận

Ví dụ:

Ví dụ:

2 Các phép toán trên ma trận

3 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (PBĐSCTĐ) gồm:

Loại 1: Hoán vị hai dòng i và j

Ký hiệu: di ↔ djLoại 2: Nhân dòng i với một số α khác 0

Ký hiệu: αdiLoại 3: Cộng vào dòng i một lượng β lần dòng j

Ký hiệu: di + βdj

4 Hạng của ma trận

Vận dụng PBDSCTD để xác định hạng của ma trận

Ví dụ: Cho hệ phương trình

5 Hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ:

5 Hệ phương trình tuyến tính

Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính:

- Một nghiệm của HPT tuyến tính là một bộ sao cho khi thay thì tất cả các phương trình trong hệđều thỏa

- Bài toán tìm nghiệm của HPT tuyến tính được gọi là bài toán giải HPT tuyến tính

- Hai HPT tuyến tính (có cùng số ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng

có cùng tập nghiệm

- Khi giải HPT tuyến tính, ta dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đểđưa về HPT tương đương

5 Hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ: Giải hệ phương trình

Ta được HPT tương đương

Nghiệm của HPT là

5 Hệ phương trình tuyến tính

Phép khử Gauss – Jordan: Đưa ma trận à về dạng chính tắc theo dòng

Giải: Ma trận hóa hệ trên và áp dụng thuật toán Gauss – Jordan:

5 Hệ phương trình tuyến tính

Định lý Kronecker – Cabelli: Cho HPT tuyến tính AX = B gồm m phương

trình, n ẩn, có dạng ma trận hóa là Ã = [A|B] Khi đó:

- Nếu r(A) < r(Ã) thì hệ vô nghiệm

- Nếu r(A) = r(Ã) = n thì hệ có nghiệm duy nhất

- Nếu r(A) = r(Ã) < n thì hệ có vô số nghiệm

Giải và biện luận nghiệm HPT tuyến tính

Ví dụ: Giải và biện luận theo m số nghiệm hệ phương trình tuyến tính sau:

Giải và biện luận nghiệm HPT tuyến tính

Ví dụ: Giải và biện luận theo m số nghiệm hệ phương trình tuyến tính sau:

Giải và biện luận theo m nghiệm của HPT:

Giải và biện luận nghiệm HPT tuyến tính

Ma trận khả nghịch - Ma trận nghịch đảo

• Cho 2 ma trận A và B nếu: AB=BA=I𝑛 Ta nói:

• A là ma trận khả nghịch (𝐴 ∈ 𝑀𝑛(𝑅))

• B là ma trận nghịch đảo của A

• Ký hiệu: ma trận nghịch đảo của A là 𝐴−1

• Điều kiện khả nghịch: r(A) = n hoặc det(A) ≠ 0

Ma trận A(i|j)

• Cho A là ma trận vuông cấp n: Ta gọi ma trận A(i|j) là ma trận có được

từ A bằng cách xóa đi dòng i và cột j của A: Rõ ràng ma trận A(i|j) có cấp là n - 1:

• Vd: A= 02 42 10

1 3 1

→ 𝐴 2 2 = 0 1

1 1

Định thức

Nếu n = 1, nghĩa là A = (a), thì |A| = a

Nếu n = 2, nghĩa là A= 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 , thì |A| = ad-bcNếu n > 2:

+Tính định thức theo hàng i:

|A|=σ𝑗=1𝑛 𝑎𝑖𝑗 −1 𝑖+𝑗|𝐴 𝑖 𝑗 |+Tính định thức theo cột j:

|A|=σ𝑖=1𝑛 𝑎𝑖𝑗 −1 𝑖+𝑗|𝐴 𝑖 𝑗 |

𝐶ộ𝑡 3

↓19

𝐶ộ𝑡 1

↓2

𝐶ộ𝑡 2

↓12

-Một số chú ý

Cho 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(𝑅) Khi đó:

|𝐴𝑇| = |𝐴|

Nếu A có một dòng hay một cột bằng không thì |A|=0

Nếu A là ma trận tam giác thì |A| được tính bằng tích các phần tử trênđường chéo, nghĩa là: 𝐴 = 𝑎11 𝑎22 … 𝑎𝑛𝑛

Định thức và các phép biến đổi sơ cấp

• Nếu có 2 dòng hoặc 2 cột tỉ lệvới nhau thì |A|=0

Dùng định thức tính ma trận nghịch đảo

Quy tắc Cramer giải hệ PTTT

Cho HPTTT AX = B (*) có số ẩn bằng số phương trình

Nếu |A| 0, (*) có nghiệm duy nhất:  i

i

A x

A

= i  1, n

Với Ai là ma trận có được khi thay cột i của A bằng cột B

Nếu |A| = 0 và , (*) vô nghiệm

Vận dụng quy tắc Cramer giải và biện luận hệ PTTT sau

Hệ phương trình đã cho trở trành x + y + z = 1 có vô số nghiệm dạng

Vận dụng quy tắc Cramer giải và biện luận hệ PTTT sau

KHÔNG GIAN VECTƠ

V được xem là không gian véc tơ nếu thỏa 10 tính chất, và :  u , v, w  V   , 

Trong đó: 𝜃 là vec tơ không -u là vec tơ đối của u

KHÔNG GIAN VECTƠ THƯỜNG GẶP

KHÔNG GIAN ĐA THỨC 𝑃 𝑛 [𝑥]

Không gian đa thức theo biến x có bậc không quá n

1( )

n

i i i

f x a x

=

1( )

n

i i i

n

i

i i i

kf x ka x k

=

M m×n ℝ KHÔNG GIAN MA TRẬN

Không gian vecto con

• Chứng minh W là không gian vecto con của V

Trên là không gian các ma trận vuông, thực, cấp 2, cho tập hợp

Hỏi W có phải là không gian vector con của hay không? Vì sao?

Cách chứng minh

+)Chứng minh W là con của V

- Nếu số tọa độ trong vecto của W = V WV

Giải ví dụ

Bài tập làm thêm

• 1 Tập vecto nào sau đây là kgvtc của 𝑃3[𝑥]?

• 2 Chứng minh các tập sau là kgvtc hoặc không phải kgvtc của 3

Tổ hợp tuyến tính

• Biểu diễn tuyến tính của vecto x theo hệ vecto đề cho

+Giải hệ phương trình tuyến tính

Tìm m để vecto x là thtt của hệ vecto W

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

• Khi thtt của các vecto trong hệ là x=0

• Chỉ có nghiệm tầm thường thì hệ vecto dltt

• Hệ không dltt thì pttt

Dạng bài thường gặp

• Cho hệ vecto W, hỏi hệ dltt hay pttt? Vì sao?

Cho hệ vecto W, tìm m để hệ vecto pttt hoặc dltt

75

Giải bài 3.a

Bài tập làm thêm

• Các tập sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

• a) u = (1, 0, 0, 2, 5); v = (0, 1, 0, 3, 4); x = (0, 0, 1, 4, 7); y= (2, -3, 4, 11, 12) trong